高考数学专题讲解：三角函数的对称性

三角函数的奇偶性与对称性三角函数是数学中重要的概念之一，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

在研究三角函数的性质时，我们会发现它们具有奇偶性与对称性这样的特点，这些特点在解题和理解三角函数中起到了重要的作用。

一、正弦函数的奇偶性与对称性在正弦函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。

2. 对称性：正弦函数是周期函数，其周期为$2\pi$。

具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+2\pi)=f(x)$。

正弦函数以原点为对称中心，关于原点对称。

这意味着，当$x$取正值时，正弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相反，即$f(x)=-f(-x)$。

同时，当$x$取负值时，正弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相同，即$f(-x)=f(x)$。

二、余弦函数的奇偶性与对称性在余弦函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足$f(-x)=f(x)$。

2. 对称性：余弦函数是周期函数，其周期为$2\pi$。

具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+2\pi)=f(x)$。

余弦函数以$y$轴为对称轴，关于$y$轴对称。

这意味着，当$x$取正值时，余弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等，即$f(x)=f(-x)$。

同时，当$x$取负值时，余弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等，即$f(-x)=f(x)$。

三、正切函数的奇偶性与对称性在正切函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。

2. 对称性：正切函数具有周期性，其周期为$\pi$。

具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+\pi)=f(x)$。

正切函数以原点为对称中心，关于原点对称。

这意味着，当$x$取正值时，正切函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相反，即$f(x)=-f(-x)$。

三角函数的周期性与对称性解析三角函数是高中数学中非常重要的一部分内容，它在数学、物理、工程等学科中都有广泛的应用。

而其中一个重要的性质就是周期性与对称性。

本文将对三角函数的周期性与对称性进行解析，以增进对该知识点的理解。

一、正弦函数的周期性与对称性正弦函数是三角函数中最常见的一种。

它的函数图像呈现出周期性与对称性的特点。

首先来看正弦函数的周期性。

正弦函数的周期是2π，即f(x+2π)=f(x)。

这意味着，在一个周期内，正弦函数的取值情况是重复的。

例如，当x=0时，f(0)=sin(0)=0；当x=2π时，f(2π)=sin(2π)=0；当x=4π时，f(4π)=sin(4π)=0；以此类推。

所以，正弦函数在每个2π的整数倍处具有相同的取值。

其次，正弦函数还具有关于y轴对称的性质。

即f(-x)=-f(x)。

这意味着，对于任意实数x，正弦函数在x和-x处的取值互为相反数。

例如，当x=π/2时，f(π/2)=sin(π/2)=1；当x=-π/2时，f(-π/2)=sin(-π/2)=-1。

所以，正弦函数在关于y轴对称的点上具有相同的取值。

二、余弦函数的周期性与对称性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，其函数图像也呈现出周期性与对称性的特点。

首先来看余弦函数的周期性。

余弦函数的周期也是2π，即f(x+2π)=f(x)。

与正弦函数类似，余弦函数的取值也是在一个周期内重复的。

例如，当x=0时，f(0)=cos(0)=1；当x=2π时，f(2π)=cos(2π)=1；当x=4π时，f(4π)=cos(4π)=1；以此类推。

所以，余弦函数在每个2π的整数倍处具有相同的取值。

其次，余弦函数还具有关于y轴对称的性质，即f(-x)=f(x)。

这意味着，对于任意实数x，余弦函数在x和-x处的取值相等。

例如，当x=π/2时，f(π/2)=cos(π/2)=0；当x=-π/2时，f(-π/2)=cos(-π/2)=0。

三角函数的像对称性与对称轴分析三角函数是数学中常见的函数类型之一，它包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

其中，正弦函数和余弦函数在图像上展现出像对称性，并且在对称轴上具有特殊的性质。

本文将着重分析三角函数的像对称性以及对称轴的特点。

一、正弦函数的像对称性与对称轴分析正弦函数的表达式为：y = sin(x)。

我们可以通过对其图像进行观察来探究其像对称性和对称轴的情况。

1. 像对称性观察正弦函数的图像，我们可以发现它在原点（0,0）处具有像对称性。

即，对于任意实数a，都有sin(-a) = -sin(a)。

这意味着，如果一个角度a使得sin(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得sin(-a)等于这个特定的值。

