苏教版数学高一苏教版必修41.3.1三角函数的周期性

1.3.1
4．已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(1)＝－5，则 f(f(5))＝____－__15__.
f(x＋2)＝f1x，若
本
解析 由已知 f(x＋4)＝fx＋1 2＝f(x)
课 时
∴f(x)是周期为 4 的函数
栏 目
∵f(5)＝f(1)＝－5，于是 f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
2
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
例 2 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若
f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求
f 53π的值．
本
课 时
解 ∵f(x)的最小正周期是 π，
栏 目 开
∴f 53π＝f 53π－2π＝f －π3
关
∵f(x)是 R 上的偶函数，
1.3.1
问题 3 满足条件：f(x＋a)＝－f1x(a 为常数且 a≠0)的函数 y
＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，
说明理由．
本 课
答 ∵f(x＋a)＝－f1x，
时 栏 目 开 关
∴ ∴ff((xx＋＋22aa))＝＝ff([x()x．＋a)＋a]＝－fx＋1 a＝－－1f1x＝f(x)．
则 x＋kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是
无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.
3.周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 kT(k∈N*)一定
本 也是周期.
课 时
4.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正
栏 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如
目
探究点三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)

典例导学 即时检测 一 二 三
周期函数的证明一般利用周期函数的定义;对抽象函数的 周期性证明,要注意利用条件,结合定义进行灵活的转化.对于函数 最小正周期的证明,不仅可以用周期函数的定义,而且还可以运用 反证法.
典例导学 即时检测 一 二 三
二、求三角函数的周期
求下列函数的周期:
(1)y=3sin
解方法一(直接计算): ∵f(2+x)=-f(x),f(x)为奇函数,当x∈[0,1] 时,f(x)=x,∴f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-[f(3.5)]=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)=-f(2-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 方法二(利用周期性): ∵f(4+x)=f[2+(2+x)] =-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x+4)=f(x),故函数的周期为4. ∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5). ∵0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(7.5)=-0.5.
12
交流2 所有周期函数都有最小正周期吗?为什么? 提示并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,常数函数 f(x)=5,x∈R.当x为定义域内的任何值时,都有f(x)=C,即对定义域内 的每一个x值,f(x)都有f(x+T)=C=f(x),因此f(x)是周期函数.由于T是 不为零的任意常数,而正数集合中没有最小者,所以f(x)=C没有最小 正周期.
典例导学 即时检测 1 2 3 4 5
4.导学号51820020已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,
且f(1)=1,则f(5)=
.

第1章 三角函数
1.3 三角函数的图象和性质 1.3.1 三角函数的周期性
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学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解周期函数的定义．(难点)
2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重 通过学习本节内容提升学
点)
生的数学运算和逻辑推理
3.会求函数 y＝sin(ωx＋φ)和 y＝cos(ωx＋φ)的 核心素养.
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利用公式求 y＝Asinωx＋φ或 y＝Acosωx＋φ的最小正周期时，要注 意 ω 的正负，公式可记为T＝|2ωπ|.
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±10 已知 f(x)＝cosωx－π6的最小正 ±10.]
[由题意可知|2ωπ|＝π5，ω＝
周期为π5，则 ω＝______.
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2．(变结论)本例条件不变，求 f－196π的值． [解] ∵f(x)的最小正周期为 π， ∴f－196π＝f－3π－π6＝f－π6， ∵f(x)是 R 上的偶函数， ∴f－π6＝fπ6＝sin π6＝12. ∴f－196π＝12.
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[解] (1)T＝21π＝6π，∴最小பைடு நூலகம்周期为 6π. 3
(2)T＝|－2π3|＝23π，∴最小正周期为23π. (3)由 y＝sin x 的周期为 2π，可猜想 y＝|sin x|的周期应为 π. 验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知 y＝|sin x|的最小正周期是 π. (4)T＝|22πa|＝|πa|，∴最小正周期为|πa|.
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1．思考辨析 (1)周期函数都一定有最小正周期．( ) (2)周期函数的周期只有唯一一个．( ) (3)周期函数的周期可以有无数多个．( )

