沪教版数学高一下册- 5.2.1 任意角的三角比(第一课时)教案设计

5.2.1 三角函数的概念课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：图1-2-1 (2)结论①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． (3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)． 三角函数定义定义域 名称 sinα yr R 正弦 cosα x r R余弦tanαy x⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos αRtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．四、典例分析、举一反三题型一 三角函数的定义及应用例1：求53π的正弦、余弦和正切值.例2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.基础练习题 1、求π4、3π2、7π6的三角函数值.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 本节课我们主要学习了哪些内容? 1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.六、板书设计七、作业课本179页练习及182页练习.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.。

同角三角比的关系【教学目标】1、感悟同角三角比关系的获得过程；理解并掌握同角三角比关系，并能够通过它们解决三 角比的求值、化简、证明等问题；2、在三角恒等式的变形过程中感受数学方法的灵活性；获得解决问题带来的愉悦。

【教学重点与难点】用同角三角比的关系式进行恒等变形和解决求值、化简、证明等问题。

【教学过程】一、【知识要点】1、任意角三角比的定义：角α的终边上任取一点(,)P x y，r =sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=， cot xy α=，sec rx α=，csc ry α=。

2、同角三角比的关系：倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =(cos 0)α≠，αααsin cos cot =(sin 0)α≠。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

二、【热身练习】1、已知α为第二象限角，化简1sin 1cot 2tan 1cos 122-++xx x x ＝ 2、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝ 3、化简：22sin 62tan54cot 45tan36sin 28+⋅⋅+o o o o o ＝三、【例题解析】1、已知54cos =α，且α是第四象限角，求角α的其他三角比的值。

【变式】：已知5tan 12α=，求sin α、cos α和cot α。

2、已知3tan =α，求：（1）ααααsin 4cos 3sin 3cos 2+-； （2）ααcos sin 3；【变式】：若αααcos sin 3sin 12⋅=+，求αtan 的值。

3、已知51cos sin =+αα，)π,0(∈α，求： （1）ααcos sin ； （2）ααcot tan +； （3）ααcos sin -。

5.1任意角的三角比
学习目标：
1. 理解任意角三角比的定义，并会求简单的任意角三角比
2. 掌握弧度制与角度制的互换，熟练记忆角度、弧度制下的特殊角的三角比
3. 掌握弧度制下的扇形弧长与面积公式
例1、写出弧度制下与下列角终边重合的角的集合
（1）150 （2）-120
例2、（1）终边在x 轴上角的集合是________________________
（2）第一象限角的集合是___________________
练习：1、第三象限角的集合是___________________
2、终边在y 轴上角的集合是________________________
例3、已知α的终边上一点()(,2)0P a a a -<，求：(1)sin α (2)tan α
练习：（1）已知角α终边上一点P 到原点的距离为34，8sin 17α=
，求点P 的坐标
（2）已知角α终边过点()P y ，sin 4
y α=
，求cos tan αα与
例4（1）“α是锐角”是“α是第一象限角”的__________条件
（2）若sin 0tan 0αα<>且，则α是第________象限角
练习： （1）若点(tan ,cos )αα在第三象限，则角α的终边在_____________象限
（2）已知[
,]2παπ∈，且1cos 2m m α+=-，求实数m 的取值范围
例5、120的圆心角所对的扇形面积是
232cm π，则扇形半径是 cm ．
练习：（1）一个扇形的面积为8π，其圆心角为45，则这个扇形的弧长为______________.
（2）已知，如图一个半径为2的扇形，其周长为6，求该扇形中所含的弓形阴影面积。

