[数算]空瓶换饮料问题的最快求解公式

2020集美公务员考试行测数量关系：空瓶换水问题空瓶换水题型在近几年的事业单位考试中也经常出现，相对其他模块而言属于容易得分的一个模块。

对于这类题型我们可以怎么求解呢?那接下来通过几个简单基础的题型将技巧教给各位考生。

空瓶换水这一题型指的是几个空瓶可以换几瓶水这一条件，问考生买几瓶水最多可以喝到多少水或者想喝一定数量的水最少需要自己购买几瓶水这样的问题。

题型一：N个空瓶=1瓶水例如：某超市销售某“快乐肥宅水”为了吸引顾客提高销量，推出以“3个空瓶换1一瓶水”的活动，已知某小朋友攒足14个空瓶之后，问最多可以喝到几瓶肥宅水?很多学员第一反应是一个列举先拿12个瓶子换4瓶水，还剩2个空瓶跟4个刚换喝完水的空瓶共6个空瓶再换2瓶水，最后产生2个空瓶，到这一步就以为结束了可以喝6瓶水就算错了。

为了最大效益的喝水，还有2个空瓶其实还能再换一瓶水。

那是为什么呢?2个空瓶不足3个可以假设先向其他人借一个空瓶，换完水之后产生的一个空瓶再还给别人。

所以最多可以喝到7瓶水。

那有没有更快的办法呢?也就是说为了喝更多的水不妨讲换水规则换一下，3个空瓶=1瓶水=1个空瓶+1份水，得到：2个空瓶=1份水，则14个空瓶=7份水。

假设4个空瓶换一瓶水，则看成3个空瓶=1份水假设7个空瓶换一瓶水，则看成6个空瓶=1份水总结：N个空瓶=1瓶水，则(N-1)个空瓶=1份水题型二：N个空瓶=M瓶水注意：N>M例如：某超市销售某“快乐肥宅水”为了吸引顾客提高销量，推出以“5个空瓶换2一瓶水”的活动，已知某小朋友攒足15个空瓶之后，问最多可以喝到几瓶肥宅水?同理，15个空瓶先换6瓶水，产生6个空瓶可以换2瓶水再产生3个空瓶再借来2个空瓶换2瓶水，最后喝10瓶水。

讲换水规则5个空瓶=2瓶水=2个空瓶+2份水，替换为3个空瓶=2份水，则将3个空瓶看成一份，15个空瓶则看成5份瓶子，共计换5*2=10瓶水。

假设6个空瓶换3瓶水，则可替换为3个空瓶换3瓶水假设8个空瓶换2瓶水，则可替换为6个空瓶换2份水总结：N个空瓶换M瓶水，则N-M个空瓶换M份水例题：5个空瓶可以换一瓶水，某次小明请全年度学生请了161瓶水，部分购买部分换的，那小明至少买几瓶? A.129 B.128 C.127 D.126解析:替换规则为4个空瓶换1份水，可以利用方程法求解：假设购买了x 瓶水，则可以换y瓶，y=x/4,根据喝161=x+x/4,则x=128.7,需要买129。

【导读】安徽公务员考试网为您提供：2015年安徽公务员考试：数学运算题型详解之空瓶换水，更多信息请关注安徽人事考试网备战公务员考试，时间是基础，方法是关键，如果考生们能够掌握正确的复习方法，再加上从现在开始着手学习，相信一定会笑傲考场，成功上岸。

数学运算题型详解之空瓶换水公务员考试行测题包罗万象，其中不乏以生活中所闻所见事物做题干的题目，比如所统筹问题。

统筹问题属于小题型，虽然出现的概率不是很高，但是结论性非常强，只要记住了结论，在考试中可以顺利拿到分数。

空瓶换水是统筹问题中的经典题目，如何快速解决空瓶换水问题呢，中公教育专家为各位考生支招。

例题1：3个空啤酒瓶可以免费换1瓶啤酒，现有32个啤酒空瓶，最多可以免费喝多少啤酒?A. 15B. 16C. 17D. 18大家通常的做法如下：3个啤酒瓶免费换1瓶啤酒，现在32个空瓶，可以换10瓶啤酒，10瓶啤酒喝完，总共有12个空啤酒瓶，还可以换4瓶啤酒，产生4个空啤酒瓶，再换1瓶酒，还剩下2个空啤酒瓶，所以总共可以换10+4+1=15。

