原创总结【空瓶兑换公式】

行测数学运算技巧：你会用“空瓶”换水吗?在公务员考试中，除了常见的计算问题、工程问题、行程问题、排列组合等题型外还有一些比较特殊的题型。

这些题型的显著特点就是不会用方法的话会非常容易出错，但如果学习会解题的方法就非常的简单了。

而今天就和大家来学习一下特殊题型中的一种---空瓶换水。

说到空瓶换水，相信很多同学都见过这种题型，但是在解题的时候会发现过程很繁琐，而且经常会做错，那这种题型应该如何的解呢?例1：如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝几瓶矿泉水?A.3B.4C.5D.6【答案】C。

解析：在拿到这道题目的时候相信很多同学会下意识的在草稿纸上进行演算，一步一步的去进行换水。

如果先用12个空瓶换3瓶矿泉水，然后再用6个空瓶去换，这样以此类推。

但是实际上我们先把已知条件进行化简之后就会发现，这种题型是非常简单的。

已知条件告诉我们，4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，那么列式就是4空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，化简后得3空瓶=1份水，也就是说，我们相当于用3个空瓶子就可以换1份水，而现在有15个空瓶，所以我们能够换瓶水，这道题我们直接选择C选项就可以了。

通过刚才这道例题，我们可以看到在计算空瓶换水问题的时候核心就是n 个空瓶换1瓶水，那么也就是说n-1个空瓶可以换1份水，然后我们直接进行计算就可以了，接下来我们再通过一道题目来练习一下。

例2：某商店销售一种饮料，规定每4个空瓶可以换一瓶饮料，小王家有30个空饮料瓶，那么小王用现有的空瓶可以免费换多少瓶饮料呢?A.8B.9C.10D.11【答案】C。

解析：根据题目信息我们可以知道每4个空瓶可以换一瓶饮料，也就是说3个空瓶可以换一瓶饮料，接下来列式30÷3=10(瓶)，直接选择C 选项就可以了。

通过上面几道例题的讲解，相信大家已经对如何用空瓶来换水有了一定的了解，是不是非常简单呀。

各位同学，在后期的做题过程中如果遇到空瓶换水的题型，大家就可以根据题目信息，直接套用公式来解题就可以了，相信各位同学经过不断的练习和总结一定能够解决这部分题型。

行测数量关系备考：空瓶换水问题举例说明一下。

假如题目中给出的兑换规那么为4个空瓶可以换一瓶水，那么我们就可以进展如下的改写，即4空瓶=1瓶水=1空瓶+1水，即3空瓶=1份水。

利用这种方法即可解决空瓶换水问题。

(一)规那么及空瓶数，求最多能喝到的水数例1.假设12个矿泉水空瓶可以免费换1瓶矿泉水，现有个矿泉水空瓶，问题:最多可以免费喝瓶矿泉水。

A.8B.9C.10D.11【解析】根据兑换规那么12空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，即11空瓶=1份水，÷11=9……2，最多可以免费喝9瓶水。

选择B选项。

例2.假设12个矿泉水空瓶可以免费换5瓶矿泉水，现有个矿泉水空瓶，问题：，最多可以免费喝瓶矿泉水?A.70B. 71C.72D.73【解析】根据兑换规那么12空瓶=5瓶水=5空瓶+5份水，即7空瓶=5份水，÷7=14……3，对于余下的三个空瓶，可以这样理解兑换规那么，即1.2个空瓶换一份水，那么3个空瓶还可以换2份水，综上所述最多可以免费喝72瓶水。

选择C选项。

(二)规那么及喝到的水数，求至少应买多少瓶水例3.六个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了213瓶汽水，其中一些是用喝后的空瓶换来的，问题：那么，他们至少要买瓶汽水?A.176B.177C.178D.179【解析】根据兑换规那么6空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，即5空瓶=1份水，设他们至少买汽水X瓶，那么有X+X/5=213，解得X=177.5，至少买178瓶，选择C选项。

行测数量关系备考：奇偶数你真的会用吗? 提到奇数和偶数相信大家都不会生疏，而且也会不自主的认为奇偶数很容易。

那么你知道奇偶数是我们公务员考试中考察的考点吗?准确的说是将奇偶数的知识点与其他考点结合起来一起考察，不断的进步题目的难度，让大家在备考的过程中屡受打击。

那么，今天就带着大家一起来感受一下奇偶数在考试中如何变换把戏来考我们，同时我们在备考中需要完善哪些知识点，进而不断提升我们实战做题才能。

同向运动：第N次相遇路程差为N个周长,
环形周长=（大速度—小速度）×相遇时间
三、流水行船型
顺流路程=（船速+水速）×顺流时间
逆流路程=(船速-水速)×逆流时间
静水速度=(顺水速度+逆水速度）÷2
水流速度=（顺水速度—逆水速度）÷2
四、扶梯上下型
扶梯总长=人走的阶数×［1±（V梯÷V人）］,顺行用加法，逆行用减法
二、不相邻—插空法
6人排队，ab不排在一起:A44＊A52(先排 除了ab之外的4人，4人排好后有5个空位，再选择其中2个排ab两人）
三、围成一圈
6人围成一圈：A55（选定6人中其中一人标定位置，其余5人按顺序排队）
四、几对夫妻排队
4对夫妻排队：A88（相当于8人排队)
五、夫妻要排一起
4对夫妻排队,并且夫妻要排在一起:（A22*A22*A22＊A22)*A44(先把每对夫妻排好，再将每队夫妻捆绑在一起排队）
解析:依据公式,发车间隔T=（2t1×t2） ÷(t1+t2)=2×12×4÷（12+4）=6(分钟）。
推导原型：设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,每隔t2分钟就有辆公共汽车从后面 超过该人，有方程组：
S=(V车+V人)×t1→ V车=(S/t1 +S/t2) ÷2→
S=(V车—V人）×t2 V人=(S/t1 —S/t2) ÷2
y= （N3—x）*T3 =（N1-x）＊T1=(N2—x)* T2
注：题目中有牛有羊时，可将其全部转换成牛或羊；如果草场面积有区别，如M头牛吃W亩草时，N可用M/W带入，N代表单位面积上的牛数。
4。钟表问题
基本常识：时针每分钟走0。5°，分钟每分钟走6°；

