海淀区2020届高三数学查漏补缺题(终稿)-(1)

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是 （A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C ）32-（D ）32（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =. 下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12[,)22；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

1绝密★启用前北京市海淀区普通高中2020届高三毕业班下学期高考查漏补缺数学试题2020年6月说明：1.提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题.2.教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用.3.试题按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错,希望老师们及时指出问题,以便及时改正.【集合与简易逻辑】1. 已知集合A ＝{x |ln(1)1x +≤},B ＝{－2,－1,0,1,2},则A ∩B ＝A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－2, －1,0,1}D ．{－1,0,1,2}2. 在ABC ∆中,“cos cos A B <”是“sin sin "A B >的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是2A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α,β平行于同一条直线D ．α,β垂直于同一平面【复数】1. 如果复数 222(32)i z a a a a =+-+-+为纯虚数,那么实数a 的值为 A. 2 B. 1 C. −2 D. 1 或 −22.设32i z =-+,则在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若ii 1im n +=+,则实数m =_________,实数n =_________. 【不等式】1.设0a b <<,则下列不等式中正确的是A．2a b a b +<< B．2a ba b +< C．2a b a b +<D2a ba b +<<2. 设R m ∈且0m ≠,“4+4m m>”的一个必要不充分条件是（ ） z3A ．2m ≠B ．0m >且2m ≠C ．2m >D ．2m ≥3. 已知(0,1)m ∈,令log 2m a =,2b m =,2m c =,那么,,a b c 之间的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<4. 设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【数列】1. 设{}n a 是等差数列,下列结论中正确的是（ ）.A.若120a a +>,则230a a +>B.若130a a +<,则120a a +<C.若120a a <<,则2a > D.若10a <,则()()21230a a a a -->2. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++> ,7100a a +< ,则当n = ________时,{}n a 的前n 项和最大.3. 已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则24681012a a a a a a +++++=______。

北京市海淀区高三数学查漏补缺题说明：查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充，题目以中档题为主，部分题目是弥补知识的漏洞，部分是弥补方法的漏洞，还有一些是新的变式题，请老师们根据学生的情况有选择地使用或改编使用.最后阶段的复习，在做好保温工作的前提下，夯实基础，重视细节，指导学生加强反思，梳理典型问题的方法，站在学科高度建立知识之间的联系，融会贯通，以进一步提升学生的分析、解决问题的能力为重点.特别关注：基本题的落实，将分拿到手。

文科要关注应用题的理解，会从背景材料中提取有用信息，建立恰当的数学模型（用恰当的数学知识刻画），或根据逻辑分析、解决问题。

鼓励学生，建立必胜的信心. 预祝老师们硕果累累！1、已知原命题：“若a +b ≥2，则a ,b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是 （ ）A ．原命题为真，否命题为假B ．原命题为假，否命题为真C ．原命题与否命题均为真命题D ．原命题与否命题均为假命题 2、如右图所示，在四边形ABCD 中，45CD AD ，==，0AB AD CB CD ⋅=⋅=，令,BC x BA y ==，则曲线()y f x =可能是（ ）3、若直线3,14,x t y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)与圆3cos ,3sin ,x y b θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则b =（ ）A 46-或B 64-或C 19-或D 9-或1 4、若3sin 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为 （ ） A.1925 B. 1625 C. 1425 D ．