3 2 ＝sin 4π＝ 2 .
解析答案 返回
达标检测
1.下列说法中，正确的是 ④ . ①因为sin(π－x)＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期；
1
2
3
4
②因为tan(2π＋x)＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的最小正周期； π π π ③因为当 x＝4时，等式 sin(2＋x)＝sin x 成立，所以2是函数 y＝sin x 的
π π (1)y＝3sin(2x＋6)；
解 2π 2π T＝ ω ＝ π ＝4. 2
解析答案
x π (2)y＝2cos(－2＋4)； x π x π 解 y＝2cos(－2＋4)＝2cos(2－4)，
2π ∴T＝ 1 ＝4π. 2 (3)y＝|sin x|.
解
由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π.
3π 设 f(x) 是定义域为 R ，最小正周期为 2 的函数，若 f(x) ＝ 15π 则 f( － 4 ) ＝
π cos x－ ≤x<0， 2 sin x0≤x<π，
2 2
.
3 解析 ∵f(x)的最小正周期为2π，
15 3 15 3π ∴f(－ 4 π)＝f(2π×3－ 4 π)＝f( 4 )
ω＝±2.
解析答案
类型二 函数周期性的判断 例2
证明
证明：定义在 R上的奇函数f(x)的图象有一条对称轴 x＝a(a≠0)，则
∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x). ①
f(x)是周期函数. ∵f(x)的图象有一条对称轴x＝a(a≠0)， ∴f(a＋x)＝f(a－x). ∴f(x)＝f(2a－x). 由①②可知：f(2a－x)＝－f(－x)，即f(2a＋x)＝－f(x). ∴f(4a＋x)＝f[2a＋(2a＋x)]＝－f(2a＋x)＝f(x)， ∴f(x)为周期函数，4a为它的一个周期.

课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时， 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21 C.23- D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。

• 终边落在x轴正半轴的角的集合:
{α|α=2kπ,k∈Z}
• 终边落在x轴负半轴的角的集合: {α|α=（
2k-1）π,k∈Z}
• 终边落在y轴正半轴的角的集合:
{α|α=π/2+2kπ,k∈Z}
• 终边落在y轴负半轴的角的集合:
第九页，编辑于星期一：点 二十七分。
示？ 示？
终边落在x轴上的角的集合如何表
终边落在y轴上的角的集合如何表
终边落在坐标轴的角的集合如何
第十页，编辑于星期一：点 二十七分。
• 终边在x轴上的角的集合为：S1={α|α =n·180°,n∈Z}.
• 终边在y轴上的角的集合为： S2={α|α=n·180°+90°,n∈Z}.
• 终边在坐标轴上的角的集合为； S={α|α=k·90°,k∈Z}.
第十一页，编辑于星期一：点 二十七分。
课堂练习
• • -265°的终边相同角的集合是？ • -384°的 终边相同角的集合是？ • 3900°的终边相同角的集合是？ • 23°终边相同角的集合是？ • 4108°的终边相同的角的集合是？
第十二页，编辑于星期一：点 二十七分。
答案
•
1. -265°+k*360°（k∈z）
第一章 三角函数
§1.3.1 三角函数的周期性
高中数学必修4·同步课件
第一页，编辑于星期一：点 二十七分。
引入课题
• 讨论: 与30°终边相同的角还有哪些？都 可以用什么代数式表示？
• 探究：终边相同的角都可以表示成一个0°
到360°的角与K（k∈z）个周角的和
• 390°＝30°+360°（k=1）
（） • A．60°与-300° B．230°与950° • C．1050°与-300° D．-1000°与80°