这种像对称性在数学运算和图像分析中具有重要的作用。

2. 对称轴正弦函数的图像相对于x轴是关于原点对称的。

也就是说，如果通过将正弦函数的图像沿着x轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。

因此，x轴即为正弦函数的对称轴。

二、余弦函数的像对称性与对称轴分析余弦函数的表达式为：y = cos(x)。

我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其像对称性和对称轴的特点。

1. 像对称性余弦函数也具有像对称性，即对于任意实数a，都有cos(-a) = cos(a)。

如果一个角度a使得cos(a)等于某个特定的值，那么角度-a也将使得cos(-a)等于这个特定的值。

这种像对称性与正弦函数的像对称性相似，可以在数学运算和图像分析中发挥重要作用。

2. 对称轴余弦函数的图像相对于y轴是关于原点对称的。

也就是说，如果通过将余弦函数的图像沿着y轴翻转，那么翻转后的图像与原图像完全重合。

因此，y轴即为余弦函数的对称轴。

三、三角函数的常见性质除了像对称性和对称轴这两个特点之外，三角函数还具有其他一些常见的性质。

以下列举其中几个重要的性质：1. 周期性正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的周期都是2π。

三角函数对称性
三角函数的对称性是数学领域中一个重要的概念，引起了人们的普遍兴趣和深入的研究。

1. 什么是三角函数的对称性？
三角函数的对称性就是指，当函数曲线关于某一个特定轴或线对称时，称其为三角函数的对称性。

其中，常见的对称轴有x轴对称、y轴对称、点对称、直线对称和圆对称等。

2. 三角函数的对称性怎么表示？
三角函数的对称性可以通过反角和拓展角的函数表示，例如sin(θ+2π) = sinθ，即sin函数的拓展角和原角之间的函数值是相等的。

3. 三角函数的对称性有什么好处？
a. 它能帮助我们更快地求解一些三角函数问题；
b. 这种性质使它成为一种高效的工具，可以为研究不同物质现象提供有效的数学模型支持；
c. 三角函数的对称性可以使抽象问题变得更加具象，并为数学问题的解决提供更直观的解释；
d. 三角函数的对称性还可以帮助我们更好地理解几何直角三角形中各个边与角的比例关系及其互相之间的关系。

4. 三角函数的对称性在哪些领域应用？
三角函数的对称性在以下领域有着广泛应用：
a. 力学领域：用于帮助理解和解释物理相关运动的力学原理；
b. 电学领域：用于求解电路中恒定电流或者恒定电压的无穷大线圈，以及求解静电学中的场力条件；
c. 物理学领域：可以帮助描述电磁场、重力场等其它力学场的表象；
d. 声学领域：可用于分析声音传播的复杂过程；
e. 加速度学领域：可以应用于研究物体处于重力场中运动的加速度学问题。