7255、设12sin 42,cos 46,2,a b c -===则（ ）AA ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c << 6、设集合{(,)}x A x y y a ==，{(,)1B x y y x =?或1}y x ?+. 若A B Í，则正实数a 的取值范围是A.1[0,]eB.1[,e]eC.2(1,e ]D.[e,)+∞7、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α,n ⊥平面β,直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A ．//αβ，且//l βB ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8、若521)(xx -的展开式中含αx ()αÎR 的项，则α的值不可能为（ ） A. 5- B. 1 C. 7 D. 29、将函数sin(2)(0)y x φφπ=-<<的图象沿x 轴向左平移6π个单位后得到的图象关于原点对称，则φ的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 10、函数23sin 2sin sin()sin32y x x x ππ=-++的图象的对称轴是 ，对称中心是 .11、设曲线的极坐标方程为sin 21θ=，则其直角坐标方程为 .12、以原点为顶点，以x 轴正半轴为始边的角α的终边与直线21y x =-垂直，则3tan()4απ-= ，cos α=_____________.13、设抛物线C :y x 42=的焦点为F ，已知点A 在抛物线C 上，以F 为圆心，FA 为半径的圆交此抛物线的准线于D B ,两点，且A 、B 、F 三点在同一条直线上，则直线AB 的方程为____________.14、在区间[]1,1-上随机的取两个数a ，b ，使得方程0122=++ax bx 有两个实根的概率为_______.15、已知2e(,)m n m n +=∈R ，那么ln ln m n ⋅的最大值是 . 16、已知10210012101(i )2x a a x a x a x -=++++（i 为虚数单位），则1012010242a a a a ++++= .17、已知向量a ，b 满足：||1,||6,()2==⋅-=a b a b a ，则a 与b 的夹角为 ；|2|-=a b ．18、某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1:5:3，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为18的样本，已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是281，则该单位员工总人数为 .19、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且点E 为棱AB 上任意一个动点． 当点1B 到平面1A EC时，点E 所有可能的位置有几个___________． 20、如图，弹簧挂着的小球上下振动，时间()t s 与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度()h cm之间的函数关系式是,[0,).h t t t =∈+∞，则小球开始振动时h 的值为_________，小球振动时最大的高度差为__________.21、已知点P 为曲线2y x =与ln (0)y a x a =?的公共点，且两条曲线在点P 处的切线重合，则a = .22、双曲线)0(222≠=+k k ky x 的一条渐近线是x y =，则实数k 的值为 ．23、已知函数2sin()(,)y x Z ωϕωπϕπ+=+∈-<<的部分图象如图所示，则_____,______.ωϕ==24、李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______ .方案一： 方案二： 方案三：25、李师傅早上8点出发，在快餐店买了一份早点，快速吃完后，驾车进入限速为80km/h 的收费道路，当他到达收费亭时却拿到一张因超速的罚款单，这时，正好是上午10点钟，他看看自己车上的里程表，表上显示在这段时间内共走了165km. 根据以上信息，收费人员出示这张罚款单的主要理由是 .26、如图，AC 是⊙O 的一段劣弧，弦CD 平分ACB ∠交AC 于点D ，BC 切AC 于点C ，延长弦AD 交 BC 于点B ，（1）若075B ∠=，则_____ADC ∠=， （2）若⊙O 的半径长为52，3CD =，则BD = . 27、已知函数()esin xf x x -=（其中e 2.718=）.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在[,π]π-上的最大值与最小值.28、已知函数()22xe f x x x b=++的定义域是R ，且有极值点．（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求证：方程()12f x =恰有一个实根． 29、如图所示，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为它的中心，将它沿对角线FC 折叠，使平面ABCF ⊥平面FCDE ，点G 是边AB 的中点.（Ⅰ）证明：平面BFD ⊥平面EGO ； （Ⅱ）求二面角O －EG －F 的余弦值；（Ⅲ）设平面EOG 平面BDC=l ，试判断直线l 与直线DC 的位置关系.（文科）如图所示，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为它的中心，将它沿对角线FC 折叠，使平面ABCF ⊥平面FCDE ，点G 是边AB 的中点. （Ⅰ）证明：DC//平面EGO ；（Ⅱ）证明：平面BFD ⊥平面EGO ； （Ⅲ）求多面体EFGBCD 的体积.30、申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次. 