任意角的三角比教案
三角比是指三角形中各边的比值，通常包括正弦、余弦和正切。

在教学这个概念时，可以从以下几个角度进行教案设计：
1. 概念介绍，首先，要介绍三角形的基本概念，包括顶点、边、角度等，并引入三角比的概念。

可以通过图示和实际示例来让学生
直观理解三角比的含义和作用。

2. 正弦、余弦和正切的定义，分别介绍正弦、余弦和正切的定义，以及它们在直角三角形和任意角三角形中的计算方法。

可以通
过几何图形和实际问题来说明三角比的定义和计算方法。

3. 三角比的性质，介绍三角比的基本性质，如正弦、余弦和正
切的周期性、奇偶性等，以及它们之间的关系。

通过数学推导和实
例演示来让学生理解三角比的性质。

4. 三角比的应用，介绍三角比在实际生活和工程中的应用，如
测量高度、距离、角度等。

可以通过实际案例和问题让学生体会三
角比在实际中的重要性和作用。

5. 综合练习，设计一些综合性的练习题，包括计算三角比、证明三角比的性质、解决实际问题等，以帮助学生巩固所学的知识和技能。

在教学过程中，可以结合多媒体教学、小组讨论、实验演示等多种教学方法，让学生在实践中感受三角比的奥妙，提高他们的学习兴趣和能力。

同时，教师应该注重引导学生思考，培养他们的数学思维和解决问题的能力，使他们能够灵活运用三角比解决实际问题。

5.2(2) 任意角的三角比一、教学目标设计(1) 根据任意角的正弦、余弦、正切、余切 、正割、余割的定义，掌握这些三角比的值在各象限的符号；并能根据角α的某种三角比值的符号，反馈出α可能存在的象限；(2) 掌握诱导公式一，会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切值分别转化为求[0,2)π的这三种三角比的值．二、教学重点及难点任意角的正弦、余弦、正切在各象限内的符号及诱导公式一．三、教学流程设计一、情景引入设角,αβ均是第二象限角，依任意角三角比的定义，为了求,αβ的六个三角比值，只要分别在,αβ终边上取点1122(,),(,)P x y Q x y ，由比值11111111||||,,,,,||||y x y x OP OP OP OP x y x y 、22222222||||,,,,,||||y x y x OQ OQ OQ OQ x y x y 可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于,P Q 均在第二象限，故12,x x 同号，12,y y 同号，因而可见，,αβ的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同的.那么，当,αβ分别为一、三、四象限时，上述性质是否仍然成立呢？下面就讨论这一问题．二、学习新课1、任意角的三角比的符号今后我们还要经常用到三角比值在各个象限的符号，由于从原点到角的终边上任意一点的距离 总是正值，根据任意角三角比的定义可知，三角比值的符号取决于各象限内的坐标符号，请同学们分象限思考四个象限中三角比值的符号．观察六个三角比，可发现sin α与csc α，cos α与sec α，tan α与cot α互为倒数，因此它们的符号规律相同．s i n y rα=，csc r y α= (1) 当α在第一、二象限时，0,0y r >>，所以sin ,csc αα为正；(2) 当α在第三、四象限时，0,0y r <>，所以sin ,csc αα为负． 同理cos ,sec x r r xαα==，对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的． tan ,cot y x x yαα==，对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限的角是负的． 现在我们将以上讨论结果整理成图1．图1[说明] 可以表达为正弦和余割上正下负，余弦与正割左负右正，正切与余切一、三象限为正，二、四象限为负．同学们还可以自己用口诀“全正， 正， 正， 正”来记忆．记法多种多样，老师可自由发挥.2、诱导公式一上节课我们已学过终边重合的角，例如94π和74π-的终边都与4π终边位置重合． ∵ 9244πππ=+，7244πππ-=-+ ∴由任意角三角比的定义可知它们的三角比值相同，即9s i n s i n 44ππ= 9cos cos 44ππ= 9tan tan 44ππ= 7s i n ()s i n 44ππ-= 7cos()cos 44ππ-= 7tan()tan 44ππ-= 推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边重合的角的同一三角比值相等，即 sin(2)sin k παα+= （k Z ∈）cos(2)cos k παα+= （k Z ∈）tan(2)tan k παα+= （k Z ∈）cot(2)cot k παα+= （k Z ∈）sec(2)sec k παα+= （k Z ∈）csc(2)csc k παα+= （k Z ∈）[说明]这组公式的作用是把任意角的三角比值问题转化为[0,2)π角的三角比值问题．3、例题分析例1．确定下列三角比值符号：（1） 16cos 5π；（2）sin()4π-；（3）'tan(55612)- 答：（1）负；（2）负；（3）负.例2. 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是 sin 0,tan 0θθ<>．证明：必要性：当θ为第三象限角时，sin 0,tan 0θθ<>；充分性：∵sin 0θ<成立，∴θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可以位于y 轴的非正半轴上；又∵tan 0θ>成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限，因为要同时成立，所以θ角的终边只可能位于第三象限，于是角θ为第三象限角．例3. 求下列三角比值：（1）sin1470；（2）15cos()4π-；（3）25tan 3π．答：（1）12； （2）2；（3 例4. 如果θ在第二象限，那么sin(cos )cos(sin )θθ⋅的值是什么符号？答：∵θ在第二象限，∴1cos 0,0sin 1θθ-<<<<，∴sin(cos )0,cos(sin )0θθ<>，∴ sin(cos )cos(sin )0θθ⋅<.例5. 若α是第二象限的角，且|cos |cos 22αα=-，问2α是第几象限角？ 答：2α是第三象限的角． 例6. 求值：sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+答：原式＝0.三、巩固练习练习5.2（2）四、课堂小结(1) 任意角的三角比的值在各象限的符号；(2) 诱导公式一.五、课后作业练习册 P15-17习题5.2 A组 3，4，5，6，7，8 习题5.2 B组 2，3。

