1986年全国高考数学(理科)试题

江西省新余市1986数学高考题目一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数.则实数（）A． B． C． D．32．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（）A． B． C． D．3．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，以下结论不正确的是（）A．估计这1000名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是300 B．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85C．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75D．估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是23.8755．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：，联系两个天体的星等和它们对应的亮度 .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是，猎户星座的“参宿一”星等是，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（）倍.（当较小时，）A． B． C． D．6．已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．7．使用某软件的随机数命令随机生成介于与之间的个随机数，构成个数对，其中满足的共有个，则以下值最接近理论值的是（）A． B． C． D．8．已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为（）A． B． C． D．9．已知平面向量满足，，则的最小值为（）A． B． C． D．10．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（）A． B．C． D．11．已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）A． B． C． D．12．已知函数，有下述四个结论：①函数是奇函数②函数的最小正周期是③函数在上是减函数④函数在上的最大值是1其中正确的结论一共有（）个A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，，则______.14．已知正整数，若的展开式中不含x5的项，则n的值为_______ 15．若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______16．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：1 2 3 4 52.4 2.7 4.1 6.4 7.9（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式：参考数据：，（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．18．已知数列满足.（1）证明为等差数列，并求数列的通项；（2）设，求数列的前项和.19．如图，在四棱锥，，，平面，.（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点为，为上一点，垂直于轴，且、、成等差数列，.（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点，与椭圆交于两点，且点在轴上方. 记的内切圆半径分别为，若，求直线的方程.21．已知函数．（1）若轴是曲线的一条切线，求的值；（2）若当时，，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．。

I
二 尸
兀
且与
相切 的 圆的 圆 心 轨 迹是
( B ) 双 曲线 ( D )直线 1
二
,
5
.
在空间
a
,
下 列 命题 正 确 的 是
。
、
( 月 ) 抛物 线 ( C )椭圆
13
.
( A )如 果 两 直 线
b 与直 线 l 右与平 面
a
所成 的 角 所成 的 角
相等 相等
,
那么
才b / 儿
,
( B ) 如 果两直 线
。
函数
小
19
( 晋) ( 导 )
一
— 6 正 方 体 的 全 面 积是
-
一一
-
-
-
一
-
-
-
-
-
一
,
)
g
g
则其 内切球
’
的 体 积是 _
n
-
-
11 m
、
曲
l + 3+
5
n
+
…
+
一 (
Zn 一 l )
(n +
l )
x (
+
了尸 二
门)
x 〔R ) (
4
.
.
( A ) 是 奇函 数 ( B )是 偶 函数
不是 偶函数 不是 奇函数
,
,
(
。
“万
一
“
尹户
的展 开式 中
,
$ x J
-
( C ) 既不是 奇 函数
。
又 不 是 偶函 数
a

运用米勒定理简解最大角问题湖北省阳新县高级中学邹生书1.米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒问题：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角ACB最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。

米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边相切于点时，角ACB最大。

证明：如图1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角AC／B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角AC／B小于角ACB，故角ACB最大。

图１根据切割线定理得，，即，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC。

的外圆与边相切于点等价于等价于2.米勒定理在解题中的应用最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。