设X 表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知的概率分布如下：（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；（Ⅱ）已知每名申请者参加X 次考试需缴纳费用10030Y X =+ （单位：元）,求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；（Ⅲ）4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为ξ，求ξ的分布列.31、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . 满足b A c C a =+cos cos 2. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin cos sin A B B +的最大值.32、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S(1,2,3)n =.（Ⅰ）求证：数列{}1+n S 为等比数列；（Ⅱ）求通项公式n a ；（Ⅲ）若数列是首项为1，公差为2的等差数列,求数列{}n b 的通项公式. 33、已知抛物线2x y =，O 为坐标原点.（Ⅰ）过点O 作两相互垂直的弦,OM ON ,设M 的横坐标为m ，用m 表示△OMN 的面积，并求△OMN 面积的最小值；（Ⅱ）过抛物线上一点()3,9A 引圆()2221x y +-=的两条切线AB AC 、,分别交抛物线于点B C 、, 连接BC ，求直线BC 的斜率. 34、已知焦点在x 轴上，中心在原点，离心率为23的椭圆经过点)21,1(M ,动点B A ,(不与定点M 重合)均在椭圆上,且直线MA 与MB 的斜率之和为1，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求证直线AB 经过定点;(Ⅲ) 求△ABO 的面积S 的最大值35、设A 是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合,B C 满足： ①B C =∅； ②BC A =；③B 的元素之和等于C 的元素之和. 则称集合A “可均分”，否则称A “不可均分”. （Ⅰ）判断集合{1,3,9,27,,3}(*)n M n =∈N 是否“可均分”，并说明理由； （Ⅱ）求证：集合{20151,20152,,201593}A =+++“可均分”； （Ⅲ）求出所有的正整整k ，使得{20151,20152,,2015}A k =+++“可均分”.参考答案：1.A2.C3.A4.D5.C6.B7.D8.D9.B 10. ()24k x k ππ=+∈Z ，(,1)()2k k π-∈Z 11. y x = 12. 1313. 0333=-+y x 或0333=+-y x 14.2315. 1 16. i 32-17.3π，18. 解：按分层抽样应该从老年职工组中抽取29118=⨯人，所以不妨设老年职工组共有n 人，则甲乙二人均被抽到的概率为：281222=n C C ，解得：8=n ，所以该单位共有员工7298=⨯人.19. 24 21. 2e 22. 2- 23.2，3π24.方案三25. 李师傅在这段道路上驾车行驶的平均速度大于82.5km/h ，所以必存在某一时刻速度大于80km/h ，因此他超速行驶. 26.110°,251327.（Ⅰ）解：'()e sin e cos x x f x x x --=-+=. 令'()0f x =，解得：,4x k k ππ=+∈Z .因为当3(2,2),44x k k k ππππ?+?Z 时，'()0f x >；当5(2,2),44x k k k ππππ?+?Z 时，'()0f x <，所以()f x 的单调递增区间是3(2,2),44k k k ππππ-+?Z ，单调递减区间是5(2,2),44k k k ππππ++?Z .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在3[,)4ππ--上单调递减，在3(,)44ππ-上单调递增，在(,]4ππ上单调递减.4()0,()04f f πππ--==>, 343()0,()e 04f f πππ=-=<所以()f x 在[,]ππ-4π-，最小值为34e π.28.解：(1) 由()22xe f x x x b=++的定义域是R ，知440b -<得1b >．()()()()()222222222222x x e x x b x e x b f x xx b xx b ++--+-'==++++，由()0f x '=得220x b =-≥，故2b ≤． 当b=2时，()()222022xx e f x xx '=≥++，函数()f x 在R 上单调递增，无极值点．∴所求范围为1<b <2．(2) 由(1)知函数()f x的两个极值点为()1,0m =-，()0,1n =，极小值()()222222n n n e e e f n n n b b n b n ===++-+++．（下面证明1222n e n >+）记()()1x g x e x =-+()01x ≤<，()10x g x e '=-≥ ∴()g x 在[)0,1上是单调递增函数∴当()0,1x ∈时，()()00g x g >=，即1x e x >+由()0,1n =知，1122222n e n n n +>=++．这说明()12f x =在(),m +∞上无解． 又()221122e f b e --=<<，()()12f m f n >>，且()f x 在(),m -∞上单调递增，∴()12f x =在(),m -∞上恰有一解 综上所述，()12f x =在R 上恰有一解．29. （Ⅰ）证明：因为 O 是正六边形ABCDEF 的中心，G 是边AB 的中点，所以 OE FD ⊥，OG AB ⊥. 