高中数学函数压轴题精制

完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。

Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。

解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。

2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。

导数与函数类压轴题精讲（前三讲）题型一切线型1.求在某处的切线方程2.求过某点的切线方程3.已知切线方程求参数题型二单调型1.主导函数需“二次求导”型2.主导函数为“一次函数”型3.主导函数为“二次函数”型4.已知函数单调性，求参数范围题型三极值最值型1.求函数的极值2.求函数的最值3.已知极值求参数4.已知最值求参数题型四零点型1.零点(交点，根)的个数问题2.零点存在性定理的应用3.极值点偏移问题题型五恒成立与存在性问题1.单变量型恒成立问题2.单变量型存在性问题3.双变量型的恒成立与存在性问题4.等式型恒成立与存在性问题题型六与不等式有关的证明问题1.单变量型不等式证明2.含有e x 与lnx 的不等式证明技巧3.多元函数不等式的证明4.数列型不等式证明的构造方法题型一切线型1.求在某处的切线方程例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝3x ²e x 在点(1，f (1))处的切线方程.解：由f (x )＝3x ²e x ，得f ′(x )＝6x －3x ²e x，切点为(1，3e )，斜率为f ′(1)＝3e 由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3e ；∴切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，即3x －ey ＝0.例2.求f (x )＝e x (1x＋2)在点(1，f (1))处的切线方程.解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x (－1x ²＋1x＋2)由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ；∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2ex －y ＋e ＝0.例3.求f (x )＝ln 1－x 1＋x在点(0，f (0))处的切线方程.解：由f (x )＝ln 1－x 1＋x＝ln (1－x )－ln (1＋x )，得f ′(x )＝－11－x －11＋x 由f (0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2；∴切线方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0.例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =x ²4与直线l ：y =kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程.解：由题意得：a =x ²4，则x ＝±2a ，即M (－2a ，a )，N (2a ，a )，由f (x )＝x ²4，得f ′(x )＝x 2，当切点为M (－2a ，a )时，切线斜率为f ′(－2a )＝－a ，此时切线方程为：ax ＋y ＋a ＝0；当切点为N (2a ，a )时，切线斜率为f ′(2a )＝a ，此时切线方程为：ax －y －a ＝0；解题模板一求在某处的切线方程⑴写出f (x )；⑵求出f ′(x )；⑶写出切点(x 0，f (x 0))；⑷切线斜率k ＝f ′(x 0)；⑸切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).2.求过某点的切线方程Step 1设切点为(x 0，f (x 0))，则切线斜率f ′(x 0)，切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)Step 2因为切线过点(a ，b )，所以b －f (x 0)＝f ′(x 0)(a －x 0)，解得x 0＝x 1或x 0＝x 2Step 2当x 0＝x 1时，切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 0)(x －x 1)当x 0＝x 2时，切线方程为y －f (x 2)＝f ′(x 0)(x －x 2)例1.求f (x )＝13x 3＋43过点P (2，4)的切线方程.O o O o Oo P P P 点P 不在曲线上不是切点点P 在曲线上不确定是切点点P 在曲线上切点解：设切点为(x 0，13x 03＋43)，则切线斜率f ′(x 0)＝x 0²，所以切线方程为：y －13x 03＋43＝x 0²(x －x 0)，由切线经过点P (2，4)，可得4－13x 03＋43＝x 0²(2－x 0)，整理得：x 03－3x 0²＋4＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2当x 0＝－1时，切线方程为：x －y ＋2＝0；当x 0＝2时，切线方程为：4x －y －4＝0.例2.求f (x )＝x 3－4x ²＋5x －4过点(2，－2)的切线方程.解：设切点为(x 0，x 03－4x 0²＋5x 0－4)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0²－8x 0＋5，所以切线方程为：y －(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(x －x 0)，由切线经过点P (2，4)，可得4－(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(2－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝2当x 0＝1时，切线方程为：2x ＋y －2＝0；当x 0＝2时，切线方程为：x －y －4＝0.例3.过A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，求m 的取值范围.解：设切点为(x 0，x 03－3x 0)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0²－3，切线方程为y －(x 03－3x 0)＝(3x 0²－3)(x －x 0)∵切线经过点P (1,m )，∴m －(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5)(1－x 0)，即：－2x 03＋3x 0²－3－m ＝0，即m ＝－2x 03＋3x 0²－3∵过点A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，∴方程m ＝－2x 03＋3x 0²－3，有三个不同的实数根.∴曲线H (x 0)＝－2x 03＋3x 0²－3与直线y =m 有三个不同交点，H ′(x 0)＝－6x 0²＋6x 0＝－6x 0(x 0－1)令H ′(x 0)＞0，则0＜x 0＜1；令H ′(x 0)＜0，则x 0＜0或x 0＞1∴H (x 0)在(－∞，0)递减，在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，∴H (x 0)的极小值＝H (0)＝－3，H (x 0)的极大值＝H (1)＝－2，由题意得－3＜x ＜－2.例4.由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝lnx －x －1作几条切线，并说明理由.解：设切点为(x 0，lnx 0－x 0－1)，则切线斜率f ′(x 0)＝1x 0－1，切线方程为y －(lnx 0－x 0－1)＝(1x 0－1)(x －x 0)，∵切线经过点(－e ，e －2)，∴e －2－(lnx 0－x 0－1)＝(1x 0－1)(－e －x 0)，即lnx 0＝e x 0∵y =lnx 与y =e x 只有一个交点∴方程lnx 0＝e x 0有唯一的实数根∴由点(－e ，e －2)可向曲线f (x )＝lnx －x －1作一条切线.解题模板二求过某点的切线方程⑴设切点为(x0，f(x0))，则切线斜率f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)⑵因为切线过点(a，b)，所以b－f(x0)＝f′(x0)(a－x0)，解得x0＝x1或x0＝x2⑶当x0＝x1时，切线方程为y－f(x1)＝f′(x0)(x－x1)当x0＝x2时，切线方程为y－f(x2)＝f′(x0)(x－x2)3.已知切线方程求参数解题模板三已知切线方程求参数已知直线Ax＋By＋C＝0与曲线y=f(x)相切⑴设切点横坐标为x0，则切线斜率＝切线斜率(x0)＝－Ax0＋CBf′(x0)＝－AB⑵解方程组得x0及参数的值.例1.函数f(x)＝alnxx＋1＋bx在(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值.解：∵f(x)＝alnxx＋1＋bx，∴f′(x)＝a(x＋1)x－alnx(x＋1)²－bx²f(1)＝1′(1)＝－12，即b＝1b＝－12∴a＝b＝1例2.f(x)＝ae x lnx＋be x－1x在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值.解：∵f(x)＝ae x lnx＋be x－1x，∴f′(x)＝aex(1x＋lnx)＋bex－1(－1x²＋1x)f(1)＝2′(1)＝－e＝2＝e∴a＝1，b＝2例3.若直线y＝kx＋b是y=lnx＋2的切线，也是y=ln(x＋1)的切线，求b.解：设y＝kx＋b与y=lnx＋2相切的切点横坐标为x1，y＝kx＋b与y=ln(x＋1)相切的切点横坐标为x2，2＝kx1＋b①②1)＝kx2＋b③k④，由②③得：x1＝x2＋1，由①－③得：lnx1－ln(x2＋1)＋2＝k(x1－x2)，将上式代入得：k＝2∴x1＝12，代入①得：－ln2＋2＝1＋b∴b ＝1－ln 2.例4.若f (x )＝x 与g (x )＝a lnx 相交，且在交点处有共同的切线，求a 和该切线方程.解：设切点横坐标为x 0alnx 0①＝a x 0②，由②得x 0＝2a ，代入①得：x 0＝e ²，∴a ＝e 2∵切点为(e ²，e )，切线斜率为12e，∴切线方程为x －2ey ＋e ²＝0.例5.已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，当a 为何值时，x 轴为曲线方程y =f (x )的切线.例6.已知函数f (x )＝x ²＋ax ＋b 和g (x )＝e x (cx ＋d )都过点P (0,2)且在P 处有相同切线y =4x ＋2，求a ，b ，c ，d 的值.题型二单调型1.主导函数需“二次求导”型I 不含参求单调区间例1.求函数f (x )＝x (e x －1)－12x ²的单调区间.解：f (x )的定义域为Rf ′(x )＝e x (1＋x )－1－x ＝(x ＋1)(e x ＋1)令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞0；令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜0f (x )的增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)，减区间为(－1，0)。

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

函数压轴题 一、函数的性质1.已知函数)1()(xx e e x x f -=，若f （x 1)<f （x 2），则（ ） A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0 C ．x 1<x 2 D ．2221x x <2。

f (x )是定义在（0,＋∞）上的单调增函数，满足f (xy ）＝f (x ）＋f （y ），f （3）＝1，若f (x ）＋f （x －8)≤2，则x 的取值范围为________．3。

要使函数22)(-+=x kx x f 与y ＝log 3(x －2)在(3,＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．4.已知函数f (x )是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f （x ）的图象关于x ＝1对称，当x ∈［0，1］时，f （x )＝2x －1，①求证：f （x ）是周期函数；②当x ∈［1，2］时，求f （x )的解析式;③计算f (0）＋f （1)＋f （2）＋…＋f （2 017）的值．5.已知f （x )是定义在R 上的偶函数，g （x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1),则f (2 013）＋f (2 015)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算6.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f （x ＋2）＝－f (x ）．当x ∈［0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f （x ）是周期函数；（2)当x ∈[2，4]时，求f （x ）的解析式； (3）计算f （0）＋f （1)＋f （2)＋…＋f (2 014)．7.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f （x ＋2)为偶函数，且f （1）＝1，则f （8）＋f （9)＝( ）A ．－2B ．－1C ．0D ．18。

若函数)1ln()(2++=x x x x f 为偶函数，则a ＝________． 9.若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数,则a ＝________10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时,f (x )＝3x ＋m （m 为常数），则f (－log 35）的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－611.已知函数f (x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间［0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+,则a 的取值范围是( ）A ．［1，2］B 。

数学函数几何综合压轴题1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.（1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若421hS S ，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.图1 图23.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒AB 的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC与PD在，请说明理由.4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C （0在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点． (1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A 被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动.（1）求⊙A 的半径；（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.7.（2006江苏连云港）如图，直线4+=kx y 与函数)0,0(>>=m x xmy 的图像交于A 、B 两点，且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．（1）若COD ∆的面积是AOB ∆的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．8.（2004江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.（1）求抛物线和直线BC 的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . （3）若P e 过A 、B 、C 三点，求P e 的半径.（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ∆被直线BC 分成面积比为13:的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

高一数学第一学期函数压轴(大题)练习(含答案)1.已知不等式 $2(\log_2 x)^2+7\log_2 x+3\leqslant 0$，求函数 $f(x)=\log_2 x\cdot \log_2 x$ 的最大值、最小值及相应的$x$ 值。

2.已知定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数$f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}$ 是奇函数。

1）求 $a$ 的值；2）判断并证明该函数在定义域 $\mathbb{R}$ 上的单调性；3）若对任意的 $t\in\mathbb{R}$，不等式 $f(t-2t)+f(2t-k)<0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围。

3.已知定义在区间 $(-1,1)$ 上的函数 $f(x)=\dfrac{(1-a)x^2+b}{1-x^2}$。

1）求实数 $a,b$ 的值；2）用定义证明：函数$f(x)$ 在区间$(-1,1)$ 上是增函数；3）解关于 $t$ 的不等式 $\dfrac{(1-a)t^2+b}{1-t^2}>0$。

4.定义在 $\mathbb{R}^+$ 上的函数 $f(x)$ 对任意实数$a,b\in \mathbb{R}^+$，均有 $f(ab)=f(a)+f(b)$ 成立，且当$x>1$ 时，$f(x)<0$。

1）求 $f(1)$；2）求证：$f(x)$ 为减函数；3）当 $f(4)=-2$ 时，解不等式$f(x)+f\left(\dfrac{1}{2}x\right)>0$。

5.已知函数$f(x)=x-2bx+\dfrac{4}{b}$，定义域为$[1,4]$，$b\geqslant 1$。

I）求 $f(x)$ 的最小值 $g(b)$；II）求 $g(b)$ 的最大值 $M$。

6.设函数 $f(x)=\log_a (x-3)$，$a>0$ 且 $a\neq 1$，当点$P(x,y)$ 是函数 $y=f(x)$ 图象上的点时，点 $Q(x-2a,-y)$ 是函数 $y=g(x)$ 图象上的点。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

