北京市第五中学2020-2021学年高二下学期第一次段考数学试题

2020-2021学年北京市海淀区高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共13小题，共58.0分） 1.已知等差数列{a n }，满足a 2=3，a 3=2，则公差d =( )A. −1B. 1C. −2D. 22.若函数f(x)=2x +cosx 的导函数是f′(x)，则f′(π6)=( )A. 32B. 52C. 2−√32D. 2+√323.四棱锥是正四棱锥的一个充分但不必要条件是( )A. 各侧面都是正三角形B. 底面是正方形，各侧面都是等腰三角形C. 各侧面是全等的等腰三角形D. 底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形4.函数f(x)=√x 23e x在x ∈[−2,2]上的极值点的位置有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5.已知定义在R 上的函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)=a x ，且f′(x)g(x)>f(x)g′(x),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，若有穷数列{f(n)g(n)}(n ∈N ∗)的前n 项和等于126，则n 等于( )A. 4B. 5C. 6D. 76.用数学归纳法证明“1+a +a 2+⋯+a 2n+1=1−a 2n+21−a，(a ≠1)”，在验证n =1时，左端计算所得项为( )A. 1+a +a 2+a 3+a 4B. 1+aC. 1+a +a 2D. 1+a +a 2+a 37.下列图象中，可以表示函数y =f(x)的图象的是( )A.B.C. D.8.已知{a n}满足对一切正整数n均有a n+1>a n且a n=n2+λn恒成立，则实数λ的范围是()A. λ>0B. λ<0C. λ>−1D. λ>−39.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 510.观察此数列1，3，6，10，x，21，28，…，项之间的关系并推测出x的值是()A. 12B. 15C. 17D. 1811.函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(2−x)，且当x≠1时，其导函数f′(x)满足xf′(x)>f′(x)，若1<a<2，则()A. f(2a)<f(2)<f(log2a)B. f(2)<f(log2a)<f(2a)C. f(log2a)<f(2a)<f(2)D. f(log2a)<f(2)<f(2a)12.(滚动单独考查)若函数f(x)=lnx+(x−b)2(b∈R)在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是()A. B. C. (−∞,3) D. (−∞,)13.已知直线y=x+1与曲线y=alnx相切，若a∈(n,n+1)(n∈N∗)，则n=()(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A. 2B. 3C. 4D. 5二、单空题（本大题共7小题，共34.0分）14.在点(1,1)处的切线方程。

2020-2021北京第五中学高中必修一数学上期中试题及答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．505．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．17．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．已知函数(),1log ,1x aa x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D11．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<12．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 14．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．15．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 17．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.18．若4log 3a =，则22a a -+= ．19．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________.20．函数()f x =________．三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数2()log 2x f x =⋅的最大值和最小值． 22．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.23．已知函数()xf x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,6),(3,24)A B（1）求()f x 的解析式（2）若不等式11120xxm a b ⎛⎫⎛⎫++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 24．已知定义域为R 的函数()22xx b f x a-=+是奇函数．()1求a ，b 的值；()2用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；()3若对于任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．25．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.26．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。

北京第一零第五中学2020年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，则输出的i=（）A．48 B．49 C．50 D．52参考答案：D模拟程序运行，变量值依次为：；；；；；；；；．结束循环，输出.故选D．2. 两个同学做同一道数学题，他们做对的概率分别是0.8和0.9，则该题至少被一个同学做对的概率是( )A．0.72 B．0.83 C．0.7D．0.98参考答案：D略3. 命题“若A B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．4 B．0 C．2 D．3参考答案：C4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元参考答案：B5. 已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，a=f（1），b=f（﹣），c=f（﹣ln2），d=f（﹣），则（）A．a＞b ＞c ＞d B ．b ＞a＞c ＞d C ．d ＞a ＞b＞c D．a＞d＞c＞b参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后判断函数值的大小．【解答】解：函数f（x）=（2x﹣1）e x，可得f′（x）=（2x+1）e x，当x＜﹣时，f′（x）＜0，函数是减函数，∵ln＜ln2＜lne，∴，∴，∴f（﹣）＞f（﹣ln2）＞f（﹣），∵f（1）＞0，f（）＜0，∴a＞b＞c＞d．故选：A．6. 已知复数,则的虚部为（）A．l B．2 C． -2 D． -1参考答案：D略7.已知集合A={x| －2≤x≤7 }, B={x|m+1＜x＜2m－1｝，若A∪B=A，则函数m的取值范围是（）A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4 C．2＜m＜4 D． m≤4参考答案：D8. .阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A. 6 B. 14 C. 18 D. ﹣10参考答案：A【分析】依次计算得到答案.【详解】输出S故答案选A【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的程序框图理解能力.9. F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．