任意角的三角比教案
一、教学目标
1. 理解正弦、余弦和正切的概念。

2. 掌握如何计算任意角的正弦、余弦和正切值。

3. 能够运用三角函数解决相关实际问题。

二、教学重点和难点
1. 重点：正弦、余弦和正切的概念及计算方法。

2. 难点：任意角的三角比的应用。

三、教学内容
1. 正弦、余弦和正切的定义：在直角三角形中，对于任意角A，定义如下：
正弦（sinA）= 对边/斜边，余弦（cosA）= 邻边/斜边，正切（tanA）= 对边/邻边。

2. 任意角的三角比的计算：
对于任意角A，可以通过相关公式计算其正弦、余弦和正切值。

sinA = b/c, cosA = a/c, tanA = b/a，其中a、b、c分别为直角三角形的边长。

四、教学过程
1. 引入：
通过实际问题引入正弦、余弦和正切的概念，比如航海、建筑等领域中的应用。

2. 讲解：
讲解正弦、余弦和正切的定义，并介绍如何计算任意角的三角比。

3. 示例分析：
给出一些具体的例子，让学生通过三角函数的计算，解决相关实际问题。

4. 练习：
让学生做一些相关练习，巩固所学知识。

五、教学小结
通过本节课的学习，学生能够理解正弦、余弦和正切的概念，掌握计算任意角的三角比的方法，并能够运用到实际问题中。

六、作业布置
布置相关的练习题，鼓励学生在课后复习所学知识，并思考如何应用到生活中。

七、教学反思
回顾本节课的教学过程，总结学生的学习情况，思考如何更好地教学。

5.2(1) 任意角的三角比上海市杨浦高级中学 方耀华一、教学内容分析通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比，并利用与单位圆有关的线段，将前三个三角比的值分别用它们的几何形式表示出来；接着着重研究正弦、余弦、正切这三个三角比的条件和其在各个象限的符号；并根据三角比的定义，得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式（公式一）．二、教学目标设计(1) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来； (2) 了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角α的条件要求；(3) 体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑．三、教学重点及难点重点：任意角的三角比的定义．难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．四、教学流程设计一、情景引入回顾：在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角α的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如：Psin MP OP α=cos OMOPα= tan MP OM α=cot OMMPα= 引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们研究任意角的三角比.把锐角α置于平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知P 在角α的终边上，设它的坐标为(,)x y ，它与原点的距离0r =>，可发现作为锐角α的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比.二、学习新课 1、概念形成 任意角的三角比定义设α是一个任意角，在α的终边上任取一点(,)P x y （除原点）， 则P与原点的距离0r =>，比值r y叫做α的正弦 记作： ry =αsin 比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r叫做α的正割 记作： xr =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 提问：对于确定的角α，这六个三角比值的大小与P 点在角α终边上的位置是否有关？利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角α，这六个三角比值的大小与P 点在角α的终边上的位置无关．(P α角提问：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角α，它的六个三角比都存在呢？(1) 当角α的终边在纵轴上时，即()2k k Z παπ=+∈时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；(2) 当角α的终边在横轴上时，即()k k Z απ=∈时，终边上任意一点P 的纵坐标y 都为0，所以cot α、csc α无意义.