间1,12éùêúëû上单调递减，因此()max142g x g æö==ç÷èø，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a £2331x x -，()()'4312x g x x -=0>()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14ng x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4 特殊方法：抓住îíì³£Þïîïíì³³-440)21(0)1(a a f f 例1.函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为_______1£m 解析：显然0£m 成立，当0>m 时，10023£<Þïîïíì>--³D m mm例2.设函数)(x f y =在),(+¥-¥内有定义.对于给定的正数K ，定义函数îíì>£=K x f K K x f x f x f k)(,)(),()(，取函数xe x xf ---=2)(，若对任意的),(+¥-¥Îx ，恒有)()(x f x f k =，则K 的取值范围是_______1³K解析：2009湖南理，由定义知，若对任意的),(+¥-¥Îx ，恒有)()(x f x f k =即为K x f £)(恒成立，即求)(x f 的最大值，由'()10,xf x e-=-=知0x =，所以(,0)x Î-¥时，'()0f x >，当(0,)x Î+¥时，'()0f x <，所以max ()(0)1,f x f ==即()f x 的值域是(,1]-¥例3.已知函数()log (2)a f x ax =+的图象和函数1()log (2)ag x a x =+(0,1a a >¹)的图象关于直线y b =对称（b 为常数），则a b += 2解析：b x g x f 2)()(=+b x a ax a a 2)2(log )2(log =+-+Þ，2,1;0,1====a x b x例4.已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，当0x >时，()0F x <. . 若若对任意的[0,1]x Î，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ì-<-ïí-<-ïî均成立，则实数k 的取值范围是 .(3,2)-解析：0)0(=F ，令x y -=得)(x F 奇函数，设)()()(,121221x F x F x x F x x -+=-<0)()(12<-=x F x F ，)(x F 减函数，ïîïíì->-->-34222k kx x k x kx ïïîïïíì<Þ££-+=++<<<-Þîíì<<Þ<-+-Þ2)21(2413430)1(0)0(0)4(222k t t t x x k k F f k kx x 例5.已知函数31++-=x x y 的最大值为M ,最小值为m ,则M m 的值为的值为__________22 解析：法一：平方解析：法一：平方 ； 法二：向量)3,1(),1,1(+-x x 数量积数量积 例6.设函数31()12x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，1234()f x x x x =+++ . 19 解析：令)0(2)(,13³-==-t t t g t x t画出ty t y 2,3==图象，它们在第一象限有两个交点，则,11t x =-21t x =-242312111,1,1,1t x t x t x t x -=+=-=+=Þ,44321=+++x x x x 19)4(=f例7.定义在R 上的函数()y f x =，若对任意不等实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x -<-，且y x ,满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-£成立函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则当则当 14x ££时，y x 的取值范围为________]121-[，解析：)(222y x y x -³-，（1）0=-y x 时，1=xy 成立；（2）121-20££Þîíì³+³-xy y x y x（3）ïîïí죣£+<-4120x y x y x 无解无解例8.已知1,0¹>a a ，若函数)(log )(2x ax x f a-=在]4,3[是增函数，则a 的取值范围是________),1(+¥解析：x ax x g -=2)(对称轴是a x 21=，当321£a 时，10)3(161>Þïïîïïíì>>³a g a a ；当421³a 时，f Þïïîïïíì><<£0)4(1081g a a例9.若直角坐标平面内两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数)(x f 图象上；②Q P ,关于原点对称，则称点对),(Q P 是函数)(x f 的一个“友好点对”（点对),(Q P 与),(P Q 看作同一个“友好点对”）.已知函数ïîïíì³<++=0,20,142)(2x ex x x x f x ，则)(x f 的“友好点对”有____个 2个解析：数形结合，即看0,2³=x e y x 关于原点对称函数0,2£-=x e y x 与0,1422<++=x x x y 有几个交点。

欢迎阅读高一数学第一学期函数压轴（大题）练习（含答案）1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式211222(log )7log 30x x ++≤，求22()log log 42x xf x =⋅的最大值与最小值及相应x 值． 2.（14分）已知定义域为R 的函数2()12x xaf x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围； 3.(1) (2) (3) 4. (14(1)求5.(I)求(II)求6. （12是函数(y g =（1（2（3）把）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.7. （12分）设函数124()lg()3x xa f x a R ++=∈.（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <. 8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)()()k k f x x k z -+=∈满足(2)(3)f f <。

（1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间[]0,1上的最大值为5。

若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

9. （本题满分14分）已知函数1()(0x f x a a -=>且1)a ≠（Ⅰ）若函数()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值；（Ⅱ）当a 变化时，比较1(lg)( 2.1)100f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(lg )100f a =，求a 的值．10. （本题16分）已知函数()log (91)xf x kx =++()是偶函数．(1)(2)(3)11. （112.((Ⅰ)求(Ⅱ)定数.设)(x F 13.(设0a >(Ⅰ)当(Ⅱ)当14.(本小题满分16分) 设函数])1(lg[)(22x a ax x f +-=的定义域区间为I,其中0a >.(Ⅰ)求I 的长度)(a L (注:区间(,)αβ的长度定义为βα-);(Ⅱ)判断函数)(a L 的单调性,并用单调性定义证明; (Ⅲ)给定常数(0,1)k ∈,当[]k k a +-∈1,1时,求区间I 长度)(a L 的最小值.1.解：由211222(log )7log 30x x ++≤，∴1213log 2x -≤≤-， ∴21log 32x ≤≤，而2222()log log (log 2)(log 1)42x xf x x x =⋅=--=222(log )3log 2x x -+=2231(log )24x --，当23log 2x =时min 1()4f x =- 此时x =322=当2log 3x =时max 91()244f x =-=，此时8x =． 2. 解：（1）由题设，需12(0)0,1a f a -+==∴=，1212()xxf x -+∴=经验证，()f x 为奇函数，1a ∴=---------（2分）（2）减函数--------------（3分）由（1∴3. 则(f (2) -∴(f 故函数(3)函数在区间上是增函数 111t ⎨⎪-<-<⎩2故关于t 的不等式的解集为1(0,2. 4（1） 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0 (2) 法一：设k 为一个大于1的常数，x ∈R+，则 f(kx)=f(x)+f(k)因为k>1，所以f(k)<0，且kx>x所以kx>x,f(kx)<f(x)对x ∈R+恒成立，所以 f(x)为R+上的单调减函数 法二：设()2121,0,x x x x <+∞∈且令1,12>=k kx x 则有题知，f(k)<0)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 法三：设()2121,0,x x x x <+∞∈且)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 所以f(x)在（0，+∞）上为减函数 5解：f(x)=(x-b)2-b 2+4b的对称轴为直线x ＝b （ b ≥1）， (I) ①当1≤b ≤4时，g(b)＝f(b)＝-b 2+b ; ②当b ＞4时，g(b)＝f(4)＝16-31，(II) b ②当b 6. 解：∵点(P ∴'y -(2)又0a >∵()f x ∵01a <<∴22a a +>，则22()43r x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为增函数， ∴函数22()log (43)a u x x ax a =-+在[2,3]a a ++上为减函数，从而max [()](2)log (44)a u x u a a =+=-。

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高一数学第一学期函数压轴(大题）练习（含答案）1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式，211222(log )7log 30x x ++≤求的最大值与最小值及相应x 值．22()log log 42x xf x =⋅2。

（14分）已知定义域为的函数是奇函数R 2()12x x af x -+=+ (1）求值;a （2）判断并证明该函数在定义域上的单调性；R (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；t R ∈22(2)(2)0f t t f t k -+-<k 3. （本小题满分10分）已知定义在区间上的函数为奇函数,且.(1,1)-2()1ax b f x x +=+12(25f =(1) 求实数,的值；a b （2） 用定义证明：函数在区间上是增函数；()f x (1,1)-（3） 解关于的不等式.t (1)()0f t f t -+<4. (14分)定义在R 上的函数f （x)对任意实数a,b ，均有f （ab ）=f(a)+f(b)成立,且当x>1时，f ++∈R （x)<0，(1)求f （1) （2）求证：f(x)为减函数。

（3)当f(4）= -2时,解不等式1)5()3(-≥+-f x f 5。

⾼中数学函数压轴题（精制）⾼考数学函数压轴题：1. 已知函数31()(,)3f x x ax b a b R =++∈在2x =处取得的极⼩值是43-.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若[4,3]x ∈-时，有210()3f x m m ≤++恒成⽴，求实数m 的取值范围.2. 某造船公司年最⾼造船量是20艘. 已知造船x 艘的产值函数R (x)=3700x + 45x 2– 10x 3(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). ⼜在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提⽰：利润 = 产值 – 成本）(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最⼤?(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？3. 已知函数155)(2++=x x x ?)(R x ∈，函数)(x f y =的图象与)(x ?的图象关于点)21,0(中⼼对称。

（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）如果)()(1x f x g =，)2,)](([)(1≥∈=-n N n x g f x g n n ，试求出使0)(2⽴的x 取值范围；（3）是否存在区间E ，使{}Φ=N n ∈，且2≥n 时，都有0)(4．已知函数：)(1)(a x R a xa a x x f ≠∈--+=且（Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a －x)=0对定义域内的所有x 都成⽴.（Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+21,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；（Ⅲ）设函数g(x)=x 2+|(x －a)f(x)| ,求g(x) 的最⼩值 .5. 设()f x 是定义在]1,0[上的函数，若存在*x )1,0(∈，使得()f x 在],0[*x 上单调递增，在]1,[*x 上单调递减，则称()f x 为]1,0[上的单峰函数，*x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的]1,0[上的单峰函数()f x ，下⾯研究缩短其含峰区间长度的⽅法.（1）证明：对任意的21,x x )1,0(∈，21x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间；若)()(21x f x f ≤，则)1,(1x 为含峰区间；（2）对给定的)5.00(<6. 设关于x 的⽅程0222=--ax x 的两根分别为α、β()βα<，函数14)(2+-=x a x x f（1）证明)(x f 在区间()βα,上是增函数；（2）当a 为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最⼤值与最⼩值之差最⼩7. 甲⼄两公司⽣产同⼀种新产品，经测算，对于函数()8+=x x f ，()12+=x x g ，及任意的0≥x ，当甲公司投⼊x 万元作宣传时，⼄公司投⼊的宣传费若⼩于()x f 万元，则⼄公司有失败的危险，否则⽆失败的危险；当⼄公司投⼊x 万元作宣传时，甲公司投⼊的宣传费若⼩于()x g 万元，则甲公司有失败的危险，否则⽆失败的危险. 设甲公司投⼊宣传费x 万元，⼄公司投⼊宣传费y 万元，建⽴如图直⾓坐标系，试回答以下问题： (1)请解释()()0,0g f ；(2)甲、⼄两公司在均⽆失败危险的情况下尽可能少地投⼊宣传费⽤，问此时各应投⼊多少宣传费？(3)若甲、⼄分别在上述策略下，为确保⽆失败的危险，根据对⽅所投⼊的宣传费，按最少投⼊费⽤原则，投⼊⾃⼰的宣传费：若甲先投⼊121=a 万元，⼄在上述策略下，投⼊最少费⽤1b ；⽽甲根据⼄的情况，调整宣传费为2a ；同样，⼄再根据甲的情况，调整宣传费为2b ,, 如此得当甲调整宣传费为n a 时，⼄调整宣传费为n b ；试问是否存在lim n n a →∞，n n b ∞→lim 的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.8. 设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均⼩于零.（l ）求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；（ll ）如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围；（lll ）证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.9. 已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ∈N *，b ∈N ，c ∈Z 。

