角度制的计算

7.1.2 弧度制及其与角度制的换算新知初探1．度量角的两种制度(1)角度制：①定义：用作单位来度量角的制度．②1度的角：把圆周等分，则其中1份所对的圆心角是1度．(2)弧度制：①定义：以为单位来度量角的制度．②1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角．③弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝lr.点睛用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写，如2 rad的单位“rad”可省略不写，只写2.2．角度与弧度的互化(1)180°＝rad.(2)常用的角度数与弧度数的互化：运用．小试身手1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度＝1°.()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(3)用弧度制度量角，与圆的半径长短有关．()2．若α＝k π＋π3，k ∈Z ，则α所在的象限是( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长是( )A.4π3B.πC.2π3D.π34．(1)2π3＝________；(2)－210°＝________.课堂讲练题型一 角度与弧度的换算典例 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.类题通法角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．活学活用将下列角度与弧度进行互化： (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.题型二 用弧度制表示角的集合 典例 已知角α＝2 005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．类题通法用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．活学活用1．将－1 125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________．2．用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．题型三扇形的弧长公式及面积公式题点一：利用公式求弧长和面积1．已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．题点二：利用公式求半径和弧度数2．扇形OAB 的面积是4 cm 2，它的周长是8 cm ，求扇形的半径和圆心角．题点三：利用公式求扇形面积的最值3．已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 类题通法弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 提醒 运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．参考答案新知初探 1．(1)①度 ②360(2)①弧度 ②半径长 2．(1)π 小试身手1．【答案】(1)× (2)√ (3)× 2．【答案】C 3．【答案】C4．【答案】(1)120° (2)－7π6课堂讲练题型一 角度与弧度的换算 典例 解：(1)72°＝72×π180＝2π5.(2)－300°＝－300×π180＝－5π3.(3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°. (4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°. 活学活用解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°.(3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.题型二 用弧度制表示角的集合 典例 解：(1)2 005°＝2 005×π180 ＝401π36＝⎝⎛⎭⎫5×2π＋41π36，又π<41π36<3π2， ∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角为2k π＋41π36(k ∈Z )， 由－5π≤2k π＋41π36＜0，k ∈Z 知k ＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.活学活用1．【答案】－8π＋7π4【解析】因为－1 125°＝－4×360°＋315°， 315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4.2．解：如题图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 题型三 扇形的弧长公式及面积公式 题点一：利用公式求弧长和面积1．解：已知扇形的圆心角α＝60°＝π3，半径r ＝10 cm ，则弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3(cm)，于是面积S ＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．题点二：利用公式求半径和弧度数2．解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm ，半径为r cm ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8， ①12l ·r ＝4， ②由①②，得r ＝2，∴l ＝8－2r ＝4，θ＝lr ＝2.故所求扇形的半径为2、圆心角为2 rad. 题点三：利用公式求扇形面积的最值3．解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝⎛⎭⎫15π＋1<r <15， 所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.。

弧度制与角度制对应的余弦正弦值
弧度制与角度制都是用来测量角度大小的标准，它们之间有一个
关系，1弧度=57.295779513角度。

弧度制中余弦值和正弦值之间的关系可以通过三角函数来表示：
cos(θ)=sin(θ+π/2)
因此，弧度制中余弦和正弦的值的确定都是以θ的度数为单位的。

要求出任意θ的余弦和正弦值，可以使用三角函数查表或者画出三角
图形法确定。

具体可以看三角函数表。

除了上面这种以弧度为单位求出余弦正弦值的方法以外，也可以
以角度制作为基准求出余弦正弦值。

在角度制中，余弦和正弦值可以
根据以下公式计算得到：
cos(α)=sin(α+90°)
其中α为任意角度（0°≤α≤360°），余弦和正弦值的取值范
围一般计算为[-1,1]，不同的角度对应的余弦值和正弦值也有所不同，可以查询角度-余弦-正弦表获取确切的值。

角度，弧度，角速度，线速度一张图讲清它们关系：1.ω：角频率（角速度），单位：rad/s(弧度/秒)一个以弧度为单位的圆（一个圆周为2π,即：360度=2π),在单位时间内所走的弧度即为角速度。

公式为：ω=Ч/t(Ч为所走过弧度，t为时间）.ω的单位为：弧度每秒。

ω=2π/T=2πf.2.弧度：即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。

见上图AB占圆周的周长那一小段。

当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1。

3.角度：用度(°)、分(′)、秒(″)来测量角的大小的制度叫做角度制。

角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称。

角度制中，1°=60′，1′=60″，1′=(1/60)°，1″=(1/60)′。

角度制就是运用60进制的例子。

4.角度和弧度数学上是用弧度而非角度，因为360的容易整除对数学不重要，而数学使用弧度更方便。

角度和弧度关系是：2π弧度=360°。

从而1°≈0.0174533弧度，1弧度≈57.29578°。

1) 角度转换为弧度公式：弧度=角度×(π ÷180 )2)弧度转换为角度公式：角度=弧度×（180÷π）5.角度Θ和角速度ωΘ=ω*t弧长计算公式编辑弧长公式:Θ是圆心角度数，r是半径，l（AB圆周部分）是圆心角弧长。