例题1、某店规定，喝完酒后，可用四个空瓶换一瓶酒。

张明买了21瓶酒，问他最多可喝多少瓶酒？之所以说它是“智巧问题”就有一些“智巧的办法“。

4个空瓶换一瓶，可以这样想：先买3瓶洒，喝完后就有3个空瓶，如果跟商店“借”一个，或者从其他地方借（或拿）1个，就凑成了4个空瓶，又能换回1瓶，喝完后这个空瓶就要还回去了。

所以，我们可以把“4个空瓶换1瓶”转化为“每买3瓶，就能喝到4瓶”。

而张明买了21瓶，21÷3＝7（组）所以，他能喝到： 4×7＝28（瓶）2、学校开校运会，要发给师生1872人，每人一瓶汽水，商店规定6个空瓶可以换1瓶汽水，那么，为了使师生都能喝上一瓶汽水，学校至少要买多少瓶汽水？“6个空瓶可以换1瓶汽水，”按照上面的办法，我们可以这样想：每买5瓶就能喝到6瓶。

每人一瓶，也就是一共要喝上1872瓶。

1872瓶里面有几个6，就要买几个5瓶。

列式：1872÷6＝312（组）“组”这个单位可以不写。

5×312＝1560（瓶）如果1872改为1873呢？要处理好余数哦……智巧问题之“空瓶换酒（水）”1、某店规定，喝完酒后，可用四个空瓶换一瓶酒。

张明买了21瓶酒，问他最多可喝多少瓶酒？2、学校开校运会，要发给师生1872人，每人一瓶汽水，商店规定6个空瓶可以换1瓶汽水，那么，为了使师生都能喝上一瓶汽水，学校至少要买多少瓶汽水？3.某商店规定5个空瓶可以换一瓶汽水，夏令营的同学喝了181瓶汽水，其中有一些是用喝完汽水的空瓶换的，那么他们最少买了多少瓶汽水？4.学校师生1263人外出参观，计划每人发2瓶汽水，每瓶汽水售价1.8元，商店规定每6个空瓶可以换一瓶汽水，带队老师合理筹划，可收空瓶换汽水，使每人按要求喝到汽水后，节省了多少钱？5、商店出售啤酒，规定每5个空啤酒瓶能换1瓶啤酒。

张叔叔家买了80瓶啤酒，喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒，那么他们家前后共能喝到多少瓶啤酒？6、5个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了189瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶？7、某校开运动会，学校给同学们买来50箱汽水，每箱24瓶。