从上述内容可以清楚看出，三角函数的对称性在解决数学问题中起着重要的作用，其广泛的应用使它在众多领域得到了广泛的使用。

三角函数的对称性与周期性总结三角函数是数学中的重要概念，它们展示了一种神奇的对称性与周期性。

在本文中，我们将全面总结三角函数的对称性与周期性，并探索其在数学和实际应用中的重要性。

一、正弦函数的对称性与周期性1. 对称性：正弦函数是奇函数，具有关于原点的对称性，即sin(-θ) = -sin(θ)。

这种对称性可以从单位圆的几何解释得到。

2. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π) = sin(θ)。

这意味着，在一个完整的周期内，正弦函数的值会重复。

二、余弦函数的对称性与周期性1. 对称性：余弦函数是偶函数，具有关于y轴的对称性，即cos(-θ) = cos(θ)。

这种对称性也可以用单位圆来解释。

2. 周期性：余弦函数的周期也为2π，即cos(θ+2π) = cos(θ)。

与正弦函数类似，余弦函数的值在一个完整的周期内重复。

三、正切函数的对称性与周期性1. 对称性：正切函数是奇函数，具有关于原点的对称性，即tan(-θ) = -tan(θ)。

这种对称性可以从正切函数的定义中推导出来。

2. 周期性：正切函数的周期为π，即tan(θ+π) = tan(θ)。

由于正切函数在π/2及其整数倍点处有垂直渐近线，其值在一个周期内不会重复。

四、其他三角函数的对称性与周期性1. 反正弦函数的对称性与周期性：反正弦函数是奇函数，具有关于y=x的对称性，周期为2π。

2. 反余弦函数的对称性与周期性：反余弦函数是偶函数，具有关于y=x的对称性，周期为2π。

3. 反正切函数的对称性与周期性：反正切函数是奇函数，具有关于y=x的对称性，周期为π。

总结：三角函数的对称性与周期性是其重要性质之一，在数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

它们在解析几何、信号处理、振动与波动等问题中起着重要作用。

通过对三角函数的研究，我们可以更好地理解周期性现象的规律性和对称性特点，为实际问题的求解提供有力的数学工具。

因此，对于学习数学和应用数学的人来说，对三角函数的对称性与周期性有深入的理解至关重要。

三角函数的对称性和奇偶性三角函数是数学中非常重要的概念。

在三角函数中，有一些重要的性质，即对称性和奇偶性。

理解和掌握这些性质对于解决三角函数相关问题非常有帮助。

本文将详细介绍三角函数的对称性和奇偶性，并分别给出其数学定义和性质分析。

一、正弦函数的对称性和奇偶性正弦函数是三角函数中最基本的一种。

它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的纵坐标值。

正弦函数的简写形式为sin(x)。

1. 对称性：正弦函数关于原点对称。

即如果点(x,y)在正弦曲线上，那么点(-x,-y)也一定在正弦曲线上。

这种对称性可以用数学公式表示为：sin(-x) = -sin(x)。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数。