课下能力提升(七) 三角函数的周期性一、填空题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期为________．2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________． 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是周期为1的函数②f (x )是周期为2的函数③f (x )是周期为12的函数 ④f (x )是周期为π的函数5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为________．二、解答题6．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x ；(2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)．7．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)．8．若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如下图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？(3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？答 案1．解析：T ＝2π|－2|＝π. 答案：π2．解析：T ＝π3. 答案：π33．解析：∵T ＝2πk 4＝8πk≤2，∴k ≥4π，∴k min ＝13. 答案：134．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，∴f (x )的周期为2ππ＝2. 答案：②5．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数，∴f (6)＝f (2)．由f (2)＝－f (0)＝0，得f (6)＝0.答案：06．解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x 的最小正周期为12π.(2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 7．解：由诱导公式知sin ⎝⎛⎭⎫n ＋126π＝sin ⎝⎛⎭⎫n π6＋2π＝sin n π6， ∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3. 8．解：(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.。

[变式训练] 求下列函数的周期： (1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x； (2)f(x)＝|sin x|＋|cos x|. 解：(1)f(x＋π)＝cos 2(x＋π)＋sin2(x＋π)＝cos(2x＋ 2π)＋sin(2x＋2π)＝cos 2x＋sin 2x＝f(x)， 所以 f(x)的周期为 π.
π π π (2)fx＋2＝sinx＋2＋cosx＋2＝|cos
x|＋|sin x|
＝f(x)， π 所以 f(x)的周期为 . 2
题型 2 证明函数的周期性 [典例 2] 求证：若对于非零常数 m 和任意的 x，等 1＋f（x） 式 f(x＋m)＝ 成立，则 f(x)为周期函数． 1－f（x）
一、最小正周期 对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定 义域内的每一个 x 值， 都满足 f(x＋T)＝f(x)， 那么函数 f(x) 就叫作周期函数，非零常数 T 叫作这个函数的周期． 根据上述定义，我们有： 正弦函数是周期函数， 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周 期，最小正周期是 2π.
第1章
三角函数
1．3 三角函数的图象和性质 1．3.1 三角函数的周期性
[情景导入] 自然界中存在着许多周而复始的现象， 如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动， 圆周运动等．从正弦函数、余弦函数的定义可知，角 α 的终边每转一周又会与原来的位置重合，故 sin α，cos α 的值也具有周而复始的变化规律．
答案：－1
思考：正弦函数、余弦函数及正切函数它们都是周期 函数吗？其周期分别为多少？你能给周期函数下一个定 义吗？
[学习目标] 1.理解周期函数的最小正周期的意义， 会求简单函数的最小正周期． 2.理解正弦函数，余弦函 数的周期性的意义．

