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怎么判断极限是否存在判断⽅法：分别考虑左右极限。
极限存在的充分必要条件是左右极限都存在，且相等。
极限不存在的条件：当左极限与右极限其中之⼀不存在或者两个都不存在；左极限与右极限都存在，但是不相等。
极限的性质1、唯⼀性：若数列的极限存在，则极限值是唯⼀的，且它的任何⼦列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果⼀个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列⼀定有界。
但是，如果⼀个数列有界，这个数列未必收敛。
例如数列：“1，-1，1，-1，……，(-1)^n+1”3、保号性。
4、保不等式性：设数列{xn}与{yn}均收敛。
若存在正数N，使得当n>N时有xn≥yn，则（若条件换为xn>yn，结论不变）。
5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn}，{yn}都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，⽽且它的极限等于{xn}的极限和{yn}的极限的和。
6、与⼦列的关系：数列{xn}与它的任⼀平凡⼦列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn}收敛的充要条件是：数列{xn}的任何⾮平凡⼦列都收敛。
求极限的6⼤⽅法两个重要极限。
等价替换。
等价替换⼜称为等价⽆穷⼩替换。
⽆穷⼩乘以有界量等于⽆穷⼩。
洛必达法则。
主要有0/0型和∞/∞两种类型。
夹逼准则。
如果yn<xn<zn，且yn和zn极限都为a，那么xn极限也为a。
同样的也适⽤于函数极限，如果h(x)<f(x)<g(x)，且h(x)和g(x)极限都是a，那么f(x)极限也为a。
说⽩了，就是”两边夹中间”。
关键在于找出两边的y和z或者h和g。
单调有界定理。
在计算题中，单调有界定理⽤的不多。
但是如果遇到，则因为⽤的少，就会很容易让⼈想不起来。
因此，最好记下，时刻提醒⾃⼰有这个定理。
所谓单调有界定理就是指，单调且有界的数列必有极限，对于函数也⼀样，单调且有界的趋近过程也必有极限。
08 第八节极限存在准则两个重要极限第八节极限存在准则两个重要极限分布图示★夹逼准则★例1 ★例4 ★例7 ★例10 ★例12 ★例15 ★例18 ?1?★lim?1???e x???n?x★单调有界准则sinx★lim?1 x?0x★例2 ★例5 ★例8 ★例11 ★例13 ★例16 ★例 3 ★例 6 ★例9 ★例14 ★例17 ★例19 ★例20★例21 ★例24 ★例22 ★例23 ★例25 ★柯西极限存在准则★连续复利★内容小结★课堂练习★习题1- 8内容要点一、准则I：如果数列xn,yn及zn满足下列条件: yn?xn?zn(n?1,2,3,?);limyn?a,limzn?a, n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a. n??注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求.二、准则II：单调有界数列必有极限. 三、两个重要极限：sinx?1?1. lim?1；2．lim?1???e. x???x?0xx?四、连续复利设初始本金为p (元), 年利率为r, 按复利付息, 若一年分m次付息, 则第n年末的本利和为r??sn?p?1???m?mnx 如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m趋于无穷大时, t年末的本利和可按如下公式计算r??s?plim?1??m???m?mt?pert 若要t年末的本利和为s, 则初始本金p?se?rt. 例题选讲夹逼准则的应用?111??. 例 1 (E01) 求lim??????222n???n?2n?n??n?1解?nn?n2?1n?12???1n?n2?nn?12 又limn??nn?n2?limn??111?n?1,limn??nn?12 ?limn??111?2n?1, 夹逼定理得?1?11??1.lim??????2n???n2?2n2?n??n?1nn1/n例 2 求lim(1?2?3). n??解1nnn(1?2?3)??2??1??3?1???????,易见对任意自然数n,有???3??3????2??1?1?1???????3, ? 