从而有：sin cos tan ααα )(2Z k k R R∈+≠ππα cot sec csc ααα )()(2)(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παππαπα.[说明] (1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.(2) OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.(3) sin α是个整体符号，不能认为是“sin ”与“α”的积，其余五个符号也是这样. (4) 三角比值只与角的大小有关.(5) 任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别:任意角的三角比就包含了锐角三角比，实质上锐角三角比的定义与任意角的三角比的定义是一致的，锐角三角比是任意角三角比的一种特例. 所不同的是，锐角三角比是以边的比来定义的，任意角的三角比是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的.为了便于记忆，我们可以利用两种三角比定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角比进行类比记忆.2、三角比的一种几何表示 （一）单位圆和有向线段(1) 单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.(2) 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T .规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==,利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线.如下图3．图3由正弦、余弦、正切三角比的定义有：sin 1y yy MP r α==== cos 1x xx OM r α====tan y MP AT AT x OM OAα====这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在．例1：已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的六个三角函数值.答：13133133sin -=-==r y α 13132132cos ===r x α 23tan -==x y α 32cot -==y x α 213sec ==x r α 313csc -==y r α 提问：若将(2,3)P -改为(2,3)(0)P a a a -≠，如何求α的六个三角函数值呢？（注意：分0a >和0a <两种情况进行讨论）例2：求下列各角的六个三角比值(1) π (2)32π (3) 54π答：(1) sin 0,cos 1,tan 0πππ==-=,cot π不存在，sec 1π=-，csc π不存在.(2) 333sin1,cos 0,tan222πππ=-=不存在, 3cot02π=， 3sec 2π不存在，3csc 12π=-.(3) 555sin,cos ,tan 1444πππ===, 5cot14π=，5sec 4π=，5csc 4π=.例3：作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线(1)3π (2) 23π-如图，正弦线、余弦线、正切线分别为,,MP OM AT ． 例4.求证：当α为锐角时，sin tan ααα<<．证明：如右图，作单位圆，当02πα<<时作出正弦线MP 和正切 线AT ，连PA ，OPA OAT OPA S S S ∆∆<<扇形， 111222OA MP OA PA OA AT ∴⨯<⨯<⨯ sin tan ααα∴<<三、巩固练习 练习5.2（1） 四、课堂小结（1）任意角的三角比的定义；（2）三角比的几何表示——三角函数线； （3）掌握分类讨论的思想（主要对象限的讨论）； （4）掌握数形结合的思想（对三角函数线的理解及其应用）；五、课后作业 练习册 P 15－17习题5.2 A 组 1，2，3，9，10 习题5.2 B 组 1，4六、教学设计说明1、 由任意角的三角比的定义可知，若已知角α终边上一点，便可求出其各三角比的值，或通过三角比的定义，可知其二求其一．（2）必须讲清并强调,,,,,y x y x r rr r x y x y这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．（3）教学中应注意，语言要准确严密．（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角比符号的含义．如sin α这个符号，它表示y r，即角α的正弦，不能把sin α看成sin 与α的乘积．同时也应注意，每个三角比记号的第一个字母“ ”或“ ”或 “ ”都不能大写，不能让学生写成“Sin α”、“Cos α”等（5）本设计中的某些问题可能适合部分学生，教师应作适当选择.。

