二次根式讲解大全

【知识回顾】1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式 1-其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、（2009）已知数a，b－a，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤ba（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号，得 ( )A. ；B. －；C. －；D. 例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中51+51-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -3、在实数围分解因式例. 在实数围分解因式。

（1）； （2） 4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <a b <例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

例2、比较323（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例331-21-（4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、15141413-。

（5）、倒数法例576-65的大小。

（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较73+与873-的大小。

（7）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< 例7、比较2131++与23的大小。

（8）、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a a b b>⇔>； ②1a a b b<⇔<例8、比较53-与23+的大小。

5、规律性问题例1. 观察下列各式及其验证过程： ， 验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例2. 已知，则a_________发展：已知，则a______。

例3、化简下列各式：（1423+ （2526-例4、已知a>b>0，ab a ba b+的值为（ ）A ．22 B ．2 C 2 D ．12例5、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：==；乙：=。

其中，（）。

A. 甲、乙都正确B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确【基础训练】1．化简：（1=__ __；（2=___ __；（3=___ _；（40,0)x y ≥≥=___ _； （5）_______420=-。

2.(08，)=_________。

3.（08，的结果是Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：（1）（08，的结果是 ； （2的结果是 ；（3）(08，)825-= ； （4）（08，黄冈）=_____ _； （5）（08，）3＋（5－3）=_________； （6） ； （7）(08，)＝________；（8） ． 5．（08，）计算28-的结果是A 、6B 、6C 、2D 、26．（08，的倒数是 。

7. (08，聊城)下列计算正确的是 A ． B ． C ． D ． 8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=- C 、39=- D 、3294= 9．（08，）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________；10.11．（08，x 的取值围是 ．12.(08，),则x 的取值围是 A.x >-5 B.x <-5 C.x ≠-5 D.x ≥-5 13. (08，)函数中，自变量的取值围是 ． 14.下列二次根式中，x 的取值围是x ≥2的是A 、2－xB 、x+2C 、x －2D 、1x －215.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是16．（08，）下列根式中不是最简二次根式的是A B CD17．（08，）下列各式中与是同类二次根式的是A ．2B ．C ．D ． 18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是A ．2112与B ．2718与C ．313与 D ．5445与 19.(08，)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是A 、5B 、6C 、7D 、8 20．（08，）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a - 21.（08，）若230a b -+-=，则2a b -= ． 22．（08，）如图，在数轴上表示实数15的点可能是A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N23.计算：（1） （2）（3）（08，）． （4）（08，庆阳）．（5）27124148÷⎪⎭⎫⎝⎛+24.先将22x x --÷322x x x-化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。

25.( 08，)若，则的取值围是A ．B ．C ．D ．26.(08，)如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是A ．B ．C ．D ．过关测试 一、选择题：1. 若在实数围有意义，则m 的取值围是（ ）。

A. m≥2B. m>2C. m≤2D. m<22. 若=3，则x 的取值围是（ ）。

A. x=0 B. －1≤x≤2 C. x≥2 D. x≤－13. 二次根式、、的大小关系是（ ）。

A. <<B. <<C. <<D. <<4. 下列式子中，正确的是（ ）。

A. （－3）（+3）=2B. 5÷×=5C. 2×（=2－1D. （2－）（2+）2=－2－ 5. 使等式成立的实数a 的取值围是（ ）。

A. a≠3 B. a≥，且a≠3 C. a>3 D. a≥6. 下列各组二次根式（a>0）中，属于同类二次根式的是（ ）。

A. C.7. 当0<x<2时，化简2的结果是（ ）。

A.8．下列运算正确的是（ ）A ．3273-=B ．0(π 3.14)1-=C ．1122-⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．93=±9．估计1832⨯+的运算结果应在（ ）A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间 二、填空题：1. 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示，－│b－a│的化简结果是______。

2 若x≠0，y≠0，则成立的条件是__________。

3. 已知m 是小于10的正整数，且可化为同类二次根式，m 可取的值有_______。

4. 如果xy=，x －y=5－1，那么（x+1）（x －1）的值为________。

5. 已知x=12，x=________。

6. 若a<－2，的化简结果是________。

三、解答题1.已知2+1，求（22121x x x x x x +---+）÷1x 的值．2．对于题目“化简求值：1a 2212a a +-，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a 2212a a +-=1a 21()a a -1a +1a －a=2495a a -= 乙的解答是：1a 2212a a +-=1a 21()a a-1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？3. 已知a 、b 、c 均为实数，且=c 。

化简。