L=【Θ（圆心角度数）*2πr(一个圆的总弧长)】*360度（一个圆总角度）因为360度=2π，所以有：L=α（弧度）x r(半径) （弧度制）6.线速度与角速度关系。

圆心角角度制和弧度制
心角角度制和弧度制是两种常用的角度测量单位，用于度量和表示圆心角的大小。

1. 圆心角角度制（Degree）：
圆心角角度制使用度（°）作为单位来度量圆心角的大小。

一个完整的圆共有360°，其中每一度（°）等于圆的周长中的1/360。

因此，圆心角的大小可以通过它所占圆周的度数来表示。

例如，如果一个圆心角所占圆周的度数为60°，则这个圆心角的大小相当于圆周的1/6。

2. 弧度制（Radian）：
弧度制使用弧度（rad）作为单位来度量圆心角的大小。

弧度制定义圆心角为圆心处对应圆周上弧长等于半径的弧度数。

一个完整的圆对应的弧度是2π（约6.28），这对应于圆的周长和半径之间的关系πr。

因此，弧度制下的角度是通过角所占圆周长度的比例来表示。

例如，如果一个圆心角所占圆周长度为π/3 弧度，则表示这个圆心角是圆周的1/3。

在数学和物理学中，弧度制常用于计算圆周的弧长、扇形面积等几何运算，因为弧度制与几何关系更直接。

综上所述，圆心角角度制和弧度制是度量和表示圆心角大小的两种不同单位制。

了解和使用这两种单位有助于在不同的数学和科学领域中准确和方便地描述圆心角的大小。

弧度制与角度制的相互转换弧度制和角度制是在数学和物理学中常用的两种角度单位。

弧度制是以弧长的单位来度量角度，而角度制则是以度来度量角度。

在实际应用中，我们经常需要进行弧度制和角度制的相互转换。

本文将介绍如何进行弧度制与角度制的相互转换，并举例说明其应用。

首先，我们来介绍弧度制转换为角度制的方法。

假设要将一个角度的弧度制表示转换为角度制，我们可以使用以下公式：角度度数 = 弧度制* 180 / π其中，π是圆周率，近似取值为3.14159。

根据这个公式，我们可以将任意一个角度的弧度制表示转换为角度制表示。

例如，如果一个角度的弧度制表示为1.5弧度，那么它的角度制表示为：角度度数= 1.5 * 180 / π ≈ 85.94°这样，我们就成功地将弧度制表示转换为角度制表示。

接下来，我们来介绍角度制转换为弧度制的方法。

假设要将一个角度的角度制表示转换为弧度制，我们可以使用以下公式：弧度制 = 角度度数* π / 180根据这个公式，我们可以将任意一个角度的角度制表示转换为弧度制表示。

例如，如果一个角度的角度制表示为60°，那么它的弧度制表示为：弧度制= 60 * π / 180 ≈ 1.047这样，我们就成功地将角度制表示转换为弧度制表示。

弧度制与角度制的相互转换在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，角度的弧度制表示常用于描述摆动的角度。

当我们需要将一个摆动角度的弧度制表示转换为角度制表示时，可以使用弧度制转换为角度制的方法。

同样地，当我们需要将一个角度的角度制表示转换为弧度制表示时，可以使用角度制转换为弧度制的方法。

此外，弧度制和角度制的相互转换也在三角函数中有着重要的应用。

在三角函数中，角度的弧度制表示常用于计算三角函数的值。

当我们需要计算一个角度的正弦、余弦或正切值时，常常需要将角度的角度制表示转换为弧度制表示，然后再使用三角函数计算。

同样地，当我们已知一个角度的弧度制表示，并需要计算其正弦、余弦或正切值时，常常需要将其转换为角度制表示，以便更加直观地理解角度的大小。

弧度制与角度值换算在数学中，角度是描述两条射线之间旋转的度量单位。

弧度制则是另一种度量角度的方法，它是通过角所对应的圆弧长度来表示的。

在实际应用中，我们常常需要在弧度制和角度值之间进行转换，以满足不同问题的需求。

一、弧度制和角度值的定义1. 弧度制弧度制是通过弧长来度量角度的一种方式。

弧度制中的角度是指一个半径为1的圆上所对应的弧长。

标准圆的圆心角为1弧度时，其所对应的圆弧长正好为圆的半径。

2. 角度值角度值是通过将一个圆分为360个等分单位来度量角度的方法。

每个等分单位被称为1度。

一个圆的角度为360度。

二、弧度制与角度值的换算公式弧度制和角度值之间可以使用一系列的换算公式进行转换。

1. 弧度制到角度值弧度制转换成角度值的公式为：角度值 = 弧度值× (180/π)。

其中，π是一个数学常数，表示圆周长与其直径之间的比值，约等于3.14159。

2. 角度值到弧度制角度值转换成弧度制的公式为：弧度值 = 角度值× (π/180)。

三、实例探究为了更好地理解弧度制和角度值的换算，我们来看一些实例。

假设有一个角的弧度值为π/4，我们想要将其转换为角度值。

根据弧度制到角度值的换算公式，我们可以计算出：角度值 = 弧度值× (180/π)= (π/4) × (180/π)= 45度因此，这个角的弧度值为π/4，角度值为45度。