3??3?nnn1n?n1故3?1n1??2??1??3?1????????3?3n. ???3??3? ??n1n?n1而lim3?1nn???3,1lim3?3nn???3,所以1nnn2?3)n??lim(1???2??1??lim3?1?????? ??3. n?????3??3???n1n?n 例 3 求lim??解设xn??111??. ????22?n??n2(n?1)(n?n)??111? ???. 显然，n2(n?1)2(n?n)2n?1111111n?1??????x????? ?2 n22222224n(2n)(2n)(2n)nnnn又limn?1n?1?0,lim?0,夹逼准则知limxn?0, n??4n2n??n2n???111???0. 即lim?????22?n???n2(n?1)(n?n)??an(a?0). 例 4 求limn??n!a?a?a?aana?a?a?ac?a?c??解?, ([a]?2)([a]?3)?nn!1?2?3?([a]?1)([a]?2)?nna?a?aanc?aanc?a,因此0??,而lim?0. 其中c??0,所以limn??n!n??n1?2?3?([a]?1)n!n n!. n??nnn!1?2?3?n1?2?n?n?nn!222解n???2,易见0?n?2.又lim2?0. n??nn?n?n?nn?n?n?nnnnnn!所以lim2?0. n??n 例5 (E02) 求lim例6 (E03) 求极限limcosx. x?0xx2?x??2????解因为0?1?cosx?2sin,故准则I?,得22?2?22lim(1?cosx)?0, 即limcosx?1 x?0x?0 例7 求limnn. n??解令nn?1?rn(rn?0),则n?(1?rn)n?1?nrn?2n(n?1)2n(n?1)2. rn???rnn?rn(n?1),因此, 0?rn?n?12!2!于limn??2?0,所以limrn?0.故limnn?lim(1?rn)?1?limrn?1.n??n??n??n??n?1 例8 求证limna?1(a?0). 解(1)n??当a?1时, n1?1,故limna?lim1?1. n??n??(2) 当a?1时,设xn?na,显然xn?1.当n?a 时,xn?na?nn.例3知limnn?1,所以n??n??limna?1(a?1). (3)当0?a?1时，总存在一个正数b(b?1),使得a?1/b,(2)知limnb?1,所以n??n??limna?limnn??111???1, blimnb1n??综合上述证明可知limna?1(a?0). n?? 例9 求极限limx??. x?0?x?1?1?1?1?解当x?0时, ?1????，因此，当x?0时, 1?x?x???1 x?x?x?x??1??1?x?0x?1,1?x?x夹逼定理可得lim当时，有???x??1 x?0??x????1??1?x?1,limx夹逼定理可得lim从而????1. x?0?x?0??x??x? 例10 (E04) 设有数列x1?1??3,x2?3?x1,?,xn?3?xn?1,?,求limx. n??n证显然xn?1?xn,?{xn}是单调递增的.下面利用数学归纳法证明{xn}有界. 因为x1?3?3,假定xk?3,则xk?1?3?xk?3?3?3. 所以{xn}是有界的.从而limxn?A存在. n??222递推关系xn?1?3?xn,得xn?1?3?xn,故limxn?1?lim(3?xn),即A?3?A, n??n??解得A?1?131?131?13,A?. (舍去). 所以limxn?n??222 例11 设a?0为常数, 数列xn下列定义:xn?1?a???x?(n?1,2,??) n?1??2?xn?1?其中x0为大于零的常数, 求limxn. n??解先证明数列xn的极限的存在性. 1?a?2222??2xnxn?1?xnxn??即x?(x?x)?x?ax?a. ?a,?n?1nn?1nn?1?2?xn?1 ??a?0,x0?0,知xn?0,因此xn?a,即xn有下界.又xn?11?a???1?1a?1,故数列xn单调递减，极限存在准则知limxn存在.??1?2?2n??xn2??xn?22xn 1?a?1?a??A?A?不妨设limxn?A,对式子xn??两边取极限得:x???. n?1?n??2A2?x??n?1??解之得A?a,即limxn?a. n?? tanx. x?0xtanxsinx1sinx1?1. 解lim?lim??lim?limx?0xx?0xx?0x?0cosxxco sx 例12 (E05) 求lim例13 求limtan3x.x?0sin5xsin3x31tan3xsin3x1133解lim?lim3x??lim????1?.5x5co3x?0sin5xx?0sinsx155xco3sxx?0sin 55x 例14 (E06) 求lim1?cosx. 2x?0x2xx?x?sin?2sinsin2?2??1?12?1.2?1lim2?1lim?