函数模型应用实例教学设计朱红光

《函数模型的应用实例》一、教学内容分析：本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法．例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点．整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力．二、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或建立的函数模型．3．会运用函数模型解决实际问题．过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度．3．提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生,勇于探索的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的相关知识，有相应的数学基础知识储备．2．在前面的学习中，初步体会了利用给定函数模型解决实际问题的经历，为本节课积累解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转化较弱；应用意识和应用能力不强；抽象概括和局部处理能力薄弱．四、教学重点、难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式．五、教学策略分析：基于新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者的教学理念和最近发展区理论，结合本节课的教学目标，采用如下教学方法：1．问题教学法．在例1的教学中，提出如何能更为直观的发现函数模型，引导学生思考，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，从而让学生有收获，有成就感．在例2的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的剖析，直达问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，并使学生从中体会学习的兴趣．这样可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力．2．分组讨论法．在例2的教学中，遇到难以选择模型时，通过小组讨论，拓展思维，加强合作，解决问题；在获得函数模型后和课堂总结中，组织小组讨论，相互交流成果，扩大成果影响力．这样不仅能够培养学生对数学知识的探索精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培养其学习的主动性．3．多媒体辅助教学法：在教学过程中，采用多媒体教学工具，通过动态演示有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。

3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出问题，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例1．一次函数模型的应用例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.例1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 =115(h)，所以115t≤≤.因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是11130120(0).5S t t=+≤≤2h内火车行驶的路程11131206S=+⨯=233(km).通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.解题方法：1．读题，找关键点；2．抽象成数学模型；3．求出数学模型的解；4．做答.学生总结，教师完善.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题用例2 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？①题目求什么，应怎样设未知量；②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；③学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例2 解答：方法一依题意可列表如下：x y0 300×20 = 60001 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 63802 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 67203 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 70204 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 72805 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 75006 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 76807 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 78208 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =79209 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 798010 (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 800011 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 798012 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 792013 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820……由上表容易得到，当x = 10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.方法二设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y = (20 + 2x) (300 – 10x )= –20x2 + 600x– 200x + 6000= –20(x2– 20x + 100 – 100) + 6000= –20(x– 10)2 + 8000.首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.由此得到，当x = 10时，y max = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.3．分将函数模型的应用例 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,4 5.t tt ts t tt tt t+≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩这个函数的图象如图所示.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题⇒简化假设⇒数学建模⇒解答模型⇒检验模型⇒评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程S km与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为x kg，则食品的价格y元与重量x kg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为x cm，则另一组对边的长为3002x-m，从而矩形菜地的面积为：学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km ，但事实上的收费标准如下：最开始4km 内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km 后到15km 之间，每公里收费1.20元，15km 后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f 与打车路程x 之间的函数关系.21(300)21(150)11250(0300).2S x x x x =-=--+<<当x = 150时，S max = 11250. 即当矩形的长为150m ，宽为75m 时，菜地的面积最大. 4．解：所求函数的关系式为 100410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15x y x x x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答. 学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程. 布置作业 习题2—3B 第1、3题： 教材第71页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.例1 某游艺场每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y 元与售出的门票数x 张之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)x x y x x ≤≤⎧=⎨+≤≤⎩（1）当0≤x ≤400时，由3.75x =750，得x =200.（2）当400≤x ≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = – 200 (舍去). 综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张. 答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元. 例2投资A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润 (万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0) ①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x-=⨯-≈3.2时，2max 4(0.15) 2.60.954(0.15)y⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x2变换到y = a (x –m)2 + b后发生的变化.。

函数模型的应用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例的第一课时。

通过对例3，例4的教学让学生学习体会利用已知的函数模型解决问题和建立确定的函数模型解决实际问题，进而掌握建立数学模型解决实际问题的一般步骤。

二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，挖掘隐含条件，建立函数模型；2.体会分段函数模型的实际应用，规范分段函数的标准形式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与实际情况是否吻合的方法及应用数学模型进行预测。

