刚体转动惯量2014.10

刚体转动惯量的测量〔引课：〕刚体指在外力作用下大小和形状都保持不变的物体，亦即在外力作用下，组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。

刚体的转动惯量对于刚体，转动是最基本的运动形式之一，而转动惯量则是描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量，即改变刚体转动状态难易程度的物理量。

〔正课：〕实验目的与要1.用实验方法验证刚体定轴转动定律；2.学会用作图法进行线性拟合的数据处理方法；3.观察刚体转动惯量与刚体质量分布的关系实验原理M=由刚体定轴转动定律：βI刚体作定轴转动时，角加速度β与刚体所受的合外力矩M成正比。

比例系数I为刚体转动惯量。

刚体转动惯量I，是一个间接测量量，要想知道它，就要知道M和βM：刚体所受的合外力矩β：物体m下降时的角加速度综上所述：1.忽略摩擦力2.g >> a如果r 、s 、m 0位置不变，改变m 测出相应的下落时间t222112t k t gr SI m =⋅= ( 22gr SIk = )如考虑µM ，若设µM 为一常数，则有 121C tk m += 在直角坐标系中作m —1/t 2图，如得一直线，则由实验结果可以证明刚体定轴转动定律是成立的。

由斜率K 可求得转动惯量I ，由截距C 1可求得µM ，由此可见，通过作图（线性拟合）回避了由于µM 存在引起的系统误差。

　实验内容1. 验证刚体定轴转动定律。

2. 通过线性拟合方法计算刚体转动惯量。

实验步骤1. 安装调试实验装置：取下塔轮，换上铅直锤，调节塔轮架的底角螺丝使转轴铅直。

然后塔轮尽量减小摩擦，使其转动自如后用螺丝G 固定。

仪器调试好后，在实验中不得再移动，以保证在实验过程中摩擦力不变。

2. 将细线绕在r =2.50cm 的轮子上，将m 0固定在细柱的最外刻线上。

让物体m 从F处由静止开始下落，下落高度预先确定在75cm —100cm 间，物体质量从10.00g 开始以5.00g 为增量逐次增至40.00g （砝码和托盘质量均为5.00g ），用秒表记下物体下落时间，对于物体的每一质量测t 值3次求平均，要求三个t 值中任何两个相差不大于0.1秒。

转动惯量刚体是力学中的一个理想模型, 是指在任何情况下物体形状、大小都不发生变化的力学研究对象, 其运动主要是平动与转动, 而转动是最主要的研究方向。

在日常生活与生产中, 许多现象都可以视为刚体的转动, 如电机转子的转动, 炮弹的自旋等。

因此研究刚体的转动有着极其重要的作用和意义。

刚体的转动惯量是非常重要的物理量, 它表示刚体转动惯性大小的物理量, 是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。

如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、导弹和卫星的发射等, 都不能忽视转动惯量的大小。

因此转动惯量的测量成为大学物理实验中的基本实验。

刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴位置都有关系。

对于形状规则、材料密度均匀的标准件, 它的转动惯量可以根据公式计算, 但在工程实践中, 我们常碰到大量形状复杂, 且质量分布不均匀的刚体（例如枪炮的弹丸、电动机的转子等）, 计算它们的转动惯量非常困难, 通常用实验的方法来确定。

转动惯量的测量, 基本实验方法是转换测量。

即使刚体以一定的形式运动, 通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系, 进行转换测量。

刚体转动惯量的测量方法有很多, 如利用三线摆、扭摆、刚体转动实验仪等。

本实验使刚体做扭转摆动, 由摆动周期及其它参数的测定算出刚体的转动惯量。

实验目的1. 熟悉扭摆的构造、使用方法和转动惯量测量仪的使用2. 利用塑料圆柱体和扭摆测定几种不同形状刚体的转动惯量J和扭摆弹簧的扭摆常数K3. 研究刚体转动周期与转轴位置改变时的变化规律实验原理本实验使物体作扭转摆动, 测定摆动周期和其它参数, 从而计算出刚体的转动惯量。

