沪教版高三数学周末练习6(基础卷第二版)

一、单选题1. 在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自己实际情况确认了要选生物，那么此同学可能的选课方式共有（）A．2种B．4种C．6种D．12种2. 算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数､列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大､重要的发明.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：1 2 3 4 5 6 7 8 9项目纵式横式用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的三位数为732.如果把4根算筹以适当的方式全部放入表格“”中，那么可以表示不同的三位数的个数为（）A．18 B．20 C．22 D．243. 如图所示为一电路图，从A到B共有条不同的线路可通电（）A．1 B．2 C．3 D．44. 由数字1，2，3，4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为（）A．12 B．24 C．48 D．325. 重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A．108 B．36 C．9 D．66. 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（）A．18 B．36C．72 D．48二、多选题7. 现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法8. 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法三、填空题9. 拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有______种．（用数字作答）10. 某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为________．11. 若一个三位数的百位数字、十位数字、个位数字恰好构成等差数列，则称之为“等差三位数”，例如：147，642，777，420等.等差三位数的总个数为_________. 12. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为___________.四、解答题13. 乘积展开后共有多少项？14. 邮局发行10种新邮票，有一个集邮爱好者购买了15张邮票，他有多少种买法?15. 在图中的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？16. 4名学生报名参加两项体育比赛，每名学生可参加的比赛数目不限，每项比赛参加的人数不限，共有多少种不同的报名结果？。

上海市大同中学高三年级数学练习（六）姓名________________ 班级________________ 学号________________ 成绩________________一、填空题（4'1040'⨯=） 1. 若2ia bi i+=+（i 为虚数单位，a b ∈R 、），则a b +=________________。

1- 2. 已知()1,31y A x y x ⎧-⎫==⎨⎬+⎩⎭，(){},3B x y y kx ==+，并且A B =∅ ，则实数k 的值是________________。

2或3-3. 若关于x的方程210x zx -+=（其中z C ∈）有实数根，在使得复数z 的模取到最小时，该方程的解为________________。

⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭或⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭4. 某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：则总体标准差的点估计值是________________（精确到0.01）。

17.645. 已知,,a b c 是半径为1的圆内接ABC 的三边，且1ABC S = ，则以sin ,sin ,sin A B C 为三边组成的三角形的面积为________________。

146. 如果P 是函数()y f x =图像上的点，Q 是函数()y g x =图像上的点，且,P Q 两点之间的距离PQ 能取到最小值d ，那么将d 称为函数()y f x =与()y g x =之间的距离。

按这个定义，函数()12f x x=和()g x =之间的距离是________________。

1- 7. 设(){},3A x y y x =≤--，(){,2,B x y y x b b =≥+为常数}，A B ≠∅ 。

设()(),P x y A B ∈ ，点T 的坐标为(，若OP 在OT方向投影的最小值为-，则b 的值是________________。

闸北区2013学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷本试卷共有17道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．设为虚数单位，集合{}i i,,1,1--=A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-=i 1i 1i),i)(1(1,i ,1i 410B ，则=B A ．2．函数)02(sin 2<<-=x x y π的反函数为 ．3．()()34121x x +-展开式中6x 的系数为 ．4．一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望=ξE ．5．半径为r 的球的内接圆柱的最大侧面积为 ．6．设()z y x M ,,为空间直角坐标系内一点，点M 在xOy 平面上的射影P 的极坐标为()θρ,（极坐标系以O 为极点，以x 轴为极轴），则我们称三元数组()z ,,θρ为点M 的柱面坐标．已知M 点的柱面坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-1,3,6π，则直线OM 与xOz 平面所成的角为 ．7．设)(x f y =为R 上的奇函数，)(x g y =为R 上的偶函数，且)1()(+=x f x g ，2)0(=g ．则=)(x f ．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可） 8．某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠； （3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为 ． 9．设()x a x -=,，()2,x =，[)2,1∈x ，且OB OA ⊥，则函数11log )(-=x ax f a的最大值为 ．二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分． 10．命题“对任意的R ∈x ，0)(>x f ”的否定是 【 】A ．对任意的R ∈x ，0)(≤x fB ．对任意的R ∈x ，0)(<x fC ．存在R 0∈x ，0)(0>x fD ．存在R 0∈x ，0)(0≤x f11．设函数)01)(lg()(>>>-=b a b a x f xx，若)(x f 取正值的充要条件是),1[+∞∈x ，则a ，b 满足 【 】A ．1>abB ．1>-b aC ．10>abD ．10>-b a 12．在xOy 平面上有一系列的点),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…， 对于所有正整数n ，点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图像上，以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若11=x ，且n n x x <+1．则=∞→n n nx lim 【 】A ．0B ．0.2C ．D ．1三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 13．本题满分14分已知)sin ,(cos θθ=a 和)cos ,sin 2(θθ-=b ，)2,(ππθ∈，且528||=+b a ，求θsin 与⎪⎭⎫⎝⎛+82cos πθ的值．14．本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD 是矩形，16=AB 米，4=AD 米，腰梁AE 、BF 、CF 、DE 分别与相交的底梁所成角均为 60．（1）请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？15．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系xyz O -中，空间曲面的方程是一个三元方程0),,(=z y x F ．设1F 、2F 为空间中的两个定点，02||21>=c F F ，我们将曲面Γ定义为满足a PF PF 2||||21=+)(c a >的动点P 的轨迹．（1）试建立一个适当的空间直角坐标系xyz O -，求曲面Γ的方程； （2）指出和证明曲面Γ的对称性，并画出曲面Γ的直观图． 16．本题满分16分，第1小题满分8分，第2小题满分8分设数列{}n a 与}{n b 满足：对任意*∈N n ，都有()21nn n ba b S -=-，12-⋅-=n n n n a b ．其中n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）当2b =时，求数列{}n a 与}{n b 的通项公式； （2）当2≠b 时，求数列{}n a 的前n 项和n S ．17．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 为到定点)21,23(F 的距离与到定直线023:1=++y x l 的距离相等的动点P 的轨迹，曲线2C 是由曲线1C 绕坐标原点O 按顺时针方向旋转 30形成的．（1）求曲线1C 与坐标轴的交点坐标，以及曲线2C 的方程；（2）过定点)0,(0m M )2(>m 的直线2l 交曲线2C 于A 、B 两点，已知曲线2C 上存在不同的两点C 、D 关于直线2l 对称．问：弦长CD 是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．高三数学（理科）练习卷答案一、1．{}i ,1- 2．)10)(arcsin(<<-=x x y 等 3．20-4．1 5．22r π 6．371013arcsin 等 7．x x f 2sin2)(π=等 8．2000 9．)1(log 1a a -+- 第2题的答案也可写为())10(21arccos 21<<-=x x y ；第6题的答案也可写为371013arccos2-π；第9题的答案也可写为0． 二、10三、13)θ=+||==（4分）由|+（1分） .25244cos 14sin 2±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πθπθ （1分）502314sin 4cos 4cos 4sin 44sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴ππθππθππθθ或50217 （2分） πθπ2<< ，.50231sin -=∴θ （2分）又182cos 24cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθπθ， 251682cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ． （2分） 898285ππθπ<+< ，04cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πθ，5482cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+∴πθ． （2分）另解：(2sin cos ,sin cos )a b θθθθ+=-++222128(2sin cos )(sin cos )422(sin cos )25a b θθθθθθ∴+=-+++=--= 72sin cos 25θθ∴-=- ① （4分） 由298(sin cos )12sin cos 625θθθθ-=-=，得5272sin cos 0625θθ=>，3(,)2θππ∴∈ （2分）242sin cos 12sin cos 25θθθθ∴+=-+=- ② （2分）由①、②得312172sin ,cos 5050θθ=-=-（2分） 又57(,)2888θπππ+∈，21cos()1(cos sin )442cos()28225πθθθθπ+++-∴+=-=-=- （4分）14．解：（1）EF 与AD ，EF 与BC ，DE 与BF ，AE 与CF ， （2分）由已知，有AB EF //， AD AB ⊥ ，.AD EF ⊥∴同理，有.BC EF ⊥ （2分）过点E 作FB EK //交AB 点K ，则DEK ∠为异面直线DE 与FB 所成的角，4DE FB ==，o 2(4cos 60)4AK =⨯=，42DK =，o 90DEK ∴∠=，即DE BF ⊥，同理AE CF ⊥（3分） （2）过点E 分别作AB EM ⊥于点M ，CD EN ⊥于点N ，连接MN ，则AB ⊥平面EMN ，∴平面ABCD ⊥平面EMN ，过点E 作MN EO ⊥于点O ，则EO ⊥平面ABCD 由题意知，4===AD DE AE ，260cos 4=== DN AM ，32==EN EM ，∴O 为MN 中点，22EO ∴=即四棱锥AMND E -的高， （2分） 同理，再过点F 作AB FP ⊥于点P ，CD ENFQ ⊥于点Q ，连接PQ ，原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且122216=--=MP （2分）111762=2+=22422+42212=323V V V ∴⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯多面体四棱锥直棱柱（）（）（2分）立方米的粮食 （1分）15．解：（1）如图，以两个定点1F ，2F 的中点为坐标原点O ，以1F ，2F 所在的直线为y 轴，以线段1F 2F 的垂直平分线为x 轴，以与xOy 平面垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -， （1分） 设02||21>=c F F ，)(2||||21c a a PF PF >=+，),,(z y x Pa z c y x z c y x 2)()(222222=+-+++++∴， （2分）222222)(2)(z c y x a z c y x +-+-=+++∴两边平方，得cy a z c y x a -=+-+∴2222)(， （2分）两边平方，整理得122222222=-++-c a z a y c a x令b c a =-22，得1222222=++bz a y b x ．① （3分）若点1F 、2F 在x 轴上，则方程为：2222221x y z a b b++=（2）对称性：由于点),,(z y x 关于坐标原点O 的对称点),,(z y x ---也满足方程①，说明曲面Γ关于坐标原点O 对称； （1分）由于点),,(z y x 关于x 轴的对称点),,(z y x --也满足方程①，说明曲面Γ关于x 轴对称；同理，曲面Γ关于y 轴对称；关于z 轴对称． （1分） 由于点),,(z y x 关于xOy 平面的对称点),,(z y x -也满足方程①，说明曲面Γ关于xOy 平面对称；同理，曲面Γ关于xOz 平面对称；关于yOz 平面对称． （2分） 图略． （4分）16．解：由题意知12a =，且()21n n n ba b S -=- ()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即12nn n a ba +=+ ① （2分） （1）当2b =时，由①知122nn n a a +=+ 于是()()1122212nnn n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n na n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列．故知，12-=n n b ， （4分）再由12-⋅-=n n n n a b ，得()112n n a n -=+． （2分）另解：111222n n n n a a ++=+ （2分） 2nn a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为1112a =，公差为12的等差数列， 111222n n a n n -+∴=+=()112n n a n -∴=+⋅ （4分）()1111222n n n n b n n ---=+⋅-⋅= （2分）（2）当2b ≠时，由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-⋅=+-⋅--122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭（2分） 若0=b ，nn S 2= （1分） 若1=b ，n n a 2=，221-=+n n S （1分）若10、≠b ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅--n n b a 221是以b b --2)1(2为首项，以b 为公比的等比数列，故 12)1(2221-⋅--=⋅--n n n b b b b a ，()[]122221--+-=n n n b b b a （2分）()()1213212)1(2222221-+⋅⋅⋅+++--++⋅⋅⋅+++-=n n n b b b bb b S2(2)2n n n b S b-=-1b =时，122n n S +=-符合上式所以，当0≠b 时，2(2)2n n n b S b -=- （2分）当0=b 时，nn S 2= （1分）另解：当1n =时，112S a == （1分） 当2n ≥时，()21n n n ba b S -=-()()121n n n n b S S b S -∴--=-12n n n S bS -∴=+ （2分）若0=b ，nn S 2= （1分） 若0≠b ，两边同除以2n得111222n n n n S S b --=⋅+ 令111222n n n n S S b m m --+=⋅++，即1122()222n n n n S S b m m b--++=⋅+由22m m b +=得22m b =- 2{}22n n S b ∴+-是以2b b -为首项，2b 为公比的等比数列12()2222n n n S b b b b -∴+=⋅--， 所以，当0≠b 时，2(2)2n n n b S b-=- （4分）17．解：（1）设),(y x P ，由题意，可知曲线1C 为抛物线，并且有2321)21()23(22++=-+-y x y x ， 化简，得抛物线1C 的方程为：083832322=---+y x xy y x ．令0=x ，得0=y 或38=y ，令0=y ，得0=x 或38=x ，所以，曲线1C 与坐标轴的交点坐标为()0,0和⎪⎭⎫⎝⎛38,0，)0,38(． （3分）由题意可知，曲线1C 为抛物线，过焦点与准线垂直的直线过原点， 点)21,23(F 到23:1--=x y l 的距离为()21322123322=+++⨯． （2分） 所以2C 是以()0,1为焦点，以1-=x 为准线的抛物线，其方程为：x y 42=． （3分）（2）设),(11y x C ，),(22y x D ，由题意知直线2l 的斜率k 存在且不为零，设直线2l 的方程为)(m x k y -=，则直线CD 的方程为b x ky +-=1， （1分）则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.4,12x y b x k y 得0442=-+kb ky y ， 所以0)(16>+=∆b k k ① （2分） kb y y k y y 4,42121-=⋅-=+， 设弦CD 的中点为),(33y x G ，则).2(,233k b k x k y +=-=因为),(33y x G 在直线2l 上，所以)2(22m k bk k k -+=-，即kk m b 222--=② 将②代入①，得202-<<m k ，()2121y y k CD -⋅-+=2122124)(1y y y y k -+⋅+=22221234⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=m m k （4分）设2k t =，则20-<<m t ． （1分）构造函数2221234)(⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=m m t t f ，20-<<m t ．由已知2>m ，当⎩⎨⎧<->-03,02m m ，即32≤<m 时，)(t f 无最大值，所以弦长CD 不存在最大值． （1分） 当3>m 时，)(t f 有最大值)1(2-m ，即弦长CD 有最大值).1(2-m （1分）。