数学高考压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．3．已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．6．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．7．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）参考答案：1．(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.(2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．(1)1-；(2)9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d =，故PAQ △的面积为11623⨯=3．(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.(3)取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有<整理得到：()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b ，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.5．(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =(2)解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.6．(1)11；(2)5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =⋅+，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．7．(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立； (2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e 2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，证明：12|()()|2f x f x a-<．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.参考答案1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b 2e <．【过程详解】（1）()212()ln ()f x x a x x a x'=-+-⋅，由()10f '=，即202(1)ln1(1)a a --=+，解得1a =． （2）()()(2ln 1)af x x a x x'=--+， 令()2ln 1ag x x x=-+， ()1,e a ∈ ，111(,1e ),a a a∴∈∴<，()21()2ln 11)2ln (10g a a a a a a=--+=-++-<， ()2ln 112ln 0g a a a =-+=>， 22()0ag x x x+'=>在(0,)+∞恒成立， 故()g x 在(0,)+∞递增，而1lg()0,()0g a a <>，01(,)x a a∴∃∈，使得g 0()0,x =令()0f x '=，有1201,,x a x x x =<=故0(0,)x x ∈时()0f x ¢>，0(,)x x a ∈时()0f x '<，(,)x a ∈+∞时()0f x ¢>， 故()f x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x a 上递减，在(,)a +∞上递增，∴()f x 极大值2000()()ln ,f x x a x b =->由000()2ln 10,ag x x x =-+=得0002ln ,a x x x =+ 故23004(ln ),b x x <则230028(ln ),ab ax x <01,e 1e x a a<<<< 0e,e a x ∴<<，23233008(ln )8e e 18e ax x ∴<⋅⋅⋅=，328e ,ab ∴<2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．【过程详解】（1）若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，即2ln xa x≤-， 令()2ln x u x x =-，所以()()222ln 122ln x x u x x x --'=-=， 所以当0e x <<时，()0u x '<，当e x >时，()0u x '>， 所以()u x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增， 所以()()min 2e eu x u ==-，所以2a e ≤-，即a 的取值范围是2,e ⎛⎤-∞- ⎝⎦．（2）令()0g x =，即22ln 0xx a x--=， 令()22ln x h x x a x =--，则()()()3222ln 121ln 2x x x h x x x x +--'=-=， 令()3ln 1r x x x =+-，所以()2130r x x x'=+>，所以()r x 在()0,∞+上单调递增，又()10r =，所以当01x <<时，()0r x <，所以()0h x '<， 当1x >时，()0r x >，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 因为()()120h x h x ==，所以()()22212222222212ln 2ln 1111x x h x h h x h x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭22222112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设函数()12ln x x x x ϕ=--（1x >），则()()22211210x x x x xϕ-'=+-=>在()1,+∞上恒成立， 所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()222212ln 10x x x x ϕϕ=-->=， 所以()1210h x h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()121h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又函数()22ln xh x x a x=--在()0,1上单调递减， 所以12101x x <<<，所以121x x <． 3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .【过程详解】（1）1a =，()e ln xf x x =-，0x >由()11e ln1e f =-=，得切点为()1,e由()1e xf x x'=-，有()1e 1f '=-，即()f x 在点()1,e 处的切线斜率为e 1-，所以()f x 在点()1,e 处的切线方程为：()e 11y x =-+. （2）证明：因为()1e xf x a x '=-(1ea ≥，0x >)，设函数()()g x f x '=，则()21e 0xg x a x '=+>(1e a ≥，0x >)，所以()f x '在()0,∞+上单调递增又因为()212e 02f a '=->，112e2e 1e 2e e 2e 02e a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在1,22e a β⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0f β'=， 即1e a ββ=，1e a ββ=，所以，当()0,x ∈β时，()0f x '<，()f x 在()0,β上单调递减； 当(),x β∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在(),β+∞上单调递增；所以()()1e ln ln 2lnf x f a a ββββββ≥=-+=--令()12ln =--h x x x x ，()()()()14432ln 40x h x x x x x xϕ=--+=+-->， 则()()()2131x x x x ϕ-+'=，()0x ϕ'<解得01x <<，()0x ϕ'>解得1x >，所以，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 所以，()()10x ϕϕ≥=，所以，()h x 的图像在44y x =-+的上方，且()h x 与44y x =-+唯一交点为()1,0， 所以，()44f x x ≥-+.（3）圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的圆心坐标为10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =圆心到直线44y x =-+的距离174d ===， 所以直线44y x =-+为圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的切线，由2211741644x y y x ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-+⎩解得切点坐标为()1,0， 显然，圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在直线44y x =-+的下方又因为()44f x x ≥-+，且点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上，则点()(),f ββ即为切点为()1,0，所以1β=，1ea =.4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立；(2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数21()e 12xf x x x =---，0x >，求导得()e 1x f x x '=--，令e 1x y x =--，0x >，求导得e 10x y '=->， 则函数()f x '在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ''>=， 因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=， 所以当0x >时，()0f x >恒成立.（2）设sin y x x =-，()0,πx ∈，则1cos 0y x '=->， 则sin y x x =-在()0,π上递增，0y >，即sin 0x x >>， 方程()sin 2f x xa x x +=等价于e sin 10x ax x x ---=，()0,πx ∈， 令()e sin 1xg x ax x x =---，原问题等价于()g x 在()0,π内有零点，由()0,πx ∈，得2sin x x x <， 由（1）知，当12a ≤时，()21e sin 1e 102x xg x ax x x x x =--->--->， 当()0,πx ∈时，函数()y g x =没有零点，不合题意； 当12a >时，由()e sin 1x g x ax x x =---，求导得()()e cos sin 1xg x a x x x '=-+-， 令()()()e cos sin 1x t x g x a x x x '==-+-，则()()e sin 2cos xt x a x x x '=+-，当π[,π)2x ∈时，()0t x '>恒成立，当π(0,)2x ∈时，令()()()e sin 2cos x s x t x a x x x '==+-，则()()e 3sin cos xs x a x x x '=++，因为e 0x >，()3sin cos 0a x x x +>，则()0s x '>，即()t x '在π(0,2上单调递增，又()0120t a '=-<，π2ππ(e 022t a '=+>，因此()t x '在π(0,)2上存在唯一的零点0x ，当()00,x x ∈时，()0t x '<，函数()g x '单调递减，当()0,πx x ∈时，()0t x '>，函数()g x '单调递增，显然()()000g x g ''<=，()ππe π10g a '=+->，因此()g x '在()0,π上存在唯一的零点1x ，且()10,πx x ∈，当()10,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()1,πx x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又()00g =，()()100g x g <=，由（1）知，21e 112x x x x >++>+，则()ππe π10g =-->，所以()g x 在()10,x 上没有零点，在()1,πx 上存在唯一零点，因此()g x 在()0,π上有唯一零点， 所以a 的取值范围是1(,)2+∞.5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e2x x x x x x +++++<. 【过程详解】（1）由题意设()()22e x f x x =-（x ∈R ），则()f x '=()2e xx x -，x ∈R ，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减；又()20f =，()04f =，()33e 4f =>，且()()22e 0x f x x =-≥，当x 趋向于+∞时，()f x 也趋向于+∞，又方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<， 等价于直线y a =与()y f x =的函数图像有三个交点， 即04a <<，所以a 的取值范围为()0,4.（2）选①，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<， 设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<， 不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >）， 又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-，1k >， 则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭，设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >， 则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 选②，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<， 设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<， 不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >）， 又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-（1k >），则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭1>）， 设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >， 则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 所以()()()12121222244x x x x x x --=-++<，则()12122x x x x <+， 又因为1202x x <<<，所以120x x <，从而()12121221121x x x x x x +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故121112x x +<①，下证120x x +<， 有12122ln 2ln 44011k k kx x t t k k+=++=++<--（1k >）， 即证1k >时，()()1ln 21k k k +>-，即()214ln 211k k k k ->=-++， 即证4ln 21k k +>+（1k >）， 设()4ln 1h x x x =++（1x >），则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 则()()12h x h >=，所以120x x +<②，又()()33e 0f f =>，所以得323x <<，设()1x x xϕ=+，（23x <<），则()211x x ϕ'=-，当23x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()2,3上单调递增， 则331103x x +<③， 联立①②③得：123123*********e 042362x x x x x x +++++<++=<<，故1231231113e2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 【过程详解】（1）解：函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()32222k x kf x x x x -='-=， 令()0f x '=，则x =①当0k<时，当x <()0f x '<，()f x0x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当0k>时，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上：当0k <时，单调增区间为⎫⎪⎪⎭，()0,∞+，单调递减区间为⎛-∞ ⎝； 当0k >时，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为(),0∞-，⎛ ⎝. （2）对任意的m，n ⎫∈+∞⎪⎭，且m n >，令mt n =（1t >），因为()()()()()()()32m n f m f n g m g n -+--()22333311ln 2222m m n m n m n m n n ⎛⎫⎛⎫=-+----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33221133ln 222222n m m m n mn m n m n n=-+-+-+ 323111332ln 22m m m m n m n n n n n mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()332331*********ln (1)2ln 2222n t t t t t n t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+----=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33211111(1)2ln 33132ln 626t t t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥----=-+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 321336ln 16t t t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭， 记()32336ln 1h t t t t t =-++-，则()22226311113636320h t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---'=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，故32336ln 10t t t t-++->，所以()()()()()()()302m n f m f n g m g n -+-->， 故()()()()332g m g n f m f n m n-+<-.7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.【过程详解】（1）由题意可知，()()()()22ln 1y x f x x a x =-=-+-，则()2ln 11xy a x a x-'=+-++-，因为2x =是函数()()2ln 1y x a x =-+-的极值点， 所以()ln 120a +-=，解得2a =， 经检验满足题意，故2a =；（2）由（1）得()()ln 3f x x =-，(),3x ∞∈-， 设()()()22ln 3h x x f x x x =-+=-+-，则()12133x h x x x -'=-=--， 当2x <时，203x x ->-，即()0h x '>，所以()h x 在区间(),2-∞单调递增； 当23x <<时，203x x -<-，即()0h x '<，所以()h x 在区间()2,3单调递减， 因此当(),3x ∞∈-时，()()20h x h ≤=，因为()g x 的定义域要求()f x 有意义，即(),3x ∞∈-，同时还要求()2ln 30x x -+-≠，即要求2x ≠，所以()g x的定义域为{|3x x < 且}2x ≠， 要证()()()()212x f x g x x f x -=>-+，因为()20x f x -+<，所以需证()()()22x f x x f x -<-+， 即需证()()23ln 30x x x -+-->，令3x t -=，则0t >且1t ≠，则只需证1ln 0t t t -+>，令()1ln m t t t t =-+，则()ln m t t '=，令()ln 0m t t '==，可得1t =， 所以()0,1t ∈，()0m t '<；()1,t ∈+∞，()0m t '>；所以()m t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()10m t m >=，即()1g x >成立.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.【过程详解】（1）()()f x x b '=+由切线方程知()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()()1110b b +=+=，注意到0a ≠，解得1a =,0b =.（2）由（1）可知()f x x，若要()f x x x =<且注意到0x >，所以只需ln x < 构造函数()ln h x x =()122h x x x '==，令()0h x '=得4x =，所以()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表：()0,4 ()4,+∞()h x '+-()h x所以()h x 有极大值()244ln 42ln 0eh =-=<，综上()0h x <，结合分析可知命题得证. （3）由题意分以下三种情形讨论：情形一：注意到当0t ≥且1x >0x >，()10txx -≥，此时有()0g x >，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形二：对()2()g x x t x x =+-求导得()()21g xt x x '=+-，所以有()11g t '=+；进一步对()()21g x t x x '=++- 求导得()32ln 24x g x t x-''=+，注意到当1t ≤-且1x >时，有20t <，32ln 04x x-< ，进而有()0g x ''<，所以()g x '单调递减，所以()()110g x g t ''<=+≤，因此()g x 单调递减，故()()10g x g <=，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形三：由（2）可知1x >lnx <，且注意到当10t -<<时有()()()1()21211212g x t x t x t x '=-<+-<++-成立， 所以11(02a g a a -'<-<，此时()110g t '=+>， 所以存在011,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，且注意到此时有()32ln 204x g x t x -''=+<成立， 所以()g x 、()g x '随x 的变化情况如下表：()01,x ()0,x +∞()g x ' +-()g x故一方面当0x x =时，()g x 取极大值（或最大值）()0g x ，显然有()()010g x g >=；ln x <可得()()()22()1g x x t x x x t x x x tx t +-<+-=+-，所以有10a g a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理并结合这两方面可知函数()g x 在区间(1,)+∞上存在零点.综上所述，符合题意的t 的取值范围为(][),10,-∞-⋃+∞.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x，证明：12|()()|f x f x -<． 【过程详解】（1）依题意，222122()(0)a ax x af x a x x x x -+'=-+=>，当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <<()0f x '>，解得102x a <<或12x a>，令()0f x '<，解得112x a <<，所以()f x在1(0,2a 上单调递增，在11(22a a上单调递减，在)+∞上单调递增；当a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）不妨设120x x <<，由（1）知，当04a <<时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()fx的极小值点，所以12()()f x f x >，所以1212|()()|()()f x f x f xf x -=-．由（1）知，122x x =，121x x a+=，则21x xa-==．要证12|()()|f x f x -<1221()())2f x f x x x -<-．因为22121122121112()()()()()ln 222x x xx x f x f x x x a x x a x x x ---+=-+--+⋅2212212111212()2()()ln ln 2x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+ 2122112(1)ln 1x x xx x x -=+， 设211x t x =>，2(1)()ln 1t g t t t -=++．所以222414()0(1)(1)g t t t t '==>++， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=．所以2112)()()02x x f x f x --+>，即得1221()()()2f x f x x x -<-成立． 所以原不等式成立．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=， 当0a ≤时，10ax -<，令()0f x ¢>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，令()0f x ¢>，解得01x <<或1x a >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，令()0f x ¢>，解得10x a <<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，由（1）可得()()11ln 10f x x f x=--<=，()1x >，因为N n *∈1>，则10<，即11>>所以n ++>-+L L2n =-L2n =-)21=-，即)2ln 1+>L .。

函数专题训练复习目标：通过对函数综合题的分类，使学生在解函数题中牢固掌握：反函数的求法及其与原函数的关系的应用、函数的单调性、函数的奇偶性、求函数的定义域与值域常用方法、函数的解析式求法、二次函数的根的分布情况的充要条件运用、函数中的新题型的新解法、函数与方程的思想方法等。