因为 平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF平面FCDE FC =，GO ⊂平面ABCF ，所以GO ⊥平面FCDE .因为 DF ⊂平面FCDE ，所以 GO DF ⊥. 因为 EO ⊂平面EOG ，GO ⊂平面EOG ，EO GO O =，所以 DF ⊥平面EGO . 因为 DF ⊂平面DFB ， 所以 平面BFD ⊥平面EGO .（Ⅱ）解：取DE 的中点H ，则OH FC ⊥.分别以边,,OG OC OH 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由2AB =得G ，D ，(0,E -，(0,2,0)F -，则FD =uu u r ，FE =uur ，2,0)FG =uuu r.由（Ⅰ）知：DF ⊥平面EGO .所以 平面EGO 的一个法向量为FD =uu u r. 设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uuu r 即0,20.y y ⎧+=⎪+= 令y =，则1z =-，2x =-.所以 (1)m =--u r.所以 二面角O EG F --的余弦值为=. （Ⅲ）证明：在正六边形ABCDEF 中，//OC ED ，OC ED =，所以 四边形OCDE 是平行四边形.所以 //DC EO .因为 OE ⊂平面OEG ，CD ⊄平面OEG ， 所以 //CD 平面OEG .因为 平面EOG 平面BDC=l ，CD ⊂平面BDC ，所以 //DC l . （文科）（Ⅰ）证明：在正六边形ABCDEF 中，//OC ED ，OC ED =， 所以 四边形OCDE 是平行四边形. 所以 //DC EO .因为 OE ⊂平面OEG ，CD ⊄平面OEG ，C所以 //CD 平面OEG .（Ⅱ）证明：因为 O 是正六边形ABCDEF 的中心，G 是边AB 的中点， 所以 OE FD ⊥，OG AB ⊥.因为 平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF 平面FCDE FC =，GO ⊂平面ABCF ，所以GO ⊥平面FCDE .因为 DF ⊂平面FCDE ，所以 GO DF ⊥. 因为 EO ⊂平面EOG ，GO ⊂平面EOG ，EO GO O =， 所以 DF ⊥平面EGO . 因为 DF ⊂平面DFB ， 所以 平面BFD ⊥平面EGO .（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知GO ⊥平面FCDE . 所以11172362EFGBCD B CDEF B FEG B CDEF G FEO CDEF FEO V V V V V S GO S GO ----∆∆=+=+=⋅+⋅=.30.解：（Ⅰ）由X 的概率分布可得0.10.10.31x +++=.0.5x ∴=.()0.110.520.330.14E X =⨯+⨯+⨯+⨯2.4=.所以一位申请者所经过的平均考试次数为2.4次.（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件A ，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件B ，两位申请者经历两次考试为事件C ，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件D .因为考试需交费用10030Y X =+,两位申请者所需费用的和小于500元的事件为A B C D .()0.10.120.50.10.50.520.10.3=0.42P A B C D =⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0.42. （Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为35，ξ的可能取值为0,1,2,3,4.4216(0)5625P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭, 3143296(1)55625P ξC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 222432216(2)55625P ξC ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,33432216(3)55625P ξC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4381(4)5625P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭.ξ的分布列为31. 解：（Ⅰ）由正弦定理及b A c C a =+cos cos 2得， B A C C A sin cos sin cos sin 2=+. 在ABC ∆中，π=++C B A ，∴B C A -=+π，即B C A sin )sin(=+.∴B C A B C A C A A C C A sin cos sin sin cos sin )sin(cos sin cos sin 2=+=++=+.∴0cos sin =C A .又 π<<A 0，π<<C 0，∴0sin >A . ∴0cos =C . ∴2π=C .（Ⅱ）由（Ⅰ）得2π=C ，∴2π=+B A ，即A B -=2π.22215sin cos sin cos sin sin sin 1(sin )24A B B B B B B B +=+=-++=--+，02B π<<，∴当1sin 2B =，即6B π=时，sin cos sin A B B +取得最大值54. 32. 证明：（Ⅰ）因为 132n n S S +=+,所以11321311n n n n S S S S ++++==++.