下载文档原格式
万有引力场质点间引力的空间分布形式万有引力场是物质间相互作用的结果，该场决定了物质之间的引力相互作用。
质点间引力的空间分布形式是指在不同位置上的引力强度大小和方向的变化规律。
本文将从整体和局部两个角度探讨万有引力场质点间引力的空间分布形式。
一、整体角度：万有引力场的空间分布形式万有引力场是由质量体产生的，具有一定的空间分布形式。
根据牛顿定律和万有引力定律，引力场的强度与质点质量成正比，与质点间距的平方成反比。
因此，在没有其他质量体影响的情况下，质点间引力的空间分布形式为以质点为中心，呈球对称分布。
具体表现为：当质点处于无限远处时，引力场的强度非常弱，近似为零，符合物质间相互吸引的特性。
当两个质点靠近时，引力场的强度迅速增加，直至达到最大值。
在达到最大值后，引力场强度随着两个质点间距的增加而逐渐减小，直到最终趋近于零。
这种变化规律符合质点间引力随距离变化的特性。
二、局部角度：万有引力场的空间分布形式从局部角度来看，质点间引力的空间分布形式受到外界条件和质点自身特性的影响。
在考虑多个质点或其他物体的情况下，引力场的空间分布形式更加复杂。
1. 多个质点的相互作用当存在多个质点时，各个质点产生的引力场相互叠加。
在这种情况下，引力场的空间分布形式将受到多个引力场的共同作用。
相互作用的结果可能会导致引力场的形状发生变化，变得不再是简单的球对称分布。
例如，在恒星系中，存在多个恒星，它们的引力场之间存在相互作用，导致引力场的形状可能不规则。
2. 特殊质点或物体的影响在特殊情况下，引力场的空间分布形式也可能发生变化。
例如，当一个质点非常大或非常密集时，会产生较强的引力场。
这种情况下，引力场的空间分布形式可能在局部区域内呈现出复杂的形态，如引力透镜效应等。
综上所述，万有引力场质点间引力的空间分布形式从整体和局部两个角度来看是具有一定规律的。
从整体角度来看，质点间引力的空间分布形式呈球对称分布，强度随距离的变化而变化。
高斯定理在万有引力场中的应用
高斯定理是物理学界以及数学界较为重要的定理之一，它可以被广泛地用于万有引力场的研究中。
首先，我们需要了解高斯定理的核心部分——高斯梯度定理：它指出了引力场的数学表示和图像的梯度的空间表示之间的联系，即：万有引力场的空间表示有一个正定的悬赏函数，和任意点的梯度之间存在明确的联系，此外，这个悬赏函数的倒数是一个完全定义的单值函数，接下来，我们就可以用这个悬赏函数来求出万有引力场的强度以及各种有关物理量。
另一方面，万有引力场对空间上某点上发生的结构变化也有着重要的影响，它可以通过高斯梯度定理来计算这种变化。
高斯梯度定理中，梯度是一个十分重要的概念，它是三维空间中某点处的万有引力场变化速率。
对此，高斯定理可以让我们通过知道梯度 at 点 P 的方向和大小来推断出空间上某个点处的引力场的强度和变化情况，也就是我们可以根据某点的梯度来计算出空间上的点的引力场的强度以及计算出不同空间上的点之间的引力场是否在变化。
至此，我们可以看出，高斯定理在万有引力场的有效应用中发挥了重要作用，它提供了万有引力场变化情况的推断，可以让我们很快的分析出物体之间的引力场变化情况，这样使我们可以进一步研究万有引力场，更好的理解它。
此外，高斯定理也有许多其它的应用，例如他可以用于空气动力学，静电学以及地学等领域。
万有引力场的高斯定理一 问题的提出在大一上学期学习力学，在学到简谐运动那一章时，胡老师曾举个一个例子，是摘自老版本大学物理学的一道书上例题，题目是这样的：将地球看做一个半径为R 的均匀球体，密度为ρ，假定沿直径开一条通道，若有质量为m 的质点沿通道做无摩擦运动，证明此运动为简谐运动。
（题目示意图如下）例题图当时做这道题时不知道如何列出质点的受力方程，后来老师直接讲到质点的受力大小仅与质点所在圆面内包围的质量有关，而与外部的质量无关。