同样的道理，我们可以将一个角度值转换为弧度制。

以30度为例，根据角度值到弧度制的换算公式，我们可以计算出：弧度值 = 角度值× (π/180)= 30 × (π/180)≈ 0.523弧度因此，30度可以转换为约为0.523弧度。

四、应用场景在实际应用中，弧度制和角度值的换算非常重要，特别是在涉及到三角函数的计算和分析中。

例如，在解决特定的数学问题时，我们需要用到三角函数，而三角函数的参数通常是以弧度制表示的。

因此，如果问题给出的是角度值，我们就需要将其转换为弧度制，才能正确使用三角函数。

弧度制和角度制的换算方法在数学中，角度的表示方法有两种，分别是弧度制和角度制。

弧度制是一种用弧长比来表示角的大小的方法，而角度制则是将一个圆分为360个等份，以度来表示角的大小。

本文将介绍弧度制和角度制之间的换算方法。

一、弧度制与角度制的基本概念在介绍具体的换算方法之前，我们先来了解一下弧度制和角度制的基本概念。

1. 弧度制（Radian）弧度制是一种用弧长比来表示角的大小的方法。

它是以单位圆的半径为1的圆周上所对应的弧长与半径的比值定义的。

一个完整的圆周对应的弧长是2π，所以一个圆周的角度大小用2π弧度表示。

一个直角所对应的角度是π/2弧度。

2. 角度制（Degree）角度制是将一个圆分为360个等份，用度来表示角的大小。

一个完整的圆周对应360度，一个直角所对应的角度是90度。

二、弧度制和角度制的换算方法下面是弧度制和角度制之间的换算方法。

1. 弧度制转角度制弧度制转角度制的换算方法是将弧度值乘以180再除以π。

用公式表示为：角度制 = 弧度制× 180 / π2. 角度制转弧度制角度制转弧度制的换算方法是将角度值乘以π再除以180。

用公式表示为：弧度制 = 角度制× π / 180三、实例演算为了更好地理解弧度制和角度制之间的换算方法，下面通过几个实例来进行演算。

例1：将2π弧度转换为角度制。

根据弧度制转角度制的换算公式，可得：角度制= 2π × 180 / π = 360度所以，2π弧度等于360度。

例2：将180度转换为弧度制。

根据角度制转弧度制的换算公式，可得：弧度制= 180 × π / 180 = π弧度所以，180度等于π弧度。

例3：将30度转换为弧度制。

根据角度制转弧度制的换算公式，可得：弧度制= 30 × π / 180 = π/6弧度所以，30度等于π/6弧度。

通过以上实例演算，我们可以清楚地看到弧度制和角度制之间的转换关系。

弧度制和角度制的转换及应用一、弧度制和角度制的定义1.角度制：角度制是一种度量角度大小的制度，以一个圆的周长作为基准，将圆周分为360等分，每一等分称为1度，符号为°。

2.弧度制：弧度制是以圆的半径作为基准，将圆周分为2π等分，每一等分称为1弧度，符号为rad。

二、弧度制和角度制的转换公式1.从角度制转换为弧度制：公式：弧度 = 角度× π / 1802.从弧度制转换为角度制：公式：角度 = 弧度× 180 / π三、弧度制和角度制的应用1.在三角函数中：–三角函数的定义和计算通常使用弧度制。

–在解三角形问题时，可以利用弧度制和角度制的转换，将角度制的角度转换为弧度制，以便于运用三角函数进行计算。

2.在圆周运动中：–描述物体在圆周运动时的角度变化时，通常使用角度制。

–计算物体在圆周运动中的速度、加速度等物理量时，需要将角度制转换为弧度制，以便于使用相应的物理公式。

3.在数学分析和高等数学中：–许多公式和定理涉及角度和弧度的转换。

–在研究周期性函数和角动量等问题时，需要熟练掌握弧度制和角度制的转换。

4.在计算机科学中：–计算机图形学中，坐标系统的转换、旋转等操作涉及弧度制和角度制的转换。

–计算机算法中的循环、迭代等操作，有时也需要用到弧度制和角度制的转换。

弧度制和角度制是数学和物理中常用的两种度量角度大小的制度。

掌握弧度制和角度制的转换公式，以及它们在各个领域的应用，对于中学生来说，是学习数学和物理的基础知识。

在日常学习中，要注意理解和运用这两种制度，提高自己的数学和物理素养。

习题及方法：1.习题：将30°转换为弧度制。

方法：使用转换公式，弧度 = 角度× π / 180答案：30° × π / 180 = π / 62.习题：将π弧度转换为角度制。

方法：使用转换公式，角度 = 弧度× 180 / π答案：π × 180 / π = 180°3.习题：已知一个圆的半径为5cm，求该圆的周长（以弧度制表示）。