解原式?limx?02x?0?x?2x?0?x?222x2?????2?? 2?2 例15 下列运算过程是否正确：limtanxtanxxtanxx?lim.?limlim?1.x?xsinxx?xxsinxx?xxx?xsinxtanxx?1,?1,本题x??,所以不能应用上述xsinx解这种运算是错误的.当x?0时,方法进行计算.正确的作法如下：令x???t,则x???t;当x??时, t?0,于是tanxtan(??t)tanttanttlim?lim?lim?lim???1. x??sinxt?0sin(??t)t?0?sintt?0t?sint 例16 计算lim解lim cosx?cos3x. 2x?0xcosx?cos3x2sin2xsinx4sin2xsinx?4. ?lim??lim22x?0x?0x?02xxxxx2例17 计算lim. x?01?xsinx?cosxx2(1?xsinx?cosx)1?xsinx?cosx)?lim解lim ?limx?0x?01?xsin1?cosxxsinxx?01?xs inx?cosxx?cosx?2xx2x2?1?14?. 1?132 x?sin2x.x?0x?sin2xsin2xsin2x1?1?2x?sin2xx?lim2 x?1?2??1. 解lim?limx?0x?sin2xx?0sin2xx?0sin2x1?23 1?1?2x2x 例18 (E07) 计算lim?1?例19 (E08) 求lim?1??n???n?n?3. 1?????1?n??n?1?解lim?1??n???n?n?3???lim??1?n?????1??n? 3??1??1???lim?1????1???e?1?e.n???n??n???n3 1/x例20 (E09) 求lim(1?2x). x?0解1lim(1?2x)xx?01????lim?(1?2x)2x?x?0??? ??2?e?2. ?k?例21 (E10) 求lim?1??. x???x?xx????kkkk?k?????k解lim?1???lim??1?????lim?1????e.x??x????x???x???x??x??????xkkx?1?特别地，当k??1时，有lim?1???e?1. x???x? ?3?x?例22 (E11) 求lim??. x???2?x??3?x?解lim??x???2?x?2xxx?2?2?????1??1??lim?? 1?? ???lim??1??x????x??x?2x?2????????? ?x?2?4??1???1?2?lim??1????1???e. x????x?2??x?2????222x2x ?x2??.例23 求lim?x???x2?1???xx???x2?11??????lim解lim??1?2??lim??1?2x???x2?1?x????x???x ?1x?1?????xxx2?1?x?12????e0?1.x1/x例24 计算lim(e?x). x?01(ex?解limx?01x)x?1?lim(ex)x?1?x?0?e?x?xx??? elim1???x?x?0?ex???e??1?xx?ex?2??e?e?e. ?? tan2x. 例25 求极限lim(tanx)x??/4解令t?tanx?1,则tanx?t?1,当x??4时,t?0,又tan2x?2(t?1)2tanx12(t?1)? ???22tt?21?tan x1?(t?1)12(t?1)??lim(1?t)tt?2t?01?2(t?1)li m[(1?t)t]t?2t?0故lim(tanx)tan2x?x???1?[lim(1?t)t]t?0limt?0 ?2(t?1)t?2?e?1. 4 连续复利例26 (E12) 小孩出生之后，父母拿出P 元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到100000元，如果投资按8%连续复利，计算初始投资应该是多少？解利用公式S?Pe，求P. 现有方程rt100000??20此得到eP?100000?? 于是，父母现在必须存储元，到孩子20岁生日时才能增长到100000元. 计算现值可以理解成从未来值返回到现值的指数衰退. 一般地，t年后金额S的现值P, 可以通过解下列关于P的方程得到S?Pekt，P? P?kt?Pe. ekt课堂练习 1. 求极限limtanx?sinx. x?0x2sinx2. 求极限lim x???1(3x?9x)x.。