列出受力大小公式，经过化简发现受到的万有引力大小是一个和质点所在面的半径r 成正比的○1，即质点在地球内部受到了一个线性回复力的作用，方向和质点相对于平衡位置（地心）的位移方向相反，即质点做的是简谐运动。
具体的解题公式和过程不再写出，这些不是本文章的重点。
场景转换到大一下学期（现在），在老师讲到电磁学中静电场的高斯定理时，惊奇的发现：∑⎰⎰==Φ)(01cos 内S iE q dS E εθ这个公式告诉我们：通过一个任意闭合曲面S 的电通量E Φ等于该面所包围的所有电荷的代数和Σq 除以ε0，与闭合面外的电荷无关。
这就是著名的电场中的高斯定理的表述。
其他有关高斯定理的证明请见《电磁学》（赵凯华、陈熙谋版）第54页至59页，这里不再抄写证明。
高斯提出了电通量的概念，并根据库仑定律推导出来，使很多电场问题步骤和思路大大简化，并提炼出了这个公式。
学到这里时我就突然想到了本文最开始的那道有关万有引力的题目，并且想到牛顿的万有引力定律公式——221r m m GF =万和库仑定律公式——221cr q q k=F 有着十分相似的形式，既然库仑定律能够推导出电场的高斯定理，那么高斯定理应该在万有引力场中同样适用。
在这里先给几个定义和公式：万有引力强度，用g表示，定义式为2rm 中万G m F g == ，但正方向为从内到外，与g实际方向相反。
对于球状质点系，通过单位表面积的引力通量是：-g r4r 4*g -S 22==Φ=Φππ万d 1， 万有引力通量，⎰⎰∆-=ΦSS gcos θ万（注意负号）2， 仿照041πε=k ，令041g G π=，这里的0g 姑且命名为真空介万常数，呵呵，根据真空介电常数改的，大小约为1.193*10^9。
万有引力公式大全F=G*(m1*m2)/r^2牛顿引力定律适用于任意两个物体之间的相互作用，无论它们的质量大小、形状、状态如何。
这个公式可以解释地球上物体的下落，恒星之间的引力作用，以及所有宏观物体之间的相互作用等等。
牛顿引力定律的应用范围非常广泛。
举例来说，我们可以使用这个公式计算地球上物体的重力；计算行星围绕太阳运动的力学特性；计算人造卫星的轨道等等。
除了牛顿引力定律，我们还可以通过它推导出一些其他的公式，如万有引力场的概念。
万有引力场是指在空间中存在的一个场，它使得质点在其中受到一个力。
万有引力场的数学表达式如下：g=G*M/r^2其中，g代表引力场的大小，M代表场源的质量，r代表距离场源的距离。
引力场的概念可以帮助我们更好地理解万有引力定律。
我们可以看到，当一个物体进入引力场时，它会受到一个向场源方向的力，力的大小与物体的质量成正比，与离场源距离的平方成反比。
这是因为万有引力定律所描述的引力是一种中心力，即从中心向外的力。
牛顿引力定律的应用不仅限于经典力学领域，它的影响还扩展到了其他学科。
在天文学中，牛顿引力定律帮助我们解释了行星、恒星、星系之间的引力相互作用。
在宇宙学中，它有助于我们了解宇宙的演化和结构形成。
在航天工程中，我们需要使用这个公式来计算卫星的轨道。
总之，万有引力公式是物理学中的一个重要公式，可以用来计算物体之间的引力大小。
它的应用范围广泛，包括地球上物体的重力、天体之间的引力相互作用等等。
通过这个公式，我们可以更好地理解自然界中的相互作用力。
万有引力与万有引力场的分析万有引力是大自然中一种基本的物理力量，它影响着宇宙中的一切物体。
通过对万有引力及其引力场的分析，我们可以更好地理解宇宙的本质和物体之间的相互作用。
本文将对万有引力和引力场进行详细的探讨和分析。
一、万有引力的概念与特性万有引力是指物体之间相互吸引的力量。
根据万有引力定律，任何两个物体之间的引力大小与它们的质量成正比，与它们的距离的平方成反比。
这一定律由英国科学家牛顿在17世纪提出，并被广泛应用于力学和天文学领域。
万有引力的特性很多，其中最重要的是其普遍性和无方向性。
万有引力作用于任何物体之间，不论它们的质量大小、形状、距离远近都可以发生相互作用。
此外，万有引力的作用方向总是指向物体的中心，不受物体形状和朝向的影响。