若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。

否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。

2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。

图２分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。

若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题。

简解：设，由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点的坐标为。

1986年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ） A ． B ． C ． D．2．（3分）函数y=（0.2）﹣x +1的反函数是（ ） A ． y=log 5x+1 B ． y=log x 5+1 C ． y=log 5（x ﹣1） D ． y=log 5x ﹣13．（3分）极坐标方程表示（ ）A． 一条平行于x 轴的直线 B ． 一条垂直于x 轴的直线C ． 一个圆D ． 一条抛物线4．（3分）函数是（ ）A ． 周期为的奇函数B ． 周期为的偶函数C ． 周期为的奇函数D ． 周期为的偶函数5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（） A ． 1789 B ． 1799 C ． 1879 D ．18996．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A ．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D 是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A ． B．C ． D．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．12．（4分）已知的值．13．（4分）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（4分）求．15．（4分）求展开式中的常数项．16．（4分）已知的值．17．（10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ．18．（12分）当sin2x ＞0，求不等式log 0.5（x 2﹣2x ﹣15）＞log 0.5（x+13）的解集．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB 取得最大值．20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{x n}或者对任意自然数n都满足x n＜x n+1，或者对任意自然数n都满足x n＞x n+1．23．附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．1986年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A ．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：∵Z=r（cosθ+isinθ），∴Z=2（cos+isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（3分）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（）A ．y=log5x+1B．y=log x5+1C．y=log5（x﹣1）D．y=log5x﹣1考点：反函数．专题：计算题．分析：本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x﹣1）即可选择答案．解答：解：根据指数式与对数式的互化，由y=（0.2）﹣x+1解得x=log5（y﹣1）x，y互换得：y=log5（x﹣1）故选C点评：本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等．3．（3分）极坐标方程表示（ ） A ． 一条平行于x 轴的直线B ．一条垂直于x 轴的直线C ． 一个圆D ．一条抛物线考点： 点的极坐标和直角坐标的互化．专题： 选作题；转化思想．分析： 首先由极坐标与直角坐标系的转换公式，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形． 解答： 解：由极坐标与直角坐标系的转换公式， 可得到X=即是一条垂直于x 轴的直线．所以答案选择B ． 点评： 此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式的应用．计算量小题目较容易．4．（3分）函数是（ ） A ． 周期为的奇函数 B ． 周期为的偶函数C ． 周期为的奇函数D ． 周期为的偶函数考点：二倍角的正弦． 分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题． 解答： 解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A ．1789 B．1799 C．1879 D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．6．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题．分析：由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p．解答：解：依题意有p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，∴q推不出p．故选A．点评：本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A ．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F考点：圆的一般方程．分析：圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可．解答：解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E．故选A．点评：本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A ．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．解答：解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选A．点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A ．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．解答：解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D．点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项．解答：解：当x在（﹣1，0）∈[﹣1，0]内变化时：由于0＜1﹣x2＜1，每一个关系式的右端均为锐角．每一个关系式的左端均为两项，第一项均为π；考查第二项，由于arccos（﹣x）和arcsin（﹣x）均为锐角，所以π﹣arccos（﹣x）=钝角，（A）不正确．π﹣arcsin（﹣x）=钝角，（B）不正确．由于arcsinx为负锐角，所以π﹣arcsinx＞π，（D）不正确．故选C．点评：本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．考点：指数函数综合题．分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．解答：解：∵===∴∴点评：本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（4分）已知的值．考点：复数代数形式的混合运算．分析：ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．解答：解：由==0 点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（4分）求．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则．本题中，可将分子、分母都除以3n，再利用商的极限运算法则进行计算．解答：解：原式=，又．则原式=．故答案是．点评：在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以3n．即可完成极限计算．15．（4分）求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：展开式的通项T=（﹣1）r25﹣r C5r x15﹣5rr+1令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（4分）已知的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先对sinθ﹣cosθ=两边平方得到sinθcosθ=，再由sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）可得答案．解答：解：∵sinθ﹣cosθ=，∴∴sinθcosθ=sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）=×（1+）=点评：本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题．这里要注意三角函数的变形应用．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．解答：证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PB C所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由sin2x＞0得到x取值范围；再接对数不等式，又得到x取值范围，最后将得到的这2个范围取交集即得原不等式的解集．解答：解：满足sin2x＞0 的x取值范围是，（1）而由log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13），得解得：﹣4＜x＜﹣3，5＜x＜7，（5）由（1）、（5）可知所求解集为（﹣π，﹣3）∪（2π，7）．点评：本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切函数．专题：计算题；函数思想．分析：首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使∠ACB取得最大值．故可以设A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根据三角形角的关系，求出tanα的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tanα是增函数，即所得的角为最大角．解答：解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜a，又设所求点C的坐标为（x，0）．记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，．现在有tanα=tg[（α+β）﹣β]==．记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，tanα取得最大值．因为在内tanα是增函数，所以当时，∠ACB取最大值．故所求点C的坐标为（，0）．故答案为（，0）．点评：此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目．20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．考点：子集与交集、并集运算的转换．分析：集合韦恩图求出A∪B中元素的个数，再利用排列组合知识求解即可．解答：解：因为A、B各含12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B元素的个数是12+12﹣4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是C203，在上面集合中，还满足A∩C=∅的集合C的个数是C83因此，所求集合C的个数是C203﹣C83=1084点评：本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大．21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题．分析：先设直线L1的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L1与该抛物线有两个交点转化为△=（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为，可以得到直线L1、直线L2的斜率，记，则可以得到，再由，可以得到，再分析单调性即可．解答：解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0②因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0③及k≠0．④解出③与④得到k∈（﹣1，0）∪（0，1）现设点P的坐标为，则直线L1的斜率，而直线L2的斜率，记，则今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，由韦达定理及②得，由此得到，定义域是（﹣1，0）∪（0，1）显然，1﹣k2在（﹣1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，在（0，1）内为增函数，在（﹣1，0）内为减函数点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习．22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{x n}或者对任意自然数n都满足x n＜x n+1，或者对任意自然数n都满足x n＞x n+1．考点：用数学归纳法证明不等式；数列递推式．专题：证明题；压轴题；归纳法．分析：首先，，故x与x n+1，的大小关系n取决于x n与1的大小，猜想分两类：x1＜1和x1＞1，最后利用数学归纳法进行证明即可．解答：证：首先，，由于x1＞0，由数列{x n}的定义可知x n＞0，（n=1，2，…）所以，x n+1﹣x n与1﹣x n2的符号相同．①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1﹣x n2＞0（n∈N）显然，n=1时，1﹣x12＞0设n=k时1﹣x k2＞0，那么当n=k+1时，因此，对一切自然数n都有1﹣x n2＞0，从而对一切自然数n都有x n＜x n+1②若x1＞1，当n=1时，1﹣x12＜0；设n=k时1﹣x k2＜0，那么当n=k+1时=，因此，对一切自然数n都有1﹣x n2＜0，从而对一切自然数n都有x n＞x n+1点评：本题主要考查了用数学归纳法证明不等式、不等式的证明，属于中档题．23．附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据（uv）′=u′v+uv′，（arctgx）′=，根据复合函数求导数的法则求出即可；（2）根据（）′=求出y′，把x等于﹣1代入y′的值即为切线的斜率，利用切点的斜率写出切线方程即可．解答：解：（1）y′=（xarctgx2）′=x′arctgx2+x•（arctgx2）′=arctgx2+x•2x•=arctgx2+；（2），而点（﹣1，0）在曲线上，y'|x=﹣1=1，所以所求的切线方程为y=x+1点评：此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用求导法则求函数的导数，是一道中档题．。