第八单元10以内的加法和减法第7课时练习六教学内容：课本第56--57页。

教学目标：1、通过练习帮助学生熟练掌握得数是6、7的加法和相应的减法。

2、进一步体会加、减法计算的实际意义，体会相应减法的内在联系，提高学生应用加减法计算解决实际问题的能力。

3、培养学生的观察能力和初步的分析、推理能力。

教学重点：熟练掌握得数是6、7的加法和相应的减法，能运用所学知识解决一些实际问题。

教学难点：看图提不同的问题。

课件准备：多媒体课件，数字卡片。

教学过程：一、谈话导入：前两天我们学习了得数是6、7的加法和相应的减法，今天我们一起来练一练。

（出示课题）二、计算练习1、游戏一（练习六第1题）（1）同桌分工，找相加等于6、7的卡片，找到一组说出两个算式，同桌判断。

（2）交流，有哪些等于6的加法？看谁说的多？（鼓励有顺序地回答）（3）等于7的加法呢？2、游戏二（练习六第2题）（1）选两张卡片，用大数减小数，说给同桌听。

（2）集体交流，要求有序地说。

3、计时口算（练习六第3题）（1）计时2分钟完成。

（2）了解学生错误，及时评讲订正。

4、趣味练习：找朋友。

（练习六第4题）（1）请学生说题意。

（2）独立完成。

（3）校对。

（注意上下都有两个等于7的算式）三、综合练习（一）看图列式1、补充练习○ | ○○○○☆☆∣☆☆☆☆☆□＋□＝□□－□＝□□＋□＝□□－□＝□2、一图两式练习。

（练习六第5、6题）（1）带领学生看图，看清图上分成了哪两部分。

（2）完整地用三句话说说每幅图的意思。

（根据题目所要求的加法或减法来提问）（3）把书上的算式填完整。

（4）交流。

说说每道算式的含义。

（5）比一比两道算式之间有什么联系。

3、开放练习。

（练习六第7题）（1）交流：从图上你知道了什么？（2）读教材所给的问题，独立列式计算。

（3）说说算式的含义。

（4）你还能提出什么问题？（5）对于学生提出的问题，让另一同学解答。

（二）推理练习（练习六第8题）1、按从左到右的顺序一起说说第一根线上排列的物体的形状。

曹杨二中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合()()3,2A ,B ,=−∞=+∞,则A B ⋂= . 2.已知复数z 满足15i z =−(i 为虚数单位),则z = . 3.已知向量()()102,210a ,,b ,,==,则a ,b <>= .4.523x ⎫⎪⎭的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示）5.设()y f x =是以1为周期的周期函数.若当01x <≤时,()2f x log x =,则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.6.设m 为正实数.若直线0x y m −+=被圆()()22113x y −+−=所截得的弦长为m ，则m = .7.从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次。