很多考生做到这里就止步了。

其实问题到这里并没有结束，我们继续分析，到目前为止，可以换15瓶啤酒，还剩下2个空啤酒瓶，缺少一个空瓶不能换一瓶酒，这里我们会引进一个“借”的理念，我们借一个空瓶，现在3个空瓶换一瓶酒后，再把空酒瓶还回去。

所以最多可以免费喝16瓶酒。

如果我们这样推算的话，不仅浪费时间还容易产生差错。

在行测考试那么紧张的状态下，肯定不能在这样的题型上失分。

如何去计算呢，其实我们可以这样考虑：3个空瓶酒瓶换一瓶啤酒，也就是3空瓶=1空瓶+1份酒(只算酒不算空瓶)，等式两边空瓶可以约掉1个，也即2空瓶=1酒，2个空瓶换一份酒，现在32个空瓶可以换32/2=16瓶酒。

答案为B。

若已知换算规则和空瓶数，求最多可以喝多少免费的酒：空瓶数/换算关系数，结果取整数。

若已知换算规则和实际喝道的酒数，如何去求至少买多少瓶酒呢。

例题2：3个空啤酒瓶可以换1瓶啤酒，王先生喝了48瓶啤酒，他至少需要买多少瓶酒?A 30 B. 32 C. 33 D.34在这里我们需要注意，48瓶啤酒分为两部分，实际买到的啤酒和喝完酒后空瓶换来的啤酒。

行测数学运算技巧：你会用“空瓶”换水吗?在公务员考试中，除了常见的计算问题、工程问题、行程问题、排列组合等题型外还有一些比较特殊的题型。

这些题型的显著特点就是不会用方法的话会非常容易出错，但如果学习会解题的方法就非常的简单了。

而今天就和大家来学习一下特殊题型中的一种---空瓶换水。

说到空瓶换水，相信很多同学都见过这种题型，但是在解题的时候会发现过程很繁琐，而且经常会做错，那这种题型应该如何的解呢?例1：如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝几瓶矿泉水?A.3B.4C.5D.6【答案】C。

解析：在拿到这道题目的时候相信很多同学会下意识的在草稿纸上进行演算，一步一步的去进行换水。

如果先用12个空瓶换3瓶矿泉水，然后再用6个空瓶去换，这样以此类推。

但是实际上我们先把已知条件进行化简之后就会发现，这种题型是非常简单的。

已知条件告诉我们，4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，那么列式就是4空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，化简后得3空瓶=1份水，也就是说，我们相当于用3个空瓶子就可以换1份水，而现在有15个空瓶，所以我们能够换瓶水，这道题我们直接选择C选项就可以了。

通过刚才这道例题，我们可以看到在计算空瓶换水问题的时候核心就是n 个空瓶换1瓶水，那么也就是说n-1个空瓶可以换1份水，然后我们直接进行计算就可以了，接下来我们再通过一道题目来练习一下。

例2：某商店销售一种饮料，规定每4个空瓶可以换一瓶饮料，小王家有30个空饮料瓶，那么小王用现有的空瓶可以免费换多少瓶饮料呢?A.8B.9C.10D.11【答案】C。

解析：根据题目信息我们可以知道每4个空瓶可以换一瓶饮料，也就是说3个空瓶可以换一瓶饮料，接下来列式30÷3=10(瓶)，直接选择C 选项就可以了。

通过上面几道例题的讲解，相信大家已经对如何用空瓶来换水有了一定的了解，是不是非常简单呀。

各位同学，在后期的做题过程中如果遇到空瓶换水的题型，大家就可以根据题目信息，直接套用公式来解题就可以了，相信各位同学经过不断的练习和总结一定能够解决这部分题型。

[数算]空瓶换饮料问题的最快求解公式6个空瓶能换1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？157÷6×5=130.83（向上取整）=131X=A÷N×(N-1) （向上取整）如改为:每瓶饮料1元钱，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：131÷5×6=157.2（向下取整）=157A=X÷(N-1)×N （向下取整）用这种算法既快又准，不擅长算此类题目的朋友只需记住公式即可从容应对，原本会算的朋友可以快速得出答案（15秒以内），节约时间。