重点与难点： 反函数、值域、单调性、奇偶性、求解析式、分段函数、根的分布、函数与方程思想方法、函数图象等过程：一、反函数 ●有奖征解① 若函数f(x)的图像过点（0，1），则函数f(x+2)的反函数过定点（1，-2）② 若函数f(x)的图像过（0，1），则)4(1x f --过点（-1，0）； ③若函数f(x)的图像过点（0，1），则f(4-x)的反函数过点（1，4），y=f(4-x)的反函数为)(41x fy --=。

●例子分析例1①已知函数()x x x f +-=121,函数y=g(x)的图像与)1(1--x f 的图像关于直线y=x 对称，则g(x)的解析式为12+-=x xy 。

②给定实数a,a ≠0，且a ≠1，设函数⎪⎭⎫⎝⎛≠∈--=a x R x ax x y 1,11,证明这个函数图关于y=x对称。

① 已知函数()ax x x f ++=12存在反函数，求α的取值。

（α≠1/2）说明：④小题可以据③小题去求，但也可以据通常方法去求。

二、周期性、循环 ● 有奖征解设x 为整数，给出一个流程图如右图：按此流程图计算，刚好处理3次 ，则输入的x 值是例1（2004年福建省高考）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（D ）（A ）f(sin6π)<f(cos 6π) （B ）f(sin1)>f(cos1) 输入x 与y 值 用2与x+3的几何平均值代替y开始用x+1代x 表示出x 终了 不是是 y 是否大于是x（C ）f(cos32π)<f(sin 32π) （D ）f(cos2)>f(sin2)例2 f(x)定义域为（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k ∈Z,用I k 表示区间(]12,12+-k k ，已知当x ∈I 0时，f(x)=x 2, ① 求f(x)在I k 上的解析式；② 对自然数k ，求集合M k ={a|使方程f(x)=ax 在I k 上有两个不同的实根}。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(三次函数)练习1.（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期期初检测）已知函数()()3222f x x mx m x m =-+∈R 在6x =处有极小值. (1)求m 的值；(2)求函数()y f x =在[]0,t 上的最大值.2.（2023河南省新未来3月联考）已知函数()()3211132f x x a x ax =+--． (1)若2a =，求函数()f x 的极值；(2)当1a >时，若对0x ∀≥，()e 0xf x x b ++≥恒成立，求4b a -的最小值．3．（2023届安徽省卓越县中联盟高三上学期第一次联考）已知函数()3223=+f x x ax ，a ∈R ．(1)若()f x 在[]1,3-上的值域为[]8,0-，求()f x 在R 上的单调区间；(2)若函数()()()6cos 6sin g x f x x a x x =++-，则当0a ≥时，求()g x 的零点个数．4．（2023届湖南省湘潭市部分学校高三上学期期末联考）已知函数()313f x mx kx =-，其中,m k ∈R ．(1)当1k =时，求函数()f x 的单调区间；(2)已知函数()2ln g x x x =-(e 是自然对数的底数)，若0k ∀>，曲线()y f x '=与曲线()y g x =都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围．5．（2023届北京市第五中学高三下学期3月检测）设函数()()23f x x x x a =-+，R a ∈(1)当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为减函数，求a 的取值范围；(3)若函数在区间()0,2内存在两个极值点1x ，2x ，且()()()()2121f x f x f x f x ->+，求a 的取值范围. 6．已知函数32()1f x x ax bx =+++（0,a b R >∈）有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)求证：23b a >；(3)若(),()f x f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．7．已知()3222,f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当a<0时，求函数()y f x =的单调减区间；(2)当0a =时，曲线()y f x =在相异的两点,A B 点处的切线分别为1l 和21,l l 和2l 的交点位于直线2x =上，证明：,A B 两点的横坐标之和小于4.8．（2024届江西省稳派上进教育高三上学期摸底考试）已知函数()321132f x x x ax =++，()1e ln x g x x x x -=+，()f x '，()g x '分别为()f x ，()g x 的导函数，且对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：0x ∀>，有()()'≥g x f x ．9.已知函数()331f x x ax =++,[]1,1x ∈-,a R ∈,（1）若函数()f x 在区间[]1,1-上不单调,求a 的取值范围； （2）求()f x 的最大值；（3）若()1f x b +≤对任意[]1,1x ∈-恒成立,求a b +的取值范围．10.已知函数32()3f x x x ax b =-++在1x =-处的切线与x 轴平行． （1）求a 的值和函数()f x 的单调区间； （2）若函数()y f x =的图象与抛物线231532y x x =-+恰有三个不同交点,求b 的取值范围． 11.已知函数.0)0,(,2)(,)()(22<-∞∈=-=a x x a x g a x x x f 且 （1）（i ）求函数)()(x g y x f y ==与的图象的交点A 的坐标；（ii ）设函数)(),(x g y x f y ==的图象在交点A 处的切线分别为,,21l l 是否存在这样的实数a, 使得21l l ⊥？若存在,请求出a 的值和相应的点A 坐标；若不存在,请说明理由. （2）记[)0,1)(-=在x f y 上最小值为F （a ）,求aa F )(的最小值. 12.已知函数32()1f x x ax bx =-+++在1x =时有极小值. (1)当4a =时,求()f x 在0x =处的切线方程；(2)求()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.13.已知函数()3222312f x x ax a x =+-,其中a ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值为()g a ,证明：()32g a <．14.已知函数()3221f x x ax a x =---,其中0a <.（1）求曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程；（2）若存在实数t ,使得不等式()0f x <的解集为(),t -∞,求a 的取值范围.15.已知函数()()33R f x x ax a a =-+∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值之差为()g a ,求()g a 的最小值． 16.已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[]0,1上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）讨论函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 的零点个数．参考答案1.（2024届江苏省镇江市丹阳市高三上学期期初检测）已知函数()()3222f x x mx m x m =-+∈R 在6x =处有极小值. (1)求m 的值；(2)求函数()y f x =在[]0,t 上的最大值.【过程详解】（1）因为()3222f x x mx m x =-+，则()()()22343x mx m f x x m x m =-+'=--，又因为()f x 在6x =处有极小值，则()()()61860f m m '=--=，解得6m =或18m =， （i ）当6m =时，则()()()326f x x x -'=-， 当(),2x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 当()2,6x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()6,x ∞∈+时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 所以当6x =时，()f x 取得极小值，符合题意； （ii ）当18m =时，()()()3618f x x x '=--， 当(),6x ∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 当()6,18x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()18,x ∞∈+时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 所以当6x =时，()f x 取得极大值，不符合题意，舍去 综上所述：6m =.（2）由（1）可知：()321236f x x x x =-+，且()f x 在[)()0,2,6,+∞上单调递增，在()2,6上单调递减，()()8232f f ==，如图所示：又因为[]0,x t ∈，则有：（i ）当02t <≤时，则()f x 在[]0,t 上单调递增，所以函数()y f x =在[]0,t 上的最大值为()()32max 1236f x f t t t t ==-+⎡⎤⎣⎦；（ii ）当28t <≤时，结合图象可知：函数()y f x =在[]0,t 上的最大值为()()max 232f x f ==⎡⎤⎣⎦； （iii ）当8t >时，则()f x 在[)(]0,2,6,t 上单调递增，在()2,6上单调递减，且()()8f t f >，所以函数()y f x =在[]0,t 上的最大值为()()32max 1236f x f t t t t ==-+⎡⎤⎣⎦；综上所述：()(]()(]32max1236,0,28,32,2,8t t t t f x t ∞⎧-+∈⋃+⎪⎡⎤=⎨⎣⎦∈⎪⎩. 2.（2023河南省新未来3月联考）已知函数()()3211132f x x a x ax =+--． (1)若2a =，求函数()f x 的极值；(2)当1a >时，若对0x ∀≥，()e 0xf x x b ++≥恒成立，求4b a -的最小值．【过程详解】（1）若2a =，可得()3211232f x x x x =--， 有()()()2212f x x x x x =--=+-'，令()0f x '<，可得12x -<<，令()0f x ¢>，则1x <-或2x >， 故函数()f x 的增区间为(),1-∞-，()2,+∞，减区间为()1,2-， 函数()f x 的极小值为()1023f =-，极大值为()716f -=； （2）令()()()e 0xg x x x x f b =++≥，有()()()()()()()()211e 11e 1e x x xg x a x a x x x a x x x a x '=+--++=+-++=++-，由函数()e x h x x a =+-单调递增及()010h a =-<，()e 0ah a =>，可知存在()0,m a ∈，使得()0h m =，即e m a m =+， 当x >m 时，()0g x '>，当0x m <<时，()0g x '<， 所以函数()g x 的减区间为[)0,m ，增区间为(),m +∞， 可得()()()32min 111e 32mg m m a m am m b g x ==+--++()()32322111111e e e e 32622m m m m m m m m m m b m m m b =+---+++=---+， 由0x ∀≥，()e 0xf x x b ++≥恒成立，有()0g m ≥，可得322111e 622mb m m m ≥++， 有()3221114e 4e 622mm b a m m m m -≥++-+， 可得3221114e 44e 622mm b a m m m m -≥++--， 令()()322111e 44e 0622xx x x x x x x ϕ=++-->， 有()()()2221112e 44e 4e 1222x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫'=+++--=+-+ ⎪⎝⎭()()()124e 12x x x =-++， 令()0x ϕ'>，则2x >，令()0x ϕ'<，则02x <<， 所以函数()x ϕ的减区间为()0,2，增区间为()2,+∞， 所以()()222414222e 84e 2e 33x ϕϕ≥=++--=--， 故4b a -的最小值为2142e 3--． 3．（2023届安徽省卓越县中联盟高三上学期第一次联考）已知函数()3223=+f x x ax ，a ∈R ．(1)若()f x 在[]1,3-上的值域为[]8,0-，求()f x 在R 上的单调区间；(2)若函数()()()6cos 6sin g x f x x a x x =++-，则当0a ≥时，求()g x 的零点个数．【过程详解】（1）因为()3223=+f x x ax ，所以2()666()f x x ax x x a '=+=+，令()0f x '=，解得0x =或x a =-，当0a ->，即a<0时，令()0f x '<，得0x a <<-；令()0f x '>，得0x <或x a >-；所以()f x 在(),0∞-，(),a -+∞上单调递增，在()0,a -上单调递减，此时0x =是()f x 的极大值点； 当0a -<，即0a >时，令()0f x '<，得0a x -<<；令()0f x '>，得x a <-或0x >；所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-，()0,∞+上单调递增，此时0x =是()f x 的极小值点； 当0a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[]1,3-上单调递增，此时()32f x x =，易得()12f -=-，()354f =，不满足题意；又(0)0f =，()f x 在[]1,3-上的值域为[8,0]-，所以()f x 在[]1,3-上的最值为(0)0f =，故0x =是()f x 的极大值点， 所以a<0，此时，有()8f a -=-或(1)8f -=-两种情况，都有2a =-，故2a =-满足题意，所以由上述分析可知，()f x 的单调递增区间为(),0∞-和()2,+∞，单调递减区间为()0,2． （2）令()sin t x x x =-，则()1cos 0t x x =-≥'， 所以()t x 在R 上单调递增，又()00t =，所以当0x >时，()0t x >，即sin x x >，当0x <时，()0t x <，即sin x x <；因为()()()()326cos 6sin 236cos 6sin g x f x x a x x x ax x a x x =++-=+++-，令()0g x =，则()3211cos sin 032x ax x a x x +++-=，令()()3211cos sin 32h x x ax x a x x =+++-，则()()()sin h x x x x a ='-+， 令()0h x '=，解得0x =或x a =-．①若0a =，则()()sin 0h x x x x =-≥'，此时()hx 在R 上单调递增．又()00h =，所以()h x 有且仅有1个零点，即()g x 有且仅有1个零点．②若0a >，0a -<，则当(),x a ∈-∞-时，()0h x '>，当(),0x a ∈-时，()0h x '<，当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在(),a -∞-上单调递增，在(),0a -上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 则()(0)0h a h a ->=>，故()h x 在(),a -+∞上没有零点，下证3302h a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭．当x a <-时，0x a +<．因为cos 1x ≥-，所以()()cos x a x x a +≤-+． 因为sin x x >，所以sin x x -<-， 所以()()32323211111122323232h x x ax x a x x ax x a x ax x <+-+-=+--<+-213632x x ax ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以3913310222h a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<-++< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．从而()h x 在33,2a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭上有唯一零点，所以()h x 在(),a -∞-上有唯一零点，在(),a -+∞上没有零点，综上所述，当0a ≥时，()h x 有且仅有1个零点，故()g x 有且仅有1个零点．4．（2023届湖南省湘潭市部分学校高三上学期期末联考）已知函数()313f x mx kx =-，其中,m k ∈R ．(1)当1k =时，求函数()f x 的单调区间；(2)已知函数()2ln g x x x =-(e 是自然对数的底数)，若0k ∀>，曲线()y f x '=与曲线()y g x =都有唯一的公共点，求实数m 的取值范围．【过程详解】（1）因为1k =，所以()331133f x mx kx mx x =-=-，所以()2f x m x '=-，当0m ≤时，()20f x m x '=-≤，所以()f x 在R 上单调递减；当0m >时，令()0f x '<，得x <或x >；令()0f x ¢>，得x <<所以()f x 在(,-∞和)+∞上单调递减，在(上单调递增；综上：当0m ≤时，()f x 的单调递减区间为R ；当0m >时，()f x 的单调递减区间为(,-∞和)+∞，单调递增区间为(.