9参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先根据双曲线的标准方程求得a的值然后根据定义|PF1|﹣|PF2|=±2a求解．【解答】解：F1、F2是双曲线=1的焦点，2a=8，点P在双曲线上（1）当P点在左支上时，|PF1|﹣|PF2|=﹣2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=17（2）当P点在右支上时，|PF1|﹣|PF2|=2a，|PF1|=9，解得：|PF2|=1故选：C10. 曲线在(1,1)处的切线方程是（）A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数为奇函数（定义域为 R且x≠0），当时，，则满足不等式x的的取值范围是．参考答案：x<-1或x>1 12.已知{a n }是由正数组成的数列，前n项和为S n ，且满足：a n+=（n≥1，n∈N+），则a n= ．参考答案：n【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a n+=（n≥1，n∈N+），n=1时，a1+=，解得a1．n≥2时，平方相减可得﹣=2a n，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，可得a n﹣a n﹣1=1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+=（n≥1，n∈N+），∴n=1时，a1+=，解得a1=1，n≥2时，=2S n+，=2，∴﹣=2a n，化为：﹣=0，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．故答案为：n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】利用向量的夹角公式，即可求出直线l与平面α所成角的正弦值．【解答】解：∵直线l的方向向量，平面α的一个法向量，∴直线l与平面α所成的角的正弦值=||=．故答案为．14. 设焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则?的最大值为．参考答案：4【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知离心率e===，即可求得b的值，则F（﹣1，0），A（2，0），设点P（x0，y0），=3（1﹣），=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0），根据向量数量积的坐标表示， ?=（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+=（﹣1）2，由﹣2≤x0≤2，即可求得?的最大值．【解答】解：由焦点在x轴上的椭圆+=1，a=2，c=，离心率e===，解得：b2=3，∴椭圆的标准方程，∴F（﹣1，0），A（2，0），设点P（x0，y0），则有，解得： =3（1﹣），=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0），?=（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+=﹣x0﹣2+3（1﹣）=﹣x0+1=（﹣1）2，∵﹣2≤x0≤2，∴当x0=﹣2时， ?取最大值，最大值为4，故答案为：4．15. 与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．参考答案：【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】由于与双曲线有共同的渐近线，故方程可假设为，再利用过点（2，2）即可求【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．16. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，则，、、、、，则下列结论正确的是_____________ 。

北京第一零第五中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若双曲线的右支上一点P（,b）到直线的距离为+b的值（）A．B．C．－2 D．2参考答案：B略2. 三点（3,10），(7,20)，(11,24)线性的回归方程是A. B.C. D.参考答案：B略3. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是( ) A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形参考答案：C【考点】三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．【专题】计算题．【分析】根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到bcosC=CD=，得到D为BC的中点，根据全等得到三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：过A作AD⊥BC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD得到三角形ABD≌三角形ACD，所以b=c，三角形ABC为等腰三角形．故选C【点评】考查学生利用三角函数解直角三角形的能力．掌握用全等来证明线段相等的方法．4. 已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．1+C．2D．2+参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知：丨PQ丨=丨PF2丨，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，由OA是△F2F1Q的中位线，丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，a=，c=a，双曲线的离心率e==．【解答】解：∵F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴丨PQ丨=丨PF2丨，∵P在双曲线上，则丨丨PF1丨﹣丨PF2丨丨=2a，∴丨PF1丨﹣丨PQ丨=丨QF1丨=2a，∵O是F1F2中点，A是F2Q中点，∴OA是△F2F1Q的中位线，∴丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，∴a=，c==a，∴双曲线的离心率e==．故选A．5. 已知命题对于恒有成立；命题奇函数的图像必过原点，则下列结论正确的是（）A．为真B．为真C．为真D．为假参考答案：C6. 阅读下面程序框图，则输出的数据．．．．参考答案：．，，，，，，，，，此时，；故选．7. 已知,由不等式可以推广为A. B.C. D.参考答案：B略8. i是虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，把要求的式子化简求得结果．【解答】解：复数===i﹣i2=1+i，故选D．9. 5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为( )A.72B.48C.24D.60参考答案：C略10. 在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线是曲线的一条切线，则实数 .参考答案：12. （5分）已知复数乘法（x+yi ）（cosθ+isin θ）（x ，y∈R，i 为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x ，y ）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的坐标为．参考答案：复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的对应的复数为：（6+4i）（cos+isin）=（6+4i）（+i）=．∴得到的点的坐标为．故答案为：．根据复数乘法（x+yi）（cosθ+isinθ）（x，y∈R，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转θ角，即可得所求点的坐标．13. 从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则。