5.会利用建立的函数模型解决实际问题，掌握求解函数应用题的一般步骤；6.培养学生阅读理解、分析问题、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.通过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养学生读图的能力；2.通过实例使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的一般过程；3.渗透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.通过切身感受数学建模的过程，让学生体验数学在实际生活中的应用，体会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，激发学习数学的兴趣与动力，增强学好数学的意识。

2.培养学生的应用意识、创新意识和勇于探索、勤于思考的精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度。

三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决实际问题；例4 是利用已知的确定的函数模型解决实际问题，并验证求解出的数学模型与实际情况的吻合程度及用数学模型进行预测。

分别在汽车和人口问题这两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决实际问题.2.用待定系数法求解函数模型并应用.3.将实际问题转化为数学问题的过程。

3.2.2函数模型的应用实例(二)一、教学目标知识与能力:能够利用给定的函数模型解决一些简单实际问题.会分析图、表等已知条件中的数据,确定出最佳模型．能在函数模型不确定时自建函数模型解决实际问题．过程与方法:经历实际应用问题的求解过程,体验指数函数模型的特征,学会运用函数知识解决实际问题.在建模与解模、用模的过程中体会函数的思想.情感态度价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.二、重点与难点教学重点:指数函数模型的建立、求解与应用；教学难点:将实际问题抽象成数学模型.自建一些简单的函数模型去解决问题,并对模型进行分析评价．三、教学方法：五步两段一体循环穿插教学法四、教学手段：多媒体课件．五、教学过程（一）、知识回顾：1.解决实际应用题的一般的步骤是什么？2.上节课解决了哪两类函数模型的问题？【设置意图】:以旧引新激发兴趣，再现应用技能.（二）、创设情境引入课题问题(1):既没有给出函数模型,又无法建立确定性的函数模型的情况,我们又如何来解决实际问题呢？（三）例题讲解：类型1:没有给出函数模型的情况例1. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？思考探究：问题(1):观察表中数据的变化规律,假设每桶水在进价的基础上增加x元,则日均销售量为？问题(2):假设日均销售利润为y元,那么y与x的关系是什么？问题(3):上述函数的定义域是什么？问题(4):经营部怎样定价才能获得最大利润？问题(5):根据上题你能总结一下用函数解决实际应用问题时的一般思路吗？(学生分小组进行合作探究,最后叫学生展示讨论结果,教师利用课件展示动画进行引导、点拨,得出最终结论.)【设置意图】:让学生亲身经历建模的过程,采用问题式层层引导,培养学生的建模思想,体会函数模型在解决实际问题中的好处.类型2:无法建立确定性函数模型的情况(选模、试模、分析模型的优劣)例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表(见课本)(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。

高一数学3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）教案【课型】新授课【教学目标】能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.【教学重点】利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.【教学难点】将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.【学法与教学用具】1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.2. 教学用具：多媒体【教学设想】（一）创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）（二）实例尝试，探求新知例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度关于时间的函数解析式；2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672073.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索以下问题：1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？2）如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型.引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）（三）. 归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正.2.提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？二、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：①探究两个实例：A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？想.五、作业布置P59 习题2.1 A组第5、7、8题。