学霸都在用的“砸瓶大法”空瓶换水轻松解决学霸思维好方法数学作为学霸，他们拥有高效的学习方法和优秀的思维方式，能够更好地应对学习中的困难和挑战。

其中一种被称为“砸瓶大法”的方法被广泛运用于解决数学问题，本文将详细介绍该方法。

砸瓶大法的基本思想是通过空瓶换水的方式解决问题。

在数学问题中，特别是一些涉及到比例和等式的问题，我们经常会遇到未知数的问题，而砸瓶大法能够通过空瓶换水的方式将未知数转化为已知数，从而更加方便地解决问题。

下面以一个简单的例子来说明砸瓶大法的具体应用。

假设有一个涉及到两个未知数的问题：“甲、乙两人合作做一件工作，如果两人一起合作，需要5天完成，如果只有甲一个人做，需要15天完成。

问乙一个人独立做需要多少天完成？”首先，我们可以设甲一个人一天完成1/x的工作量，乙一个人一天完成1/y的工作量。

根据题目中的信息，我们可以得到两个方程：1/x+1/y=1/5 (1)1/x=1/15 (2)接下来就是运用砸瓶大法的核心思想，通过空瓶换水来解决问题。

首先，我们选择将未知数x转化为已知数y。

根据(2)式，我们可以得到x=15，然后将这个值代入(1)式，得到1/15+1/y=1/5，整理后可以求得y=75/4通过这个例子，我们可以看到砸瓶大法的优势。

在解决问题过程中，我们利用了已知条件的方程(2)来将未知数x转化为已知数，从而简化了问题的求解过程。

并且，砸瓶大法的思维方式能够帮助我们更好地理解问题，提高解决问题的效率。

除了以上的例子，砸瓶大法在数学中还有许多应用。

例如在碰撞问题中，我们可以通过砸瓶大法解决碰撞前后物体速度的关系；在概率问题中，我们可以通过砸瓶大法解决一些事件发生的概率等等。

总之，砸瓶大法是一种优秀的数学思维方式，能够帮助我们更好地理解和解决问题。

学霸们之所以能够在学习中取得卓越的成绩，除了他们自身的努力和天赋之外，优秀的学习方法和思维方式也起到了重要的作用。

砸瓶大法作为一种常用的解决数学问题的方法，能够帮助学霸们更好地理解和应对数学问题，在解决难题时能够事半功倍。

目录空瓶换饮料问题的最快求解公式 (1)八大类数列及变式总结 (2)数列运算的一些小技巧 (9)几个需要熟记的常见数列 (11)关于数算的心得体会 (12)解决牛吃草问题常用到四个基本公式 (13)鸡兔同笼问题 (14)一些小学行程题目（纯列式解题） (26)数字的整除特性 (30)完全平方数 (38)数量关系——商品销售问题快速求解 (39)关于页码中出现多少个N这个数字这一系列问题的解答 (43)空瓶换饮料问题的最快求解公式6个空瓶能换1瓶汽水，要喝157瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？157÷6×5=130.83（向上取整）=131X=A÷N×(N-1) （向上取整）如改为:每瓶饮料1元钱，131元最多能喝到多少瓶饮料，则为：1 / 46131÷5×6=157.2（向下取整）=157A=X÷(N-1)×N （向下取整）八大类数列及变式总结一、简单数列自然数列：1，2，3，4，5，6，7，……奇数列：1，3，5，7，9，……偶数列：2，4，6，8，10，……自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，……自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，……等差数列：1，6，11，16，21，26，……等比数列：1，3，9，27，81，243，……二、等差数列1，等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。

例题：12，17，22，27，（），37解析：17-12=5，22-17=5，……2，二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。

例题1：9，13，18，24，31，（）解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……例题2.：66，83，102，123，（）解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

数量关系：统筹问题之空瓶换水空瓶换水问题其实在很多年前，小学学习阶段就出现过。

那么我们今天首先来回忆以前我们遇见的这么一个题目“楼下小卖部打着广告，说到4个可乐空瓶换1瓶可乐，小明家中有15个空瓶，那么小明最多可以喝到几瓶可乐?”我们看完这个题干是不是有一种熟悉的感觉呢，接下来我们就一起从这个题目开始分析吧!15个空瓶首先可以换购3瓶可乐，还余下3个空瓶，小明喝完兑换的3瓶可乐之后，会产生3个空瓶，加上之前留下的3个空瓶，总共还剩6个空瓶;接下来6个空瓶又可以找小卖部兑换1瓶可乐，还余下2瓶;喝完这1瓶，产生1个空瓶，加上第二次剩下的2瓶，就会有3个空瓶，这时候不满足4个空瓶兑换一瓶，所以小明是否最多只能喝4瓶呢?聪明的你一定会发现虽然我现在只有3个空瓶，但是如果我找小卖部的阿姨借1个空瓶，我们就能再兑换一瓶可乐，并且还会产生1个空瓶再还给热心的小卖部阿姨。

所以小明最多能够喝5瓶可乐。

我们看完这个题目的解答过程之后就会发现，题目本身难度并不大，最重要的就是仔细分析每一个过程所剩下的空瓶数量和最终兑换的时候是否保证最大化。

如果这个时候你觉得你已经会了，那么接着看看下方的题目吧。

【例1】:若4个可乐空瓶能够免费兑换1瓶可乐，现在有123个可乐空瓶，最多可以免费喝到几瓶可乐?读完这个题目之后，就有很多同学已经开始拿起手中的笔就开始解题了，但是同学们你们想想这个题目如果就直接开始讨论解题了，这得多麻烦呀!所以我们就得明白空瓶换水中的深层次交换规则。

4个空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水，化简成为3个空瓶=1份水。

此题干信息就可以转化为，3个空瓶能够兑换一份可乐，123/3=41，所以最多可以喝到41瓶可乐。

看完这个题目的讲解，同学们你们能明白了吗?绝大多数考试同学们掌握上述的交换规则，空瓶换水问题就能迎刃而解了，但是有些考试之中问法会倒置一下，但是解题方法仍然没变。

【例2】6个空瓶可以换1瓶矿泉水，某班同学喝了213瓶矿泉水，其中有一些是用喝完的空瓶换来的，那么，他们至少要买多少瓶矿泉水?解析：6个空瓶=1瓶水=1个空瓶+1份水，即5个空瓶=1份水。

空瓶换酒的问题这类题经常会问到“最多(可以/可能)”喝掉多少瓶酒(这里特别需要注意：“最多可以”或“最多可能”这两个词。

意思就是在最有可能的情况下能得到最大的值，因为方法可以是假设的，所以这个值应该是假设的最大值。

即假设在最有可能的情况下，充分利用每一个空瓶(现有的每个空瓶都要利用上，一直换到没有剩余的空瓶)凑合换最多的酒。

给出以下两种换法：举个例子：3个空瓶换1瓶酒，8个空瓶(在不额外增加空瓶，不赊，不借空瓶的情况下)最多可以换到多少瓶酒?第一种方法就是拿3个空瓶直接换1瓶酒，喝完就留下1个瓶。