在第一次抽到A 的条件下，第二次也抽到A 的概率为 .（结果用最简分数表示）8.设数列{}n a 前n 项和为n S 。

若()21n n S a n ,n N +=≥∈,则5S = . 9.已知,x y 为正实数,且1x y +=,则当21x y+取最小值时,x = . 10.设(),1a R f x lnx ax ∈=−+.若函数()y f x =的图像都在x 轴下方（不含x 轴），则a 的取值范围是 .11.已知{}n a 是严格增数列,且点()()1n n P n,a n ,n N ≥∈均在双曲线2231x y −=上。

设M R ∈，若对任意正整数n ，都有1n n P P M +>，则M 的最大值为 .12.设(){}2,235a R f x min x ,x ax a ∈=−−+−，其中{}min u,v 表示,u v 中的较小值.若函数()y f x =至少有3个零点,则a 的取值范围是 .二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知a R ∈，则"1a >"是"11a<"的（ ）. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)1213,1314,1415,1516,,,,，[]1617,.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

建平中学2023-2024学年第二学期高三年级周练12024.0312三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)34519.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成n 组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[)65,75，第四组[75,85)，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1）(2)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率；(3)已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？620.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 交抛物线于不同的,A B 两点. （1）若直线l 的方程为1yx =−，求线段AB 的长； （2）若直线l 经过点()1,0P −，点A 关于x 轴的对称点为A ′，求证：,,A F B ′三点共线； （3）若直线l 经过点()8,4M −，抛物线上是否存在定点N ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.7参考答案一、填空题8910111213二、选择题13．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（ ） ①A ：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A ：“所取3件中有一件为次品”，B ： “所取3件中有二件为次品”； ③A ：“所取3件中全是正品”，B ：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A ：“所取3件中至多有2件次品”，B ：“所取3件中至少有一件是正品”； A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④B根据互斥事件的定义即可得到结果.在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件， ∴②中的两个事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的， ∴③中的两个事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故选：B ．14．已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ） A ．若m ⊥α，m n ∥，n ⊂β，则α⊥β B ．若m n ∥，m αβ= ，则n α∥，n β C ．若m n ∥，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ⊥α，m ⊥β，则αβ∥B运用线面垂直的性质和面面垂直的判定定理即得A 项；满足B 项条件的图形有三种，故B 项错误；利用线面垂直的判定方法即得C 项；利用面面平行的判定方法即得D14三、解答题15161718192021222324。

上海静安区2023-2024学年第二学期教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．2024.4一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1．中国国旗上所有颜色组成的集合为________．2．已知i 是虚数单位，复数i2i++=m z 是纯虚数，则实数m 的值为________．3．函数xxy +-=21ln的定义域为________．4．若单位向量a 、b 满足⊥a b，则=-||a ________．5．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布),100(2σN （试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间]120,80[的学生人数约为_______．6．已知物体的位移d (单位：m)与时间t (单位：s)满足函数关系t d sin 2=，则在时间段)6,2(∈t 内，物体的瞬时速度为s /m 1的时刻=t _______(单位：s)．7．已知等比数列的前n 项和为a S nn +⎪⎭⎫⎝⎛=21，则a 的值为________．8．在下列关于实数b a 、的四个不等式中，恒成立的是_______．(请填入全部正确的序号)①ab b a 2≥+；②ab b a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+22；③||||||b a b a -≤-；④1222-≥+b b a ．9．正四棱锥ABCD P -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．10．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i (=i 0,1,2)个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数i012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为________．(精确到0.01)11．已知实数)6,0(∈a ，记))(a x x x f -=．若函数)(x f y =在区间[]2,0上的最小值为2-，则a 的值为________．12．我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点),(y x P 都满足方程022||2||222=+-+-y x y y x x ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,22M 到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．xy O二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13．函数)(cos sin 2R ∈-=x x x y 的最小正周期为…………………………………………()A ．2π；B ．π；C ．23π；D ．2π．14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是………()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β．15．设1>a ，则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是…………………………()A ．)2,2(；B ．)5,2(；C ．)5,2(；D ．)5,2(．16．如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群．(1)封闭性，即对于任意的G b a ∈,，有G b a ∈*；(2)结合律，即对于任意的G c b a ∈,,，有))(c b a c b a **=**（；(3)对于任意的G b a ∈,，方程b a x =*与b y a =*在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的∈b a ,Z ，方程b a x =+与b y a =+都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法(⨯)不构成群，因为方程10=⨯y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有………………………………………………………………()1自然数集N 关于自然数的加法(+)构成群；2有理数集Q 关于有理数的乘法(⨯)构成群；3平面向量集关于向量的数量积(⋅)构成群；4复数集C 关于复数的加法(+)构成群．A ．0个；B ．1个；C ．2个；D ．3个．三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(满分12分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，5=b ，7=c ．(1)求角C 的大小；(2)求)sin(C A +的值．18．(满分15分)共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．某高中随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[)165,160,[)170,165,[)175,170,[)180,175,[]185,180分组，得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).(1)求身高不低于170cm 的学生人数；(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．19．(满分15分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，32=AB ，2=BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面⊥ABD 平面BCD ．(1)求四面体ABCD 的体积V ；(2)试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l //？ABCD ABCD图1图220．(满分18分)共3个小题，每个小题均是满分6分．江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①AC BD =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为22:1(坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算)．21．(满分18分)共3个小题，第一小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知R ∈k ，记x x a k a x f -⋅+=)((0>a 且1≠a )．(1)当e =a (e 是自然对数的底)时，试讨论函数)(x f y =的单调性和最值；(2)试讨论函数)(x f y =的奇偶性；(3)拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数)(x f y =的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数)(x f y =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)C DAB20米参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21-；3．)1,2(-；4．2；5．1360；6．5π3；7．1-；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d -．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222-=-+=ab c b a C ，所以3π2=C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有CcB b sin sin =，即.1435sin sin ==c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin(=-=+.1435=………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin =，即.1433sin sin ==c C a A 所以.1413sin 1cos 2=-=A A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222=-+=bc a c b A ，所以.1433sin =A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x =-⨯+++，所以1[150.14]0.065x =-⨯=．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60⨯⨯+⨯+⨯=(人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360⨯=(人),620260⨯=(人),610160⨯=(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P ==．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．因为平面⊥ABD 平面BCD ，ABDEF有AE ⊥平面BCD，则AE =……………………4分所以11122332BCD V S AE ==⨯⨯⨯ △．………2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥．……………………1分证明：过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．因为AE ⊥平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ⊥，则存在l AD ⊥．……………………4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //……………………1分证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D =矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分……………………2分则，圆O 的方程为10022=+y x ；由221tan =C ，10=OE 得220=CE ，30=CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221+=x y ．所以直线OE 的斜率为22-，其方程为x y 22-=，将其代入10022=+y x ，得点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD =+，即222)10(30r r =-+，解得50=r ．所以，圆M 的方程为22250)40(=++y x ，故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤---<≤-+=.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分(2)解1：由点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3220,310，得22arctan 2π-=∠EOF ，CDAB20米E OFxy所以圆弧EF 的长为⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π10≈3.398，……………………2分由点D 的坐标为()0,30，点M 的坐标为()40,0-，得43arctan =∠DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan50≈32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为+220⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π1043arctan 50+9.63≈m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分……………………2分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD =+，即222)10(30+=+r r ，解得40=r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30(=-+-y x ，将直线OG 的方程代入10022=+y x 得，点G 的坐标为()6,8故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---<≤---<≤-+=.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3220,310OE ，)8,6(=OG ，则15283,cos +-==〉〈OG OE OG OE ，即，15283arccos ,+-=〉〈OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos 10+-≈9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π-=∠OND ，所以圆弧GD 的长为⎪⎭⎫ ⎝⎛-34arctan 2π40≈25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为+22015283arccos10+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+34arctan 2π40≈63.9m ．………2分CDAB20米EGOxy(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分方案2：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f -⋅-=e e )('，当0≤k 时，0)('>x f ，故函数)(x f y =在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y =在R 上无最值．……………………1分当0>k 时，令0)('=x f ，得k x ln 21=，所以，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈k x ln 21,时，0)('<x f ，函数)(x f y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-k ln 21,上为严格减函数；…1分当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,ln 21k x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y =在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y =为偶函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅+--；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=---x x a a k ⇔1=k ．故，1=k 是)(x f y =为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y =为奇函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f -=-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅----；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=++-x x a a k ⇔1-=k ．故，1-=k 是)(x f y =为奇函数的充要条件．……………………3分当1±≠k 时，)(x f y =是非奇非偶函数.(3)①当0<k 时，函数)(x f y =有对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛-0),log(21k ．即，当0<k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=--))((log x k f a )(x f -．………2分证明：当0<k 时，令0)(=x f ，解得)(log 21k x a -=为函数)(x f y =的零点由xx a k a x f -⋅+=)(得，=--))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a -----⋅+x x a a k -⋅-=-)(x f -=．……………………2分②答案1：当0>k 时，函数)(x f y =有对称轴k x a log 21=．即，当0>k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=-)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0>k 时，由xx a k a x f -⋅+=)(得，=-)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a ---⋅+x x a a k +⋅=-)(x f =．答案2：当1=k 时，)(x f y =的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-．………………………………………………1分答案3：当0<k 时，函数)(x f y =的零点为)(log 21k x a -=，即.0)(log 21=⎪⎭⎫⎝⎛-k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y =的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。