行测的要求是又准又快，数学运算题不仅要会做而且要熟练，对一些常考类型的题目进行一般性的总结对可以在保证正确率的前提下提高解题速度，是我们复习时应该注意的内容。

希望这个简单的总结对考友们有所帮助。

分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。

其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。

公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。

非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。

第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。

我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。

包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。

QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。

其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。

第一讲空瓶换水
姓名：
例题一（直接换）：丁丁和一些同学进店后，共买了7瓶可乐。

如果每人喝一瓶可乐，那么最多有几人能喝到可乐？
7+2+1=10（瓶）
答：最多有10瓶，有10个人喝到可乐。

例题二（少1借1）：冷饮店规定喝完雪碧后，用4个空雪碧瓶可以换1瓶雪碧，小高和一些同学进店后共买了12瓶雪碧，如果每人喝1瓶雪碧，那么最多有几人能喝到雪碧？
12+3+1=16（瓶）答：最多有6人能喝到雪碧.
※※※例题三（最少买多少）：一种瓶装饮料，4空瓶可换一瓶饮料，有9 个小朋友，想每人喝一瓶饮料，至少要买几瓶就可以了？
4+3=7(瓶）答：至少要买7瓶就可以了.
1、促销活动规定：4个空可乐瓶子，可以换1瓶可乐．如果买4瓶可乐，那么，最多可以喝到几瓶可乐？
2、促销活动规定：5个空可乐瓶子，可以换1瓶可乐．如果买10瓶可乐，那么，最多可以喝到几瓶可乐？
3、商店促销活动，用4个空瓶可以换1瓶水．老师和一些小朋友进店后，共买了7瓶水．如果每人喝1瓶水，那么最多有几人能喝到水？
4、商店促销活动，用5个空瓶可以换1瓶水．小张和一些朋友进店后，共买了9瓶水．如果每人喝1瓶水，那么最多有几人能喝到水？
5、促销活动规定：4个空瓶，可以换1瓶水．那么，如果买6瓶水，最多可以喝到几瓶水？
6、超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?
※※※7、师生共10人外出写生．老师要给每人买一瓶矿泉水．到商店后，他发现每4个空瓶可换1瓶矿泉水．那么，老师只要买多少瓶矿泉水，就可以保证每人喝到一瓶？。