扭摆的构造如图1所示。

垂直轴上装有金属细杆, 水平仪通过调节仪器底座上的三螺钉使顶面水平, 螺旋弹簧用以产生恢复力矩, 使垂直轴上装的待测物体作简谐振动。

图1 扭摆构造简图扭摆的简谐振动: 将待测物体装在垂直轴上, 并转过一定角度θ, 在弹簧的恢复力矩作用下, 物体开始绕垂直轴作往返运动。

刚体转动惯量证明过程
嘿，朋友们！咱们今天来聊聊刚体转动惯量的证明过程，这可真是
个有趣又有点挑战的事儿。

先来说说什么是刚体转动惯量吧。

就好像你推一个大箱子，箱子越
大越重，你推起来就越费劲，这是因为它的惯性大。

而刚体的转动惯
量呢，就类似于这种惯性，只不过是针对转动来说的。

想象一下，一个圆盘在那转呀转，为啥有的圆盘转得快，有的转得慢？这就和转动惯量有关系啦。

那怎么证明它呢？这就好比我们要找到一把神奇的钥匙，打开这个
神秘的知识大门。

咱们从简单的模型开始，比如说一个质量为 m 、距离转轴为 r 的质点。

那它的转动惯量怎么算呢？很简单，就是 m × r²呀。

这就好像是
在说，离转轴越远，这个质点对于转动的“阻碍”就越大。

然后呢，对于一个连续分布的刚体，咱们就得把它分成无数个小质
点来考虑。

这就像切蛋糕一样，把大蛋糕切成小块，分别计算每一小
块的转动惯量，再把它们加起来。

比如说一个细棒，咱们沿着长度方向积分，就能算出它的转动惯量。

这过程是不是有点像走一条长长的路，一步一步，积少成多？
再比如一个圆环，那就是在圆周上积分啦。

这证明过程，可不就是一场精心设计的冒险吗？每一步都充满了挑战和惊喜。

你想想，要是没有转动惯量这个概念，咱们怎么去理解那些旋转的物体呢？是不是会觉得一头雾水？
所以说呀，搞清楚刚体转动惯量的证明过程，那可真是太重要啦！它能让我们更好地理解这个世界中那些旋转的奇妙现象。

总之，刚体转动惯量的证明过程虽然有点复杂，但只要咱们一步一个脚印，细心琢磨，就一定能掌握这个神奇的知识！。

用扭摆法测定物体转动惯量刚体定轴转动时，具有以下特征：首先是轴上各点始终静止不动。

其次是轴外刚体上的各个质点，尽管到轴的距离（即转动半径）不同，相同的时间内转过的线位移也不同，但转过的角位移却相同，因此只要在刚体上任意选定一点，研究该点绕定轴的转动并以此来描述刚体的定轴转动。

转动惯量是刚体转动时惯量大小的度量，是表明刚体特性的一个物理量。

刚体转动惯量除了与物体的质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度分布）有关。

如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。

对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定。

一、目的1. 用扭摆测定弹簧的扭转常数和几种不同形状物体的转动惯量和弹簧劲度系数，并与理论值进行比较。

2. 验证转动惯量平行轴定理。

二、原理扭摆的构造见图1所示，在其垂直轴1上装有一根薄 片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。

在轴的上方可以装 上各种待测物体。

垂直轴与支座间装有轴承，使摩擦力矩尽 可能降低。

将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩 作用下，物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。

根据虎克定 律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度成正 比，即θK M -= （1） 式中，K 为弹簧的扭转常数。

根据转动定律 βI M =式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 图 1 IM=β （2） 令IK=2ω，且忽略轴承的摩擦阻力矩，由式（1）与式（2）得 θωθθβ222-=-==I Kdtd上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，即角加速度与角位移成正比，且方向相反。

此方程的解为)cos(ϕωθ+=t A式中，A 为谐振动的角振幅，ϕ为初相位角，ω为角速度。

此谐振动的周期为KIT πωπ22==（3） 利用公式（3）测得扭摆的摆动周期后，在I 和K 中任意一个量已知时即可计算出另一个量。

本实验用一个几何形状有规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到。

各类刚体转动惯量公式在物理学中，刚体是指具有固定形状和大小的物体，其各个部分相对位置不会发生改变。

刚体的转动惯量是描述了刚体对绕某一轴旋转的运动抵抗能力的物理量。

在本文中，我们将介绍各类刚体的转动惯量公式，并深入探讨其应用。

一、点质量的转动惯量公式对于一个质量为m，距离轴距离为r的点质量，其转动惯量可以用以下公式表示：I = m * r^2其中，I表示转动惯量，m表示质量，r表示距离轴的距离。