根据第一种换法，画个示意图：思路：假设在最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒。

如果按上面的算法就还剩下1个空瓶没有利用。

这样显然也就达不到假设的最大值。

所以这个答案就不是最多可能的数。

再看第二种方法：先拿2个空瓶换1瓶酒，喝完酒就直接把瓶子留在那里。

(即：喝完后不带走酒瓶)根据第二种换法，再画个示意图：思路：因为每次换酒喝完后，瓶子都直接留在那里了，没有带回。

所以没有剩下空瓶。

刚好符合“最有可能的情况下充分利用每一个空瓶去凑合换最多的酒”这个假设的条件。

只有在这种情况下换回的酒才是假设的最大值。

所以这个答案才是最多可能的数。

即：8÷(3-1)=4。

通过以上的规律，总结出空瓶换酒的公式。

A代表多少个空瓶可以换一瓶酒，B代表有多少个空瓶，C代表最多能换多少瓶酒。

公式为：B÷(A-1)=C。

给大家提供以下几个例题来利用公式解决问题。

例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( )A. 4瓶B. 5瓶C. 6瓶D. 7瓶【解析】C 本题空瓶换酒问题。

根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。

故选C。

例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( )A. 30瓶B. 32瓶C. 34瓶D. 35瓶【解析】B 本题空瓶换酒问题。

原创总结【空瓶兑换公式】公式：购买数=总瓶数/ 空瓶数* （空瓶数—兑换瓶数）【求“购买数”时向上取整，求“总瓶数、空瓶数”时向下取整】6个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？( A )A.131B.130C.128D.127*******************************************************************************X=157/6*(6-1) X=130.8 向上取整，得131某旅游景点商场销售可乐，每买3瓶可凭空瓶获赠1瓶可口可乐，某旅游团购买19瓶，结果每人都喝到了一瓶可乐，该旅游团有多少人？（D）A19 B24 C27 D28*******************************************************************************冷饮店规定一定数量的汽水空瓶可换原装汽水1瓶，旅游团110个旅客集中到冷饮店每人购买了1瓶汽水，他们每喝完一定数量的汽水就用空瓶去换1瓶原装汽水，这样他们一共喝了125瓶汽水，则冷饮店规定几个空瓶换1瓶原装汽水？（A）A.8B.9C.10D.11*******************************************************************************郁闷了两天终于感觉有点收获，其实做这种题，即使不会也能懵出来。

这种题都是极限值选项，要不选最大的、要不选最小的，其实这样的题型还是挺多的，记得以前我也发帖谈过，在不复述如果4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水（ C ）A.3瓶B.4瓶C.5瓶D.6瓶*******************************************************************************某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到（ B ）瓶啤酒。

空瓶换空瓶换水水/饮料饮料//酒题型总结及题型总结及公式推导公式推导公务员行政能力测试中关于空瓶换水/饮料/酒的题型中常见的考点一是已知空瓶数、置换比例求最多可换瓶数；二是已知总瓶数、置换比例求最少需买瓶数。

一、假设现有空瓶数为a ，每n 个空瓶可以换1瓶饮料瓶饮料//…………，求最多，求最多可换瓶数当拿n 个空瓶换第1瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1=a-(n-1)；再拿n 个空瓶换第2瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1=a-(n-1)*2；再拿n 个空瓶换第3瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-n+1-n+1-n+1=a-(n-1)*3····再拿n 个空瓶换第x 瓶饮料，则手里剩的空瓶数为a-(n-1)*x空瓶换饮料/……，最重要的一点是是否可拆借，目前有人认为，已知空瓶数求最多可换饮料数/已知总瓶数求最少需买瓶数意味着可拆借，我也认为，如果题目没有明确指出是否可拆借，有以上字眼即可理解为可拆借。

①当不可拆借时当a-(n-1)*x<n 时，就无法再换饮料了，因此可推出：设a-(n-1)*x=p,则n>p>=1,即a-p=(n-1)*x即x=1a −−n p即x=1a −n -1−n p当p=n-1时，时，x=x=1a −n -1即x+1=1a−n →a=(x+1)*(n-1)可知当a 为n-1倍数时，p=n-1，可换饮料数为x=1a −n -1当p<n-1时，时，0<0<1−n p <1,则x=1a −n 综上，当a 为n-1的倍数时x=1a −n -1-1，否则，否则x=1a −n ②当可拆借时当a-(n-1)*x<n a-(n-1)*x<n-1-1时，就无法再换饮料了，因此可推出：设a-(n-1)*x=p,则n-1>p>=1,即a-p=(n-1)*x即x=1a −−n p即x=1a −n -1−n p因p<n-1p<n-1，，0<1−n p <1,则x=1a −n 当a-(n-1)*x a-(n-1)*x==n -1时,可借1空瓶换一瓶饮料，喝完后空瓶归还，则可换饮料数为x+1,手里剩的空瓶数为a-(n-1)*（x+1）=0，即x+1=1a−n 因此可换饮料数为1a−n 综上，可拆借时可换饮料数x=1a−n 二、假设现有瓶数为b （含已换饮料数（含已换饮料数）），每n 个空瓶可以换1瓶饮料/…………，求最少要买多少瓶，求最少要买多少瓶不可拆借时，且当a 为n-1倍数时b=a+1a −n -1→求出a 后需进行验证），当a 不为n-1倍数时a=b 1-n n综上，当可拆借时，综上，当可拆借时，a=a=b 1-n n ；当不可拆借且a 为n-1倍数时a=b 1-n n否则a=b 1-n n。