学霸都在用的“砸瓶大法”空瓶换水轻松解决学霸思维好方法数学作为学霸，他们拥有高效的学习方法和优秀的思维方式，能够更好地应对学习中的困难和挑战。

其中一种被称为“砸瓶大法”的方法被广泛运用于解决数学问题，本文将详细介绍该方法。

砸瓶大法的基本思想是通过空瓶换水的方式解决问题。

在数学问题中，特别是一些涉及到比例和等式的问题，我们经常会遇到未知数的问题，而砸瓶大法能够通过空瓶换水的方式将未知数转化为已知数，从而更加方便地解决问题。

下面以一个简单的例子来说明砸瓶大法的具体应用。

假设有一个涉及到两个未知数的问题：“甲、乙两人合作做一件工作，如果两人一起合作，需要5天完成，如果只有甲一个人做，需要15天完成。

问乙一个人独立做需要多少天完成？”首先，我们可以设甲一个人一天完成1/x的工作量，乙一个人一天完成1/y的工作量。

根据题目中的信息，我们可以得到两个方程：1/x+1/y=1/5 (1)1/x=1/15 (2)接下来就是运用砸瓶大法的核心思想，通过空瓶换水来解决问题。

首先，我们选择将未知数x转化为已知数y。

根据(2)式，我们可以得到x=15，然后将这个值代入(1)式，得到1/15+1/y=1/5，整理后可以求得y=75/4通过这个例子，我们可以看到砸瓶大法的优势。

在解决问题过程中，我们利用了已知条件的方程(2)来将未知数x转化为已知数，从而简化了问题的求解过程。

并且，砸瓶大法的思维方式能够帮助我们更好地理解问题，提高解决问题的效率。

除了以上的例子，砸瓶大法在数学中还有许多应用。

例如在碰撞问题中，我们可以通过砸瓶大法解决碰撞前后物体速度的关系；在概率问题中，我们可以通过砸瓶大法解决一些事件发生的概率等等。

总之，砸瓶大法是一种优秀的数学思维方式，能够帮助我们更好地理解和解决问题。

学霸们之所以能够在学习中取得卓越的成绩，除了他们自身的努力和天赋之外，优秀的学习方法和思维方式也起到了重要的作用。

砸瓶大法作为一种常用的解决数学问题的方法，能够帮助学霸们更好地理解和应对数学问题，在解决难题时能够事半功倍。

行测数量关系：解答空瓶换水问题如何又快又准今天小编为大家提供行测数量关系：解答空瓶换水问题如何又快又准，希望大家能学习解题思路，把学到的知识运用到考试中去！行测数量关系：解答空瓶换水问题如何又快又准在做行测题目经常会遇到空瓶换水这类问题，大部分考生都喜欢用常规方法一点一点换，这么做虽然可以做出来，但是有两个弊端：错误率高且浪费时间。

所以小编带大家系统看下这类题目，总结出一些很简单的方法，以达到做此类题即快又准的目的。

首先我们来看一下，空瓶换水常考的两种题型：一是有N个空瓶，问可以免费喝多少瓶水;二是有N个人，保证每个人都要喝到一瓶水，问最少需要买多少瓶。

针对这两类题型，每类都有其固定的做题思路，我们逐个分析。

1、N个空瓶，可以免费喝多少瓶水。

比如：已知5个空瓶可以换一瓶水，现在有44个空瓶，问可以免费喝几瓶水。

按照一般的思路，我们肯定直接算，44÷5=8瓶水 (4)个空瓶，8+4=12个空瓶，还可以接着换，12÷5=2瓶水……2个空瓶，2+2=4个空瓶，不够5个所以不能换了，但如果想的够仔细的话，可以考虑再借一个空瓶，这样又可以换得一瓶水，喝完杯中水之后，将瓶子还给别人，此时可以达到利益的最大化。

因此能换8+2+1=11瓶水。

这样做当然最终也得出了正确答案，但是很明显较慢较复杂。

现在就告诉大家一个非常不错的方法。

由题意可得，5个空瓶=1瓶水，即5个空瓶=1水+1个空瓶，所以相当于4个空瓶可以免费喝一份水，所以44个空瓶可以喝到44÷4=11瓶水。

注意：此11瓶水仅仅包括瓶中的水，不包括空瓶。

这就是现在我们做空瓶换水问题的常规解法，这样做就不容易遗漏，正确率也极高。

2、N个人，最少买几瓶。

比如：已知4个空瓶可以换一瓶水，现在全班37个同学出去游玩，问作为班长，最少买几瓶就可以保证大家每个人都能喝到一瓶水?这类题，需要和生活结合在一起考虑。

大家都清楚，如果在现实生活中，作为班长，我们买水肯定不能先买一些，让这些人赶紧喝掉，喝完收集空瓶子再拿去换水，换来的水再发给还没喝到水的那些同学，如果真这样办事情的话，那班长肯定会被赶下台的。

行测数量关系备考：解决空瓶换水问题的小技巧
例1：若4个矿泉水空瓶可以免费换1瓶矿泉水，现在有15个矿泉水空瓶，最多可以免费喝多少瓶矿泉水?
A.3
B.4
C.5
D.6
【中公解析】
第一次兑换：已知4个空瓶可换1瓶水，且共15个空瓶，15÷4=3余3，则可换3瓶水，并且余3个空瓶;
第二次兑换：喝完换的3瓶水之后，加上第一次兑换后余下的3个空瓶合计6个空瓶。