二、万有引力场的概念与性质万有引力场是指在空间中存在的由物体所产生的引力所构成的场。
在当前物体周围的各个点上，都存在着引力场的强度和方向。
这种引力场可以通过引力场线的表示方式来描述，引力场线指示了引力的作用方向。
万有引力场的性质包括强度、方向和分布。
引力场的强度与物体的质量和距离有关，质量越大、距离越近，引力场的强度越大。
引力场的方向总是从物体的中心指向外部空间。
引力场在空间中呈现出球对称性，物体质量越大，引力场的范围越广。
三、引力场与引力势能引力场是导致物体发生相互吸引的原因，而引力势能则是描述物体在引力场中具有的势能。
当物体处于引力场中时，它会具有引力势能，这个势能的大小与物体的质量、引力场的强度以及物体在引力场中的位置有关。
引力势能可以通过引力场的梯度来计算。
梯度是指引力场在空间中变化最快的方向和变化率。
引力场的梯度在数学上可以表示为引力场的负梯度，即引力场的方向相反。
通过引力场的梯度，我们可以计算物体在引力场中的引力势能，从而进一步了解物体在引力场中的运动规律。
四、引力场与质点运动引力场对质点运动的影响是通过施加力来实现的。
当质点处于引力场中时，引力场会对其施加一个恒定的力，使其发生加速度，从而改变质点的速度和方向。
万有引力场中的“高斯定理”及其应用众所周知，库仑定律是用于描述带电体之间的相互作用的重要定律，其数学表达式为F = k221 r qq^r（1）而万有引力定律是用来描述物体之间的相互吸引的基本定律，其数学表达式为F = -G221 r mm^r（2）比较（1）、（2）两式，我们不难发现，两者有着极其相似的特点。
它们都服从平方反比定律，库仑定律中的q和万有引力定律中的m相当，库仑定律中的k与万有引力定律中的G相当。
静电力是一种保守力，同样万有引力也是保守力。
但它们也有各自的特殊性，万有引力总是引力，库仑力既可以是引力，也可以是斥力；库仑力存在于两带电体之间，而万有引力存在于任何两物体之间。
那么我们能否将静电场的有关知识移植于万有引力场中去呢？在这方面已有不少人做过研究，我们可以将有关静电场的研究方法运用于万有引力场中，以新的视觉来重新认识万有引力定律的深刻内涵。
那么，我们还是首先来回顾一下静电场的有关内容。
1．静电场库仑定律描述了两个相距一段距离的带电体之间存在着相互作用力，两者之间的相互作用力式怎样传递的呢？通过研究探索，人们终于认识到任何带电体的周围都存在着由电荷激发的电场，相互作用力正是通过这种场来传递的。
电荷⇔电场⇔电荷为了描述电场本身的性质，我们引入一个物理量——电场强度EE = F／q若要描述点电荷组产生的电场强度，则可利用场强叠加原理E = ∑E i为直观、形象地了解电场中电场强度地空间分布情况，在电场中可以画出一系列的曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的电场强度的方向一致，这些曲线称为电场的电场线。
正负点电荷的电场线如下图所示：图1 图2电场线图既能反映电场强度方向的分布情况，又能根据电场线密度的大小反映出电场强度在各处的强弱情况。
电场中的一个闭合曲面S的电通量，可表示为Φe = ⎰SE·d S对于真空中的任何静电场，通过电场中任何闭合曲面S的电通量Φe，等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和∑q的1/ε0倍，与闭合曲面外的电荷无关。
引力场万有引力定律及引力场强度的计算引力场，是指质点或物体周围的空间中存在着的引力作用力场。
在物理学中，我们常用万有引力定律来描述引力场的特性。
万有引力定律是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的，它阐述了物体之间的引力作用力与质量和距离的关系。
本文将介绍引力场的万有引力定律，并探讨引力场强度的计算方法。