1．3 三角函数的图象和性质 1．3.1 三角函数的周期性[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期．[学问链接]1．观看单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2π个单位重复消灭其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值重复消灭． 2．设f (x )＝sin x ，则sin(x ＋2k π)＝sin x 可以怎样表示？答 f (x ＋2k π)＝f (x )，这就是说：当自变量x 的值增加到x ＋2k π时，函数值重复消灭． [预习导引] 1．函数的周期性(1)一般地，对于函数f (x )，假如存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)假如在周期函数f (x )的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x 知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 3．y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.要点一 求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin 2x |(x ∈R )．解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π， 就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π， 函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期为2π2＝π. (2)作出y ＝|sin 2x |的图象．由图象可知，y ＝|sin 2x |的周期为π2.规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x ”增加到“x ＋T ”时函数值重复消灭，则可得T 是函数的一个周期． (2)常见三角函数周期的求法：①对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω≠0)的周期求法通常用公式T ＝2π|ω|来求解．②对于形如y ＝|A sin ωx |(或y ＝|A cos ωx |)的周期状况常结合图象法来解决． 跟踪演练1 求下列函数的最小正周期． (1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝sin 12x ；(3)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6. 解 (1)定义法：令u ＝2x ，则cos 2x ＝cos u 是周期函数，且最小正周期为2π.∴cos(u ＋2π)＝cos u ，则cos(2x ＋2π)＝cos 2x ， 即cos [2(x ＋π)]＝cos 2x . ∴cos 2x 的最小正周期为π. 公式法：∵ω＝2，∴T ＝2π|ω|＝π，故y ＝cos 2x 的最小正周期为π.(2)假如令u ＝12x ，则sin 12x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋2π＝sin x 2， 即sin ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＝sin 12x . ∴y ＝sin 12x 的最小正周期是4π.(3)∵2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6的最小正周期是6π. 要点二 三角函数周期性的应用例2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.规律方法 解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内． 跟踪演练2 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值． 解 因f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1.1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1的最小正周期是________． 答案 π2．已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________. 答案 10解析 T ＝2πω＝π5⇒ω＝10.3．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数， 3就是它的一个周期，且f (－x )＝－f (x )． ∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3) ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.4．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________.答案 －15解析 由已知f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数．∵f (5)＝f (1)＝－5，于是f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f (－1＋2)＝1f (1)＝－15.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观看出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出访f (x ＋T )＝f (x )成立的T . (2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观看图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.一、基础达标1．函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是________．答案 π解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝____________________________________ ____________________________________. 答案 ±3解析 2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.3．函数f (x )＝cos π6x ，则f (2 016)＝________.答案 1解析 f (x )＝cos π6x 的周期T ＝2ππ6＝12.∴f (2 016)＝f (167×12＋12)＝f (12)＝cos 126π＝cos 2π＝1.4．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 答案 π 解析 T ＝2π2＝π.5．已知函数f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________． 答案 7 解析 由已知2π⎪⎪⎪⎪k 3≤3，∴|k |≥2π，而k >0，∴k ≥2π，正整数k 的最小值是7. 6．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________． 答案 6解析 由已知T ＝2π|ω|，∴1<2π|ω|<3，而ω>0，∴2π3<ω<2π.又ω∈N *，∴ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.7．若函数f (x )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102)的值．解 ∵sinn π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n π6＋2π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋12)π6(n ∈Z )， ∴f (n )＝f (n ＋12)，即函数f (x )的周期T ＝12. ∵97＝12×8＋1,102＝12×8＋6， ∴f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3. 二、力量提升8．已知奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，且f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 －2解析 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在x ＝0有定义，∴f (0)＝0，f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. ∵f (2)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∴f (2)＋f (3)＋f (4)＝0＋(－2)＋0＝－2.9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (7.5)＝________.答案22解析 ∵f (x ＋1)＝1f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，f (7.5)＝f (8－0.5)＝f (－0.5)＝1f (0.5)， 又x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (－0.5)＝2－0.5＝22. 10．已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1f (x )，且f (1)＝12，则f (2 014)＝________.答案 2解析 由于f (x ＋6)＝1f (x ＋3)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为6，故f (2 014)＝f (4)＝1f (1)＝2.11．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为32π的函数，在某一周期上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos 2x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x <0，sin x (0≤x <π)，求f ⎝⎛⎭⎫－15π4的值．解 ∵f (x )的周期为3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3×3π2＝f ⎝⎛⎭⎫34π.∵0<34π<π，∴f ⎝⎛⎭⎫34π＝sin 34π＝sin π4＝22， 即f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝22. 12．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域；(2)推断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期． 解 (1)∵|sin x |>0， ∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }． ∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0，∴函数的值域为{y |y ≥0}． (2)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π. 三、探究与创新13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数． (2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)解 ∵4是f (x )的一个周期． ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。