一．北京市第五中学2021-2022学度高一下学期期中考试数学试卷1．sin 210︒的值等于（ ） )(A 12 )(B 12- )(C 32 )(D 32- 2．在ABC △中，a AB =，b AC =，若点D 在AC 上，且DC AD 2=，则BD =（ ）)(A b a 32+ )(B b a 32- )(C b a 32+- )(D b a 32-- 3．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）)(A 185 )(B 43 )(C 23 )(D 87 4．已知,a b 是两个非零向量，则（ ）)(A 若a b =，则a b a b +=-)(B 若a b ⊥，则a b a b +=-)(C 若a 与b 共线，则a b a b +=+ )(D 若a 与b 共线，则a b a b -=+5．函数)32cos(π+=x y 的图象（ ） )(A 关于点（3π，0）对称 )(B 关于点（6π，0）对称 )(C 关于直线3π=x 对称 )(D 关于直线6π=x 对称 6．如图，它表示电流)sin(ϕω+=t A I （0>A ，0>ω）在一个周期内的图象，则)sin(ϕω+=t A I 的解析式为( ))(A )33100sin(3ππ+=t I)(B )63100sin(3ππ+=t I )(C )6350sin(3ππ+=t I )(D )3350sin(3ππ+=t I 7．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数，又是以π为最小正周期的周期函数，且当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ） )(A 21- )(B 21 )(C 23- )(D 23 8．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的),(n m a =，),(q p b =，规定a b =np mq -，则下面说法错误的是（ ）)(A 若a 与b 共线，则ab =0)(B a b =b a)(C 对任意的R λ∈，有（a λ）b =λ（a b ）)(D (a b 2)2)(b a =⋅+二．填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分9．已知向量)1,1(=a ，),2(x b =，若b a +与b a -平行，则实数x 的值是10．函数)3tan 3lg(-=x y 的定义域为11．把函数sin y x =的图象上的所有点向右平移5π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原先的一半，而把所有点的纵坐标伸长到原先的4倍，所得图象的表达式是12．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到那个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 km13．已知α、β均为锐角，且1tan 3α=，cos()5αβ+= =β 14．设定义域为一切实数的奇函数)(x f 是减函数,若≤≤θ02π时, )sin 2(cos 2θθm f ++0)22(>--m f 恒成立,则实数m 的取值范畴为三．解答题（共44分）15．已知向量c b a ,,4=1=，a 与b 的夹角为θ，)1,3(=c .（1）︒=60θ时，求b a ⋅以及)2()2(b a b a +⋅+；（2）若a 与c 同向，求a 的坐标；（3）在（2）的条件下，若)4(c b a +⊥，求θ.16．已知函数1)cos 3(sin sin 2)(-+=x x x x f（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 的单调递增区间；（3）当],125[ππ∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值.17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若2cos ,22A a ==，求ABC ∆的面积.18．已知向量)sin ,(cos θθ=m ，)cos ,sin 2(θθ-=n ，()ππθ2,∈，且258=+n m ，求)82cos(πθ+ 的值.。

2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,2},{0,1,2}A B =-=，则A B ＝（ ） A ．{－1，0，2} B ．{0，1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 【答案】D【分析】由集合并集概念求得结果即可. 【详解】由题知，{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选：D.2．已知复数134i z =-，223i z =-+，则12z z +=（ ） A ．1i - B ．5i - C ．17i - D ．5i +【答案】A【分析】根据复数加法运算求得结果.【详解】由题知，()()123243i 1i z z +=-+-+=- 故选：A3．函数2()log f x x =的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【分析】利用真数大于直接求解【详解】由题意0x >，故函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞ 故选：B4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．2y x B ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.【详解】函数2y x 、y =2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数.故选：D.5．下列各点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（1，0） D ．（1，2）【答案】A【分析】直接代入计算可得.【详解】解：因为()21xf x =-，所以()00210f =-=，故函数过点()0,0.故选：A.6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的30035005=， 则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的人数为350305⨯=人.故选：C.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则AB BC +=（ ） A ．AC B ．CA C ．BD D ．DB【答案】A【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得； 【详解】解： AB BC AC故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（ ） A ．45-B ．45 C ．34-D ．34【答案】B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果. 【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴4cos 5α==. 故选：B.9．函数()||1f x x =-的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】令()||10f x x =-=求解. 【详解】令()||10f x x =-=， 解得 1x =±，所以函数()||1f x x =-的零点个数是2， 故选：C10．已知a R ∈，则“1a >”是“0a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可． 【详解】若1a >，则0a >成立， 若0a >，无法推出1a >， 故1a >是0a >的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题． 11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（ ）A ．12 B C D ．1【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式求值. 【详解】原式()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒= 故选：A12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ，则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ） A ．