（2）因为()313f x mx kx =-，所以()2f x m kx '=-，因为0k ∀>，曲线()y f x '=与曲线()y g x =都有唯一的公共点，所以0k ∀>，方程22ln m kx x x -=-有唯一解，即方程22ln kx x x m +-=有唯一解，令()()22ln 0x kx x x x ϕ=+->，则()222221kx x x kx x xϕ-+'=+-=，对于222y kx x =-+， 当1160k ∆=-≤，即116k ≥时，()0x ϕ'≥，故函数()x ϕ在R 上单调递增， 易知，当x 趋向于0时，ln y x =趋向于无穷小，2y kx x =-趋向于0，故()22ln x kx x x ϕ=+-趋向于无穷小；当x 趋向于无穷大时，ln y x =趋向于无穷大，2y kx x =-趋向于无穷大，故()22ln x kx x x ϕ=+-趋向于无穷大；所以()x ϕ的值域为R ，所以R m ∀∈，()x ϕ与y m =有且只有一个交点，满足题意； 当1160k ∆=->，即1016k <<时，2220kx x -+=有两个实根12,x x ，且12182x x k +=>，12116x x k =>， 若124x x <<，则当10x x <<或2x x >时，()0x ϕ'>，当12x x x <<时，()0x ϕ'<， 所以()x ϕ先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使22ln kx x x m +-=有唯一实数根，则m 大于()x ϕ的极大值或小于()x ϕ的极小值，记3x 为极大值点，则304x <<，()233332ln x kx x x m ϕ=+-<恒成立，又233220kx x -+=，即23322kx x =-，则()x ϕ的极大值为()()2333333333112ln 22ln 2ln 122x kx x x x x x x x ϕ=+-=--+=--， 令()()12ln 1042m x x x x =--<<，则()2102m x x '=->，故()m x 在()0,4上单调递增，故()()44ln 23m x m <=-，则()34ln 23x ϕ<-，故4ln 23m ≥-，记4x 为极小值点，则44x >，()244442ln x kx x x m ϕ=+->恒成立，又244220kx x -+=，即24422kx x =-，则()x ϕ的极小值为()44412ln 12x x x ϕ=--， 令()()12ln 142n x x x x =-->，则()2102n x x '=-<， 故()n x 在()4,+∞上单调递减，因为()4M ∀-<-，即4M >，取e 4M x =>，则()11e2ln ee 12e 122MMM M n M =--=--，所以()1e 3e 12M M n M M +=--， 令()()13e 142x h x x x =-->，则()13e 02xh x '=-<，所以()h x 在()4,+∞上单调递减，故()()41412e 102h x h <=-⨯-<，所以()e0Mn M +<，即()e Mn M <-，所以()n x 趋向于无穷小，则()4x ϕ趋向于无穷小，所以不存在R m ∈，使得24442ln kx x x m +->恒成立；若124<<x x ，记5x 为极大值点，则54x >，同理可得()255552ln x kx x x m ϕ=+-<恒成立，因为()n x 在()4,+∞上单调递减，所以()()44ln 23n x n <=-，则()54ln 23x ϕ<-，故4ln 23m ≥-，记6x 为极小值点，则64x >，同理可得不存在R m ∈，使得26662ln kx x x m +->恒成立；综上：要使0k ∀>，曲线()y f x '=与曲线()y g x =都有唯一的公共点，4ln 23m ≥-，即m 的取值范围为[)4ln 23,-+∞.5．（2023届北京市第五中学高三下学期3月检测）设函数()()23f x x x x a =-+，R a ∈(1)当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为减函数，求a 的取值范围；(3)若函数在区间()0,2内存在两个极值点1x ，2x ，且()()()()2121f x f x f x f x ->+，求a 的取值范围. 【过程详解】（1）当9a =-时，239()()f x x x x =--，则2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'---，由()0f x '>解得：1x <-或3x >，所以函数()f x 的单调增区间是(,1)-∞-，(3,)+∞.（2）函数2())3(f x x a x x =-+，则2()36f x x x a '=-+，因函数()f x 在区间()1,2上为减函数，则(1,2)x ∀∈，()0f x '≤成立，即(1,2)x ∀∈，2236036x x a a x x -+≤⇔≤-+，显然236x x -+在()1,2上单调递减，即(1,2)x ∀∈，2360x x -+>，则0a ≤，所以a 的取值范围是0a ≤.（3）由(2)知，2()36f x x x a '=-+，因函数()f x 在区间()0,2内存在两个极值点1x ，2x ，则()0f x '=在区间()0,2内有两个不等根1x ，2x ，即有(0)(2)0(1)30f f a f a '''==>⎧⎨=-+<⎩，解得0<<3a ，且有12122,3a x x x x +==，不妨令1202x x <<<，则123()())(f x x x x x '=--，当10x x <<或22x x <<时，()0f x '>，当12x x x <<时，()0f x '<，则()f x 在1x 处取得极大值1()f x ，在2x 取得极小值2()f x ，显然，12()()f x f x >， 由1212()()()()f x f x f x f x ->+两边平方得12()()0f x f x ⋅<，而2211112222()()()03)3(x x x a x x x f f x a x -+-+⋅=⋅<，即221122()()330x x a x x a +-+<-，整理得：22212121212121212()3()[()2]93()0x x x x x x a x x x x x x a x x a -+++-+-++<，把12122,3a x x x x +==代入上述不等式并整理得：2409a a -<，解得904a <<，综上得904a <<， 所以实数a 的取值范围是904a <<. 6．已知函数32()1f x x ax bx =+++（0,a b R >∈）有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点． (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)求证：23b a >；(3)若(),()f x f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【过程详解】（1）因为32()1f x x ax bx =+++所以2()32f x x ax b '=++，令()()g x f x '=，所以()62g x x a =+' 令()0g x '=，解得3ax =- 由于当3a x >-时，()0g x '>，所以()()g x f x '=在3ax >-时为单调递增； 当3a x <-时，()0g x '<，所以()()g x f x '=在3ax <-时为单调递减；所以()f x '的极小值点为3ax =-； 由于导函数()f x '的极值点是原函数()f x 的零点，所以(03a f -=，即33102793a a ab-+-+=，所以2239a b a=+；因为()f x 有极值，所以2()32f x x ax b '=++有两个不等的实根，所以24120a b >﹣，即21093a a>-，解得3a >，所以223(3).9a b a a=+>（2）证明：由（13).a =+>设函数23()9t h t t =+，则22227()9t h t t -'=；当t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0h t '>，所以()h t 在t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；又因为3a >，所以2>>，故(h h >=>因此23b a >.（3）设()f x 的极值点是12,x x ，由（1）知，12122,33a b x x x x +=-=，所以22212469a b x x -+=所以323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++即2222121212121212()()()()()()2f x f x x x x x x x a x x b x x +=++-+++++整理得31242()()20273a abf x f x +=-+=所以函数()f x 的两个极值之和为0，()f x '的极值为2213339a a f b a a ⎛⎫-=-=-'+ ⎪⎝⎭， 设(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和为()a ϕ，所以213(),(3)9a a a a ϕ=-+>，而223()09a a a ϕ'=--<；即()a ϕ在()3,+∞上单调递减，而7(6)2ϕ=-，所以由())a ϕϕ≥(6，即得6a ≤； 因此a 的取值范围为(]3,6.7．已知()3222,f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当a<0时，求函数()y f x =的单调减区间；(2)当0a =时，曲线()y f x =在相异的两点,A B 点处的切线分别为1l 和21,l l 和2l 的交点位于直线2x =上，证明：,A B 两点的横坐标之和小于4. 【过程详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=-+，0a < ，()0f x '∴<的解集为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的单调减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）证明：当0a =时，()32f x x =+，()23f x x '=，设()()331122,2,,2A x x B x x ++，12x x ≠， 点A 处切线方程为()()3211123y x x x x -+=-，点B 处切线方程为()()3222223y x x x x -+=-，故()()()()23231112223232xx x xx x x x -++=-++，解得()()2212121223x x x x x x x ++=+，故两切线交点的横坐标为()()2212121223x x x x x x +++，由题意()()22121212223xx x x x x ++=+()221212123x x x x x x ∴++=+，结合12x x ≠，()()221212121232x x x x x x x x +⎛⎫∴+-+=< ⎪⎝⎭，解得1204x x <+<.故A ，B 两点的横坐标之和小于4.8．（2024届江西省稳派上进教育高三上学期摸底考试）已知函数()321132f x x x ax =++，()1e ln x g x x x x -=+，()f x '，()g x '分别为()f x ，()g x 的导函数，且对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：0x ∀>，有()()'≥g x f x ．【过程详解】（1）因为()321132f x x x ax =++，所以()221124f x x x a x a ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，所以()f x '在区间(]0,1上单调递增， 故()()max 12f x f a ''==+． 因为()1e ln x g x x x x -=+，所以()()111ee ln 11e ln 1x x x g x x x x x ---'=+++=+++．令()()11e ln 1x h x x x -=+++，则()()112e x h x x x-'=++， 又(]0,1x ∈，所以()0h x '>， 故()g x '在区间(]0,1上单调递增， 所以()()max 13g x g ''==．又对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-， 所以()()max max 2f x g x ''≤-， 即232a +≤-，解得1a ≤-， 故实数a 的取值范围为(],1-∞-． （2）令()1e-=-x s x x ，0x >，则()1e 1-'=-x s x ．令()0s x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0s x '<，()s x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()()10s x s ≥=，即1e x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）． 令()1ln 1F x x x =+-，则()22111x F x x x x-'=-=． 令()0F x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()10F x F ≥=，即1ln 1x x≥-+（当且仅当1x =时，等号成立），故11eln 1x x x x-+≥-+（当且仅当1x =时，等号成立）． 又0x >，所以12e ln 1x x x x x x -+≥+-． 因为1a ≤-，所以221x x x x a +-≥++， 故12e ln x x x x x x a -+≥++，即()()'≥g x f x ．9.已知函数()331f x x ax =++,[]1,1x ∈-,a R ∈,（1）若函数()f x 在区间[]1,1-上不单调,求a 的取值范围； （2）求()f x 的最大值；（3）若()1f x b +≤对任意[]1,1x ∈-恒成立,求a b +的取值范围． 【过程详解】（1）由题意可知,函数()f x 在()1,1-上有极值点, ()331f x x ax =++ ,则()233f x x a '=+,所以,函数()f x '在()1,0-上递减,在()0,1上递增, 所以,()()1330030f a f a ⎧=+>⎪⎨=<''⎪⎩,可得10a -<<； （2）若1a ≤-时,对任意的[]1,1x ∈-,()0f x '≤,()f x 在[]1,1-上递减,()130f a -=->,()123f a =+,()()()2222112391240f f a a a --=+-=+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 所以,()()11f f <-,则()()max 13f x f a =-=-； 若0a ≥,对任意的[]1,1x ∈-,()0f x '≥,()f x 在[]1,1-上递增,()13f a -=-,()1230f a =+>,()()()2222112391240f f a a a --=+-=+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以,()()11f f >-,则()()max 123f x f a ==+；若10a -<<,由()0f x '>,可得1x -<<1x <；由()0f x '<,可得<<x则()f x 在(1,-上递增,在(上递减,在)上递增；()130f a -=->,(21f =-,21f=,()123f a =+．因为()()3331312f x f x x ax x ax +-=++--+=,所以,函数()f x 关于()0,1对称,())212121f f=-=+≥=,则(){}max a 21,2x 3m a f x -=+,若213a -<≤-,230a +≤,()()()()212321232330a a a --+=-+++=-+>,则(){}max 1m 3ax 22,21f x a -+=-+=； 若2134a -<≤-,230a +>,()()()22123101a --+=≥,则2123a -≥+,则()max 21x f -=；若104a -<<,230a +>,()()()22123101a --+=<+,则2123a -<+,则()max 23f x a =+.综上()max3,1121,14123,4a a f x a a a ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤-⎨⎪⎪+>-⎪⎩；（3）先考虑必要性,若()1f x b +≤对任意[]1,1x ∈-恒成立, 首先必须满足()()max min 2-≤f x f x .①若1a ≤-,()()()max min 332622f x f x a a a -=--+=--≤,可得23a ≥-,不合乎题意； ②若0a ≥,()()()max min 323622f x f x a a a -=++=+≤,解得0a ≤,此时0a =；③若10a -<<时,(()()4211622f f f f a ⎧-=-≤⎪⎨--=+≤⎪⎩,解得0a ≤,此时0a ≤<.综上0a ≤,此时函数()f x在1,⎡-⎣上单调递增,在(上单调递减,在⎤⎦上单调递增. 若104a -≤≤,由（2）可知,()max 23f x a =+,则()()min 13f x f a =-=-,由()()maxmin11f x bf x b⎧+≤⎪⎨+≥-⎪⎩,则231141231b aa ab aa b++≤⎧⇒-+≤+≤--⎨-+≥-⎩,所以12,2a b⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦若14a-≤,则()max21f x=-,()min21f x=,由()()maxmin11f x bf x b⎧+≤⎪⎨+≥-⎪⎩,则211211bb⎧-+≤⎪⎨+≥-⎪⎩,则222a ab a--++≤≤令12t⎡⎢⎣,则3232222t t a b t t--≤+≤--,对于函数()3222g t t t=-+-,()()2622310g t t t t t'=-=->对任意的12t⎡∈⎢⎣恒成立,所以,函数()g t在12⎡⎢⎣上单调递增,所以,()min122g t g⎛⎫==-⎪⎝⎭,对于函数()232h t t t=--,()2260h t t t'=--<对任意的12t⎡∈⎢⎣恒成立,所以,函数()h t在区间12⎡⎢⎣上单调递减,则()max1122h t h⎛⎫==-⎪⎝⎭,因此,12,2a b⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦.综上：12,2a b⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦.10.已知函数32()3f x x x ax b=-++在1x=-处的切线与x轴平行．（1）求a的值和函数()f x的单调区间；（2）若函数()y f x=的图象与抛物线231532y x x=-+恰有三个不同交点,求b的取值范围．【过程详解】（1）由已知得2()36f x x x a'=-+,∵在1x=-处的切线与x轴平行∴(1)0f'-=,解得9a=-．这时2()3693(1)(3)f x x x x x==+'---由()0f x'>,解得3x>或1x<-；由()0f x'<,解13x-<<．∴()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞；单调减区间为(1,3)-．（2）令23239()()1536322g x f x x x x x x b ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭,则原题意等价于()g x 图象与x 轴有三个交点．∵2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--, ∴由()0g x '>,解得2x >或1x <；由()0g x '<,解得12x <<．