万有引力定律可以表述为：两个物体之间的引力作用力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
具体地，对于两个物体质量分别为m₁和m₂，它们之间的距离为r，它们之间的引力F满足以下公式：F =G * (m₁ * m₂) / r²其中，G为万有引力常数，它的数值约为 6.67 * 10^(-11) N·m²/kg²。
通过这个公式，我们可以计算出引力作用力的大小。
在应用中，我们常使用引力场强度来描述引力场的特性。
引力场强度表示单位质量的物体在引力场中所受的引力作用力。
引力场强度的计算方法如下：g = F/m其中，g为引力场强度，F为物体所受的引力作用力，m为物体的质量。
通过上述计算公式，我们可以计算得出引力场中的引力场强度。
需要注意的是，引力场强度的方向与引力作用力的方向相同，即指向物体的中心。
在实际应用中，我们经常遇到计算地球表面上物体所受的引力场强度的问题。
我们知道，地球的质量为M，地球的半径为R。
当我们站在地球表面时，距离地心的距离可以近似为地球的半径R。
利用引力场强度的计算公式，我们可以计算出地表上物体所受的引力场强度。
这个引力场强度常被称为重力加速度，通常用字母"g"表示。
根据上述公式，我们可以得到地表上物体所受的引力场强度g的计算公式：g = G * M / R²这个公式告诉我们，在地球表面上，物体所受的引力场强度与地球的质量和半径有关。
根据国际上公认的数值，地球的质量M约为5.972 × 10²⁴ kg，地球的半径R约为6.371 × 10⁶ m。
论万有引力场中的高斯定理
高斯定理是物理学中一个重要的定理，它描述了万有引力场中物体的引力的分布情况。
高斯定理的表述方式有很多种，常见的表述方式如下：
在万有引力场中，满足高斯定理的物体的重力势能可以表示为：
$$U=\frac{1}{2}\int \rho(\vec{r}) \phi(\vec{r}) dV$$
其中，$U$是物体的重力势能，$\rho(\vec{r})$是物体的质量密度，$\phi(\vec{r})$是物体的重力势能，$dV$是在三维空间中的体积元。
在万有引力场中，满足高斯定理的物体的引力势能可以表示为：
$$\phi(\vec{r})=-\frac{Gm}{r}$$
其中，$G$是万有引力常数，$m$是物体的质量，$r$是物体到参考点的距离。
在万有引力场中，满足高斯定理的物体的引力势能可以表示为：
$$\nabla^2\phi(\vec{r})=4\pi G\rho(\vec{r})$$
其中，$\nabla^2$是二阶偏导数算子，$\phi(\vec{r})$是物体的引力势能，$\rho(\vec{r})$是物体的质量密度。
高斯定理是物理学中一个重要的定理，在研究万有引力场中物体的引力和势能等方面
有着广泛的应用。
例如，可以利用高斯定理来计算地球的重力场、月球的重力场等。
此外，高斯定理还可以用于研究物体的重力势能、引力势能等物理量的分布情况。
第五章 万有引力5-1 月球的质量是地球质量的1/81。
直径为地球的3/11，计算质量为65kg 的人在月球上所受的月球引力。
解：设月球，地球的质量分别为21M ,M ，它们的半径分别为21,r r ，人的质量为m ，由万有引力定律可知 ：人在月球表面受力为：211r m M G F ⋅⋅=，由21)811(M M =，212111321132r r r r =⇒=得 222222729121)113(811r m M G r mM G F ⋅⋅==，而g r M G =222则 N mg F 106729121=⋅=5-2 根据地球的半径g R 和引力常数G 的值，估算地球的质量和平均密度。
（已知22116107.6,104.6--⋅⋅⨯=⨯=kg m N G m R g ）解：设地球的质量为g M 由题意可知 2EERG g μ≈由密度的定义：Vm=ρ知地球的平均密度为 332105.534-⋅⨯===m kg R m Vm E EE πρ 5-3 如图5-3所示，有两个半径分别为1R 和2R 的同心薄壁球壳，质量分别为'1m 和'2m 。