目录第一套：2019年上海市静安区高考数学二模试卷第二套：2019年上海市虹口高考数学二模试卷2019年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ． 9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．16．已知f （x ）是偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，若f （ax+1）≤f （x ﹣2）在上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，1]B ．[﹣2，0]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2，其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定5个顶点在面DCC 1D 1上的投影，即可得出结论． 【解答】解：A 1在面DCC 1D 1上的投影为点D 1，E 在面DCC 1D 1的投影为点G ，F 在面DCC 1D 1上的投影为点C ，H 在面DCC 1D 1上的投影为点N ，因此侧视图为选项C 的图形． 故选C15．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 、P 是△ABC 内部两点，且满足，，则△ADP 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得B ，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△APD 的面积公式即可得出．【解答】解：以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4， ∴B （﹣2，﹣2），C （2，﹣2），由足= [（﹣2，﹣2）+（2，﹣2）]=（0，﹣），=（0，﹣）+（4，0）=（，﹣），∴△ADP的面积为S=||•||=××=，故选：A．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当时，x﹣2∈[﹣，﹣1]，故f（x﹣2）≥f（﹣1）=f（1），若时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则当时，|ax+1|≤1恒成立，∴﹣1≤ax+1≤1，∴≤a≤0，∴﹣2≤a≤0，故选B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2A﹣B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知△ABC为等腰三角形，作BD⊥AC于D，可求BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C⇒2A ﹣B=π﹣2B．从而sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．cosB===．sinB===．=acsinB==．∴S△ABC（II）cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2×．cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣．∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．又∵a﹣b=2，∴a=4，b=2．又c=4，可知△ABC为等腰三角形．作BD ⊥AC 于D ，则BD===．∴S △ABC ==． （II ）cosB===． sinB===．由（I ）知A=C ⇒2A ﹣B=π﹣2B ． ∴sin （2A ﹣B ）=sin （π﹣2B ）=sin2B =2sinBcosB =2××=．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，证明HG ⊥AM ，推出AM ⊥平面EFGH ．通过计算求出AM=4．AF ，设直线AF 与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF 与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分） 解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，… ，…所以，．…（2）解法一：作AM ⊥EH ，垂足为M ，由题意，HG ⊥平面ABB 1A 1，故HG ⊥AM ，所以AM ⊥平面EFGH ． … 因为，，所以S △AEH =10，）因为EH=5，所以AM=4． … 又，…设直线AF 与平面α所成角为θ，则．… 所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …解法二：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （5，0，0），H （5，5，0），E （5，2，4），F （0，2，4），… 故，，…设平面α一个法向量为，则即所以可取． …设直线AF 与平面α所成角为θ，则． …所以，直线AF 与平面α所成角的正弦值为． …19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）求出c=1，设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4，然后求解椭圆C的方程．（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，通过|AF2|，|BF2|，|AB|成等差数列，推出．设B（x，y），通过解得B，然后求解直线方程，推出弦PQ的长即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，c=1，…设椭圆C的方程为，将点代入，解得a2=4（舍去），…所以，椭圆C的方程为．…（2）由椭圆定义，|AF1|+|AF2|=4，|BF1|+|BF2|=4，两式相加，得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=8，因为|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列，所以|AB|+|AF 2|=2|BF 2|， 于是3|BF 2|=8，即． …设B （x 0，y 0），由解得，…（或设，则，解得，，所以）． 所以，，直线l 的方程为，即，… 圆O 的方程为x 2+y 2=4，圆心O 到直线l 的距离，…此时，弦PQ 的长． …20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．【解答】解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx恒成立，∵cos（x+2kπ）=cosx，∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f （﹣x）恒成立，∴y=f（x）是偶函数．设0≤x≤1，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+m）2=（x﹣m）2．①当m≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m2，（1﹣m）2]．②当时，函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，y=f（m）=0，，值域为[0，（1﹣m）2]．min③当时，y=f（m）=0，，值域为[0，m2]．min④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1﹣m）2，m2]．（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（﹣x），∴函数y=g（x）偶函数，又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（﹣x）=g （x），∴函数y=g（x）是以2为周期的函数．作出函数y=g（x）的图象如图所示：由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当p＞0时，在区间[0，2016]上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2019个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2019个交点恰好为，所以．同理，当p＜0时，．综上，．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）利用指数数列的定义，判断即可； （2）求出{a n }的通项公式为，即可证明：{a n }是指数数列；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：对于数列{a n }，因为a 3=a 1+2≠a 1•a 2，所以{a n }不是指数数列． …对于数列{b n }，对任意n ，m ∈N *，因为，所以{b n }是指数数列． …（2）证明：由题意，a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n ），所以数列{a n+1﹣a n }是首项为a 2﹣a 1=2，公比为2的等比数列． … 所以．所以，=，即{a n }的通项公式为（n ∈N *）． …所以，故{a n }是指数数列． …（3）证明：因为数列{a n }是指数数列，故对于任意的n ，m ∈N *，有a n+m =a n •a m ，令m=1，则，所以{a n }是首项为，公比为的等比数列，所以，． …假设数列{a n }中存在三项a u ，a v ，a w 构成等差数列，不妨设u ＜v ＜w ，则由2a v =a u +a w ，得，所以2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u ，… 当t 为偶数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是偶数，（t+3）w ﹣u 是奇数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 不能成立； … 当t 为奇数时，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u 是偶数，而（t+4）w ﹣u 是奇数，（t+3）w ﹣u 是偶数，故2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u 也不能成立．… 所以，对任意t ∈N *，2（t+4）w ﹣v （t+3）v ﹣u =（t+4）w ﹣u +（t+3）w ﹣u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列． …2019年上海市虹口高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f ﹣1（x ）为的反函数，则f ﹣1（1）= ．2．函数y=2sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 ． 3．设i 为虚数单位，复数，则|z|= ．4．= ．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则= ．7．直线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 ．8．已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ．9．若，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是 ．10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n = ．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）A．B．C．D．15．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足，，则△ADP的面积为（）A．B．C．D．16．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．（Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin （2A ﹣B ）．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=8，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH ，且A 1E=D 1F=2，AH=DG=5． （1）求截面EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比； （2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）过点，两个焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0）．圆O 的方程为x 2+y 2=a 2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1且斜率为k （k ＞0）的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，与圆O 交于P 、Q 两点（点A 、P 在x 轴上方），当|AF 2|，|BF 2|，|AB|成等差数列时，求弦PQ 的长．20．如果函数y=f （x ）的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有f （x+a ）=f （﹣x ）成立，则称此函数f （x ）具有“P（a ）性质”．（1）判断函数y=cosx 是否具有“P （a ）性质”，若具有“P （a ）性质”，求出所有a 的值的集合；若不具有“P（a ）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f （x ）具有“P（0）性质”，且当x ≤0时，f （x ）=（x+m ）2，求函数y=f （x ）在区间[0，1]上的值域； （3）已知函数y=g （x ）既具有“P （0）性质”，又具有“P （2）性质”，且当﹣1≤x ≤1时，g （x ）=|x|，若函数y=g （x ）的图象与直线y=px 有2019个公共点，求实数p 的值．21．给定数列{a n }，若满足a 1=a （a ＞0且a ≠1），对于任意的n ，m ∈N *，都有a n+m =a n •a m ，则称数列{a n }为指数数列． （1）已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为，，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列{a n }满足：a 1=2，a 2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n ，证明：{a n }是指数数列；（3）若数列{a n }是指数数列，（t ∈N *），证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．2019年上海市虹口高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）= 1 ．【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．2．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，【解答】解：函数y=2sin2（2x）﹣1，化简可得：y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x；∴最小正周期T=．故答案为3．设i为虚数单位，复数，则|z|= 1 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣i，则|z|=1．故答案为：1．4． = 3 ．【考点】8J：数列的极限．【分析】通过分子分母同除3n+1，利用数列极限的运算法则求解即可．【解答】解： ===3．故答案为：3．5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是30°．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，然后求解母线与轴所成角即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ，则： 其底面积：S 底面积=πR 2， 其侧面积：S 侧面积=2πRl=πRl， ∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍， ∴l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有， cosθ==， ∴θ=60°，母线与轴所成角的大小是：30°． 故答案为：30°．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若=，则=．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】=，可得3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．再利用等差数列的求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴3（a 1+4d ）=5（a 1+2d ），化为：a 1=d ．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是 1 ．【考点】QK：圆的参数方程；QJ：直线的参数方程．【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，再将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有1个公共点，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线的参数方程为，则其普通方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其普通方程为（x﹣3）2+（y ﹣5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径r=，圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2与直线x+y﹣6=0相切，有1个公共点；故答案为：1．8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，焦点坐标（±2，0）．双曲线C1的一条渐近线为：y=，倾斜角为30°，C 2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，可得C2的渐近线y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】由已知得到关于x的不等式，化为根式不等式，然后化为整式不等式解之．【解答】解：由f（x）＞0得到即，所以，解得x＞1；故x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】利用对立事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P （B ）=（1﹣）（1﹣）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P （A ）=1﹣P （B ）=，故至少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．11．设等差数列{a n }的各项都是正数，前n 项和为S n ，公差为d ．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n }的通项公式为a n =．【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0.=+（n ﹣1）d ，化简n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ．分别令n=2，3，解出即可得出．【解答】解：由题意可得：S n =na 1+d ．a n ＞0．=+（n ﹣1）d ，可得：S n =a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ．∴na 1+d=a 1+（n ﹣1）2d 2+2（n ﹣1）d ． n ≠1时可得：a 1=（n ﹣1）d 2+2d ﹣d ． 分别令n=2，3，可得：a 1=d 2+2d ﹣d ，a 1=2d 2+2d ﹣d ．解得a 1=，d=． ∴a n =+（n ﹣1）=．故答案为：．12．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数（如[2.32]=2，[﹣ 4.76]=﹣5），对于给定的n ∈N *，定义C =，其中x ∈[1，+∞），则当时，函数f （x ）=C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类讨论，根据定义化简C x n ，求出C x 10的表达式，再利用函数的单调性求出C x 10的值域．【解答】解：当x ∈[，2）时，[x]=1，∴f （x ）=C =， 当x ∈[，2）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（5，）；当x ∈[2，3）时，[x]=2，∴f （x ）=C=，当x ∈[2，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）∈（15，45]； ∴当时，函数f （x ）=C 的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若x=1，则x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（ ） A ．若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0 B ．若x 2﹣3x+2=0，则x=1 C ．若x 2﹣3x+2=0，则x ≠1 D ．若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x 2﹣3x+2≠0，则x ≠1 故选：D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥A 1﹣EFGH 的左视图是（ ）。