∴()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-；()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-． 依题意得1210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩,解得112b <<． 故b 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．11.已知函数.0)0,(,2)(,)()(22<-∞∈=-=a x x a x g a x x x f 且 （1）（i ）求函数)()(x g y x f y ==与的图象的交点A 的坐标；（ii ）设函数)(),(x g y x f y ==的图象在交点A 处的切线分别为,,21l l 是否存在这样的实数a, 使得21l l ⊥若存在,请求出a 的值和相应的点A 坐标；若不存在,请说明理由.（2）记[)0,1)(-=在x f y 上最小值为F （a ）,求aa F )(的最小值. 【过程详解】（I ）（i ）设点A 的坐标为022(,2)(),,(2222=++-=-a x a a x x a a x x y x 得由得.2,2;8,2,2,232231121a y a x a y a x a x a x ======时当时且当故函数)(x f y =与)(x g y =图象的交点A 坐标为)2,2(),8,2(33a a a a（ii ）,43)(',)('22a ax x x f ax x g +-==若存在a,使得.21l l ⊥则当点A 坐标为,12(')2(',8,2(3-=⋅af ag a a 时又8)243(2)2(')2('4222a a a a a a a f a g -=+-⨯⋅⋅=⋅,则8,0,1844-=<=a a a 故又,此时点A 坐标为)22,28(44--当点A 坐标为,1)2(')2(',)2,2(3-=⋅a f a g a a 时又422210)843()2()2(')2('a a a a a a a f a g =+-⨯⋅⋅=⋅, 则1104-=a ,无解.综上,存在)22,28(,,844214--⊥-=A l l a 此时使得（2）令,2742,3.,30)('322321a x a ax x a x a x a x x f =+-====时当得整理得 )(274,03)(34(32x f y a y a x a x ===--与即直线图象另一交点横坐标.34a x =结合图象可得：（1）若;)1()1()()(,3,132min +-=-==-<-<a f x f a F a a时即 （2）若;274)3()()(,433,31343min a a f x f a F a a ===-<≤-≤-<时即 （3）若.)1()1()()(,043,1342min +-=-==<≤--≥a f x f a F a a 时即综上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡---∞∈+-=43,3,2740,43)3,(,)1()(32a a a a a F所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡---∞∈---=43,3,2740,43)3,(,21)(2a a a a a a a F当,1212)1()(21)(,0,43)3,(≥--+-=---=⎪⎭⎫⎢⎣⎡---∞∈a a a a a a F a 时且当43-=a 时取到“=”；当⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈43,3a 时,函数2274)(a a a F =单调递减,此时.121)(>a a F 综上,.121)((min =a a F 12.已知函数32()1f x x ax bx =-+++在1x =时有极小值. (1)当4a =时,求()f x 在0x =处的切线方程；(2)求()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【过程详解】 (1)因为函数32()1f x x ax bx =-+++在1x =时有极小值, 故2()32f x x ax b '=-++,(1)320f a b '=-++=,解得：23a b +=. 当4a =时,5b =-,故32()451f x x x x =-+-+,2()385f x x x '=-+-, 则(0)1,(0)5f f '==-,则()f x 在0x =处的切线方程为：15(0)y x -=--,整理得：510x y +-=. 故()f x 在0x =处的切线方程为510x y +-=.(2)由（1）得2()32f x x ax b '=-++,且23a b +=, 故2()3(3)(1)(332)f x x b x b x x a '=-+-+=--+-, 令()0f x '=,解得12231,3a x x -==, 因为32()1f x x ax bx =-+++,所以(1)3f a =-,(3)1519f a -=+,3317(248f a =-+.又函数()f x 在1x =时有极小值,当2313a -<时,23(,3a x -∈-∞或(1,)+∞,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当23(,1)3a x -∈时,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 故函数()f x 在11x =有极大值,与题意不符,故12x x <,即2313a ->,即3a >,所以,当(,1)x ∞∈-或23(,)3a -+∞,()0f x '<,函数()f x 单调递减,当23(1,3a x -∈时,()0f x '>,函数()f x 单调递增, 故函数()f x 在2233a x -=有极大值. 当23332a -≥,即154a ≥时,函数()f x 在区间[)3,1-单调递减,在区间31,2⎛⎤⎥⎝⎦单调递增,故在区间33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上得最小值为min ()(1)3f x f a ==-, 当233132a -<<,即1534a <<时,函数()f x 在区间[)3,1-和233,32a -⎛⎤⎥⎝⎦单调递减,在区间231,3a -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,且3317(248f a =-+,(1)3f a =-, 37(1)(284a f f -=-. 故当732a <≤时,3(1)()02f f -≥,min 3176()()28a f x f -==, 当71524a <<时,3(1)(02f f -<,min ()(1)3f x f a ==-. 综上所述：当732a <≤时,函数()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1768a -, 当72a <时,函数()f x 在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为3a -. 13.已知函数()3222312f x x ax a x =+-,其中a ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间2,2a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值为()g a ,证明：()32g a <．【过程详解】 (1)因为()3222312f x x ax a x =+-,R x ∈,所以()()()22661262f x x ax a x a x a '=+-=+-．①若0a >,当2a x a -<<时,()0f x '<；当2x a <-或x a >时,()0f x '>．即()f x 在()2,a a -上单调递减,在(),2a -∞-和(),a +∞上单调递增；②若0a =,恒有()0f x '≥．即()f x 在定义域R 上单调递增；③若0a <,当2a x a <<-时,()0f x '<；当x a <或2x a >-时,()0f x '>．即()f x 在(),2a a -上单调递减,在(),a -∞和()2,a -+∞上单调递增；综上,当0a >时,函数()f x 的单调递减区间为()2,a a -,单调递增区间为(),2a -∞-,(),a +∞； 当0a =时,函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a <时,函数()f x 的单调递减区间为(),2a a -,单调递增区间为(),a -∞,()2,a -+∞．(2)由题意,有22a a <,∴()0,2a ∈．由（1）知①当12a ≤<时,()f x 在2,2a a ⎡⎤⎣⎦上单调递增．∴()()32432g a f a a ==<．②当01a <<时,()f x 在)2,a a ⎡⎣上单调递减,在(],2a a 上单调递增． 由()324f a a =,01a <<,∴()024f a <<；又()()26544223122312f a a a a a a a =+-=+-．∵01a <<,∴223120a a +-<．∴()20f a <． ∴()()324432g a f a a ==<<．综上,有()32g a <．14.已知函数()3221f x x ax a x =---,其中0a <.（1）求曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程；（2）若存在实数t ,使得不等式()0f x <的解集为(),t -∞,求a 的取值范围.【过程详解】由()3221f x x ax a x =---得()2232f x x ax a '=--.（1）所以()0f a ¢=.又因为()31f a a =--.故所求的切线方程为31y a =--.（2）因为()()()22323f x x ax a x a x a =--+=-'令()0f x '=,得13a x =-,2x a =, 此时()f x ',()f x 随x 的变化如下：由题意,要想存在实数t ,使得不等式()0f x <的解集为(),t -∞只需()003f a a f ⎧>⎪⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩或()003f a a f ⎧<⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 因为3510327a f a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭, 所以()310f a a =--<所以a 的取值范围为()1,0-.15.已知函数()()33R f x x ax a a =-+∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值之差为()g a ,求()g a 的最小值．【过程详解】 (1)因为()()33f x x ax a a R =-+∈,所以()()22'333f x x a x a =-=-．①当0a ≤时,()'0f x ≥恒成立,()f x 在R 上单调递增；②当0a >时,(),x ∈-∞+∞ 时,()'0f x >；(x ∈时,()'0f x <； 故()f x在(,-∞和)+∞上单调递增,在(上单调递减． (2)由（1）可知：①当0a ≤时,()f x 在[]0,3上单调递增,()()()30279g a f f a =-=-；②3≥,即9a ≥时,()f x 在[]0,3上单调递减,()()()0927g a f f a a =-=-； ③当03<<,即09a <<时,()f x在⎡⎣上单调递减,在⎤⎦上单调递增, 于是()min 2f x f a ==-+,又()0f a =,()3278f a =-．故当0<<3a 时,()2792g a a =-+39a ≤<时,()2g a =综上可得：279,027923()29927,9a a a a g a a a a -≤⎧⎪-+<<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩,当0<<3a 时,()2792g a a =-+x 则0x <<,设23()2792h x x x =-+,2()6186(3)0h x x x x x '=-=-<,所以()h x 在上递减,又x ,所以()g a 在(0,3)上递增,所以()g a 在(3),-∞上递减,在(3,)+∞上递增,所以故()g a 的最小值为()3g =16.已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[]0,1上的最小值为16-． （1）求a 的值； （2）讨论函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 的零点个数．【过程详解】（1）由3211()32f x x ax =-,2()()f x x ax x x a =--'=, 当0a …时,()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0,所以()f x 在[0,1]上单调递增,min ()(0)0f x f ==,不合题意；当01a <<时,则[0,]x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减；[,1]x a ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增, 所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-,31166a -=-, 所以1a =,不满足01a <<；当1a =时,在[0,1]上,()0f x '…且不恒为0,所以()f x 在[0,1]上单调递减,min 111()(1)326f x f ==-=-,适合题意； 当1a >时,在[0,1]上,()0f x '<,所以()f x 在[0,1]上单调递减,min 111()(1)326f x f a ==-=-,所以1a =,不满足1a >； 综上,1a =．（2）由（1）3211()232g x x x x b =--+,所以3211232b x x x =-++, 令3211()232h x x x x =-++,则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+', 所以(2)0,(1)0h h ''=-=,且当1x <-时,()0h x '<；当12x -<<时,()0h x '>；当2x >时,()0h x '<,所以()()11712326h x h =-=+-=-极小,()()11102844323h x h ==-⨯+⨯+=极大, 如图：当76b<-或103b>时,函数()g x有1个零点；当76b=-或103b=时,函数()g x有2个零点；当71063b-<<时,函数()g x有3个零点．。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(用导数研究函数的最值)练习1．（2024届江苏省镇江市高三上学期阶段检测）已知函数()()2e xf x x a x =--．(1)若[]1,0,1a x =∈，求函数()f x 的最值；(2)若Z a ∈，函数()f x 在[0,)x ∞∈+上是增函数，求a 的最大整数值．2．（2023届江苏省南通市如皋市2高三上学期模拟）设*n ∈N ，函数()ln n x f x x =，函数()()e ,0,x n g x x x∞=∈+ (1)求函数g (x )的单调区间和最值；(2)若当3n =时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，都有()()12f x t g x ≤≤成立，求实数t 的取值范围.3．（2024届四川省成都市高三上学期开学考试）已知函数()e xf x ax =-，a ∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若当1x ≥-时，()f x ax >，求a 的取值范围．(3)若存在实数a 、b ，使得()2f x ax b ax +≥-恒成立，求a b -的最小值．4．（2024届百师联盟高三上学期开学摸底联考）已知函数()2ln 1f x x mx x =-+，m ∈R 且0m ≠.(1)当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若关于x 的不等式()2ef x x ≥恒成立，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围. 5．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.6．（2024届湖北省腾云联盟高三上学期联考）已知函数2()(4)ln 2f x x x x ax =-++-. (1)证明：()f x 有唯一的极值点；(2)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.7（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期月考）设函数322()33f x x ax b x =-+ (1)若1a =，0b =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若0a b <<，不等式1ln 1x k f f x x +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意()1,x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值．8．（2023届河南省南阳市高三上学期期中）已知()21e 12xf x x x =---. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.9．（2023届福建省三明市高三上学期期末）已知函数()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1)求证：()f x 在()ππ,2-上单调递增；(2)当()π,0-时，()sin e cos sin xf x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求k 的取值范围. 10．（2023届河南省开封市模拟）设函数()()22e x f x x x =-，()2e ln eg x x a x =-．(1)若函数()g x 在()e,+∞上存在最大值，求实数a 的取值范围； (2)当2a =时，求证：()()f x g x >．11．已知函数()()e ,ln 1xh x x mx g x x x =-=++.(1)当1m =时，求函数()h x 的单调区间：(2)若()()h x g x …在()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围. 12.已知()ln f x x ax =+（a R ∈） （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时,若()()1f x k x b ≤++在()0,∞+上恒成立,证明：221k b k +--的最小值为1e -+.参考答案【例1】（2024届陕西省西安中学高三上学期月考）已知函数()()ln 20f x x ax a =--≠. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若0a >时函数()f x 有最大值M ，且4M a >-，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+， 由()()ln 20f x x ax a =--≠可得()1f x a x'=-， 当0a <时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增， 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，综上所述，当0a <时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递减，所以当1x a=时，()f x 取得极大值，也是最大值， 即()max 1111ln 2ln 3ln 3f x f a a a a a a ⎛⎫==-⨯-=-=-- ⎪⎝⎭，因此有ln 34a a -->-，得ln 10a a +-<， 设()ln 1g a a a =+-， 则()110g a a'=+>， 所以()g a 在()0,∞+上单调递增，又()10g =，所以()()1g a g <，得01a <<， 故实数a 的取值范围是()0,1.【例2】（2024届宁夏吴忠市高三上学期月考）已知函数()e xf x ax =+在()()0,0f 处的切线与直线l ：240x y -+=垂直．(1)求()f x 的单调区间；(2)若对任意实数x ，()232f x x b ≥--+恒成立，求整数b 的最大值．【过程详解】（1）由()e xf x a '=+，得()01k f a '==+，又切线与直线l ：240x y -+=垂直，所以2k =-，即3a =-．所以()e 3xf x '=-，令()0f x '=，得ln3x =，当ln3x <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当ln3x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以()f x 的单调递减区间为(),ln 3-∞，单调递增区间为()ln 3,+∞．（2）对任意实数x ，()232f x x b ≥--+恒成立，即对任意实数2,e332xx x x b +-+≥恒成立．设()2e 33x g x x x =+-+，即()min 12b g x ≤． ()e 23x g x x =+-'，令()()e 23x h x g x x '==+-，所以()e 20'=+>xh x 恒成立，所以()e 23x g x x =+-'在R 上单调递增．又1202g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()1e 10g '=->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即00e 230xx +-=，所以00e 32xx =-．当()0,x x ∈-∞时，()00g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()00g x '>，()g x 单调递增．所以()()02000min e 33xg x g x x x ==+-+2220000005132335624x x x x x x ⎛⎫=-+-+=-+=-- ⎪⎝⎭，当01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，200152564x x <-+<，所以()01151,28g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由题意知()012b g x ≤且b ∈Z所以1b ≤，即整数b 的最大值为1．【例3】（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期诊断测试）已知函数()ln e xf x x x x=--.(1)求()f x 的最大值;(2)证明：()313e xx x f x x++≥-【过程详解】（1）()ln e xf x x x x=--，定义域为(0,)+∞，则21e (1)()1x x f x x x -'=--2(1)(e )x x x x --=， 令()(),e 1e 1x xg x x g x '=--=-，因为()()0,,0x g x '∈+∞>恒成立，所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 所以()()0=0g x g >，即当0x >时，e 1x x x >+>，令()0f x ≥'，可得01x <≤，得()f x 在(]0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以max ()(1)1e f x f ==-.（2）要证3e 13()xx x f x x++≥-，即证321ln x x x -+≥，令()()11ln 1,h x x x h x x'=--=-令0()h x '≥得1x ≥，即()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()()1=0h x h ≥，即1ln x x -≥，即欲证321ln x x x -+≥，只需证321 1.x x x -+≥-也就是证明3320.(*)x x -+≥ 设3()32(0)x x x x ϕ=-+>，则2()33x x ϕ'=-，令()0x ϕ'=，得 1.x = 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<；当(1,)x ∈+∞时，()0.x ϕ'>∴当1x =时，()ϕx 取到最小值(1)0.ϕ=故(*)式成立，从而3e13()x x x f x x++≥-成立.【例4】（2023届北京名校高三二轮复习检测）已知函数()()3222213x x x a x f =-+-+，其中R a ∈． (1)若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求()f x 在区间[]2,3上的最大值和最小值．【过程详解】（1）当2a =时，322()213f x x x =-+，求导得2()24f x x x '=-，则(1)2f '=-，而1(1)3f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)3y x +=--，即6350x y +-=. （2）依题意，22()2422(1)f x x x a x a '=-+-=--，而[2,3]x ∈，则2[2,8]2(1)x ∈-， ①当2a ≤时，()0f x '≥，当且仅当2,2a x ==时取等号，函数()f x 在[]2,3上单调递增， 则min 7()(2)23f x f a ==-，max ()(3)73f x f a ==-； ②当8a ≥时，()0f x '≤，当且仅当8,3a x ==时取等号，函数()f x 在[]2,3上单调递减， 则min ()(3)73f x f a ==-，max 7()(2)23f x f a ==-；③当28a <<时，函数()f x '在[]2,3上单调递增，由()0f x '=，得1x =，当[2,1x ∈时，()0,()'<f x f x 递减，当(1x ∈时，()0,()'>f x f x 递增，min 513()(3f a x f -==-， 由714(3)(2)(73)(2)033f f a a a -=---=-≥，得1423a <≤，max ()(3)73f x f a ==-，由14(3)(2)03f f a -=-<，得1483a <<，max 7()(2)23f x f a ==-， 所以当2a ≤时，()f x 的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 的最小值是533a --73a -；当1483a <<时，()f x 的最小值是53a -723a -； 当8a ≥时，()f x 的最小值是73a -，最大值是723a -．四、跟踪检测1．（2024届江苏省镇江市高三上学期阶段检测）已知函数()()2e xf x x a x =--．(1)若[]1,0,1a x =∈，求函数()f x 的最值；(2)若Z a ∈，函数()f x 在[0,)x ∞∈+上是增函数，求a 的最大整数值．【过程详解】（1）若1a =，则函数()()21e x f x x x =--，()()()e 1e 2e 2x x xf x x x x =+--=-'．令()0f x '=，则0x =或ln 2x =，由于[]0,1x ∈，因而当()0,ln2x ∈时．()()0,f x f x '<单调递减， 当()ln2,1x ∈时．()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 的最小值为()()2ln21ln21f =---，最大值为()()011f f ==-（2）()()()e e 21e 2x x xf x x a x x a x =+--=--'+，由()f x 在[0,)x ∞∈+上是增函数， 得()0f x '≥在[0,)x ∞∈+上恒成立，即()[)1e 200,xx a x x ∞+--≥∈+，，分离参数得[)210e xxa x x ∞-≥-∈+，， 设()2e x x g x x =-，则()2222e 1e e xx xx x g x ---=='-， ()0g x '=，即22e 0x x --=设()22e xh x x =--，由于()1010102h h ⎛⎫=>=< ⎪⎝⎭，，因而方程22e 0x x --=在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上有解，设为0x ，则00e 22xx =-，且当()00,x x ∈时，()0g x '>，当()0,x x ∈+∞时()0g x '<，，所以()g x 的最大值为()02000000002e 11x x x x g x x x x x =-=-=--．因而20011x a x -≥-，即20000113111x a x x x ≤+=++---， 又00110,11,22x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 又001131,112x x ⎛⎫++-∈ ⎪-⎝⎭所以a 的最大整数值为0．2．（2023届江苏省南通市如皋市2高三上学期模拟）设*n ∈N ，函数()ln n x f x x =，函数()()e ,0,xn g x x x∞=∈+(1)求函数g (x )的单调区间和最值；(2)若当3n =时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，都有()()12f x t g x ≤≤成立，求实数t 的取值范围. 【过程详解】（1）()()e ,0,xn g x x x ∞=∈+，则()()1e x n x n g x x+='-，令()0g x '=，解得x n =， 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以函数()g x 在区间()0,n 上为单调递减，区间(),n +∞上为单调递增， 所以()mine nn g x n=，无最大值. （2）当3n =时，函数()()33ln e ,,0xx f x g x x x x==>，由题意，若对任意的1x ，()20,x ∈+∞，都有()()12f x t g x ≤≤恒成立， 只需当()0,x ∞∈+时，()()max min f x t g x ≤≤， 因为()413ln xf x x-'=，令()0f x '=，解得13e x =， 当x 变化时，f (x )与f (x )的变化如下表所示：所以()13max1e 3ef x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又因为()()4e 3x x g x x-'=，令()0g x '=，解得3x =， 由（1）知所以函数()g x 在区间()0,3上为单调递减，区间()3,+∞上为单调递增， 所以()()3mine 327g x g ==， 综上所述，得31e 3e 27t ≤≤. 3．（2024届四川省成都市高三上学期开学考试）已知函数()e xf x ax =-，a ∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若当1x ≥-时，()f x ax >，求a 的取值范围．(3)若存在实数a 、b ，使得()2f x ax b ax +≥-恒成立，求a b -的最小值．【过程详解】（1）解：因为()e x f x ax =-，其中x ∈R ，则()e xf x a '=-，若0a ≤，则()0f x >恒成立，此时()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间； 若0a >，由()0f x '<，得ln x a <，由()0f x ¢>，得ln x a >， 此时函数()f x 的减区间为(),ln a -∞，增区间为()ln ,a +∞.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间； 当0a >时，函数()f x 的减区间为(),ln a -∞，增区间为()ln ,a +∞． （2）解：由()f x ax >得2e x ax <， 当0x =时，显然成立；当[)1,0x ∈-时，20x <，可得e 2x a x >，令()e 2x g x x =，则()()2e 102x x g x x -=<'，则()g x 在[)1,0-上递减，故()()112e g x g ≤-=-，此时12ea >-； 当()0,x ∈+∞时，20x >，可得e 2xa x <，令()()2e 102x x g x x -=='得1x =， 由()0g x '<，可得01x <<，由()0g x '>，可得1x >． 此时，函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以，()g x 在1x =处取得最小值，即()()e12g x g ≥=，此时e 2a <． 综上，a 的取值范围是1e ,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）解：当a<0时，对任意的x <， ()()221e 111111x bf x ax ax a b b b a-=+<+<+⋅=--≤--=， 所以对任意的实数b ，()f x b ≥不可能恒成立；当0a =时，()e xf x =，要使()f x b ≥恒成立，只需0b ≤，所以0a b b -=-≥，当0a >时，由题意，()e 2xf x ax '=+，因为函数e x y =、2y ax =在R 上均为增函数，所以()f x '在R 上单调递增，因为121e 102a f a -⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()010f '=>，所以存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，由()0f x '<可得0x x <，由()0f x ¢>可得0x x >，所以()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，从而()()0200min e x f x f x ax ==+，因为()f x b ≥恒成立，所以020e x ax b +≥，故020e x a b a ax -≥--①，又()000e 20x f x ax '=+=，所以0e 2x a x =-，代入不等式①可得0002000e e e 22x x x a b x x x ⎛⎫-≥--- ⎪⎝⎭，整理得：0200021e 2x x x a b x ---≥， 设()()221e 02x x x g x x x --=<，则()()()23222111e e 22x x x x x x x g x x x -+--+'==， 所以()010g x x '>⇔-<<，()01g x x '<⇔<-， 故()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，从而()()11e g x g ≥-=-，所以()01e a b g x -≥≥-，当12e a =，32e b =时取等号，综上所述，a b -的最小值为1e-．4．（2024届百师联盟高三上学期开学摸底联考）已知函数()2ln 1f x x mx x =-+，m ∈R 且0m ≠.(1)当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若关于x 的不等式()2ef x x ≥恒成立，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围. 【过程详解】（1）由题，当1m =时，()2ln 1f x x x x =-+，()2ln 1f x x x '=--，()11f '=，()12f =，所以切线方程为21y x -=-，化简得10x y -+=，即曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=.（2）()2ef x x ≥，即22ln 1e x mx x x -+≥，即12ln 0e x m x x +--≥在()0,∞+上恒成立， 令()12ln eg x x m x x =+--，则()222111m x mx g x x x x --'=--=. 对于21y x mx =--，240m ∆=+>，故其必有两个零点，且两个零点的积为1-，则两个零点一正一负，设其正零点为()00,x ∈+∞，则20010x mx --=，即001m x x =-， 且在()00,x 上时210,y x mx =--<则()0g x '<，此时()g x 单调递减，在()0,x +∞上，210,y x mx =-->()0g x '>，此时()g x 单调递增，因此当0x x =时，()g x 取最小值，故()00g x ≥，即00000112ln 0e x x x x x ⎛⎫+---≥ ⎪⎝⎭. 令()112ln e h x x x x x x ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，则()2222111111ln 11ln h x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又()1e 0e h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故01,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 显然函数001m x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是关于0x 的单调递增函数，则11e,e ee m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 所以实数m 的取值范围为11e,00e ,e e ⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U 5．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈. (1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.