5.1 任意角及其度量一、教学内容分析：任意角三角比是学习三角函数的基础.同角三角比关系和诱导公式是三角恒等变换的基础.学好三角是解决测量学和学好高等数学（尤其是微积分）的基础.三角比体现了几何问题代数化的思想.因此数学家认为：“三角学其实就是三角形的解析几何，可以说是具体而微的解析几何，它是整个平面解析几何的基础所在，也是用解析法系统研究几何的基础工具。

”它对学好物理等其他学科也有重要的意义。

二、教学目标：1、初步懂得以运动的观点观察角的形成过程，知道实际中存在超出0~360的角；2、理解任意角和象限角的概念，会判断一个角所在的象限；3、掌握终边重合的角的一般形式与集合表示法.4、通过对任意角、象限角和终边重合的角这些概念地学习，提高观察、比较、分析、概括等能力.三、教学重点、难点：重点：任意角的概念、掌握终边重合角的表示方法；难点：终边重合的角的一般形式与集合表示法.四、教学流程设计：五、教学过程设计教学过程教学内容教师活动学生活动设计意图一、课题引入问题：回顾：初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时所成的不同的角,就是说角不仅仅局限于0~360之间，这说明了我们研究推广角的概念的必要性，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的.﹡出示幻灯片,教师提问，学生思考回答.例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?角是有公共端点的两条射线组成的图形，它的范围是0~360.从学生熟知的角和已有认知出发，为突破难点提供感性材料，学习任意角概念.讨论总结：通过实际操作我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上.二、讲授新课――对数的概念1、概念形成角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从初始位置旋转到终止位置所形成的图形.如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角AOB.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫做终边，射线的端点O叫做角的顶点.为了区别按不同方向旋转而成的角，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有旋转时,我们称它形成﹡教师讲解.﹡学生听讲，回答教师的提问﹡在教师的引导下，学习任意角的概念.O AB轴的正半轴重合，角都是第二象限角. 特别规定：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限：还可变式为直角、钝角提出还存在其他的角也与它们拥有相同的终边吗？有270}.y 再变式：写出终边在x }Z ∈}Z ∈}360270360,}k α+<<⋅）树立运动变化观点.附：板书设计六、教学设计说明1、在教学设计中首先明确角是一条射线通过旋转而形成的图形，然后通过观察图形变化特点使学生分清正角、零角和负角，加强学生对知识内涵的理解.2、对一些易混淆的定义，通过设疑、解疑使学生得到正确的认识.3、处理教学中的难点时，要遵循学生的思维规律，由浅入深，从实例入手较为合适.。

“任意角三角比的概念”的教学设计一、教学内容解析这是一节关于任意角的三角比的概念课。

在初中，学生已学过锐角三角比，知道直角三角形中锐角三角比等于相应边长的比值。

在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角比推广为任意角的三角比，此时它与三角形已经没有什么关系了。

任意角的三角比是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。

认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角比到坐标表示的锐角三角比，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角比，直至得到任意角的三角比的定义，体现了合情推理的思想方法。

本节课将围绕任意角三角比的概念展开，任意角三角比的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键二、教学目标设置1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角比的定义：2、借助单位圆理解任意角三角比的定义：3、知道三角比是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

4、在借助单位圆认识任意角三角比概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。

三、学生学情分析1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角比时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。

2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角比的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触过单位圆，而且单位长度也很少涉及过，针对这个问题，应引导学生利用相似三角形的知识来转换，无论点P在何位置，其三角比值唯一确定，那选在终边与单位圆的交点处，表达式就更简单了。