6÷4=1…2，又可兑换1瓶水，且余2个空瓶。

第三次兑换：喝完换的1瓶水之后，加上第二次兑换后余下的2个空瓶合计3个空瓶。

有考生会认为还剩余3个空瓶，已不能兑换，只能兑换3+1=4瓶。

但是在数学题目当中我们可以借东西，只要保证有借有还即可。

因此我们可以借1个空瓶加上之前剩下的3个空瓶再兑换一次，这瓶水喝完之后的空瓶还回去即可。

所以一共可以免费喝到5瓶水，答案选C。

除了上述这种常规解题思路外，对于此类空瓶换水问题，还有更简便的求解技巧。

兑换规则为4空瓶=1瓶水，可以写成4空瓶=1空瓶+1份水，移项可知3空瓶=1份，15个空瓶，15÷3=5，故最多可以喝到5瓶水。

小结：共有M个空瓶，兑换规则为N个空瓶换1瓶水，则我们可以写成N 空瓶=1瓶水，N空瓶=1空瓶+1份瓶内的水，移项得到，N-1空瓶=1份瓶内的水，故可以换
瓶水，
符号的含义为向下取整，如。

例2：若12个矿泉水空瓶可以免费换1瓶矿泉水，现有101个矿泉水空瓶，最多可以免费喝几瓶矿泉水?
A.8
B.9
C.10
D.11
【中公解析】：M=101，N=12，故套公式。

学霸都在用的“砸瓶大法”空瓶换水轻松解决学霸思维好方法数学在学习的过程中，我们常常会遇到一些难题，无论是数学还是其他学科，这些难题都可能让我们感到困惑和无从下手。

然而，有一种被称为“砸瓶大法”的学习方法，被学霸们广泛使用，可以帮助我们轻松解决这些难题。

“砸瓶大法”是一种类比思维的方法，它模仿了一个人砸破一个瓶子然后将瓶子换成水的过程。

在数学问题中，我们可以将问题看作是一个瓶子，而解决这个问题就是将问题砸开，然后用更简单的问题替代原问题。

具体而言，使用“砸瓶大法”解决数学问题分为以下几个步骤：1.理解问题：首先，我们需要彻底理解问题的背景和要求。

这包括明确问题的条件、目标和约束。

只有完全理解问题，才能采取正确的解决方法。

2.砸开问题：接下来，我们需要将问题“砸开”，即将原问题分解成更简单的子问题。

这些子问题可能是其中一种特殊情况的简化问题，或者是原问题中一些方面的抽象。

通过将问题分解成子问题，我们可以更加深入地理解问题，并寻找解决的线索。

3.换水求解：在砸开问题之后，我们需要用更简单的问题替代原问题。

这些替代问题通常是基于砸碎问题之后的子问题所定义的。

通过解决这些替代问题，我们可以逐步构建解决原问题的方法。

当我们解决了所有的替代问题时，就相当于解决了原问题。

4.验证解答：最后，我们需要验证我们的解答是否符合原问题的要求。

这可以通过代入原问题条件进行检验。

如果解答符合要求，则可以确认问题已经解决；如果不符合要求，则需要重新审视解题过程，找出错误的地方。

“砸瓶大法”在解决数学问题中非常实用，它可以帮助我们拆解复杂的问题，找出解题的线索，并逐步构建解决方法。

同时，它也有助于培养我们的逻辑思维能力和问题解决能力。

举个例子来说明，“砸瓶大法”是如何应用的。

假设我们要解决一个复杂的方程，例如2x+3y=7，我们可以按照以下步骤使用“砸瓶大法”：1.理解问题：明确方程的条件和要求，即找到满足2x+3y=7的x和y 的值。

空瓶换空瓶换水水/饮料饮料//酒题型总结及题型总结及公式推导公式推导公务员行政能力测试中关于空瓶换水/饮料/酒的题型中常见的考点一是已知空瓶数、置换比例求最多可换瓶数；二是已知总瓶数、置换比例求最少需买瓶数。