三角函数的周期性三角函数知多少正弦函数作代表赣榆区赣马高级中学李春利一、教学目标及分析1知识与技能1、了解周期函数的概念2、会判断一些简单、常见的函数的周期3、会求一些简单三角函数的周期2过程与方法1、通过组织学生从生活实际周期现象出发，逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题、解决问题的能力2、通过本节的学习，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比拟、归纳、分析等一般科学方法的运用3、通过对例2的学习，使学生进一步理解周期函数的定义和正弦函数、余弦函数的最小正周期，通过观察、归纳、类比方法的运用得出一般情况：3情感、态度与价值观1 通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，让学生体会数学律，体会从感性到理性的思维过程，2 在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对三角函数周期性的理解，让学生在亲身经历数学研究的过程中，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

二、学情分析三角函数是必修4整本教材的核心内容，虽然初中学生已对三角函数有了一定的了解，但那只局限在直角三角形中，对三角函数的特征还很茫然。

进入高中后学生学习了三角函数的定义，诱导公式，让学生具备了有一定能力去进行深入的研究，而周期性是三角函数的重要性质之一，在高中数学课程编排中是以三角函数为载体引出周期性这一概念的，理解三角函数周期性的本质对于函数周期性的后续学习起到至关重要的作用。

正弦、余弦函数作为最重要的两类三角函数，对其周期性的学习对后面它们的图像和性质的探究和学习起到了非常关键的作用。

因此本节课的学习至关重要。

三、教学重点和难点，教学方法分析重点：1、周期函数的概念2、求一些简单三角函数的周期难点：周期函数的概念的理解教学方法：引导发现法、观察归纳法，合作讨论法依据：为了把发现创造的时机还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维开展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的时机;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．四、教学过程〔一〕、问题情境问题1: 年复一年，日复一日，潮汐潮落、、、、、、，这些事物呈现一种什么现象？你能再举一些这样的例子吗？设计意图：是从简单的问题出发，可以让学生立即进入上课的状态。

高中数学-打印版
最新版高中数学 1.3 三角函数的图象和性质
1.3.1 三角函数的周期性
课前导引
问题导入
在日常生活中我们知道，如果今天是星期一，那么过7天后的那一天是星期一，再过7天后的那一天仍然是星期一，如此这般，一遍一遍地循环变化，周而复始.这就是人们常谈的周期性.然而在数学上也能反映出美丽的规律曲线，如下图A 、B 、C.
请问：这些图象都呈现出怎样的变化规律?
解析：图象呈现这样的变化规律：当x 取值变化时，y 呈有规律的周期变化，这种变化是本节要学的周期性.
知识预览
1.周期函数：对于函数f(x)如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
2.最小正周期：对于周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数，且A≠0,ω＞0)的周期T=ωπ2.。

高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
§1.3.1三角函数的周期性
江苏省淮州中学曾宁江
§1.3.1三角函数的周期性
问题1:日出日落,寒来暑往……自然界中有许多 按一定规律周而复始,重复出现的现象,这种现象 称为周期现象. 你能再举出几个具有周期现象的事例吗?
三角函数有周期现象吗?
sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosα 每当角增加(或减少)2π(或其整数倍),所得角与原 角的正弦,余弦值仍相等.
§1.3.1三角函数的周期性
例⑴1y=求si下n2列x⑵函y数=c的os周⑶期y=2s2xin
(1 x )
36
一般的正弦函数y=Asin(ωx+φ)及余弦函数 y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的周期 是什么呢?
T 2
§1.3.1三角函数ຫໍສະໝຸດ 周期性练习P271~4 小结:本课学习了函数的一个重要性质——周期性. 三角函数是我们学习的最重要的周期函数,要理解 周期性的本质,会求正弦,余弦函数的周期.
§1.3.1三角函数的周期性
注:1.函数的周期性说明:对定义域内的每一个值,
每增加或减少一个非零的常数T,函数值就重复出
现.kT(k∈N,k≠0)都是f(x)的周期;
2.已知,sinn(x的周期) 是s吗in ?