《3.2.2函数模型应用实例》教学设计高中数学人教版必修1第三章第二节深圳外国语学校朱红光【教学内容分析】“加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是高中数学课程标准数学教育教学的基本理念之一.为了践行该教学理念，新课标实验教材（人教A版数学必修1）在安排学生系统学习了指数函数、对数函数、幂函数这些基本初等函数之后，特别将《函数的应用》独立成一章的内容，通过一些实例让学生感受函数的广泛应用，体会数学学习的价值所在.《函数模型及其应用》是这一章的核心内容，是数学与生活相互衔接的枢纽．而“函数模型的应用实例”是上一节内容“几类不同增长的函数模型”的自然延续，让学生对数学知识的理解由抽象晦涩的式子走向直观鲜活的应用．本部分内容设置了四个例题，分别是行程问题、增长率问题、销售问题和体重问题，这几个例题在知识能力要求上又步步递进，越来越贴近生活实际：利用给定的函数模型解决问题（例4）；建立确定性的函数模型解决问题（例3、例5）；建立拟合函数模型解决实际问题（例6）．本部分内容课标要求两个课时完成，而本节课选取的是第二课时．通过教材中例题6的学习，要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择适当的函数模型来解决实际问题．该例题既能体现函数的作用，也让学生经历了把数学知识应用于生活实际的建模过程，既强化了学生应用数学的意识，也提高了学生应用数学的能力，增强了学生的数学素养．同时，该节课的内容为以后学生学习必修3的《线性相关关系》和选修部分的《回归分析》做了很好的铺垫．【教学目标设置】根据课程标准的要求并结合本节课的内容和高一学生已具备的知识、能力和心理特点，确定本节课的教学目标为：（1）能根据图表数据进行简单分析，能选择适当的函数模型解决实际问题；（2）通过将实际问题转化为数学问题的过程，掌握数学建模的基本步骤．（3）通过解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到数学知识对实际问题的指导作用，体会数学的应用价值．【学生学情分析】高一学生通过数学必修１前两章的学习，已经理解了函数的概念，掌握了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的图象和性质，对函数知识有了初步的应用能力．通过第三章的学习，学生了解了不同类型的函数的增长差异，这为本节课的学习奠定了知识基础．但是学生的思维尚处于由直观感知到抽象分析的过渡阶段，数形结合和应用数学的意识不强．同时，运用数学知识解决实际问题，需要有一定的阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换等数学能力，而高一的学生数学能力较弱，往往不能深刻理解题意，不善于将实际问题抽象为一个数学问题来解决．因此，在教学中要引导学生进行数据分析，建立适当的模型并对模型进行简单的分析．【教学策略分析】根据本节课的内容和学生的情况，确定本节课的重点和难点：教学重点：（1）分析表格数据，建立适当的函数模型；（2）利用函数模型解决实际问题；教学难点：（1）根据表格数据如何选择适当的函数模型；（2）对不同的模型的优劣进行简单分析．教学准备：教材中的例题6旨在结合生活中的实际问题，体现数学的应用价值，因此数据多且复杂。

课题：§3.2.2函数模型的应用实例〔一〕教材分析本节课选自?普通高中课程标准实验教科书数学1必修本〔A版〕?的第三章的3.2.2函数模型的应用实例函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活理论互相衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用本质是提醒了客观世界中量的互相依存有互有制约的关系，因此函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。

本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进展简单的分析评价学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了几类不同增长的函数模型，学会了任何选择适当的函数模型分析和解决实际问题，对函数模型增长变化有了较深入的认识。

这为建立函数模型解决实际问题提供了支持。

但学生对于从实际应用问题获取信息转化为数学问题的才能较薄弱，给建立函数模型带来了一定的难度。

因此在教学中应该给学生多阅读，多考虑，由易到难逐层引导提问，理解问题的本质从而得出结论。

教学目的：知识与技能可以利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进展简单的分析评价．情感、态度、价值观体会数学在实际问题中的应用价值．教学重点、难点：重点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．难点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进展简单的分析评价．设计思想一、创设情境现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进展分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进展适当的分析和评价．设计意图老师介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法引出问题．二、组织探究例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图．1）求图中阴影局部的面积，关说明所求面积的实际含义；2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2021km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．012345让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立考虑后，讨论，老师可以作以下引导 首先引导学生写出速度v 关于时间t 的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y 关于时间t 的函数关系式，并作图象再次探究：1〕将图中的阴影局部隐去，得到的图象什么意义？2〕图中每一个矩形的面积的意义是什么？3〕汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？ 设计意图学会将实际问题转化为数学问题．学会用函数模型〔分段函数〕刻画实际问题．培养学生的读图才能，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供根据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t 表示经过的时间，0y 表示t =0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：〔单位：万人〕年份1950 1951 1952 1953 1954 人数 55196 56300 57482 58796 60266年份 1955 1956 1957 1958 1959 人数 61456 62828 64563 65994 672071〕假如以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率〔准确到0.0001〕，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的详细人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2〕假如按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将到达13亿？认真阅读题目，老师指出本例的题型是利用给定的数学模型〔指数函数模型rt e y y 0 〕解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定详细函数模型的关键是确定两个参数0y 与r ．学生独立考虑后，老师作以下提问1） 本例中所涉及的数量有哪些？2） 描绘所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3） 根据表中数据如何确定函数模型？v 〔km/h 〕t 〔h 〕4） 对于所确定的函数模型怎样进展检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？ ５〕如何根据所确定函数模型详细预测我国某个时期的人口数，本质是何种计算方法？ 学生根据老师引导，完成数学模型确实定，借助计算器，利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进展适当的预测老师在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比拟来确定函数模型与人口数据的吻合程度．设计意图通过本例让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．培养学生得阅读才能，分析才能三、探究研究引导学生分析例题，进展总结归纳利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1〕根据题意选用恰当的函数模型来描绘所涉及的数量之间的关系；2〕利用待定系数法，确定详细函数模型；3〕对所确定的函数模型进展适当的评价；4〕根据实际问题对模型进展适当的修正．设计意图浸透数学思想方法，培养学生读图、分析数据、概括、总结等诸多方面的才能。