一、假设现有空瓶数为a ，每n 个空瓶可以换1瓶饮料瓶饮料//…………，求最多，求最多可换瓶数当拿n 个空瓶换第1瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1=a-(n-1)；再拿n 个空瓶换第2瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1=a-(n-1)*2；再拿n 个空瓶换第3瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1-n+1=a-(n-1)*3····再拿n 个空瓶换第x 瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-(n-1)*x空瓶换饮料/……，最重要的一点是是否可拆借，目前有人认为，已知空瓶数求最多可换饮料数/已知总瓶数求最少需买瓶数意味着可拆借，我也认为，如果题目没有明确指出是否可拆借，有以上字眼即可理解为可拆借。

①当不可拆借时当a-(n-1)*x<n 时，就无法再换饮料了，因此可推出：设a-(n-1)*x=p,则n>p>=1,即a-p=(n-1)*x即x=1a −−n p即x=1a −n -1−n p当p=n-1时，时，x=x=1a −n -1即x+1=1a−n →a=(x+1)*(n-1)可知当a 为n-1倍数时，p=n-1，可换饮料数为x=1a −n -1当p<n-1时，时，0<0<1−n p <1,则x=1a −n 综上，当a 为n-1的倍数时x=1a −n -1-1，否则，否则x=1a −n ②当可拆借时当a-(n-1)*x<n a-(n-1)*x<n-1-1时，就无法再换饮料了，因此可推出：设a-(n-1)*x=p,则n-1>p>=1,即a-p=(n-1)*x即x=1a −−n p即x=1a −n -1−n p因p<n-1p<n-1，，0<1−n p <1,则x=1a −n 当a-(n-1)*x a-(n-1)*x==n -1时,可借1空瓶换一瓶饮料，喝完后空瓶归还，则可换饮料数为x+1,手里剩的空瓶数为a-(n-1)*（x+1）=0，即x+1=1a−n 因此可换饮料数为1a−n 综上，可拆借时可换饮料数x=1a−n 二、假设现有瓶数为b （含已换饮料数（含已换饮料数）），每n 个空瓶可以换1瓶饮料/…………，求最少要买多少瓶，求最少要买多少瓶不可拆借时，且当a 为n-1倍数时b=a+1a −n -1→求出a 后需进行验证），当a 不为n-1倍数时a=b 1-n n综上，当可拆借时，综上，当可拆借时，a=a=b 1-n n ；当不可拆借且a 为n-1倍数时a=b 1-n n否则a=b 1-n n。

行测中的空瓶换水问题对于各位同学来说，应该是不陌生的，很多同学在小时候的数学题当中就见过这种拿空瓶子换水的问题。

然而从小时候很多同学做这种题目的时候采取的是一步一步换的方法，但是这种做法比较费时间，并且容易出错。

今天中公教育就和大家来学习快速解决空瓶换水问题的方法。

例1.某商店为了吸引顾客做一个活动，每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，问小张共有11个空汽水瓶最多可以换几瓶汽水?
例2.若12个空瓶可以免费换1瓶汽水，现有101个空瓶，最多可以免费喝到几瓶汽水?
A.8瓶
B.9瓶
C.10瓶
D.11瓶
例3.商店开展“7个空瓶换一瓶啤酒”的优惠活动。

现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶“红星”啤酒，问张先生最少买多少瓶啤酒?
A.296
B.298
C.300
D.302。

数量关系－巧解空瓶换水问题中公教育研究与辅导专家沈亚丽在公务员行测考试中，数量关系题目虽然题量不大，但其中包含的题型千变万化，有些题目题型很固定，方法很确定，我们需要分辨清楚什么题型对应什么方法，解题才能实现快狠准。

今天，中公教育专家为大家分享一种特殊题型—空瓶换水。

一．基础知识假设7个空瓶可以兑换一瓶水，即7个空瓶=1个空瓶+1瓶水（不算瓶子），可得出6个空瓶=1瓶水。

假设7个空瓶可以兑换2瓶水，即7个空瓶=2个空瓶+2瓶水（不算瓶子），可得出5个空瓶=2瓶水，本质是等价交换。

二．例题展示【例题1】10个啤酒空瓶可以免费兑换1瓶啤酒，现有135个啤酒空瓶，可以免费喝到的啤酒最多为多少瓶？A.12B.13C.14D.15【中公解析】根据题目描述“10个啤酒空瓶可以免费兑换1瓶啤酒”，即实际上10-1=9个啤酒空瓶等价于一瓶啤酒（不含瓶），135÷9=15，可以免费喝到15瓶啤酒，故本题答案为D。