42
4
2
又如的co周s(1期x是22π吗) ?cos 1 x, cos 1 x
2
2
2
注意定义中“每一个x值”.
§1.3.1三角函数的周期性
注:3.并不是每一个周期函数都有最小正周期,如函 数f(x)=5,则对任意T∈R,T≠0,都有f(x+T)=f(x)=5, 任一非零实数T都是周期,但没有最小正周期;

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误区解密：因基本概念不清晰而出错
【例4】写出与60°终边相同的角的
错解集当k合=0，时并，6把0 °其+0中*360在°−=630 6°0°～720°内的 当k=1 时，60 ° +角1*36写0 °出=42来0 °
自学导引
1.所有与终角边α 相同的角，连同角 S α在 | 内 ， k可 36构0,k成 Z一 个集合：
S | 2k ,k Z
不一定
一定
2.终边相无同数的角 3.相等的角，终边 4.终边相同的有
36相0°等的整. 数倍. 相同.
多个，它
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kk∈∈zz
cot（2kπ+α）=cotα k∈z
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要点阐释
二. 设α为任意角，π+α的三 角函数值与α的三角函数值之间
的关系：
sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα
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预习测评
2.求与-1050°终边相同30的° 最小
解析：-1050+360*3=30°
正角
.
D
3.下列各角中，与30°的角终边 相同的角是（ ）
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故选 C． 点评：本题考查诱导公式的应用，
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1．3.1 三角函数的周期性整体设计教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义．教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程．不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x 而言的，是自变量x 的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的周期为2πω这一结论． 三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究周期函数的定义由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx.正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)．这又启发我们思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；f(x ＋T)＝f(x)，其中T 是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.由诱导公式易知，2π是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2π是它的最小正周期．假设0<T<2π，且T 是正弦函数的周期，则对任意实数x ，都有sin(x ＋T)＝sinx 成立．令x ＝0，得sinT ＝0，又0<T<2π，故T ＝π，从而对任意实数x ，都有sin(x ＋π)＝sinx 成立，与sin(π2＋π)≠sin π2矛盾，故正弦函数没有比2π小的正周期． 由此可知，2π是正弦函数的最小正周期．学生一时可能难于理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举一些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f(x)＝c(c 为常数，x∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f(x＋T)＝f(x)，那么T 就不是f(x)的周期．例如，分别取x 1＝2kπ＋π4(k∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2kπ＋π4＋π2)＝sin(2kπ＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f(x ＋120°)＝f(x)，所以120°不是f(x)的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不惟一，例如2π，4π，6π，8π，…都是它的周期，有无穷多个，即2kπ(k∈Z ，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z ，k≠0，kT 也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．示例应用例1见课本本节例1.