奇函数的定义是f(-x) = -f(x)。

因此，对于正弦函数，sin(-x) = -sin(x)。

这意味着当x取任意实数时，sin(x)的函数值和sin(-x)的函数值互为相反数。

二、余弦函数的对称性和奇偶性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数。

它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的横坐标值。

余弦函数的简写形式为cos(x)。

1. 对称性：余弦函数关于y轴对称。

即如果点(x,y)在余弦曲线上，那么点(-x,y)也一定在余弦曲线上。

这种对称性可以用数学公式表示为：cos(-x) = cos(x)。

2. 奇偶性：余弦函数是偶函数。

偶函数的定义是f(-x) = f(x)。

因此，对于余弦函数，cos(-x) = cos(x)。

这意味着当x取任意实数时，cos(x)的函数值和cos(-x)的函数值相等。

三、正切函数的对称性和奇偶性正切函数是三角函数中另一种重要的函数。

它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的纵坐标值与横坐标值之比。

正切函数的简写形式为tan(x)。

1. 对称性：正切函数关于原点对称。

即如果点(x,y)在正切曲线上，那么点(-x,-y)也一定在正切曲线上。

三角函数的中心对称性和对称轴在数学中，三角函数是一类基础而重要的函数。

它们是以角度为自变量的函数，其中最常见的三个是正弦函数、余弦函数和正切函数。

在这些函数中，有一种重要的性质，那就是中心对称性和对称轴。

在本文中，我们将探讨这一性质的含义和应用。

一、中心对称性中心对称是数学中常见的一种对称形式。

当一个图形相对于某一点做中心对称时，它的每一个点都与这个点关于中心对称轴相对应。

在三角函数中，正弦函数和余弦函数都具有中心对称性。

对于正弦函数，我们知道它是以单位圆上一点作为自变量的函数。

在这个单位圆上，如果将其与原点做中心对称，那么它的图形就不会改变。

具体来说，如果将原来自变量为角度为θ的正弦函数变为自变量为角度为（-θ）的正弦函数，那么这两个函数的值是相等的。

即sin(θ)=sin（-θ）。

因此，正弦函数具有中心对称性。

同样地，余弦函数的图像也具有中心对称性。

我们可以将单位圆旋转90度，然后再与原点做中心对称。

这样，原来自变量为角度为θ的余弦函数就变成自变量为角度为（π-θ）的余弦函数了。

但在这个角度范围内，余弦函数的值也是相等的。

即cos(θ)=cos （π-θ）。

二、对称轴对称轴是中心对称性的具体体现。

对于正弦函数和余弦函数，它们的对称轴相对于单位圆上的点(0,0)都是x轴。

这个对称轴不仅仅是一条分割线，还有很多实际应用。

例如，我们可以通过对称轴来简化计算。

对于一个角度为θ的正弦函数，我们可以将它变为一个角度为（180°-θ）的余弦函数（因为sinθ=cos（90°-θ）），这样就可以直接使用余弦函数的计算公式来计算。

同样地，对于一个角度为θ的余弦函数，我们也可以转化为一个角度为（180°-θ）的正弦函数（因为co sθ=sin （90°-θ））。

这样，就可以根据实际情况选择使用哪个函数来计算，以达到简化计算的目的。

此外，对称轴还可以帮助我们理解函数的图像和特性。

参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。

2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。

3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。

4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。

5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。

6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。

对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。

三角函数对称轴与对称中心
一、三角函数的对称轴
1、正弦函数的对称轴：正弦函数的图像关于y轴对称，所以y轴就是正弦函数的对称轴。

2、余弦函数的对称轴：余弦函数的图像关于x轴对称，所以x轴就是余弦函数的对称轴。

3、正切函数的对称轴：正切函数的图像关于坐标系的45°斜线对称，即2y=x，这条45°斜线就是正切函数的对称轴。

4、反正切函数的对称轴：反正切函数的图像关于坐标系的135°斜线对称，即2y=-x，这条135°斜线就是反正切函数的对称轴。

二、三角函数的对称中心
1、正弦函数的对称中心：正弦函数的图像关于y轴对称，所以所有x 坐标点的y坐标都是一样的，也就是x轴的任意一点都是正弦函数的对称中心。

2、余弦函数的对称中心：余弦函数的图像关于x轴对称，所以所有y 坐标点的x坐标都是一样的，也就是y轴的任意一点都是余弦函数的对称中心。

3、正切函数的对称中心：正切函数的图像关于坐标系的45°斜线对称，即2y=x，所以所有xy都满足这个方程的点都是正切函数的对称中心，也就是x=2、y=2。

4、反正切函数的对称中心：反正切函数的图像关于坐标系的135°斜线
对称，即2y=-x，所以所有xy都满足这个方程的点都是反正切函数的
对称中心，也就是x=-2、y=-2。