【例题2】20个啤酒空瓶（必须20的倍数才换）可以免费兑换4瓶啤酒，现有121个啤酒空瓶，可以免费喝到的啤酒为？A.27B.28C.29D.30【中公解析】根据题目描述“20个啤酒空瓶可以免费兑换4瓶啤酒”，即实际上20-4=16个啤酒空瓶兑换4瓶啤酒（不含瓶），121÷16==7……9，可以免费喝到7×4=28瓶啤酒，故本题答案为B。

直接告诉有多少个空瓶和兑换规则，可以很容易求出结果，但是有时候，题目会告诉我们需要喝到多少水，然后问需要买多少，这样的题目该如何解决呢？【例题3】5瓶汽水空瓶可以换1瓶汽水，某公司聚餐共喝了161瓶汽水，其中有买的，有换的，他们至少买了多少瓶汽水？A.127B.128C.129D.130【中公解析】根据题目“5瓶汽水空瓶可以换1瓶汽水”，即实际上是4个空瓶换1瓶汽水（不含瓶），设买了x 瓶汽水，可以再兑换4x ，可列式：x+4x =161，解得x=128.X ，所以至少买129瓶，故本题答案为C 。

空瓶换汽水的奥数问题公式空瓶换汽水是一道经典的奥数问题，它不仅有趣，还可以培养孩子们的逻辑思维能力和数学技能。

在本篇文章中，我们将详细介绍空瓶换汽水的问题背景、解题思路和数学公式等相关内容。

问题背景：假设有一家饮料店正在举行促销活动。

活动规则是：每喝完一瓶汽水，就可以拿回一张空瓶。

如果你将7个空瓶带到店里，就可以兑换一瓶新的汽水。

现在问题来了：如果你有10元钱，最多可以喝到多少瓶汽水？解题思路：这个问题看上去非常简单，但实际上涉及到一些数学知识和逻辑思维。

下面是解决这个问题的一些基本思路：1.先假设有n瓶汽水，每瓶汽水需要一个空瓶。

那么一共需要n个空瓶。

此外，每7个空瓶可以兑换一瓶汽水，因此需要n/7个空瓶。

所以，总共需要的空瓶数为n + n/7。

2.由于每次购买汽水需要消耗10元钱，因此可以用10元钱来计算每瓶汽水的价格。

每瓶汽水需要一个空瓶，因此相当于每瓶汽水的价格是7个空瓶。

而每7个空瓶可以兑换一瓶汽水，因此相当于每瓶汽水的价格是1元钱。

这就意味着，如果有足够的空瓶，就可以用1元钱买到一瓶汽水。

3.因此，可以将总共需要的空瓶数除以7，得到可以兑换的汽水瓶数。

然后将这个数乘以1元钱，再加上原有的10元钱，就是最多可以购买的汽水瓶数。

数学公式：根据上述思路，可以得到空瓶换汽水的数学公式如下：N = 10 + n/7 + n/(7^2) + n/(7^3) + ... + n/(7^k)其中，N表示最多可以购买的汽水瓶数，n表示购买这些汽水瓶需要的空瓶数，k表示最大的整数，使得n/(7^k)不小于1。

例如，当n=7时，k=1；当n=50时，k=2；当n=300时，k=3。

需要注意的是，上述公式是一个无穷等比数列之和，可以用等比数列求和公式来计算。

一、已知某人购买了若干瓶水已知某人购买了若干瓶水，，求最多可以喝到多少瓶水例题1朵朵和小伙伴们去商店买汽水朵朵和小伙伴们去商店买汽水，，商店正在进行空瓶换汽水的活动水的活动。

商店规定商店规定：：每3个空瓶可以换1瓶汽水瓶汽水。

朵朵买了10瓶汽水汽水，，如果把喝完的空瓶换成汽水如果把喝完的空瓶换成汽水，，他们一共能喝到多少瓶汽水他们一共能喝到多少瓶汽水??方法一方法一：：按照先喝后换的方法逐步分析。