这个公式表明，质量越大或者距离轴越远，转动惯量就越大。

二、细长杆的转动惯量公式对于一个质量为m，长度为L的细长杆绕通过其质心的轴旋转，其转动惯量可以用以下公式表示：I = (1/12) * m * L^2这个公式表明，细长杆的转动惯量与其质量和长度的平方成正比。

如果杆的质量或长度增加，转动惯量也会增加。

三、圆盘的转动惯量公式对于一个质量为m，半径为R的圆盘绕通过其质心的轴旋转，其转动惯量可以用以下公式表示：I = (1/2) * m * R^2与细长杆类似，圆盘的转动惯量与其质量和半径的平方成正比。

圆盘的质量或半径增加，转动惯量也会增加。

四、刚体的复合体的转动惯量公式对于一个由多个质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对各个组成部分的转动惯量进行求和来计算。

I = Σmᵢrᵢ^2其中，Σ表示对所有组成部分进行求和，mᵢ表示第i个组成部分的质量，rᵢ表示该部分到转轴的距离。

总结：以上是各类刚体转动惯量的公式，这些公式在物理学中被广泛应用于解决与刚体相关的问题。

通过了解转动惯量的计算方法，我们可以更好地理解刚体的旋转运动特性，并在实际问题中应用这些公式进行计算。

掌握这些公式的应用，可以帮助我们更好地理解刚体的运动规律，提高物理学的学习和应用能力。

通过本文的介绍，我们了解了各类刚体转动惯量的公式及其应用。

这些公式在解决刚体旋转问题时非常有用，同时也为进一步研究和理解刚体运动提供了基础。

希望本文能为读者对于刚体转动惯量的理解提供帮助，同时也能促进对物理学的学习兴趣与探索精神的培养。

刚体的转动惯量实验简介：在研究摆的重心升降问题时，惠更斯发现了物体系的重心与后来欧勒称之为转动惯量的量。

转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。

本实验将学习测量刚体转动惯量的基本方法，目的如下：1．用实验方法验证刚体转动定律，并求其转动惯量；2．观察刚体的转动惯量与质量分布的关系3．学习作图的曲线改直法，并由作图法处理实验数据。

实验原理：1．刚体的转动定律具有确定转轴的刚体，在外力矩的作用下，将获得角加速度β，其值与外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即有刚体的转动定律：M = Iβ (1)利用转动定律，通过实验的方法，可求得难以用计算方法得到的转动惯量。

2．应用转动定律求转动惯量如图所示，待测刚体由塔轮，伸杆及杆上的配重物组成。

刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动。

设细线不可伸长，砝码受到重力和细线的张力作用，从静止开始以加速度a下落，其运动方程为mg –t=ma，在t时间内下落的高度为h=at2/2。

刚体受到张力的力矩为Tr和轴摩擦力力矩Mf。

由转动定律可得到刚体的转动运动方程：Tr - Mf = Iβ。

绳与塔轮间无相对滑动时有a = rβ，上述四个方程得到：m(g - a)r - Mf = 2hI/rt2 (2) Mf与张力矩相比可以忽略，砝码质量m比刚体的质量小的多时有a<<g，所以可得到近似表达式：mgr = 2hI/ rt2 (3)式中r、h、t可直接测量到，m是试验中任意选定的。

因此可根据（3）用实验的方法求得转动惯量I。

3．验证转动定律，求转动惯量从（3）出发，考虑用以下两种方法：A．作m –1/t2图法：伸杆上配重物位置不变，即选定一个刚体，取固定力臂r和砝码下落高度h，（3）式变为：M = K1/ t2 (4)式中K1 = 2hI/ gr2为常量。