三角函数对称轴和对称中心是重要的概念，他们之间存在一定的关系，也就是说每个三角函数的对称轴上的所有点都是该函数的对称中心。

三角函数的对称轴和对称中心是为我们理解和掌握函数，绘制函数图
像提供重要的参考。

三角函数的对称性三角函数是数学中重要的函数之一，它们的对称性在解决各种数学问题中起到了重要的作用。

本文将探讨三角函数的对称性及其应用。

一、正弦函数的对称性正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的图像呈现出对称的特点。

具体而言，正弦函数在原点O处具有对称轴x=0，这意味着对于任意实数x，有sin(-x)=-sin(x)。

这个性质称为正弦函数的奇性。

这种对称性可以通过图像来直观地解释。

以单位圆为例，设圆上一点P(x,y)，则对应的角度为θ。

现考虑点P'(-x,-y)，它与点P关于原点对称。

根据单位圆上的定义，点P和点P'对应的弧度相等，而正弦函数的值与角度的正负无关，所以有sin(θ)=sin(-θ)。

通过类似的推理，可以证明对于任意实数x，有sin(-x)=-sin(x)。

利用正弦函数的对称性，我们可以得到一些重要的性质。

例如，sin(π-x)=sin(x)，这是因为sin(-x)=-sin(x)和sin(π)=0。

这个性质在解决三角方程时非常有用。

二、余弦函数的对称性余弦函数是另一个重要的三角函数，它也具有对称性。

与正弦函数类似，余弦函数的对称轴也是x=0。

对于任意实数x，有cos(-x)=cos(x)，这意味着余弦函数是偶函数。

与正弦函数不同的是，余弦函数在单位圆上的解释与正弦函数相反。

设单位圆上的点P(x,y)，对应的角度为θ。

考虑点P'(-x,-y)，它与点P关于原点O对称。

由于余弦函数的值取决于点P到原点O的横坐标，所以cos(θ)=cos(-θ)。

同样，通过类似的推理可以证明cos(-x)=cos(x)对于任意实数x成立。

借助余弦函数的对称性，我们也可以得到一些重要的推论。

例如，cos(π-x)=-cos(x)，这是由cos(π)=-1和cos(-x)=cos(x)得到的。

这个性质在计算三角函数的值时常常被使用。

三、正切函数的对称性正切函数是另一个常用的三角函数，它的对称性与正弦函数和余弦函数有所不同。

三角函数图象的对称问题陈根土三角函数图象的对称性是三角函数的一个基本特征，其对称轴方程和对称中心坐标同三角函数其他性质一样，呈现出一定的规律性。

通过观察正弦函数()R x x sin y ∈=、余弦函数()R x x cos y ∈=和正切函数⎪⎭⎫⎝⎛∈π+≠=Z k ,2kx x x tan y 的图象可得如下结论。

()R x x sin y ∈=的图象是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴方程为2k x π+π=（Z k ∈），它们分别过图象的最高点和最低点，同时()R x x sin y ∈=又是中心对称图形，有无数个对称中心，其对称中心坐标为（πk ，0）（Z k ∈），它们是图象与x 轴的交点。

对于()R x x cos y ∈=的图象，只要将()R x x sin y ∈=的图象向左平移2π个单位，就可相应地得到对称轴方程()Z k k x ∈π=和对称中心坐标⎪⎭⎫⎝⎛π+π0,2k （Z k ∈）。

对于⎪⎭⎫⎝⎛∈π+≠=Z k ,2kx x x tan y ，它的图象是中心对称图形，有无数个对称中心，其对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛π0,2k （Z k ∈）。

一般地，函数()ϕ+ω=x sin A y （0A >，0>ω）既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为ωϕ-π+π=2k x （Z k ∈），且它们分别过图象的最高点和最低点（简称峰点和谷点），对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛ωϕ-π0,k （Z k ∈），它们是图象与x 轴的交点。

函数()ϕ+ω=x cos A y （0A >，0>ω）既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴方程为ωϕ-π=k x （Z k ∈），且它们分别过图象的最值点，对称中心坐标为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ωϕ-π+π0,2k （Z k ∈），它们是图象与x 轴的交点。

例1 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=25x 2sin y 的图象的一条对称轴方程是（ ）A. 2x π-= B. 4x π-= C. 8x π=D. 45x π=解析：（验证法）把2x π-=代入得⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2522sin y 123sin -=π=，取得最值，应选A 。

三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性教材中并没有进行专门的讨论，但在以往的统考和高考中却经常出现有关对称性的题目，所以我们有必要把这个问题搞清楚． 一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴． 2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１　函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ，Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ，Ｃ．ππ3x k k =+∈Z，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，．故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2　由函数2sin 3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３　函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z，Ｃ．πk k ∈Z，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ）．3．综合运用例４　已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ ≤≤，π2ϕ∴=．由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭对称，3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭A ，又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…．2(21),0,1,2,3k k ω∴=+= 当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥，π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。