空瓶换水里的数学思维行测数量关系在笔试中如何达到在最短的时间得到尽可能多的成效，缺少不了巧解题目的数学思维。

空瓶换水属于统筹问题当中的一种，题目特征明显，属于数量关系里我们可以优先识别出来的题目。

空瓶换水的题目理解起来并不困难，对于替换关系比较简单、题干中涉及到的数字较小的题目，确实可以按部就班的逐次分析。

但是题目描述复杂、涉及的数字很大的题目，再去逐个分析确实没有这个必要。

那么这次中公事业单位考试网带大家一起看学一学空瓶换水里的数学思维。

【例题1】某商店节日促销，以“回收环保，以3换1”的主题售卖饮料。

具体规定如下：3个同款饮料空瓶可以免费换1瓶同款饮料。

一瓶饮料售价5元。

李红现有30元，最多可以喝到几瓶饮料?A.9B.8C.6D.10【中公解析】答案：A。

易错点：李红首先可以用30元买6瓶饮料，喝完饮料以后得到6个空瓶。

这6个空瓶还可以换2瓶饮料，再喝完会剩下2个空瓶，不满足“以3换1”的条件。

所以一共可以喝到8瓶饮料。

选择B项。

但这并不是最优方案，为什么呢?思路一：其实大家忽略了一种情况，李红可以先问商店“借”1个空瓶，这样加上之前剩下的2个空瓶，就凑够了3个空瓶，再去换一瓶饮料喝掉，最后把喝掉剩下的空瓶还给商店，能够达到“借1还1”的状态。

这种数学思维能够达到最多喝9瓶饮料的结果。

选择A项。

思路二：思路一可以达到最多的情况，但是只限数值较小的题目，如果这道题变成李红有100元，甚至更多钱，一点一点的推理会非常耗费时间，同时还需要考虑剩下的瓶子、换了以后的瓶子、借瓶子的情况等等。

所以接下来的方法才是大家学习的重点。

最终我们需要的是最多能喝多少瓶饮料，所以可以从替换关系入手分析。

3个空瓶=1瓶饮料→3个空瓶=1个空瓶+1份饮料(没有瓶子装的饮料)→2个空瓶=1份饮料。

这样的替换关系就可以忽略再次换饮料以后还会留下空瓶的过程。

现在李红有30元，可以先买30÷5=6瓶饮料，得到6份饮料和6个空瓶，替换关系为2个空瓶=1份饮料，所以其中的6个空瓶=3份饮料，最终最多可以喝到6+3=9份饮料。

数量关系－巧解空瓶换水问题中公教育研究与辅导专家沈亚丽在公务员行测考试中，数量关系题目虽然题量不大，但其中包含的题型千变万化，有些题目题型很固定，方法很确定，我们需要分辨清楚什么题型对应什么方法，解题才能实现快狠准。

今天，中公教育专家为大家分享一种特殊题型—空瓶换水。

一．基础知识假设7个空瓶可以兑换一瓶水，即7个空瓶=1个空瓶+1瓶水（不算瓶子），可得出6个空瓶=1瓶水。

假设7个空瓶可以兑换2瓶水，即7个空瓶=2个空瓶+2瓶水（不算瓶子），可得出5个空瓶=2瓶水，本质是等价交换。

二．例题展示【例题1】10个啤酒空瓶可以免费兑换1瓶啤酒，现有135个啤酒空瓶，可以免费喝到的啤酒最多为多少瓶？A.12B.13C.14D.15【中公解析】根据题目描述“10个啤酒空瓶可以免费兑换1瓶啤酒”，即实际上10-1=9个啤酒空瓶等价于一瓶啤酒（不含瓶），135÷9=15，可以免费喝到15瓶啤酒，故本题答案为D。

【例题2】20个啤酒空瓶（必须20的倍数才换）可以免费兑换4瓶啤酒，现有121个啤酒空瓶，可以免费喝到的啤酒为？A.27B.28C.29D.30【中公解析】根据题目描述“20个啤酒空瓶可以免费兑换4瓶啤酒”，即实际上20-4=16个啤酒空瓶兑换4瓶啤酒（不含瓶），121÷16==7……9，可以免费喝到7×4=28瓶啤酒，故本题答案为B。

直接告诉有多少个空瓶和兑换规则，可以很容易求出结果，但是有时候，题目会告诉我们需要喝到多少水，然后问需要买多少，这样的题目该如何解决呢？【例题3】5瓶汽水空瓶可以换1瓶汽水，某公司聚餐共喝了161瓶汽水，其中有买的，有换的，他们至少买了多少瓶汽水？A.127B.128C.129D.130【中公解析】根据题目“5瓶汽水空瓶可以换1瓶汽水”，即实际上是4个空瓶换1瓶汽水（不含瓶），设买了x 瓶汽水，可以再兑换4x ，可列式：x+4x =161，解得x=128.X ，所以至少买129瓶，故本题答案为C 。

一、已知某人购买了若干瓶水已知某人购买了若干瓶水，，求最多可以喝到多少瓶水例题1朵朵和小伙伴们去商店买汽水朵朵和小伙伴们去商店买汽水，，商店正在进行空瓶换汽水的活动水的活动。

商店规定商店规定：：每3个空瓶可以换1瓶汽水瓶汽水。

朵朵买了10瓶汽水汽水，，如果把喝完的空瓶换成汽水如果把喝完的空瓶换成汽水，，他们一共能喝到多少瓶汽水他们一共能喝到多少瓶汽水??方法一方法一：：按照先喝后换的方法逐步分析。