将质量为m 的质点P 置于距球心O 分别为c B A r r r ,,处，求（1）质点P 所受的引力；（2）如去质点在无限远处的引力势能为零，计算质点P 在以上三处的引力势能。
解：（1）A 点在两球壳内部，此处质点所受的引力为0=A F 。
B 点在两球壳之间，此处质点只受内部球壳的引力：21'BB r mm GF = C 点在两球壳的外面，此时质点受两个球壳的引力：221)''(cC r mm m GF += （2）由引力势能⎰∞=rP Fdr E 可知质点在A 、B 、C 各点的势能为)''()''()''(212212211222211Cr C C B R C R r B r B R C R R B R r A r A r m m Gm dr F E R m r m Gm dr F dr F dr F E R m R m Gm dr F dr F dr F dr F E CBBAA+-=⋅=+-=⋅+⋅=⋅=+-=+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞⋅∞5-4 如图5-4所示，在一半径为R 、质量为m ’、密度均匀的球体中挖了一个半径为R/2的球形空腔，在P 点处放置一质量为m 的质点，求质点所受的引力。
解：设打球未被挖空时，对质点P 的引力为F ，打球被挖去一个小球之后，对质点P 的引力为1F ，只有一个小球时 ，小球对质点P 的引力为2F 则21F F F +=被挖出的小球质量为：'81)2(3434'''33m R R m m =⋅=ππ 由万有引力定律得：222)2('' ,'R r mm G F rm m GF -== 由以上式子可得])21(811['2221rR r mm GF F F --=-=5-5 当一物体从地球表面竖直向上或向下移动一小距离时，计算重力加速度变化规律。
解：（1）物体在地表面上移动高度为h 时，所受的万有引力为：21)(h R GMmGF += 此处重力加速度为：图5-4)21()1()1()(222211Rh g R h g Rh R GM h R GM m F g -≈+=-=+==- （2）物体在地面以下移动h 时，重力加速度为22)('h R GM g -=，式中的M 为半径为)(h R r -=的地球内部质量。
设想地球的质量是均匀分布的，则3333)()(3434'h R RMh R R M M -=-⋅=ππ 所以)1()(32R hg R h R GM g -=-=从（1）、（2）计算可以看出，在地球表面的重力加速度最大，向上或向下移动时重力加速度都变小。
5-6 有一质量为m 的质点，从地面高空h 处下落，设空气的阻力不计，且h 与地球半径E R 相比要小的多，试证质点落地时的速率为)/(2h R hgR E E +。
证明：质点势能的变化)11(E 22h R R m Gm dr rm m G dr r m m GE E E h R E R E P E E+-=---=∆⎰⎰∞+∞考虑22G g EE EE gR Gm R m =⇒=带入上式得： )11(22hR R mgR E E E E P +-=∆ 根据机械能守恒定律得：0=∆+∆k P E E即021)11(22=+++mv h R R mgR E E E 所以hR ghR v E E+=25-7 同步卫星在赤道上空以和地球自转的角速度相同，为了满足这一要求，同步卫星应位于赤道多高的地方？其线速度为多大？解：同步卫星作圆周运动的角速度和地球自转的角速度相同，而地球自转的周期为24小时，因此，136002422-⨯==s T ππω 万有引力提供向心力)()(22h R m h R m M GE E E +=+ω所以：m R GM h E E 73121059.3⨯=-⎪⎭⎫⎝⎛=ω 卫星的线速度为：131007.3)(-⋅⨯=+=s m h R v E ω5-8 质量分别为3m 和m 的两个质点，它们相距为d 。