高三数学基础训练一一．选择题：1．复数，则在复平面内的对应点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等比数列｛an｝中，已知，则A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），ab ，则实数的值为( )A． B． C．D．4．经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为( )A． B．C．D．5．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则( )A．B．C． D．6．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A．62 B．63 C．64 D．65 7．下列函数中最小正周期不为π的是A．B．g（x）=tan（）C． D．8．命题“”的否命题是A． B．若，则C． D．9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为A．6 B．24 C．12 D．3210．已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是A．B．C．D．二．填空题:11．函数的定义域为．12．如图所示的算法流程图中，输出S的值为．13．已知实数满足则的最大值为_______．14．已知，若时，恒成立，则实数的取值范围______ 三．解答题:已知R．（1）求函数的最小正周期;（2）求函数的最大值，并指出此时的值．高三数学基础训练二一．选择题：1．在等差数列中， ,则其前9项的和S9等于 ( )A．18 B．27 C．36 D．92．函数的最小正周期为 ( )A． B． C． D．3．已知命题p: ,命题q :,且p是q的充分条件，则实数的取值范围是：( )A．(-1,6) B．[-1,6] C． D．4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。

，153~160号）。

高三数学周末练习11姓名：一、填空题1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α=3. 函数()1f x =的反函数是4. 已知()3,2),4,1(=-=b a ，则与b a 43+平行的单位向量的坐标为________5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 若对任意正实数x ，不等式21x a >+恒成立，则实数a 的最大值为7. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =8. 若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++（*n N ∈），则lim3n n a n →∞=9. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为，则该双曲线焦距等于 10. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= 11. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的取值范围是 12. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩恰有两个零点，则实数t 的取值范围为二、选择题13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=- D. cos(2)6y x π=- 14 “21=m ”是直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件15. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y -> B.11()()022x y -< C.22log log 0x y +> D.sin sin 0x y -> 16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t ，||a tb +的最小值为1，则下列判断正确的是（ ）A. 若||a 确定，则θ唯一确定B. 若||b 确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则||b 唯一确定D. 若θ确定，则||a 唯一确定三、选择题17. 已知函数()9233x x f x a =-⋅+；（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最大值()h a ；18. 已知函数2sin ()1x x f x x -=； （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2Af =，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积；-；19. 已知椭圆C的长轴长为(2,0)（1）求C的标准方程；AB=（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且||试求直线l的倾斜角；20. 某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）。

一、单选题
1. 已知二次函数的导数为，对于任意实数，有
，则的最小值为()
A．1 B．2
C．D．
2. 曲线，则（）
A．1 B．0 C．D．
3. 已知函数，则（）
A．B．C．D．
4. 若函数，则的值为（）
A．1 B．－1 C．10 D．4
5. 已知函数，则（）
A．B．
C．D．
6. 已知数列为等比数列，函数
的导函数为，，若，的公比，则当的前项乘积最小时，的值为（）
A．B．C．或D．或
二、多选题
7. 在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（）A．B．C．D．
8. 已知是的导函数（）
A．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的
曲线向左平移得到的
B．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的
C．的对称中心坐标是
D．是的一条切线方程.
三、填空题
9. 已知函数，则______.
10. 设函数在内可导，且，且______．
11. 已知函数，则在处的切线方程为_______．
12. 设函数的导函数为，且，则___________．
四、解答题
13. 已知直线是指数函数（且）图像的一条切线，求底数a的值．
14. 曲线在某点处的切线的倾斜角小于，求坐标为整数的切点的个数．
15. 蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：，其中
为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位：）．
(1)求，并解释其实际意义；
(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻是多少（精确到）？
16. 已知函数，判断并证明在上的单调性．。

第十一周周末作业 姓名______________1、设集合{|1}A x x =>，{|0}3x B x x =<-，则A B = 2、已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=3、设双曲线22192x y -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =4、过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是______________5、已知椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，则k 的值为______________ 6、双曲线22172x y -=的左焦点到直线3450x y +-=的距离是 7、若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为 8、若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为9、在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则△ABC 的面积= 10、已知函数cos 21()sin 2201x f x x -=.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像先向左平移6π，再向上平移1单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =在[0,]2x π∈的值域.11、已知圆C 的圆心坐标为(1,2)，且与直线34200x y --=相切. （1）求圆C 的标准方程.（2）若圆C 被直线:0l x y b -+=所截得的弦长为6，求b 的值.12、已知双曲线C 的一个焦点坐标为(2,0)，左顶点为(1,0)-.（1）求双曲线C 焦点到渐近线的距离；（2）若直线l 的方程为21y x =-，交曲线C 于A 、B 两点，求AB 的长度.13、已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 的距离之和为l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求曲线Γ的方程；（2）若直线l 的方程为10x y -+=，求三角形2AF B 的面积；（3）是否存在l 过点1F 且满足OA OB ⊥，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.。