第一步：朵朵买了10瓶汽水，把10瓶汽水都喝完后剩下10个空瓶。

第二步：每3个空瓶可以换1瓶汽水，因为10÷3＝3（瓶）……1（个），所以用10－1＝9（个）空瓶可以换3瓶汽水。

把换来的3瓶汽水喝完，此时一共有3＋1＝4（个）空瓶。

李艳锋（山东省台儿庄区张山子镇侯孟中心小学）小朋友，空瓶换水指的是规定若干个空瓶可以换一定瓶数的水，如某人已经买了若干瓶水，按规定用空瓶换水，最多可以喝到多少瓶水，或者某人需要一定数量的水，最少需要购买多少瓶水等类似的问题。

这是一个古老的趣味数学问题，曾以“空瓶换酒”“废电池换新电池”等形式出现在不同国家的各种数学竞赛题中。

如何解答这类问题呢？下面我们一起来看一下。

第三步：因为4÷3＝1（瓶）……1（个），所以用4－1＝3（个）空瓶可以换1瓶汽水。

把换来的1瓶汽水喝完，此时一共有1＋1＝2（个）空瓶。

第四步：剩下的2个空瓶不够换1瓶汽水，此时可以先向老板借1个空瓶凑够3个瓶子，用3个空瓶换1瓶汽水，把换来的1瓶汽水喝完，然后把1个空瓶还给老板。

他们一共能喝到10＋3＋1＋1＝15（瓶）汽水。

方法二：：按照先喝后换的方法解决问题很烦琐，我们可以换个方法二思路来思考。

如果先买2瓶汽水，喝完后向老板借来1个空瓶，然后用3个空瓶换1瓶汽水，把换来的1瓶汽水喝完，再把剩下的1个空瓶还给老板。

按照这样的思路分析，相当于每买2瓶汽水，就可以换1瓶，一共能喝到3瓶汽水。

如果每买2瓶汽水换一次，朵朵一共买了10瓶汽水，可以换到10÷2＝5（瓶）汽水，他们一共可以喝到10＋5＝15（瓶）汽水。

一、小学奥数：空瓶子兑换问题1、促销活动规定：3个空雪碧瓶子，可以换1瓶雪碧．如果买3瓶雪碧，那么，最多可以喝到__________瓶雪碧。

C. 42、商店促销活动，用4个空瓶可以换1瓶水．老师和一些小朋友进店后，共买了7瓶水．如果每人喝1瓶水，那么最多有几人能喝到水？C. 93、师生共9人外出写生．老师要给每人买一瓶矿泉水．到商店后，他发现每4个空瓶可换1瓶矿泉水．那么，老师只要买多少瓶矿泉水，就可以保证每人喝到一瓶？A. 74、促销活动规定：4个空可乐瓶子，可以换1瓶可乐．如果买4瓶可乐，那么，最多可以喝到__________瓶可乐．B. 5例题1、6个空瓶子可以兑换一瓶汽水，某班共喝了157瓶汽水，其中有一部分是用空瓶子兑换得到的汽水，该班至少买了多少瓶汽水？答案是131瓶解析1、由题得到每买5瓶就可以喝6瓶汽水，因此157：X=6：6，X=130.7，四舍五入，答案131.解析2、6空瓶=1空瓶+1水故5空瓶=1水.设原来有x瓶(要求最小最后存在借1瓶喝水)，那么x+(x+1)/5=157，x=131解析3、代入法5：6=x：157 买5瓶能喝到6瓶，那么买X瓶能喝到157瓶。

所以是5:6=x：157解析4、这种题全部看做“钱”的折算就容易理解了。

六个空瓶换一瓶汽水，那么，算一个瓶子1元，一瓶汽水（瓶+水）是6元，其中，“水”是5元。

157*5为总钱数，然后除以6，是瓶数，注意，瓶子肯定为整数，出现小数点便上一位。

例题2：某商店为了促销A品牌可乐，推出“三个A品牌的可乐瓶，兑换一瓶同品牌可乐”的促销活动。

现在小明有8个该品牌的可乐瓶，那么他可以免费喝几瓶可乐? A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D。