0.08 B ．0.18 C ．0.25 D ．0.72【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式求解【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为0.90.80.72⨯= 故选：D14．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b ＝（ ） A．B．C．D．【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【详解】由正弦定理4sin sin sin sin a b a Bb A B A=∴===故选：C15．不等式x （x －1）＜0的解集为（ ） A ．{01}xx <<∣ B ．{10}xx -<<∣ C ．{0x x <∣或1}x > D ．{1xx <-∣或0}x > 【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集. 【详解】方程()10x x -=有两个根0,1， 则不等式()10x x -<的解集为{}01x x << 故选：A16．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则c ＝（ ） A ．2 B．C ．4D ．6【答案】B【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】2222cos 416812c a b ab C =+-=+-=∵，c ∴=故选：B17．函数()3sin cos f x x x =的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．2D ．32【答案】D【分析】由二倍角公式可得()3sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果【详解】∵()33sin cos sin 22f x x x x ==，∴函数()3sin cos f x x x =的最大值是32.故选：D.18．已知224a b >>，则（ ） A ．a ＞b ＞2 B ．b ＞a ＞2 C ．a ＜b ＜2 D ．b ＜a ＜2【答案】A【分析】利用指数函数单调性解不等式即可 【详解】222422a b a b >>=∴>> 故选：A19．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则·a b ＝（ ）A ．3B ．C ．6D ．12【答案】C【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果. 【详解】由图知，322a b ==，，两向量的夹角为45°，则··cos ,3226a b a b a b ==⨯⨯= 故选：C20．在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称21log p为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”的概率12p =， 所以22211log log log 2112p===，故“正面朝上”这一事件的自信息为1； 故选：C 二、填空题21．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜【分析】根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：因为a b >，所以a b -<- 故答案为：<22．已知向量a ＝（1，m ），b ＝（2，4）．若//a b ，则实数m ＝________． 【答案】2【分析】根据向量平行关系求得参数. 【详解】由//a b 知，124m=，解得m =2. 故答案为：223．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m ∥n ，m ⊥α，那么n ⊥α； ②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α//β； ③如果α⊥β，m ∥β，那么m ⊥α． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①②【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③【详解】解：对于①，由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，所以①正确； 对于②，由m ⊥α，m ⊥β，可得α//β，所以②正确；对于③，由α⊥β，m ∥β，可得直线m 与平面α可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m 在平面α内，所以③错误， 故答案为：①② 三、双空题24．已知函数1()f x x x=+，则f (x )是________函数（填“奇”或“偶”）；f (x )在区间（0，＋∞）上的最小值是________． 【答案】奇 2【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.【详解】由题知，1()()f x x f x x-=--=-，故()f x 是奇函数；(0,)x ∈+∞时，1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 则()f x 的最小值为2. 故答案为：奇；2. 四、解答题25．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）2π ；（2）最小值为． 【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.【详解】解：（1）f (x )的最小正周期为2π． （2）因为02x π， 所以444x πππ--．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当44x ππ-=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值当44x ππ-=，即2x π=时，f (x )所以f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为26．阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求f （－2）与f （2）的值； （2）求f (x )的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f （2）＝ ② ． （2）因为x ≤0时，有f (x )＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f (x )在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ④ ，所以f (x )在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f (x )的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”）．【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ． 【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且()11f =，所以()f x 在()0,∞+上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为3．27．如图，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，OA ＝OB ，且D ，E ，F 分别为AC ，BC ，AB 的中点． （1）求证：DE ∕∕平面AOB ； （2）求证：AB ⊥平面OCF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）D，E分别为AC，BC的中点，得DE AB∕∕，从而证明DE∕∕平面AOB；⊥，由题易（2）OA，OB，OC两两互相垂直，得：OC⊥平面AOB，从而得出OC AB ⊥从而证明AB⊥平面OCF．知AB OF【详解】解：（1）在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，所以DE∥AB．又因为DE⊄平面AOB，所以DE∥平面AOB．