专题06数列及其应用一、填空题1.（杨浦）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.2.（宝山）已知数列{}n a 的递推公式为()⎩⎨⎧=≥+=-221211a n a a n n ，则该数列的通项公式=n a 3.（宝山）若数列{}n a 为等差数列，且20,252==S a ，则该数列的前n 项和为=n S 4．（黄埔）已知m 是2m -与4的等差中项，且52345012345()m x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a 的值为__________．5.（嘉定）已知数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨≥⎩前n 项和为n S ，则lim n n S →+∞=.6．（静安）已知{}是公比为q 的等比数列，且2、4、6成等差数列，则2=___________.7．（闵行）0ln(4)2ln 2limh h h→+-=__________．8．（青浦）已知数列{}n a 满足2n a an n =+，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是___________．9．（闵行）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5=a __________．10.（徐汇）在正项等比数列{}n a 中，a a a a 225689+2+=100，则a a 59+=．11.（徐汇）已知数列{}n a 满足：对于任意*N n ∈有π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1π4a =，()1n f a +其中()tan f x x =．若()11tan tan nn n nb a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则120T =．二、选择题12.（长宁）设各项均为实数的等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，对于方程①22023202320230x S x T -+=，②2110x a x b -+=，③2202320230x a x b ++=.下列判断正确的是（）A.若①有实根，②有实根，则③有实根；B.若①有实根，②无实根，则③有实根；C.若①无实根，②有实根，则③无实根D.若①无实根，②无实根，则③无实根13．（青浦）已知数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，存在正偶数n 使得1()()0n n a a +-+>λλ，且对任意正奇数n 有1()()0n n a a +-+<λλ，则实数λ的取值范围是（）．（A ）2(,1]3-（B ）2(,](1,)3-∞-+∞ （C ）32(,43-（D ）32(,]43--14．（闵行）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得1[,]m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）（A ）存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”（B ）存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”（C ）存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”（D ）存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”15．（黄埔）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若对任意的*N n ∈，都有1n n S a +<，则称数列{}n a 为“K 数列”.关于命题：①存在等差数列{}n a ，使得它是“K 数列”；②若{}n a 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则[2)q ∈+∞，是{}n a 为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是（）．A ．①和②都为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②都为假命题16．（虹口）在数列{}n b 中，若有(),m n b b m m n n =≠均为正整数,且，就有11m n b b ++=，则称数列{}n b 为“递等数列”．已知数列{}n a 满足55a =，且()1+=-n n n a n a a ，将“递等数列”{}n b 前n 项和记为n S ，若114b a b ==，22b a =，510S a =，则2023S =（）（A ）4720（B ）4719（C ）4718（D ）471617．（奉贤）设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A ．0；B ．1；C ．2；D ．3．18.（宝山）将正整数n 分解为两个正整数1k 、2k 的积，即21k k n ⋅=，当1k 、2k 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如5410220120⨯=⨯=⨯=,其中54⨯即为20的最优分解，当1k 、2k 是n 的最优分解时，定义()21k k n f -=，则数列(){}n f 5的前2023项的和为（）10125.A .B 151012-.C 20235.D 152023-19.（崇明）已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则（）A.当01q <<时，数列{}n d 单调递减B.当1q >时，数列{}n d 单调递增C.当12d d >时，数列{}n d 单调递减D.当12d d <时，数列{}n d 单调递增20.（金山）．设{}n a 是项数为0n 的有穷数列，其中02n ≥．当02n n ≤时，12n n a =，且对任意正整数0n n ≤都有010n n n a a +-+=．给出下列两个命题：①若对任意正整数0n n ≤都有1511512ni i a =≤∑，则0n 的最大值为18；②对于任意满足01s t n ≤<<的正整数s 和t ，总存在不超过0n 的正整数m 和k ，使得1tm k ii s a a a =++=∑．下列说法正确的是（）．（A ）①是真命题，②是假命题（B ）①是假命题，②是真命题（C ）①和②都是真命题（D ）①和②都是假命题三、解答题21.（浦东新区）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列.（1）求1234511111a a a a a ++++的值；（2）设数列3{log }n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值，并指出n S 取最大值时n 的取值.22．（静安）（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分）已知各项均为正数的数列满足1=1，=2K1+3(正整数≥2)．（1）求证：数列+3是等比数列；（2）求数列的前n 项和．23．（虹口）(本题满分14分,第1小题6分，第2小题8分)记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知112,(.n n a a S n +==为正整数）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log ,n n b a =若129145,m m m m b b b b +++++++= 求正整数m 的值.24．（奉贤）（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）计算20321`-=∑k k a．25.（普陀）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知b a ,均为不是1的正实数，设函数)(x f y =的表达式为xb a x f ⋅=)(（R ∈x ）.（1）设b a >且xa b x f ⋅≤)(，求x 的取值范围；（2）设161=a ，4=b ，记)(log 2n f a n =，)(n f b n =，现将数列}{n a 中剔除{}n b 的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为}{nc ，求∑=1001i ic的值.26.（杨浦）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .（1）写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；（2）判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；（3）n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.27．（嘉定）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()2sin f x x x =+，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，记1()nn i i T f a ==∑.（1）求证：函数()y f x =的图像关于点()ππ，中心对称；（2）若123a a a 、、是某三角形的三个内角，求3T 的取值范围；（3）若100100πS =，求证：100100πT =.反之是否成立？并请说明理由.专题06数列及其应用一、填空题1.（杨浦）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.【答案】10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.2.（宝山）已知数列{}n a 的递推公式为()⎩⎨⎧=≥+=-221211a n a a n n ，则该数列的通项公式=n a 1321n -⋅-答案：3.（宝山）若数列{}n a 为等差数列，且20,252==S a ，则该数列的前n 项和为=n S 答案：()1-n n 4．（黄埔）已知m 是2m -与4的等差中项，且52345012345()m x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a 的值为__________．答案：40；5.（嘉定）已知数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨≥⎩前n 项和为n S ，则lim n n S →+∞=.答案.526．（静安）已知{}是公比为q 的等比数列，且2、4、6成等差数列，则2=___________.答案：17．（闵行）0ln(4)2ln 2limh h h→+-=__________．14答案：8．（青浦）已知数列{}n a 满足2n a an n =+，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是___________．答案：.11,1119⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．（闵行）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5=a __________．；10.（徐汇）在正项等比数列{}n a 中，a a a a 225689+2+=100，则a a 59+=．答案：1011.（徐汇）已知数列{}n a 满足：对于任意*N n ∈有π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1π4a =，()1n f a +=其中()tan f x x =．若()11tan tan nn n nb a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则120T =．答案：10二、选择题12.（长宁）设各项均为实数的等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，对于方程①22023202320230x S x T -+=，②2110x a x b -+=，③2202320230x a x b ++=.下列判断正确的是（）A.若①有实根，②有实根，则③有实根；B.若①有实根，②无实根，则③有实根；C.若①无实根，②有实根，则③无实根D.若①无实根，②无实根，则③无实根答案：B13．（青浦）已知数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，存在正偶数n 使得1()()0n n a a +-+>λλ，且对任意正奇数n 有1()()0n n a a +-+<λλ，则实数λ的取值范围是（）．（A ）2(,1]3-（B ）2(,](1,)3-∞-+∞ （C ）32(,43-（D ）32(,]43--答案：D14．（闵行）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得1[,]m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）（A ）存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”（B ）存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”（C ）存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”（D ）存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”答案：C15．（黄埔）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若对任意的*N n ∈，都有1n n S a +<，则称数列{}n a 为“K 数列”.关于命题：①存在等差数列{}n a ，使得它是“K 数列”；②若{}n a 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则[2)q ∈+∞，是{}n a 为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是（）．A ．①和②都为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②都为假命题答案：C16．（虹口）在数列{}n b 中，若有(),m n b b m m n n =≠均为正整数,且，就有11m n b b ++=，则称数列{}n b 为“递等数列”．已知数列{}n a 满足55a =，且()1+=-n n n a n a a ，将“递等数列”{}n b 前n 项和记为n S ，若114b a b ==，22b a =，510S a =，则2023S =（）（A ）4720（B ）4719（C ）4718（D ）4716答案：B17．（奉贤）设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个B ．0；B ．1；C ．2；D ．3．答案：D18.（宝山）将正整数n 分解为两个正整数1k 、2k 的积，即21k k n ⋅=，当1k 、2k 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如5410220120⨯=⨯=⨯=,其中54⨯即为20的最优分解，当1k 、2k 是n 的最优分解时，定义()21k k n f -=，则数列(){}n f 5的前2023项的和为（）10125.A .B 151012-.C 20235.D 152023-答案：B19.（崇明）已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则（）A.当01q <<时，数列{}n d 单调递减B.当1q >时，数列{}n d 单调递增C.当12d d >时，数列{}n d 单调递减D.当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】D【分析】根据数列{}n d 的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.