如以质点3m 为原点，试求它们的引力场为0的位置。
解：以3m 质点所在的位置为原点，建立如图5-8所示的坐标系，设想在3m 和m 之间的p 点引力场为0，则置于该点的任意物体0m 所受的引力的合力必为0。
由万有引力定律可知：220)(3r d mm G r mm G-=解得：d r 634.0=5-9 质量分别为'm m 和的两个质点，最初它们相距很远，并处于静止状态，在万有引力作用下，它们相互趋近，试证两质点相距为r 时，它们的相对速度为21]/)'(2[r m m G +。
证：选择'm m 和作为研究系统，两质点相距无穷远时引力势能为零，在它们趋近的过程中同时满足机械能守恒和动量守恒的条件，设'm m 和相距r 时，它们的速度分别为v 和'v ，相对速度为u 。
则易得：'v v u +=由动量守恒定律：0''=-v m mv由机械能守恒定律：0'''212122=-+rmm G v m mv 联立上面三式可得两质点的相对速度为：rm m G u )'(2+=5-10 一火箭从地球向月球直线运动，火箭发射不久燃料就用完，问：（1）火箭距地球多远处加速度为零？（2）为使火箭能通过这一点，并达到月球，火箭从地球发射时的最小速度为多少?（地球的质量kg m E 241098.5⨯=，月球的质量为kg m M 221035.7⨯=，月球至地球的距离为m d ME 81084.3⨯=）解：（1）设火箭距地球为r 时，其加速度为零，亦即受合力为零，考虑地球与月球之间的距离远大于它们自身的线度，将地球和月球当作质点来处理。
由万有引力定律和火箭所受合力为零得知：22)(Gr d m m G r m m ME M E -=解得：m r 81045.3⨯= （2）选择火箭、地球、月球为研究系统，系统处于不受外力作用，其内力为保守力，故机械能守恒。
考虑极限的情况，火箭距地球为r 时，速度为零，列出机械能守恒方程：图5-8EMM E EM M E EM M E E ME E E E d m m G r d m m G r m m G d m m G R d m m G R m m G mv ----=----2021 整理得：1401011.1)11(2)(2-⋅⨯=-≈----+=s m r R Gm r d m r m R d m R m G v E E EM M E E EM E E E5-11一半径为R 、具有均匀密度ρ的星球，是由万有引力将处于很大范围内的星际尘埃凝聚而成的，求该星球在凝聚过程中所发生的能量变化。
解：当星球的半径由r 增加到（r ＋dr ）时，质量由m 增加到（m ＋dm ），所增加的质量dm 是由无穷远处的尘埃在万有引力作用下，凝聚到星球表面上，此过程中系统的势能变化量为：rmdmG r dm m GdE dE dE r -=-⋅-=-=∞0 由于,4,3423dr r dm r m πρπρ⋅=⋅=代入上式并积分dr r G dr rr r GdE E R ⎰⎰⎰-=⋅⋅-==042223316434ρππρπρ所以总能量的变化为：,1516522GR E ρπ-=即星球在凝聚过程中，系统势能减少5221516GR ρπ。
5-12 如线密度为λ的细线弯成半径为R 的圆环，试求一质量为m 的质点放在环中心时的引力势能和引力。
解：由于圆环上各点距圈心距离都为R ，势能为标量，故圆环上各点在圆心处产生的势能且有标量的叠加性，我们可直接考虑整个圆环在圆心处产生的势能R mMGE P -=，M 为圆环的质量，λπR M 2= 则λπλπGm R RGmR Mm G E P 22-=⋅-=-= 由于各质点元'dm 对质点的引力dF 的方向是由质点指向各质元'dm 的，根据圆环的对称性，可知整个圆环对应于圆心处质点的引力为零。
5-13。