三角函数对称性知识点总结一、基本概念的介绍三角函数是数学中的一类重要函数，在数学中有着广泛的应用。

三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等等，它们之间存在着一定的对称性。

掌握三角函数对称性对于理解和运用三角函数来说是非常重要的。

在学习和应用三角函数的时候，我们需要了解三角函数的对称性知识点，这对于解题和推导都有很大的帮助。

二、正弦函数的对称性1.正弦函数的定义：正弦函数是以360°/2π为一个周期的周期函数，且其定义域为所有实数集合，值域为[-1,1]。

正弦函数的函数图象呈现出一种对称性。

当自变量x在第一象限和第二象限时，正弦函数的值是相等的，当自变量x在第三象限和第四象限时，正弦函数的值是相等的。

这表明，正弦函数在x轴的对称。

2.正弦函数的奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。

这就表明，当自变量x取相反数的时候，正弦函数的值也取相反数。

这也表明了正弦函数在y轴的对称性。

3.正弦函数的轴对称性：在正弦函数的函数图象中，x轴是正弦函数的对称轴。

也就是说，当自变量x取相反数时，正弦函数的值也取相反数。

这些对称性的存在使得我们在求解正弦函数的值的时候，可以利用这些对称性，简化解题的过程。

另外，在绘制正弦函数的函数图象的时候，这些对称性也能够帮助我们更好地理解和描述函数的性质。

三、余弦函数的对称性1.余弦函数的定义：余弦函数也是以360°/2π为一个周期的周期函数，且其定义域为所有实数集合，值域为[-1,1]。

余弦函数的函数图象呈现出一种对称性。

当自变量x在第一象限和第四象限时，余弦函数的值是相等的，当自变量x在第二象限和第三象限时，余弦函数的值是相等的。

这表明，余弦函数在x轴的对称。

2.余弦函数的奇偶性：余弦函数是一个偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

这表明当自变量x取相反数的时候，余弦函数的值不变。

这也表明了余弦函数在y轴的对称性。

3.余弦函数的轴对称性：在余弦函数的函数图象中，x轴是余弦函数的对称轴。

三角函数的对称性与周期性在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。

三角函数可以描述任意角的余弦、正弦、正切等值，是数学、物理、工程等领域中不可或缺的一部分。

在学习三角函数时，我们需要了解三角函数的对称性和周期性，这对于理解和运用三角函数都非常有帮助。

一、三角函数的对称性1. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

一个函数是奇函数，当且仅当f(-x)=-f(x)；一个函数是偶函数，当且仅当f(-x)=f(x)。

以正弦函数为例：当x取反时，sin(-x)=-sin(x)，因此正弦函数是奇函数。

同理，可以证明正切函数也是奇函数，余弦函数是偶函数。

2. 对称轴正弦函数和余弦函数分别具有y轴和x轴的对称轴。

当x取反时，正弦函数和余弦函数的图像对称于对称轴。

以正弦函数为例：sin(-x)=-sin(x)，当x取反时，图像关于y轴对称。

3. 周期性三角函数都具有周期性，即满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的最小正周期。

以正弦函数为例：sin(x+2π)=sin(x)，因此正弦函数的最小正周期为2π。

同样，余弦函数和正切函数的最小正周期也可以通过类似的方式证明。

二、三角函数的周期性1. 周期为π正切函数具有周期为π的性质。

即tan(x+π)=tan(x)。

以正切函数为例：tan(x+π)=[sin(x+π)/cos(x+π)]=-tan(x)，因此正切函数的最小正周期为π。

2. 周期为2π正弦函数和余弦函数具有周期为2π的性质。

即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)。

以正弦函数为例：sin(x+2π)=[e^ix+2π-e^-ix-2π]/(2i)=[e^ix-e^-ix]/(2i)=sin(x)，因此正弦函数的最小正周期为2π。

三、结论三角函数的对称性与周期性是三角函数的基本性质，熟练掌握这些性质对于理解和运用三角函数都非常有帮助。

在实际应用中，需要根据题目要求采用相应的方法来求解，比如利用对称性降低计算量、利用周期性规律化简式子等。

三角函数关于y轴对称三角函数是高中数学教材中最基础的和重要的知识点之一，关于它们对称性质的学习也是同学们必须掌握的数学知识。

本文就来主要讨论一下三角函数关于 y的对称性质。

首先，我们来认识一下三角函数的定义。

三角函数是以角度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的定义式都与角的三边关系有关，这种关系使得三角函数可以把角度和函数变量的关系整理出来，并把一些复杂的问题转换为计算机可以处理的函数关系，从而有助于解决一些复杂的实际问题。