【详解】数列{}n a 是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a a a d n n q +-==++-，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+，即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()113112a a q q q >--，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+，即21111n q n n +<=+++，而312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()113112a a q q q <--，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：D【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列{}n d 的通项，根据n d 的定义求得通项，再讨论单调性.20.（金山）．设{}n a 是项数为0n 的有穷数列，其中02n ≥．当02n n ≤时，12n n a =，且对任意正整数0n n ≤都有010n n n a a +-+=．给出下列两个命题：①若对任意正整数0n n ≤都有1511512ni i a =≤∑，则0n 的最大值为18；②对于任意满足01s t n ≤<<的正整数s 和t ，总存在不超过0n 的正整数m 和k ，使得1tm k ii s a a a =++=∑．下列说法正确的是（）．（A ）①是真命题，②是假命题（B ）①是假命题，②是真命题（C ）①和②都是真命题（D ）①和②都是假命题答案：B 三、解答题21.（浦东新区）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列.（1）求1234511111a a a a a ++++的值；（2）设数列3{log }n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值，并指出n S 取最大值时n 的取值.【解析】（1）由题1319()33n n n a --=⋅=，则313n na -=，212123451111112133133.9a a a a a --++++=++++=（2）记3log n nb a =，由（1）知3n b n =-，所以22(3)51222n n S n n n +-=⋅=-，22511525()22228n S n n n =-=--+，当n =2或3时，n S 取得最大值3.（由3n b n =-得4n ≥时，0n b <分析得n S 最大值亦可）22．（静安）（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分）已知各项均为正数的数列满足1=1，=2K1+3(正整数≥2)．（1）求证：数列+3是等比数列；（2）求数列的前n 项和．解：（1）证明：已知递推公式=2K1+3，两边同时加上3，得+3=2K1+3(≥2)，>0，+3>0，故+3K1+3=2(≥2)，（直接将已知递推公式代入等比数列定义计算也可：+3K1+3=2K1+3+3K1+3=2）又1+3=4，所以数列+3是以1+3=4为首项、以2为公比的等比数列．（2）数列+3通项公式为=2r1−3，=4(1−2)1−2=2r2−4−3.23．（虹口）(本题满分14分,第1小题6分，第2小题8分)记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知112,(.n n a a S n +==为正整数）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log ,n n b a =若129145,m m m m b b b b +++++++= 求正整数m 的值.解：（1）由112,,n n a a S +==得：2112,a S a ===且当2n ≥时111,2(2).n n n n n n na a S S a a n a +-+=-=-=≥即……3分所以，数列{}n a 从第2项开始构成以22a =为首项，2为公比的等比数列,故数列{}n a 的通项公式为：12,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩……6分（2）当2n ≥时122log log 21n n n b a n -===-，又1212log log 21b a ===.……8分当m =1时，123101(129)46,b b b b ++++=++++= 不满足条件；……10分当2m ≥时，由129(1)(1)(8)5(27)145,m m m m b b b b m m m m m +++++++=-++++++=+= 解得m =11.……14分24．（奉贤）（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）计算20321`-=∑k k a．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，则11110a a d =+，13112a a d =+．．．．．．．．．．．．．．．2分因为1a ，11a ，13a 成等比数列，所以211113a a a =⋅，即2111(10)(12)a d a a d +=⋅+，．．．．．．．．．．．．．．2分125a =代入，解得2d =-(0)=舍去d ．．．．．．．．．．．．．．．2分所以1(1)25(1)(2)272n a a n d n n =+-=+--=-，所以{}n a 的通项公式为272n a n =-；．．．．．．．．．．．．．．2分（2）因为3132[272(31)][272(32)]6n n a a n n +--=-+---=-，所以数列31{}n a +()n ∈N 是以25为首项，6-为公差的等差数列，．．．．．．．．．．．．．．3分（若没有证明为什么是等差数列，一律扣1分）所以2032147581`20202519(6)6402k k a a a a a -==++++=⨯+⨯⨯-=-∑ 25.（普陀）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知b a ,均为不是1的正实数，设函数)(x f y =的表达式为xb a x f ⋅=)(（R ∈x ）.（1）设b a >且xa b x f ⋅≤)(，求x 的取值范围；（2）设161=a ，4=b ，记)(log 2n f a n =，)(n f b n =，现将数列}{n a 中剔除{}n b 的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为}{nc ，求∑=1001i ic的值.解：（1）由0>>b a ，得0>xa 及1>ba.……………………2分将x b a x f ⋅=)(代入xa b x f ⋅≤)(，得x x a b b a ⋅≤⋅，故b a b a x≥⎪⎭⎫ ⎝⎛，…………4分所以1≥x ，即x 的取值范围为),1[+∞.………………6分（2）将4,161==b a 代入x b a x f ⋅=)(，得422)(-=x x f .422log 422-==-n a n n ，24-=n n b ，其中n 为正整数.……8分且021>=-+n n a a （常数），21-=a ，故}{n a 是首项为2-、公差为2的严格增的等差数列；141>=+n n b b ，411=b ，故}{n b 是首项为41、公比为4的严格增的等比数列.……10分易得196100=a ，103202a =且434==b a ，16410==b a ，34564202a b ==<，1306256202a b ==>，……12分所以10010334511()i i i i c a b b b ===-++∑∑103[202(2)]84102162⨯+-=-=.……14分26.（杨浦）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .（1）写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；（2）判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；（3）n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）不存在，理由见解析；（3）51【分析】（1）根据题意得21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再直接求解即可；（2）根据21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再证明3n n a a +≥，*n ∈N 即可证明结论‘；（3）根据21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②得对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=可得1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，进而得10051c ≥，再根据特例说明10051c =即可得答案.【小问1详解】解：由12n n n a a a ++=-得12n n n a a a ++-=-或12n n n a a a ++=-，所以21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，因为足13a =，27a =，所以310a =或34a =，所以，当310a =时，417a =或43a =；当34a =时，411a =或43a =-因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以43a =-舍，所以，数列{}n a 前4项的所有可能取法有13a =，27a =，310a =，417a =或13a =，27a =，310a =，43a =或13a =，27a =，34a =，411a =.【小问2详解】解：不存在，下面证明：因为12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，当21n n n a a a ++=+时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以32121n n n n n n n a a a a a a a +++++=+>=+>，即3n n a a +>或321n n n n a a a a +++=-=，所以3n n a a +≥；当21n n n a a a ++=-时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以210n n n a a a ++=->，即1n na a +>所以3211n n n n n a a a a a ++++=+>>或3210n n n n a a a a +++=-=-<（舍），综上，3n n a a +≥，*n ∈N 所以3213k a a -≥=，3127k a a -≥=，334k a a ≥=.综上，不存在正整数k ，满足1k a =.【小问3详解】解：由12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②，对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，只有满足1n n a a +>时，才可以使用②递推；若21n n n a a a ++=-，显然21n n a a ++<，下次只能用①递推，即321n n n a a a +++=+所以，②不能连续使用.记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=若21221k k k a a a +-=+，则1k k b b +>；若21221k k k a a a +-=-，则22212221k k k k k a a a a a ++-=+>>，所以1k k b b +>，所以1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，所以，12100,,,a a a 中至少有122350,,,,,a a b b b 共51项，即10051c ≥.举例如下：1212,(,(n n n n n a a n a a a n ----+⎧=⎨-⎩为奇数）为偶数）所以{}:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23n a ，此时10051c =，所以，100c 的最小值为51.【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=推理得到1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，10051c ≥，进而结合题意说明最小值可以取到51即可.27．（嘉定）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()2sin f x x x =+，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，记1()nn i i T f a ==∑.（1）求证：函数()y f x =的图像关于点()ππ，中心对称；（2）若123a a a 、、是某三角形的三个内角，求3T 的取值范围；（3）若100100πS =，求证：100100πT =.反之是否成立？并请说明理由.（1）证：在函数2sin y x x =+的图像上任取一点(),P x y ，点P 关于点()ππ，的对称点为()2π,2πP x y '--，而()(2π)2π2sin 2π2π2sin 2πf x x x x x y -=-+-=--=-，所以点()2π,2πP x y '--在函数()y f x =图像上，所以函数()y f x =的图像关于点()ππ，中心对称.（2）解：若123a a a 、、是某三角形的三个内角，则123+=πa a a +，又{}n a 为等差数列，则2π=3a ，()()()312312312313()()2sin sin sin =π2sin sin T f a f a f a a a a a a a a a =++=++++++，1313133π4sin cos π222a a a a a a T +--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，不妨设1320π3a a <≤<，则132π03a a -<-≤，于是131cos 122a a -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，所以(3ππT ∈++.（3）证：若100100πS =，又10010010010011()2sin i i i i T f a S a ====+∑∑，则1001001100π2sin i i T a ==+∑，因为{}n a 为等差数列且100100πS =，所以当101n m +=时，2πn m a a +=，于是sin sin 0n m a a +=.故()()()1001100299100112sin =sin sin sin sin sin sin 0i i a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=∑，所以100100πT =，得证.若100100πT =,则10010012sin 100πi i S a =+=∑,反之不成立考虑存在等差数列{}n a ，满足50149πa a d =+=，则9999πS =,于是n a 与100n a -关于π对称，所以9999πT =.下面证明，存在d 可以使得()100πf a =且100πa ≠.不妨设0d >，又149πa d +=，所以100199a a d π=+≠.()100502sin(50)f a d d π-=-，考虑函数2sin y x x =-，0x >,其中()2sin g x x x=-因为ππ(033g =<，(π)π0g =>，所以存在ππ3ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0g ξ=，所以存在ππ,15050d ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()100πf a =即100100πT =，但是100100πS ≠.所以反之不成立.注：反例不唯一，例如：考虑0d =，证明存在3π,2π2ξ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()πf ξ=，n a ξ=.。