例2判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f(x＋T)＝f(x)成立的T的值．学生可能会很容易找出4π、2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)，所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，π2等都代入试一试．实际上，f(x)＝2sin 2x ＋|cosx|，x∈R 中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期．知能训练课本本节练习1～4.作业1．课本习题1.3 1.2．预习正弦函数、余弦函数的图象．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形(单位圆)到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．备课资料一、关于周期函数与函数的周期周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论．下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨．1．性质：(1)若T(T≠0)是函数f(x)的周期，则－T 也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T －T)]＝f[x ＋(－T)]＝f(x)〕因而周期函数必定有正周期．(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n 为任意非零整数)也是f(x)的周期．(3)若T 1与T 2都是f(x)的周期，则T 1±T 2也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T 1±T 2)]＝f(x ＋T 1)＝f(x)〕(4)如果f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T 一定是T*的正整数倍．(5)周期函数f(x)的定义域M 必定是双方无界的集合，但M 并非必定是(－∞，＋∞)．2．周期函数的判定(1)若f(x)是在数集M 上以T*为最小正周期的周期函数，则kf(x)＋c(k≠0)和1f x分别是数集M 和数集{x|f(x)≠0}上的以T*为最小正周期的周期函数．(2)设f(u)是定义在数集M 上的函数，u ＝g(x)是数集M 1上的周期函数，且当x∈M 1时，g(x)∈M，则复合函数f[g(x)]是M 1上的周期函数．(3)设f 1(x)、f 2(x)都是集合M 上的周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，若T 1T 2∈Q ，则它们的和、差与积也是M 上的周期函数，T 1与T 2的公倍数为它们的周期．例如：f(x)＝sinx －2cos2x ＋sin4x 是以2π、π、π2的最小公倍数2π为周期的周期函数．3．非周期函数的判定(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数．例如：f(x)＝cosx(x≤10)不是周期函数．(2)一般用反证法证明．例如：可证f(x)＝sinx 2是非周期函数；f(x)＝ax ＋b(a≠0)是非周期函数．(3)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T 在关系式f(x ＋T)＝f(x)中是与x 无关的，故讨论时可通过解关于T 的方程f(x ＋T)－f(x)＝0，若能解出与x 无关的非零常数T ，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的T 不存在，则f(x)为非周期函数．4．求周期函数的周期关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手．本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等．二、备用习题1．求下列函数的周期：①y＝cos2x ；②y＝sin 23x ；③y＝12sin(14x －π3)；④y＝|sin 12x|. 2．已知函数y ＝2cos(π3－ωx)的周期是4π，求ω. 3．已知函数f(x)＝3sin(kx 5＋3)(k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k 的值为( )A ．33B ．32C ．31D ．304．下列函数中不是周期函数的是( )A ．y ＝－8π B．y ＝|cosx|C ．y ＝1|sinx|D ．y ＝sin|x| 5．求证：y ＝cos2x ＋sin2x 的周期为π.6．求函数y ＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．参考答案：1.①π；②3π；③8π；④2π.2．ω＝±12. 3.B 4.D 5．证明：f(x ＋π)＝cos2(x ＋π)＋sin2(x ＋π)＝cos(2π＋2x)＋sin(2π＋2x)＝cos2x ＋sin2x ＝f(x)，∴y＝cos2x ＋sin2x 的周期是π.(一般不要求证明是最小正周期)6．解：函数y ＝|sinx|＋|cosx|的图象如图1所示，由图可知：函数的最小正周期为T ＝π2.图1。