【过程详解】（1）当1m =时，()212ln 1(0)2f x x x x =-+>， ()222(0)x f x x x x x-'∴=-=>， 令()0f x '=，得x ，当(x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当)x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减， 所以()f x在x 处取得唯一的极大值，即为最大值，所以max 1()21ln22f x f ==⨯+=， 所以()ln2f x ≤，而ln2lne 1<=，所以()1f x <.（2）令()()()()2122ln 212G x f x m x x mx m x =--=-+-+. 则()()()22222mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='. 当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>，所以()G x 在()0,∞+上单调递增，又因为()31302G m =-+>. 所以关于x 的不等式()0G x <不能恒成立；当0m >时，()()21m x x m G x x⎛⎫-+ ⎪'⎝⎭=-. 令()0G x '=，得2x m =，所以当20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>； 当2,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '<. 因此函数()G x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 故函数()G x 的最大值为222ln 2ln21G m m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. 令()22ln 2ln21h m m m=-+-， 因为()()()1112ln20,20,32ln22ln303h h h =+>==--<， 又因为()h m 在()0,∞+上单调递减，所以当3m ≥时，()0h m <.所以整数m 的最小值为3.6．（2024届湖北省腾云联盟高三上学期联考）已知函数2()(4)ln 2f x x x x ax =-++-.(1)证明：()f x 有唯一的极值点；(2)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【过程详解】（1）证明：()f x 定义域为()0,∞+，由2()(4)ln 2f x x x x ax =-++-，得()44ln 2ln 21x f x x x a x x a x x -=+++=-+++'， 令()()4ln 21x f x x x a x ϕ==-+++'，则()21420x x xϕ'=++>， 所以()f x '在()0,∞+上单调递增，因为()4ln 1f x x a x <-++'，且4ln 1R x a x ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，()ln 21f x x x a >+++'，且当(1,)x ∈+∞时，()ln 21(3,)x x a a +++∈++∞，所以()f x '的值域为R ，所以()f x '有唯一的零点()00,x ∈+∞，使得()00f x '=，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 有唯一的极值点，（2）由（1）知，()f x 在0x x =取得极小值点，也是最小值点，由()00f x '=得0004ln 21a x x x =--+-， 所以()()2000004ln 2f x x x x ax =-++-()2000000044ln ln 212x x x x x x x ⎛⎫=-++--+-- ⎪⎝⎭ ()()20000004ln 24ln 21x x x x x x =---+=--+-，当001x <≤时，04ln 0x -≥，()()00210x x -+-≥，所以()00f x ≥；当01x >时，04ln 0x -<，()()00210x x -+-<，所以()00f x <，因为()00f x ≥，所以001x <≤设()()4ln 2101h x x x x x=--+-<≤，则()()2142001h x x x x '=---<<≤ 所以()h x 在(0,1]上单调递减，所以()()011a h x h =≥=，即1a ≥7（2023届黑龙江省哈尔滨市高三上学期月考）设函数322()33f x x ax b x =-+(1)若1a =，0b =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若0a b <<，不等式1ln 1x k f f x x +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意()1,x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值． 【过程详解】（1）当1a =，0b =时，32()3f x x x =-，所以(1)2f =-，即切点为()1,2P - 因为2()36f x x x '=-，所以(1)363f '=-=-，所以切线方程为()231y x +=--，即31y x =-+，（2）22()363f x x ax b '=-+，由0a b <<，所以22363636()()0a b a b a b ∆=-=+-<， 所以函数()f x 在R 上单调递增 不等式1ln 1x k f f x x -⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1ln (1ln )11x k x x k x x x --⇔>⇔>--，对()1,x ∈+∞恒成立， 构造(1ln )()1x x h x x -=-，22(2ln )(1)(ln )ln 2()(1)(1)x x x x x x x h x x x +--+--'==--， 构造()ln 2g x x x =--，11()1x g x x x-'=-=，对()1,x ∈+∞有()0g x '>， 所以()ln 2g x x x =--在()1,x ∈+∞递增，()31ln 30g =-<，()42ln 40g =->，所以0(3,4)x ∃∈，()000ln 20g x x x =--=，所以()01,x x ∈，()0g x <，即()0h x '<，()h x 在()01,x 递减，()0,x x ∈+∞，()0g x >，即()0h x '>，()h x 在()0,x +∞递增，所以()()00min 001ln ()1x x h x h x x +==-，结合00ln 2x x =-，故min 0()(3,4)h x x =∈， 所以(1ln )1x x k x +<-对(1,)x ∈+∞恒成立min ()k h x ⇔<，故3k ≤， 所以整数k 的最大值为3；8．（2023届河南省南阳市高三上学期期中）已知()21e 12x f x x x =---. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.【过程详解】（1）函数()f x 的定义域为R ,()e 1x f x x '=--，令()()(),e 1x x f x x ϕϕ''==-，当()()0,0,x x x ϕϕ'>>单调递增，当()()0,0,x x x ϕϕ'<<单调递减，所以()(0)0x ϕϕ≥=，即()e 10x f x x ¢=--?故函数()f x 在R 上单调递增（2）由（1）知()f x 在[]1,1x ∈-时，单调递增，且()00f =，故()()[]()(],0,1,1,0f x x y f x f x x ⎧∈⎪==⎨-∈-⎪⎩， 所以()(){}max 1,1M f f =-，由于()()115111e 3e 0e 22ef f --=---=--<， 所以()()11f f -<，故()51e 2M f ==-, 而()51e 2e 2N f M '≥=->-=, 因此M N < 9．（2023届福建省三明市高三上学期期末）已知函数()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)求证：()f x 在()ππ,2-上单调递增； (2)当()π,0-时，()sin e cos sin x f x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求k 的取值范围.【过程详解】（1）()1sin e x x f x x -=+，ππ,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()2cos e x x f x x -'=+， 由()π,0x ∈-，有22x -≥，11e x >，则22e x x ->，又1cos 1x -≤≤， 则()2cos 120e xx f x x -'=+>-+>. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x ≥，20x ->，所以()2cos 0e x x f x x -'=+> 所以当()ππ,2-时，()0f x ¢>，综上，()f x 在()ππ,2-上单调递增. （2）()sin e cos sin x f x x x k x --⎡⎤⎣⎦≤.化简得1cos sin x x k x --≤.当()π,0x ∈-时，sin 0x <，所以1cos sin x x k x --≤， 设()1cos sin x x g x x --=， ()()()221sin sin cos 1cos sin 1cos cos sin sin x x x x x x x x x g x x x +-+='--+-=设()sin 1cos cos h x x x x x =+-+，()()cos cos sin sin 1sin h x x x x x x x x =-+-=-'.()π,0x ∈- ，10x ∴-<，sin 0x <，()0h x '∴>()h x ∴在()π,0-上单调递增， 又由π02h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当ππ,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0h x <，()0g x '<， ()g x ∴在ππ,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减； 当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x ∴>，()0g x '>，()g x ∴在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min π1ππ21212g x g --⎛⎫=-==+ ⎪-⎝⎭， 故π12k ≤+. 10．（2023届河南省开封市模拟）设函数()()22e x f x x x =-，()2e ln e g x x a x =-．(1)若函数()g x 在()e,+∞上存在最大值，求实数a 的取值范围；(2)当2a =时，求证：()()f x g x >．【过程详解】（1）由2()e ln e g x x a x =-得：()22e e e e a x g x a x x -=='-（0x >）， ①当0a ≤时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(e,)+∞不存在最大值， ②当0a >时，令()0g x '=，解得：e 0x a=>， 当,e 0x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在e 0,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当,e x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<在e ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()g x 在e x a =时，取得最大值e g a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又由函数()g x 在(e,)+∞上存在最大值， 因此e e a>，解得：1a <，所以a 的取值范围为(0,1).（2）证明：当2a =时，2()e ln 2e g x x x =-，且函数()g x 的定义域为()0,∞+，要证明()()f x g x >，即证明0x >时，()222e e ln 2e x x x x x ->-， 只需要证明：0x >时，()222e 2e e ln x x x x x -+>， 因为0x >，所以不等式等价于2ln (2)e 2e e xx x x -+> 设()(2)e 2e x x x ϕ=-+（0x >），则()()1e xx x ϕ-'=， 令()0x ϕ'=得：1x =，当01x <<时，()0x ϕ'<，当1x >时，()0x ϕ'>，所以()ϕx 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)e x ϕϕ≥=，且当1x =时，等号成立； 又设2e ln ()x h x x=（0x >），则22e (1ln )()x h x x -'=， 令()0h x '=得：e x =，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，所以()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，故()(e)e h x h ≤=，且当e x =时，等号成立；综上可得：0x >时，()()x h x ϕ≥，且等号不同时成立，所以0x >时，()()x h x ϕ>，即当2a =时，()()f x g x >得证.11．已知函数()()e ,ln 1x h x x mx g x x x =-=++.(1)当1m =时，求函数()h x 的单调区间：(2)若()()h x g x …在()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围. 【过程详解】 (1)当1m =时()()()e ,1e 1x x h x x x h x x =+'=--设()()()1e 1x x h x x μ=+'=-，则()()2e 02x x x x μ=+≥⇒≥-'()()2e 02x x x x μ=+<⇒<-'()x μ∴即()h x '在(),2-∞-递减，在[)2,-+∞递增，当()()(),2,1e 10x x h x x ∞∈--=+⋅-<'，当[)()()2,0,00x h x h '<'∈-=而当[)()()0,,00x h x h ∞''∈+≥=所以当()()(),0,0,x h x h x ∞'∈-<递减；[)()()0,,0,x h x h x ∞'∈+≥递增.故函数增区间为[)0,∞+，减区间为(),0∞- (2)ln 1e ln 11e x xx x x m x x x --+≤--=，()0,x ∈+∞ 令()()()22e ln 1e ln ,,0,x x x x x xf x f x x x x ∞--+==∈+' ()()()()221e ln ,e 20,0,x x p x x x p x x x x x ∞=+++>∈'=+令 ()p x ∴在()0,∞+递增，而()12e 1e 10,10e p p -⎛⎫=-<> ⎪⎝⎭， 11,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()10p x =，即()1211e ln 0*x x x += 当()10,x x ∈时，()()0,f x f x '<在()10,x 递减，当()1,x x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()1,x +∞递增 ()11min 111ln 1()e x x f x f x x x ∴==-- 因为()1211e ln 0*x x x +=可变形为()111ln 1111111111e ln ln e ln **x x x x x x x x =-== 又()e ,1e 0,e x x x y x y x y x ==+>∴='Q 在()0,∞+递增，由（**）可得1111111ln ln ,e x x x x x ==-= ()11min 11111ln 111()e 11110x x f x f x m m x x x x ∴==--=+-=∴+≤∴≤ 故m 取值范围为(],0-∞12.已知()ln f x x ax =+（a R ∈）（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时,若()()1f x k x b ≤++在()0,∞+上恒成立,证明：221k b k +--的最小值为1e -+.【过程详解】（1）因为()()10f x a x x'=+>, 当0a ≥时,()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增,当0a <时,若10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增； 若1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减, 综上：0a ≥时,()f x 在()0,∞+上单调递增；0a <时,()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）因为()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立,所以()ln 1b x x k x ≥+-+在()0,∞+上恒成立, 设()()ln 1g x x x k x =+-+,所以()()110g x k x x'=+->, 当1k ≤时,()0g x '>,所以()g x 在()0,∞+上单调递增,此时()b g x ≥显然不恒成立；当1k >时,若10,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增；若1,1x k ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以()()max 1111ln 1ln 111111g x g k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭, 所以()ln 11b k k ≥----, 又因为()()ln 11ln 12222211111k k k k b b k k k k -----++-=+≥+=-----, 令10t k =->,()ln 21t h t t +=-,所以()2ln 1t h t t +'=, 当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '<,()h t 单调递减；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0h t '>,()h t 单调递增； 所以()min 11h t h e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭, 所以221k b k +--的最小值为1e -+.。