2015年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学模拟试卷6(理工农医类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 方程2250x x -+=的一个根是____________.2. 5(1)x 的展开式中2x 的系数是 （结果用数字作答）.3. 若函数()y g x =的图像与2()log (2)f x x =+的图像关于直线y x =对称，则()g x =____________.4. 直线l 的方程为10223012xy =-，则直线l 的一个法向量是____________.5. 若2,,,a b c ,9成等差数列，则c a -=____________.6. 已知△ABC 2_________.7. 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为 .8. 在极坐标系中，曲线26cos 2sin 60ρρθρθ--+=与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于____________.9. 将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是____________.10. 在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r3=，则线段AC 的长为____________. 11. 若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为____________.12. 对于1＜q （q 为公比）的无穷等比数列{}n a （即项数是无穷项），我们定义n n S ∞→lim （其中nS 是数列{}n a 的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即q a S S n n -==∞→1lim 1. 则循环小数••27.0的分数形式是____________. 13. 已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B 满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 对任意复数),(R y x yi xz ∈+=，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 [答]（ ） .A yz z 2=- .B 222y x z += .C xz z 2≥- .D yx z +≤16. 某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是 [答]（ ）.A 年龄数据的中位数是40，众数是38 .B 年龄数据的中位数和众数一定相等.C 年龄数据的平均数()39,40x ∈.D 年龄数据的平均数一定大于中位数17. 已知焦点在x 轴上的椭圆方程为222141x y a a +=-，随着a 的增大该椭圆的形状（ ）.A 越接近于圆 .B 越扁.C 先接近于圆后越扁 .D 先越扁后接近于圆18. 如图平行四边形ABCD ，点123,,M M M ，…，1n M -和123,,N N N ，…，1n N -分别将线段BC 和DC n 等分（(,2)n N n *∈≥，12AM AM ++u u u u r u u u u u r …112n AM AN AN -++++u u u u u u r u u u u r u u u u r …145n AN AC -+=u u u u u u r u u u r ，则n的值为 [答]（ ） .A 29 .B 30 .C 31 .D 32三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.若11,04()ln 1,4x f x a x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩ 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值为2．(1) 求a 的值；(2) 求不等式()1f x <的解集．20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．(1) 请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明； (2) 在(1)的条件下，求二面角F-BE-A 的正弦值.A 2N1N BCD 1M2M …n i M -n i N - …21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某软件公司新开发一款游戏软件，该软件按游戏的难易程度共设置若干关的闯关游戏，为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干游戏币，设第n 关奖励na 个游戏币，且满足1,42111=≤≤+a a a a n n n ，该软件公司提供了两种奖励方案：①从第二关开始每闯过一关奖励的游戏币数是前一关的q 倍；②从第二关开始每闯过一关多奖励d 游戏币(R d ∈).游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案.若选择第①种方案，设第1关到第n 关奖励的总游戏币为nS ，即nn a a a S +++=...21,且n n n S S S 4211≤≤+，求q 的取值范围；若选择第②种方案，且设置第1关到第k 关奖励的总游戏币数为100(即*21,...N k a a a k ∈+++)时获特别奖励，为了增加获特别奖的难度，如何设置d 的取值，使得k 最大，并求k 的最大值.22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点.直线l 与椭圆交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F2且倾斜角为4π时，原点O 到直线l 22.又椭圆上的点到焦点F2的最近距离为31-.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNP面积为6时，求平行四边形OQNP 的对角线之积ON PQ⋅的最大值；(3) 若抛物线()22220C y px p F =>：以为焦点，在抛物线C2上任取一点S （S 不是原点O ），以OS 为直径作圆，交抛物线C2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分，第3B A DC E小题满分4分.设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=L （其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，L ），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++L . 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，L ， 1()k k n A n -=，L ． (1) 若02015n =，求2015n ；(2) 当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<；(3) 如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）2015年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学模拟试卷6(理工农医类)参考答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 12i +2. 53. 22x- 4.(),2k k 其中0k ≠ 5. 726. 42-7. π28. 9. 9610. 11.[]4,5-12. 118 13.13π14. []5 55，二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15-18：DCAC三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤.19. 解：（1）()f x Q 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递增，(2)2f ∴=，易得52=a .（说明：无指出单调性扣3分）（2）由（1）知，当04x <≤时，51()12f x x =-<，解得203x <<； 当4x ≥时，()ln 11f x x =-<，解得24x e ≤<综上：不等式的解集为2203x x e ⎧⎫<<≤<⎨⎬⎩⎭或4x 20. 解法一：（I ）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ， …2分 ∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，…4分//BF ∴平面ACD ； …5分（II ）取AD 中点G ，AC CD =Q CG AD ∴⊥由已知可得平面ADEB ⊥平面ACD ，且交于AD , CG ⊂平面CG ∴⊥平面ADEB过G 作GK BE ⊥交BE 于K,连CK …8分 由三垂线定理知CK BE ⊥, 又KG ⊂平面BEA,CK ⊂平面FBEGKC ∴∠为二面角F-BE-A 的平面角 …10分由（I ）已证AB//ED ，知1()2KG BE AB DE AD⋅=+⋅又AB=1,DE=AD=2GK ∴=sin CG GKC CK ∠=== ∴所求角的正弦值为4. …14分 或解：（II ）由已知条件可知BEG ∆即为BCE ∆在平面ABED 上的射影，B设所求的二面角的大小为θ，则cos BGEBCESSθ∆∆=， (8)分由已知求得BC=BE=，CE=，∴1||2BCES CE∆==…10分而113(242BGE ABEDS S AB DE AD∆==+⋅=梯形），…12分∴cos BGEBCESSθ∆∆==∴所求角的正弦值为.…14分解法二：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为(0,0,0)D，(2,0,0)A，(0,0,2)E，(2,0,1)B，(1,0)C，…2分(I)点F应是线段CE的中点，下面证明：设F是线段CE的中点，则点F的坐标为1(,2F，∴显然BFu u u r与平面xOy平行，又BF ACD⊄面…5分∴BF∥平面ACD …6分(II) 设平面BCE的法向量为(,,)n x y z=r，则n CB⊥r u u u r，且n CE⊥r u u u r，由(1,CB=u u u r，(1,CE=-u u u r∴20x zx z⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y=12xz=⎧⎨=⎩，即(1n=r，…10分而平面AEB的一个法向量为(0,1,0)m=u r，…11分∴cos n,||||n mmn m⋅==r u rr u rr u r，设二面角F-BE-A的平面角为θ,则sinθ==∴所求角的正弦值为. …14分21.22. 解析：（Ⅰ）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，222c =，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a -+--=22021()x a a -≥2(31)-，0a x a -≤≤,当0x a =时，131a -=-，3a =，2b =,椭圆C 的方程 22132x y +=..………………………4分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而1126S x y ==，则116,12x y ==,知ON PQ ⋅=26.当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=， 0∆>，即2232k m +>,2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++,2PQ x =-==,d =12POQ S d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=g ， 422222912412840k k m k m m ++--+=,得到，222(322)0k m +-=,则22322k m +=，满足0∆>, 由前知12322x x km +=-，2121231()222y y x x k k m m m m ++=+=-+=， 设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m ++=+=+=-,22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++,22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立，综上可知OM PQ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ⋅的最大值为5. ………………………12分（Ⅲ）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅=u u u r u u r, 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR u u r ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR u u u r=（2x ，2y ）,所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=u u u r u u r , 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ,所以221222256323264y y y =++≥=，当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y2＝±4时等号成立.圆的直径===,因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，min OS =， 所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）..……………………16分 23. （Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+， 所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++L ，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>． 当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥． 所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………16分（Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38． (18)。