朱老师数学函数教案教案标题：探索数学函数教案目标：1. 理解数学函数的基本概念和特性；2. 掌握数学函数的表示方法和解题技巧；3. 培养学生对数学函数的兴趣和应用能力。

教学内容：1. 函数的定义及基本概念：自变量、因变量、函数值、定义域、值域等；2. 函数的表示方法：函数图像、函数表达式、函数关系式等；3. 常见函数类型：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等；4. 函数的性质和特点：奇偶性、单调性、周期性等；5. 函数的运算：函数的加减乘除、复合函数等；6. 函数的应用：实际问题中的函数模型、函数图像的解读等。

教学步骤：第一步：导入新知1. 引入函数的概念，通过实际生活中的例子，让学生理解函数的基本概念和作用；2. 引导学生思考函数与数学的关系，为后续学习打下基础。

第二步：学习函数的表示方法和解题技巧1. 介绍函数的表示方法，包括函数图像、函数表达式、函数关系式等；2. 通过示例演示如何根据函数图像或函数表达式解决实际问题；3. 引导学生进行练习，巩固函数表示方法和解题技巧。

第三步：学习常见函数类型和性质1. 介绍常见函数类型的定义、特点和图像特征；2. 通过实例分析，让学生理解不同函数类型的特点和应用场景；3. 引导学生进行练习，巩固对常见函数类型的理解和应用。

第四步：学习函数的运算和应用1. 介绍函数的加减乘除运算和复合函数的概念；2. 通过示例演示如何进行函数的运算和复合函数的求解；3. 引导学生进行练习，提高对函数运算和复合函数的掌握能力。

第五步：综合应用与拓展1. 引导学生通过实际问题，将函数应用于实际生活中的情境；2. 鼓励学生进行数学建模，将实际问题转化为函数模型；3. 提供拓展题目，培养学生对函数的深入理解和应用能力。

教学评估：1. 课堂练习：针对每个教学环节，设计相应的练习题，检查学生对知识的掌握情况；2. 个人作业：布置个人作业，让学生独立完成，检验对函数的理解和应用能力；3. 小组合作：组织学生进行小组合作，解决复杂问题，培养团队合作和解决问题的能力。

《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。

2. 学会构建函数模型解决实际问题。

3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。

二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。

2. 教学难点：函数模型的评估与优化。

四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。

2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。

3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。

五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。

2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。

4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。

第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。

2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。

3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。

4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。

后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。

教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。

注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。

六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。

2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。

函数模型的应用实例【教学目标】1．知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。

2．过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。

3．情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。

【教学重难点】1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。

2．教学难点：将实际问题转变为数学模型。

【教学过程】一、问题情境：问题1：函数的定义是什么？函数的三要素是什么？函数关系有几种表现形式？问题2：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7．3%，那么在2001年至2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？二、生活动与数学运用：例1.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。

分别写出总成本C （万元）、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式。

例2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T-T a =（T 0-T a ）·（21）h t，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期。

现有一杯用880C热水冲的速溶咖啡，放在24C0的房间中，如果咖啡降温到400C需要20min，那么降温到350C时，需要多长时间？例3.在经济学中，函数f（x）的边际成本函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+（1）-f（x）。

某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数为R（x）=3000x-20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差。