其次，让我们来看一下三角函数关于y轴的对称性质。

显然，三角函数关于y轴的对称性质是指，当函数图像中的点（x，y）变为（x，-y）时，三角函数的函数值也发生了变化，它们呈现出一种特定的对称性质。

具体来说，它可以分为两种情况：1、如果变量满足条件 y=f(x)，则三角函数关于y轴的对称性质为：f(-x)=-f(x)，也就是说函数的图像在y轴的镜像点恒为负；2、如果变量满足条件 y=f(x)，则三角函数关于y轴的对称性质为：f(-x)=f(x)，也就是说函数的图像在y轴的镜像点恒为正。

接着，让我们来具体讨论三角函数关于y轴的对称性质的几个特例。

正弦函数的图像是关于 y的对称的，即 y=sin x，y对称的镜像点为 y=-sin x，即f(-x)=- f(x)。

此外，三角函数的正弦函数也存在周期性特性，其波形是由纵向和横向的双重对称特性组成的，即沿y的对称性质。

余弦函数也存在关于 y的对称性质，当 y=cos x，y对称的镜像点为 y=-cos x，即f(-x)=- f(x)。

此外，余弦函数也存在周期性特性，和正弦函数一样，它的图像也是沿 y的对称性质。

正切函数也有关于 y的对称性质，当 y=tan x，y对称的镜像点为 y=tan x，即f(-x)=f(x)。

不同于正弦和余弦函数，它的图像是沿 y的中点对称的。

最后，我们来总结一下本文所讨论的三角函数关于 y的对称性质。

三角函数的对称性
三角函数具有一种独特的对称性，也就是说它们在一定坐标系中具有一定的对称行为或特征。

三角函数的这种对称性由若干基本原则统一起来，这些基本原则主要是指三角函数的弧度值，坐标系中的极限值和间隔，以及它们在无穷远处取得的值。

首先，三角函数弧度值具有对称性，由于每个角度和它的对称点(例如对应180度的角度)对应相同的角度值，所以说三角函数在弧度值上具有“自反”的特性。

其次，三角函数在坐标系中具有“极限”和“间隔”的对称性。

三角函数在无穷小和无穷大状态中取得的值也是相等的，即极限的值也具有对称性的特征。

另外，三角函数的“间隔”也具有特定的对称性，即多次取值之后，会得到完全相同的值，如 pi/2 和3*pi/2 一样，它们分别为90度和270度，这也是一种间隔的对称性。

因此可以看出，三角函数具有特殊的对称性特征，被认为是数学中一种古老而重要的性质。

数学家们因而提出了若干准则，来描述其对称性特征，以实现更加精密地对三角函数的推导和分析。

至此，这一重要的性质得以真正被人们所理解和应用，海瑞拉斯也由此获得了丰厚的回报。

三角函数的对称性一、对称性规律： 1、 对称轴： 若x a =是()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ的对称轴，则()f a A =±2、 对称中心： 若(,0)a 是()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ或()tan()f x A x ω=+Φ的对称中心，则()0f a =解题思路：解选择题的思路即代入法。

二、基础检测（会考说明）1、）（62sin 3π+=x y 的一条对称轴可以是：（ ） A ．Y 轴； B ．6π=x .； C ．12π-=x . D ．.3π=x .。

（会考说明）2、）（43sin 3π-=x y 的一个对称中心可以是：（ ） A ．），（012π-； B ．），（0127π-.； C ．. ），（0127π； D ．），（01211π. 3、已知函数（文）函数y = cos （2x -4π）的一对称方程是 （ ）A ．x = 2π- B ．x = 4π- C ．x = 8π- D ．x =π4、函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称5、22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则下列判断正确的是（ ）（A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π6、(4) 给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π=对称，则下列函数中同时具有性质①、②的是（ ）(A) sin()26x y π=+ (B) sin(2)6y x π=-(C) sin y x = (D) sin(2)6y x π=+。