又113S +=,所以 {}1n S +是首项为3，公比为3的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得*31,N n n S n =-∈.当1=n 时，2==11S a .当1>n 时，)13()13(11---=-=--n n n n n S S a )13(31-=-n 132-⨯=n .故1*23,N n n a n -=⨯∈.（Ⅲ）因为 数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以12(1)21nnb n n a =+-=-. 所以 12(21)3n n b n -=-?.33. 解：（Ⅰ）设221122(,),(,)M x x N x x .由OM ON ^得121x x =-.因为 1,x m =所以21x m=-. 所以OM ON ==. 所以112OMN S OM ON ∆===.所以 当1m =?时，△OMN 面积取得最小值1.（Ⅱ）设223344(,),(,)B x x C x x ，直线AB 的方程为19(3)y k x -=-，AC 的方程为29(3)y k x -=-.因为 直线AB AC 、与圆()2221x y +-=相切，1.所以 221122421240,421240k k k k -+=-+=.所以 12,k k 是方程2421240k k -+=的两根. 所以 12214k k +=. 由方程组21,9(3)y x y k x ìï=ïíï-=-ïî得211930x k x k --+=. 所以 313x k +=，同理可得：423x k +=.所以 直线BC 的斜率为2243431243364x x x x k k x x -=+=+-=--. 34.解: （Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为23,可知23=a c ,又因为222cb a +=,所以224b a =. 由定点)21,1(M 在椭圆上可得141122=+ba ,故212=b ,22=a . 所以椭圆G 的方程为2422=+y x .（Ⅱ）当直线AB 与x 轴垂直时，设(,)(1)A s t s ≠，则(,)B s t -.由题意得：1122111t t s s ---+=--，即0s =.所以 直线AB 的方程为0x =. 当直线AB 不与x 轴垂直时，可设直线AB 为y kx m =+，),(),,(2211y x B y x A ，将y kx m =+代入2422=+y x 得222(14)8420k x kmx m +++-=.所以 122814kmx x k+=-+，21224214m x x k -⋅=-+. 由直线MA 与MB 的斜率之和为1可得11211212211=--+--x y x y ①， 将11y kx m =+和22y kx m =+代入①，并整理得12121(21)()()202k x x m k x x m -+-++-=②，将122814kmx x k +=-+，21224214m x x k -⋅=-+代入②并整理得222210km m k m +++-=， 分解因式可得(221)(1)0k m m +++=，因为直线AB ：y kx m =+不经过点)21,1(M ，所以2210k m ++≠，故1m =-. 所以直线AB 的方程为1-=kx y ，经过定点)1,0(-. 综上所述，直线AB 经过定点)1,0(-.(Ⅲ) 由（Ⅱ）可得：08322>-=∆k ，412>k .14142214)(11222212212212+-⋅⋅+=-+⋅+=-+=k k k x x x x k x x k AB . 因为 坐标原点O 到直线AB 的距离为211k+，所以 △ABO 的面积1414222+-⋅=k k S （412>k ）. 令t k =-142，则0>t ，且2122222222=≤+=+=tt t t S ， 当且仅当2=t ，即23±=k 时，△ABO 的面积S 取得最大值21.35.解：（Ⅰ）因为 11(13)11393(31)3132n n nn -⨯-++++==-<-，所以 集合{1,3,9,27,,3}(*)n N n =∈N “不可均分”.（Ⅱ）设1{20151,20152,,201547}B =+++， 1{201548,201549,,201593}C =+++，考虑到[(201548)(201549)(201593)][(20151)(20152)(201547)]++++++-++++++4646(20151)100=⨯-+=.所以 将1B 中的20151+与1C 中的201551+交换，得到集合,B C ，则得到的,B C 满足条件(1) (２) (３)，故集合{20151,20152,,201593}A =+++“可均分”.（Ⅲ）一方面，假设{20151,20152,,2015}A k =+++“可均分”，则存在,B C 满足条件(1) (２) (３).所以 (1)(20151)(20152)(2015)20162k k k k -++++++=+为偶数， 所以 4k a =或41k a =+(*)a ∈N .设41k a =+，不妨设B 中的元素个数大于等于21a +，C 中的元素个数小于等于2a ， 于是B 的元素之和(20151)(20152)[2015(21)]B S a ≥+++++++，C 的元素之和[2015(22)][2015(23)][2015(41)]C S a a a ≤+++++++++.所以 (20151)(20152)[2015(21)]a +++++++[2015(22)][2015(23)][2015(41)]a a a ≤+++++++++. 得2504a ≥，即23a ≥.所以4k a =(*)a ∈N 或41k a =+(23,*)a a ≥∈N .另一方面，当4k a =(*)a ∈N 时，{20151,20152,,2015}A k =+++中的连续四个必可分成两两一组，其和相等；所以{20151,20152,,2015}A k =+++“可均分”； 当41k a =+(23,*)a a ≥∈N 时，由（Ⅱ）问可知{20151,20152,,2015}A k =+++的前93个数组成的集合“可均分”，由前面的讨论知可将剩下的4p 个元素分成和相等的两个不相交的子集，即此时{20151,20152,,2015}A k =+++“可均分”.综上，4k a =(*)a ∈N 或41k a =+(23,*)a a ≥∈N .。