上式表明：所用砝码的质量与下落时间t的平方成反比。

实验中选用一系列的砝码质量，可测得一组m与1/t2的数据，将其在直角坐标系上作图，应是直线。

刚体转动惯量实验数据-回复
刚体转动惯量是指刚体绕固定轴转动时惯性大小的量度。

它取决于刚体的总质量、质量分布、形状大小和转轴位置。

对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。

测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法。

本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

根据刚体的定轴转动定律：M=Jβ，只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J。

刚体转动惯量实验数据需要根据具体的实验测量得出，下面为您展示一组实验数据：
塔轮半径：83mm。

测量的不确定度：0.001rad/s。

转动惯量：1.20s。

角速度：0.68310rad/s。

角加速度：1.20s。

转速：0.68320rad/s。

刚体对轴转动惯量的计算一、转动惯量及回转半径在第一节中已经知道,刚体对某轴z 的转动惯量就就是刚体内各质点与该点到z 轴距离平方的乘积的总与,即∑=2i i z r m J 。

如果刚体质量连续分布,则转动惯量可写成⎰=Mz dmr J 2 (18-11)由上面的公式可见,刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况,而与刚体的运动状态无关,它永远就是一个正的标量。

如果不增加物体的质量但使质量分布离轴远一些,就可以使转动惯量增大。

例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些,使得大部分质量集中在轮缘上,与转轴距离较远,从而增大转动惯量。

相反,某些仪器仪表中的转动零件,为了提高灵敏度,要求零件的转动惯量尽量小一些,设计时除了采用轻金属、塑料以减轻质量外,还要尽量将材料多靠近转轴。

工程中常把转动惯量写成刚体总质量M 与某一当量长度ρ的平方的乘积2z z M J ρ= (18-12)z ρ称为刚体对于z 轴的回转半径(或惯性半径),它的意义就是,设想刚体的质量集中在与z 轴相距为z ρ的点上,则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。

具有规则几何形状的均质刚体,其转动惯量可以通过计算得到,形状不规则物体的转动惯量往往不就是由计算得出,而就是根据某些力学规律用实验方法测得。

二、简单形状物体转动惯量的计算 1. 均质细直杆如图18-7所示,设杆长为l ,质量为M 。

取杆上微段dx,其质量为dx l M dm =,则此图18-7杆对z c 轴的转动惯量为220220212122Ml dx l M x dm x J l lz c ===⎰⎰对应的回转半径ll MJ c z z 289.032===ρ2. 均质细圆环如图18-8所示均质细圆环半径为R,质量为M 。

任取圆环上一微段,其质量为dm ,则对z轴的转动惯量为22MR dm R J Mz ==⎰图18-8对应的回转半径RMJ c z z ==ρ3. 均质薄圆盘如图18-9所示均质圆盘半径为R,质量为M 。

刚体转动惯量的定义表达式
刚体转动惯量（也称为转动惯量或转动矩）是描述刚体绕某个轴旋转时对转动的抵抗程度的物理量。

它由质量分布和轴线位置所决定。

刚体转动惯量的定义表达式如下：
I = ∫(r²dm)
其中，I是转动惯量，r是质点与轴线的距离，dm是质点的质量微元。

在连续分布的情况下，该积分可以转化为积分分布的密度函数和体积元素进行计算：
I = ∫(r²ρdV)
其中，ρ是密度函数，dV是体积元素。

对于一些常见的刚体形状，可以使用特定的公式计算转动惯量。

例如，对于一个围绕轴线的圆柱体，其转动惯量可以使用以下公式计算：
I = (1/2) M R²
其中，M是圆柱体的质量，R是圆柱体的半径。

对于一个围绕轴线的球体，其转动惯量可以使用以下公式计算：
I = (2/5) M R²
其中，M是球体的质量，R是球体的半径。

不同的刚体形状和轴线位置将有不同的转动惯量表达式，具体的计算方法可以通过应用刚体力学和积分计算来获得。

刚体绕轴转动惯性的度量。

其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。

；求和号（或积分号）遍及整个刚体。

转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。

规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。

不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。

转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。

描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。

由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。

还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。

表达式:Iz=Ix+Iy刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。

由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。

转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。

刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。

惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。

补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。

E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r)得到E=(1/2)m(wr)^2由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替,K=mr^2得到E=(1/2)Kw^2K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。