高一期末测试A答案
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高一升级考试数学A 卷
参考答案及评分标准
一.选择题(每小题5分,共60分)
1-5 BDCCA 6-10 BDBCA 11-12 A D 二.填空题(每小题5分,共20分)
13 . 13; 14. 32; 15. 3; 16. 3
4
.
三.解答题(17小题10分,其余每小题12分,共70分) 17.(本小题满分10分)
2
3
)32cos(2
32sin 232cos 211
2sin 23
22cos 1)()1(+
+=+-=+-+=πx x x x x x f
----------------------------------------------------------------------------------------------------5分
.,65,3,6
53
,223
22Z k k k k x k k x k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+++
≤≤+
+≤+
≤+πππππππ
ππππ
ππ故单调增区间为得令
-------------------------------------------------------------------10分
18(本小题满分12分)
解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,建立坐标系如图,
∵AB =2,AD =1,
∴A (0,0),B (2,0),C (2,1),D (0,1), -
-------------------------------4分
设M (2,b ),N (x ,1),
∵
CD CN BC
BM
=
,
∴
,2
2x
b -=
∴
(),22,2,1,⎪⎭⎫
⎝
⎛-==x AM x AN
--------------------------------------7分 ∴(),2012
3
≤≤+=⋅x x AN AM ∴,412
3
1≤+≤
x 即.41≤⋅≤AN AM --------------------------------------------------------12分 19(本小题满分12分)
解 (Ⅰ)分数在[120,130)内的频率为
1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3. ………………2分 补全直方图 (略) ………………4分 (Ⅱ)由题意,[110,120)分数段的人数为60×0.15=9(人).
[120,130)分数段的人数为60×0.3=18(人).-------------------------------6分
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,
∴需在[110,120)分数段内抽取2人,并分别记为m ,n ;
在[120,130)分数段内抽取4人,并分别记为a ,b ,c ,d ;设“从样本中任取2人,至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A ,则基本事件共有(m ,n ),(m ,a ),…,(m ,d ),(n ,a ),…,(n ,d ),(a ,b ),…,(c ,d )共15种.---------9分
则事件A 包含的基本事件有(m ,n ),(m ,a ),(m ,b ),(m ,c ),(m ,d ),(n ,a ),(n ,b ), (n ,c ),(n ,d )共9种.
∴P (A )=915=3
5. ………………12分
20.(本小题满分12分)
证明:(1)在△ABC 中,∵AB=5,AC=4,BC=3, ∴AC 2+BC 2=AB 2.
∴AC ⊥BC .----------------------------------------------------------------2分 ∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1,
∴CC 1⊥AC . -----------------------------------------------------------4分 ∵BC ∩C 1C=C , ∴AC ⊥平面BB 1C 1C .
∴AC ⊥B 1C . -----------------------------------------------------------------6分 (2)如图连接BC 1,交B 1C 与E ,连接DE , ∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1,
∴侧面BB 1C 1C 为矩形,D 是AB 中点,
DE 为△ABC 1的中位线,∴DE ∥AC 1.----------------------------9分 ∵DE ⊂平面B 1CD ,AC 1⊄平面B 1CD ,
∴AC 1∥平面B 1CD .--------------------------------------------------------12分 21(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设所求的圆的方程为()()2
2
2
x a y b r -+-=
依题意
得:()()()()222
222
061510a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+=⎪⎩
……………………………………3分 解得:2
3,2,25a b r =-=-= 所
以
所求的圆的方程为:
()
()2
2
3225x y +++=……………………………5分
(Ⅱ)当切线的斜率不存在时,即2=x ,满足要求. …………………………7分 当切线的斜率存在时设为k ,
则切线方程为()28-=-x k y ,即082=+--k y kx
又圆心C (-3,-2)到切线的距离1
1051
8
2232
2
+-=
++-+-=
k k k k k d
又由r d =,即51
1052=+-k k ,解得4
3
=
k ∴
所
求
的切
线
方
程为
02643=+-y x ……………………………………11分
∴综上所述,所求的切线方程为2=x 或
02643=+-y x …………………12分
22.( 本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设每年的百分比为x (0<x <1),经过m 年剩余面积为原来的2
2
则 a (1-x )10=12a ,即(1-x )10=1
2
.
解得110
11()2
x =-.
-----------------------------------------------------------3分
又 a (1-x )m
=2
2a ,即1
10211()()22
m =,
m 10=1
2,解得m =5. -------------------------------------------------------6分
故到今年为止,已砍伐了5年.
(Ⅱ)设从今年开始,以后砍了n 年,则n 年后剩余面积为
2
2
a (1-x )n . 令22a (1-x )n ≥14a ,即(1-x )n ≥24,3
10211()(),22n ≥n 10≤3
2
, 解得n ≤15. 故
今
后
最
多
还
能
砍
伐
15
年
------------------------------------------------12分。