中公解析：这个问题中，三个空瓶换一瓶可乐，实际上换得的可乐是一整瓶，也就是既有瓶子，也有可乐。

可以写成3空瓶=1空瓶+1可乐，而可乐的数量才是我们的所求项，所以，等号两边的空瓶就可以等量消掉，变为2空瓶=1可乐，求得8空瓶=4可乐。

空瓶换水的知识点总结一、空瓶换水的原理1. 空瓶换水的原理是利用已有的空瓶子，将其重新灌装成饮用水。

这个过程需要用到一些专门的设备，如净水器、灌装机等。

2. 在空瓶换水的过程中，首先需要将空瓶子进行清洗和消毒，然后再进行灌装。

这样可以确保饮用水的卫生和安全。

3. 灌装的过程需要严格控制，确保每个瓶子里的水量都是准确的。

同时还要确保瓶盖的密封性能，防止水的泄漏。

4. 灌装好的水瓶需要经过一定的检验和质量控制，确保其符合相关的安全标准。

二、空瓶换水的设备1. 净水器：在空瓶换水的过程中，需要用到专门的净水器来过滤水源，确保饮用水的质量。

2. 灌装机：灌装机是用来将净水装入空瓶子的设备，它可以自动完成灌装、封口等工作，提高生产效率。

3. 清洗消毒设备：在空瓶换水的过程中，需要对空瓶进行清洗和消毒，以保证饮用水的卫生和安全。

4. 相关配套设备：空瓶换水还需要一些相关的配套设备，如瓶盖、包装机等。

三、空瓶换水的优点1. 节约资源：空瓶换水可以重复利用已有的空瓶子，减少塑料瓶的使用，有利于节约资源。

2. 环保：减少塑料瓶的使用可以减少固体废物的产生，对环境有一定的保护作用。

3. 便利：空瓶换水可以让消费者更方便地购买到干净、安全的饮用水。

四、空瓶换水的注意事项1. 饮用水质量：在空瓶换水的过程中，需要严格控制饮用水的质量，确保其符合相关的卫生和安全标准。

2. 设备运行情况：需要定期检查和维护空瓶换水设备的运行情况，确保其正常工作。

3. 生产管理：空瓶换水的生产管理需要严格执行相关的标准和规定，确保产品的质量和安全。

4. 产品包装：空瓶换水的产品包装需要符合相关的标准，确保其安全和卫生。

五、小结空瓶换水是一种既节约资源又环保的生产方式，它可以将已有的空瓶重新利用，减少固体废物的产生，对环境有一定的保护作用。

在空瓶换水的过程中，需要严格控制饮用水的质量，定期检查和维护设备运行情况，严格执行相关的生产标准和规定，确保产品的质量和安全。

空瓶换汽水类似问题讨论1. 某品牌啤酒可以用3个空瓶再换回1瓶啤酒，某人买回10瓶啤酒，则他最多可以喝到（）瓶啤酒？A 13 B 14 C 15 D162. 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？类似的问题，本人认为自己的方法不错，为了攒些人品，故与大家商榷。

第一题：“用3个空瓶再换回1瓶啤酒”，假设啤酒一瓶3元，则空瓶相应的1元，而真正的酒就只值2元，“某人买回10瓶啤酒”意味着花去人民币3*10=30元，故而“最多可以喝到（）瓶啤酒”等于30/2=15瓶。

第二题：同理”“5个空瓶可以换1瓶汽水”由题意，假设1瓶汽水5元，空瓶则1元，真正的汽水只值4元，“某班同学喝了161瓶汽水” 则一共真正汽水的钱是：161*4；而买整个汽水（真正的汽水加空瓶）需要5元，所以“他们至少要买汽水多少瓶”则等于(161*4)/5=(161/5) *4=(32*4）....余1，此时就可算出（32*4+1=129）这里利用下面几题解释下，我的方法没有公式快，如果记不住公式的或考到时不确定公式的，可以学习下。

例题1：超市规定每3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有12个空汽水瓶，最多可以换几瓶汽水?( )A. 4瓶B. 5瓶C. 6瓶D. 7瓶解析】C 本题空瓶换酒问题。

根据空瓶换酒公式：B÷(A-1)=C，得12÷(3-1)=6，所以最多可以换来6瓶汽水。

故选C以上是其他同学的求解。

我认为，由题意可知，空汽水瓶的价钱是1元，汽水加瓶是3元，所以“小李有12个空汽水瓶”等于小李有12元钱，问题是“最多可以换几瓶汽水”，就是小李可以喝几瓶汽水，所以汽水（真正的汽水不加瓶）的数目=总共的钱/汽水的钱=12/2=6例题2：某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可换一瓶啤酒，张伯伯家买了24瓶啤酒，那么他家前后共能喝掉多少瓶啤酒?( )A. 30瓶B. 32瓶C. 34瓶D. 35瓶【解析】B 本题空瓶换酒问题。