三角函数的周期性一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1理解周期函数、最小正周期的定义；2会求正、余弦函数的最小正周期。

三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。

四、教学过程：（一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2生活情境：展示日常生活中的周期现象：春夏秋冬，日一日更替，潮汐 3．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量x 2π- 32π- π- 2π- 0 2π π 32π 2π 函数值sin x0 1 0 1- 0 1 0 1- 0正弦函数()sin f x x =性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

（二）新课讲解：1．周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

– – π 2π 2π- 2π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1-【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性教案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1．3。

1 三角函数的周期性错误!教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景,因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现"“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等,逐步抽象出函数周期性的定义．教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论,可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接"中的内容了解其证明过程．不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x而言的，是自变量x的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y＝Asin(ωx ＋φ）的周期为错误!这一结论．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．教学难点：周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安,糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2。

1．3 三角函数的图象和性质 1．3.1 三角函数的周期性[学习目标] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx＋φ)的周期．[知识链接]1．观察单位圆中的三角函数线知正弦值每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现．2．设f (x )＝sin x ，则sin(x ＋2k π)＝sin x 可以怎样表示？答 f (x ＋2k π)＝f (x )，这就是说：当自变量x 的值增加到x ＋2k π时，函数值重复出现． [预习导引] 1．函数的周期性(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x 知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 3．y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.要点一 求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin 2x |(x ∈R )． 解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3， ∵x ∈R ，∴z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π， 就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π， 函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π.方法二 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为2π2＝π.(2)作出y ＝|sin 2x |的图象．由图象可知，y ＝|sin 2x |的周期为π2.规律方法 (1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x ”增加到“x ＋T ”时函数值重复出现，则可得T 是函数的一个周期．(2)常见三角函数周期的求法：①对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，ω≠0)的周期求法通常用公式T ＝2π|ω|来求解．②对于形如y ＝|A sin ωx |(或y ＝|A cos ωx |)的周期情况常结合图象法来解决． 跟踪演练1 求下列函数的最小正周期．(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝sin 12x ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 解 (1)定义法：令u ＝2x ，则cos 2x ＝cos u 是周期函数，且最小正周期为2π. ∴cos(u ＋2π)＝cos u ，则cos(2x ＋2π)＝cos 2x ， 即cos[2(x ＋π)]＝cos 2x . ∴cos 2x 的最小正周期为π. 公式法：∵ω＝2，∴T ＝2π|ω|＝π，故y ＝cos 2x 的最小正周期为π.(2)如果令u ＝12x ，则sin 12x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin x 2，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＝sin 12x . ∴y ＝sin 12x 的最小正周期是4π.(3)∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.要点二 三角函数周期性的应用例2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．解 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝32.规律方法 解决此类问题关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内．跟踪演练2 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值． 解 因f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.1．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的最小正周期是________．答案 π2．已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω＝________. 答案 10解析 T ＝2πω＝π5⇒ω＝10.3．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )是周期函数， 3就是它的一个周期，且f (－x )＝－f (x )． ∴f (8)＝f (2＋2×3)＝f (2)＝f (－1＋3) ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.4．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 答案 －15解析 由已知f (x ＋4)＝1fx ＋＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数．∵f (5)＝f (1)＝－5，于是f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f－1＋＝1f＝－15.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.一、基础达标1．函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是________．答案 π解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝____________________________________ ____________________________________. 答案 ±3 解析2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 3．函数f (x )＝cos π6x ，则f (2 016)＝________.答案 1解析 f (x )＝cos π6x 的周期T ＝2ππ6＝12.∴f (2 016)＝f (167×12＋12)＝f (12)＝cos 126π＝cos 2π＝1.4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 答案 π解析 T ＝2π2＝π.5．已知函数f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________． 答案 7 解析 由已知2π⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 3≤3，∴|k |≥2π，而k >0，∴k ≥2π，正整数k 的最小值是7.6．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________． 答案 6解析 由已知T ＝2π|ω|，∴1<2π|ω|<3，而ω>0，∴2π3<ω<2π.又ω∈N *，∴ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.7．若函数f (x )＝sin n π6(n ∈Z )，求f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102)的值．解 ∵sinn π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫n π6＋2π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋π6(n ∈Z )，∴f (n )＝f (n ＋12)，即函数f (x )的周期T ＝12. ∵97＝12×8＋1,102＝12×8＋6， ∴f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3. 二、能力提升8．已知奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，且f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 －2解析 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在x ＝0有定义，∴f (0)＝0，f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.∵f (2)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∴f (2)＋f (3)＋f (4)＝0＋(－2)＋0＝－2. 9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f x，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f (7.5)＝________. 答案22解析 ∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f (x )，f (7.5)＝f (8－0.5)＝f (－0.5)＝1f，又x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f (－0.5)＝2－0.5＝22. 10．已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1fx ，且f (1)＝12，则f (2 014)＝________. 答案 2解析 因为f (x ＋6)＝1fx ＋＝f (x )，所以函数f (x )的周期为6，故f (2 014)＝f (4)＝1f＝2.11．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为32π的函数，在某一周期上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x <0，sin xx <π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4的值．解 ∵f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3×3π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π. ∵0<34π<π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝sin 34π＝sin π4＝22，即f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝22. 12．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域；(2)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期． 解 (1)∵|sin x |>0， ∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }． ∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0，∴函数的值域为{y |y ≥0}． (2)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π. 三、探究与创新13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f x(f (x )≠0)．(1)求证：函数f (x )是周期函数． (2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f(x＋4)＝－1f x ＋＝－1－1f x＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解∵4是f(x)的一个周期．∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝－1f －1＋＝－1f＝15.。