5.2课题：任意角的三角比（1）教案教学目的：1、掌握任意角的正弦、余弦、正切以及余切、正割、余割定义。

2、会根据角α终边上的点的坐标求出角α的六个三角比。

3、会利用单位圆的三角函数线表示正弦、余弦和正切。

4、能利用三角比的定义进行三角比的求值。

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切以及余切、正割、余割定义。

教学过程：（一）、引入一、复习锐角三角比：初中是怎样定义锐角三角比的?答：sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ，cotA=ab A ∈(0，2π)，sinA ，cosA ，tanA ，cotA 均为正。

（二）、新课 一、从锐角三角比的定义出发，能否对任意角定义三角比呢？使锐角三角比是它的特殊情况。

二、任意角三角比的定义： 1．用坐标法定义三角比：（1）设α是一个任意角，以α的顶点为原点，以它的始边作为x 轴的非负半轴； （2）在角α的终边上任取一点P ； （3）设P （x ，y ），计算|OP|=r (r>0)．;sin ,sin ,)1(r yr y =ααα即记作的正弦叫做比值 ;cos ,cos ,)2(r xr x =ααα即记作的余弦叫做比值 ;tan ,tan ,)3(x yx y =ααα即记作的正切叫做比值;cot ,cot ,)4(y xy x =ααα即记作的余切叫做比值 ;sec ,sec ,)5(x rx r =ααα即记作的正割叫做比值A B Cab c(x P),y.csc ,csc ,)6(y ry r =ααα即记作的余割叫做比值由三角比的定义知道，三角比的值与P 点在终边上的位置无关，而是由α的终边位置所决定的．特别，当角α的终边在y 轴上，终边上任意一点P 的横坐标x 等于0， 所以tan α=xy无意义。

三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、已知角α的终边经过点P(2,-3)，求α角的六个三角比值。

解：r=22)3(2-+=13，∴sin α=13133133-=-，cos α=13132，tan α=23-，cot α=32-sec α=213，csc α=313-例2．求下列各角的六个三角比值： （1）0 （2）π （3）23π 解：（1）在0角终边上取点(1，0)，则r=1，∴sin0=0，cos0=1，tan0=0，cot0无意义，sec0=1，csc0无意义 （2）在π角终边上取点(-1，0)，则r=1，∴sin π=0，cos π=-1，tan π=0，cot π无意义，sec π=-1，csc π无意义（3）在23π角终边上取点(0，-1)，则r=1， ∴sin 23π=-1，cos 23π=0，tan 23π无意义，cot 23π=0，sec 23π无意义，csc 23π=-1例3：已知角α的终边上有一点P(4，y)（y ≠0）且sin α=5y，求角α六个三角比。

湖南省桃江县第一中学高一数学下册《任意角》教案沪教版一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；（4）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣•（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“逆（顺）时针旋转”，角有大于360角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习•3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系•理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物•二、教学重、难点重点：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法难点：终边相同的角的表示•三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角，最小的角是零角•通过回忆和观察日常生活中实际例子，把对角的理解进行了推广•把角放入坐标系环境中以后，了解象限角的概念•通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法•我们在学习这部分内容时，首先要弄清楚角的表示符号，以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等教学用具：电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1・25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？［取出一个钟表，实际操作］我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上，这就是说角已不仅仅局限于0 360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角•【探究新知】1 •初中时，我们已学习了0 360角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形•如图1・1-1 , 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB , 就形成角•旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点•2・如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720 ” （即转体2周），“转体1080 ”（即转体3周）等，都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角•同学们思考一下：能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子，这些说明了什么问题？又该如何区分和表示这些角呢？为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角•如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角•［展示课件］如教材图1・1・3（1）中的角是一个正角，它等于750 ;图1・1・3（2）中，正角210，负角150，660 ;这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角•为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为•3・在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念•角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

湖南省桃江县第一中学高一数学下册《任意角》教案 沪教版一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。