（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，所以AB⊥OF．因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB．所以AB⊥OC．所以AB⊥平面OCF．28．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m-个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．（1）写出n的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．n=；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39．【答案】（1）7【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227n ∴=+++=；（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021+⨯=次检测即可；若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中； 此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919+⨯=次检测；∴此时两组共需21938⨯=次检测；∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

2021-2022学年北京第五中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6参考答案：D略2. 某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还（）A．万元B．万元C．万元D．万元参考答案：B【分析】设每年偿还x万元，由题意可得a（1+γ）5=x（1+γ）4+x（1+γ）3+…+x（1+γ）+x，由等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设每年偿还x万元，由题意可得a（1+γ）5=x（1+γ）4+x（1+γ）3+…+x（1+γ）+x，由等比数列的求和公式可得a（1+r）5=x，解得x=．故选：B．【点评】本题考查等比数列的求和公式，属基础题．3. 已知是定义在R上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】通过可判断函数在上为增函数，再利用增函数的性质即可得到，，的大小关系.【详解】由于当时，都有成立，故在上为增函数，,,而，所以，故答案为B.【点睛】本题主要考查函数的性质，利用函数性质判断函数值大小，意在考查学生的转化能力，分析能力和计算能力，难度中等.4. P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则等于( )A． B． C． D．参考答案：C5. 两直线l1，l2的方程分别为x+y+b=0和xsinθ+y﹣a=0（a，b为实常数），θ为第三象限角，则两直线l1，l2的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定参考答案：A【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由题意利用三角函数表示两条直线的斜率，根据斜率乘积判断位置关系．【解答】解：∵θ是第三象限，∴1×sinθ+1+=sinθ+=sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，∴两直线相交垂直；故选：A6. 在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足PB和所成的角为45°的点P有（）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个参考答案：C【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于45°和小于45°两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于45°到大于45°的变化，从而得到结果.【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于45°时为一类，小于45°时为一类显然与所成角的正切值为，故大于与所成角的为90°，大于45°与所成角的为60°，大于45°与所成角的正切值为，小于45°当点从运动到时，角度从大于45°变化到小于45°，一定经过一个点满足45°；依此类推，当点在上运动时，都经历过角度从小于45°到大于45°的变化，故满足条件的点共有3个本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何知识的综合应用，关键是能够利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点，属于较难题.7. 已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则=（）A．B．C．0 D．参考答案：C【考点】定积分．【分析】由函数图象得，由此能求出的值．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，∴，∴==（﹣﹣x）+（）=（﹣）+（）=0． 故选：C ．8. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( )A ．B ．C ．D ．参考答案：C9. 现釆用随机模拟的方法估计该运动员射击次，至少击中次的概率:先由计算器给出 到之间取整数值的随机数，指定、表示没有击中目标,、、、、、、、表示击中目标,以个随机数为一组,代表射击次的结果,经随机模拟产生了组随机数：根据以上数据估计该射击运动员射击次至少击中次的概率为、、、、参考答案：D10. 二次曲线时，该曲线离心率的范围是（ ）A. B. C. D.参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 圆锥的轴截面是正三角形，则其侧面积是底面积的 倍．参考答案：2 12. 已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围是_________________.参考答案：略13. 将二进制数化为十进制数，结果为__________参考答案： 4514. 函数处的切线方程是.参考答案：略15. 已知f （x ）=，则f （f （0））= ．参考答案：﹣2【考点】3T ：函数的值．【分析】求出f （0）=1，从而f （f （0））=f （1），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x ）=，∴f（0）=02+1=1，f （f （0））=f （1）=﹣2×1=﹣2． 故答案为：﹣2．16. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为．参考答案：【考点】线性回归方程．【专题】应用题；压轴题；概率与统计．【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案． 【解答】解：==8.5，==80∵b=﹣20，a=﹣b ， ∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）． 当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方； …如图，6个点中有2个点在直线的下侧．则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法， 其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法， 故这点恰好在回归直线下方的概率P==． 故答案为：．【点评】本题考查的知识是等可能性事件的概率及线性回归方程，求出回归直线方程，判断各数据点与回归直线的位置关系，并求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键． 17. 已知圆，定点，点P 为圆M 上的动点，点G 在MP 上，点Q 在NP上，且满足，，则点G 分轨迹方程为__________．参考答案：解：由为中点可得，，则， 而点坐标为，则，则，且，，则轨迹方程为．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。