空瓶子换乘法第一篇：空瓶子换乘法空瓶子换乘法1、促销活动规定：3个空雪碧瓶子，可以换1瓶雪碧．如果买3瓶碧，那么，最多可以喝到__________瓶雪碧?2、饮店规定，用3个空可乐瓶可以换1瓶可乐．丁丁和一些同学进店后共买了5瓶可乐．如果每人喝1瓶可乐，那么最多有几人能喝到可乐？3、师生共9人外出写生．老师要给每人买一瓶矿泉水．到商店后，他发现每4个空瓶可换1瓶矿泉水．那么，老师只要买多少瓶矿泉水，就可以保证每人喝到一瓶？来回变位法1、肉肉和豆豆，三人体重分别为40斤、50斤、90斤．三人要乘船到对岸（从一个岸边到另一个岸边算渡河1次）．现在只有1条小船，并且最多能承受100斤．那么至少要渡河几次，三个人才能全部到达对岸？2.（从一个岸边到另一个岸边算渡河1次）．现在只有1条小船，并且最多能容纳2个人．那么至少要渡河几次，3个人才能全部到达对岸?袜子奇偶数1、42＋392、35－7的结果是奇数，还是偶数？的结果是奇数，还是偶数？3、9824＋3239的结果是奇数，还是偶数?4、824＋3239的结果是奇数，还是偶数? 奇偶捣蛋法1、9－8＋7－6＋5－4＋3－2＋1的结果是奇数，还是偶数？2、小猴子每天吃2根香蕉，过了几天后，它会不会一共吃了35根香蕉？图画推理1、的时候，小燕子、蒙蒙和大雁取得了前3名．其中小燕子在第2名，蒙蒙在第3名.根据条件，将小燕子、大雁和蒙蒙放到合适的位置上？2、大雁、蒙蒙、文文四个小朋友排成一队去游玩．小燕子排第二，大雁说：“我紧跟在蒙蒙的后面．”排第一的是谁呢？时间的认识1、15年6月1日是星期一，这个月有几个星期一呢？2、2012年奥运会是闰年，那么，2014年是闰年吗？列表推理李阿姨、张阿姨、赵阿姨三人中，一位是演员，一位是工程师，一位是教师．已知：（1）李阿姨比教师体重重；（2）赵阿姨和教师体重不同；（3）李阿姨和演员是朋友．那么，张阿姨的职业是什么呢每户有一个小孩．他们的名字是：旦旦（女）、文文（女）、亮亮（男），孩子的爸爸是老杨、老曹和老陈．现在知道：（1）老杨家的孩子参加了少年女子体操队；（2）老曹的女儿不是旦旦．那么，谁是老杨家的孩子？公用火柴棒最少拿掉几根火柴棒，可以使下图正好构成三个三角形？别闲着豆豆看电视需要35分钟，吃花生需要30分钟，做完这两件事最少需要几分钟？豆豆烧水沏茶．烧开水用8分钟，洗茶杯用2分钟，沏茶用1分钟．那么，豆豆最少用几分钟才能沏好茶？扫雷游戏这是一张地雷分布图，其中A的周围是哪几格？这是一张地雷分布图，☆代表的数是几？这是一张地雷分布图．共有几个地雷？方格竖式迷如下图所示，要求你在方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都等于18．那么“▲”代表的数是多少？下面的加法竖式中，相同的图形代表相同的数字，不同的图形代表不同的数字．要使竖式成立，那么“☆”代表什么数字？下面的加法竖式中，相同的图形代表相同的数字，不同的图形代表不同的数字．要使竖式成立，那么“☆”代表什么数字？下面的加法竖式中，相同的图形代表相同的数字，不同的图形代表不同的数字．要使竖式成立，那么“☆”代表什么数字？下面的加法竖式中，相同的图形代表相同的数字，不同的图形代表不同的数字．要使竖式成立，那么“△”代表什么数字？在下面空格里填入适当的数字，使竖式成立．“☆”代表的数字是几？在下面空格里填入适当的数字，使竖式成立．“☆”代表的数字是几？如下图所示，用1、2、3、5、8这5个数字各一次，组成一个正确的加法竖式．现已写出2个数字，请把竖式补充完整．“☆”代表的数字是几？2如下图所示，用 0、1、2、3、4、5、6、7 这 8 个数字各一次，组成一个正确的加法竖式．现已写出3个数字，请把竖式补充完整．“☆”代表的数字是几？0在下面空格里填入适当的数字，使竖式成立．“☆”代表的数字是几？在下面空格里填入适当的数字，使竖式成立．“☆”代表的数字是几？1下面竖式中，“☆”代表的数字是几？1在下面空格里填入适当的数字，使竖式成立．“☆”代表的数字是几9在下面空格里填入适当的数字，使竖式成立．“☆”代表的数字是几？3在下面空格里填入适当的数字，使竖式成立．“☆”代表的数字是几？0叛徒法只能用“+，—”要使下面等式成立 1 2 3 4 5＝7 1 2 5 8 7 =13 1 2 3 4 5 6 7 8 9=25 巧填加减法在“〇”中填入“×”或“÷”，使等式成立．9〇4〇2＝18 在“〇”中填入“＋”、“－”或“÷”，使等式成立．16〇4〇2＝6 把“＋”、“－”、“×”、“÷”各一个分别填入下面等式的4个“〇”中，使等式都成立．9〇3〇8＝117〇2〇3＝1 年龄差不变今年乐乐3岁，姐姐13岁．5年后，姐姐比乐乐大几岁？豆豆3年后的年龄和跳跳2年前的年龄一样．如果豆豆今年3岁，那跳跳今年几岁？今年乐乐3岁，豆豆13岁．那2年后，两人的年龄和是几岁？倒推法豆豆拿着零花钱去买东西．他先用这些钱的一半买了娃娃，又花4元买了苹果，最后还剩下6元钱．那豆豆一开始有多少元钱？某数先乘8，再减去4，再除以2，再加上3，最后结果是13．下列选项中，表示正确的是哪个？周期问题找出下面图形的排列规律．第27个图形是什么？找出下面数字的排列规律．前24个数字的和是多少？ 1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4……找出下面数字的排列规律．前32个数字的和是多少？ 1，2，2，1，1，2，2，1，1，2，2，1，1，2，2，1……拍扁法下面立体图形从正面看到的应该是哪个图形？观察图形，说说看从个方向看是什么图形？1号房间是2号房间向左平移几个格子后得到的？四边形下面图形中共有几个长方形？下面图形中共有几个平行四边形？周长的计算下面长方形的周长是多少厘米？用两个完全相同的长方形拼成如下图形．这个图形的周长是多少厘米？下面正方形的周长是多少厘米？三角形一个等腰三角形的两条边的长度分别是3厘米和5厘米．那么这个三角形的周长可能是多少厘米？11或者13 一个等腰三角形的两条边的长度分别是4厘米和9厘米．那么这个三角形的周长可能是多少厘米？22 下面的正方体共有几个顶点？8下面的正方体共有几个面？6下面的三棱锥共有几条棱？6第二篇：《巧用空瓶子》教案范文《巧用空瓶子》教案教学目标：知识目的：学习利用废旧材料设计、加工、装饰等因材施艺的知识，培养学生的形象思维能力、想象能力和创造能力。