第一步：朵朵买了10瓶汽水，把10瓶汽水都喝完后剩下10个空瓶。

第二步：每3个空瓶可以换1瓶汽水，因为10÷3＝3（瓶）……1（个），所以用10－1＝9（个）空瓶可以换3瓶汽水。

把换来的3瓶汽水喝完，此时一共有3＋1＝4（个）空瓶。

李艳锋（山东省台儿庄区张山子镇侯孟中心小学）小朋友，空瓶换水指的是规定若干个空瓶可以换一定瓶数的水，如某人已经买了若干瓶水，按规定用空瓶换水，最多可以喝到多少瓶水，或者某人需要一定数量的水，最少需要购买多少瓶水等类似的问题。

这是一个古老的趣味数学问题，曾以“空瓶换酒”“废电池换新电池”等形式出现在不同国家的各种数学竞赛题中。

如何解答这类问题呢？下面我们一起来看一下。

第三步：因为4÷3＝1（瓶）……1（个），所以用4－1＝3（个）空瓶可以换1瓶汽水。

把换来的1瓶汽水喝完，此时一共有1＋1＝2（个）空瓶。

第四步：剩下的2个空瓶不够换1瓶汽水，此时可以先向老板借1个空瓶凑够3个瓶子，用3个空瓶换1瓶汽水，把换来的1瓶汽水喝完，然后把1个空瓶还给老板。

他们一共能喝到10＋3＋1＋1＝15（瓶）汽水。

方法二：：按照先喝后换的方法解决问题很烦琐，我们可以换个方法二思路来思考。

如果先买2瓶汽水，喝完后向老板借来1个空瓶，然后用3个空瓶换1瓶汽水，把换来的1瓶汽水喝完，再把剩下的1个空瓶还给老板。

按照这样的思路分析，相当于每买2瓶汽水，就可以换1瓶，一共能喝到3瓶汽水。

如果每买2瓶汽水换一次，朵朵一共买了10瓶汽水，可以换到10÷2＝5（瓶）汽水，他们一共可以喝到10＋5＝15（瓶）汽水。

换汽水问题解法换汽水问题是一种经典的数学问题，常常在逻辑思维题中出现。

问题描述如下：假设你有一瓶汽水，瓶子中有n毫升的汽水。

你可以用两种方式进行换汽水操作：1.用每瓶汽水购买一瓶新的汽水，每瓶汽水的价格为m。

这种方式下，你可以获得n/m瓶汽水。

2.用三个空瓶子换一瓶新的汽水，或者用四个瓶盖换一瓶新的汽水。

这种方式下，每次换汽水的操作可以获得一瓶新的汽水。

问题是，你最多能获得多少瓶汽水？解法如下：我们可以使用贪心算法来解决这个问题。

思路如下：1.首先，我们可以用第一种方式尽可能多地购买汽水，直到无法再购买为止。

这样我们可以得到初始的汽水数。

2.接下来，我们可以使用第二种方式不断进行换汽水操作，直到无法再换为止。

每次操作都是用三个空瓶子或四个瓶盖换一瓶新汽水。

我们可以计算出每次操作获得的汽水数，然后将这些汽水数累加到初始的汽水数上。

3.最后，我们得到的汽水数即为问题的解。

下面是具体的步骤和示例：假设初始时有n毫升的汽水，每瓶汽水的价格为m。

1.根据第一种方式，我们可以购买n/m瓶汽水。

2.根据第二种方式，我们可以进行换汽水操作。

使用三个空瓶子可以换得n/3瓶汽水。

使用四个瓶盖可以换得n/4瓶汽水。

每次换汽水操作获得的汽水数总和为n/3+n/4=7n/12瓶。

3.将第一种方式获得的汽水数和第二种方式获得的汽水数相加，即为问题的解。

解为n/m+7n/12瓶。

这个解法的时间复杂度为O(1)，因为只需要进行有限次的计算。

换汽水问题的解法就是这样。

通过分析问题，我们可以找到一个贪心策略来解决问题，得到问题的最优解。

这个问题虽然简单，但是可以锻炼我们的逻辑思维和数学推理能力。

希望这个解法对你有帮助！。