数学查漏补缺题说明：查漏补缺题是在海淀的五次统练基础上的补充，绝非猜题押宝，每道题的选择都有其选题意图，有的侧重知识、有的侧重方法、有的侧重题型、有的侧重选题内容，请老师根据选题意图，有所选择、有所侧重地训练学生.最后阶段的复习，应是梳理知识、梳理解题方法的基础上查漏补缺.三角函数1、在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边长分别是a 、b 、c .满足b A c C a =+cos cos 2. （1）求C 的大小；（2）求B A sin sin +的最大值.解：（1）由正弦定理及b A c C a =+cos cos 2得， B A C C A sin cos sin cos sin 2=+. 在ABC ∆中，π=++C B A ，∴B C A -=+π，即B C A sin )sin(=+.∴B C A B C A C A A C C A sin cos sin sin cos sin )sin(cos sin cos sin 2=+=++=+∴0cos sin =C A又Θπ<<A 0，π<<C 0，∴0sin >A . ∴0cos =C .∴2π=C .（2）由（1）得2π=C ，∴2π=+B A ，即A B -=2π.ΘA A B A cos sin sin sin +=+)4sin(2π+=A ，20π<<A ，∴4344πππ<+<A . ∴当4π=A 时，B A sin sin +取得最大值2.命题意图：在已知边角关系中既有边又有角的等式，一般要进行边角统一，边化角常用正弦定理，角化边常用正弦、余弦定理；熟练掌握()sin cos a x b x x φ+=+的变形；另外对于函数B x A y ++=)sin(φω的图象和性质要掌握好;已知三角函数值求角时，一定要注意角的取值范围，注意细节. 2、已知21cos cos sin )(2-+=x x x x f . （1）求)(x f 的对称轴方程；（2）将函数)(x f 的图象按向量a 平移后得到函数)(x g 的图象，若)(x g y =的图象关于点)0,2(π对称，求a 的最小值. 解：（1）2122cos 12sin 21)(-++=x x x f)2cos 2(sin 21x x +=)42sin(22π+=x 由242πππ+=+k x 得,28Z k x k ππ=+∈. )(x f ∴的对称轴方程为,28Z k x k ππ=+∈. （2）由题意可设(,0)m =a 则)422sin(22)(π+-=m x x g 又因为)(x g 的图象关于点)0,2(π对称，则有0)24sin(22=-+m ππ， 即552,,482Z k m k m k ππππ-=∴=-∈. 5,82Z k k ππ∴=-∈a 所以当1=k 时，min .8π∴=a命题意图：对于三角公式，重中之重是倍角公式、降幂公式及辅助角公式.如果三角函数解答题要求单调性、对称性、周期等，一般暗示着“化一”的过程，即通过恒等变形把函数化为B x A y ++=)sin(φω；另外会从“数”和“形”两方面来分析这个函数的性质和几何特点,即以图引导思维；注意平移问题的处理，如函数平移，按向量平移，曲线的平移问题. 提示：要求学生记清诱导公式，“特殊角”的三角函数值.数列1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()L n=1,2,3. （Ⅰ）求证：数列{}1+n S 为等比数列； （Ⅱ）求通项公式n a ； （Ⅲ）设2n nn S a b =,求证：1...21<+++n b b b . 证明：（Ⅰ）2+3=1+n n S S Θ, )1+(3=1+∴1+n n S S . 又3=1+1S Θ,{}1+∴n S 是首项为3，公比为3的等比数列且*31,N n n S n =-∈.（Ⅱ）1=n 时，2==11S a ,1>n 时，)13()13(11---=-=--n n n n n S S a)13(31-=-n 132-⨯=n .故1*23,N n n a n -=⨯∈.（Ⅲ） ()11211232311,1(31)(31)(31)3131n n n nn n n nb n ----⨯⨯=<=->-----Q )131131()131131()131131(21...1322121---+⋅⋅⋅+---+---+<+++∴-n n n b b b 11312121<--+=n . 命题意图：数列既是高中数学的重点，也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点：n S 与n a 的关系（注意讨论）；b ka a n n +=+1；递推——猜想——数学归纳法证明；迭加)(1n f a a n n +=+；迭乘n n a n f a ⋅=+)(1；裂项求和；错位相减等；数列不等式证明中注意放缩法的运用.2、无穷数列{}n a 满足：1221+-=+n n n a a n n λ（0≥λ为常数）. （1）若,11=a 且数列{}n na 为等比数列，求λ； （2）已知,11=a 3=λ，若8050<<m a ，求m ；（3）若存在正整数N ，使得当N n >时，有n n a a <+1，求证：存在正整数M ，使得当M n >时，有.0<n a解：（１）2121n n a n na n λ+-=+Q ，1(1) 2.n nn a n na λ++∴=- 由{}n na 为等比数列，知2-n λ与n 无关，故0=λ.当0=λ时，数列{}n na 是以１为首项，以2-为公比的等比数列. （２）当3=λ时，23)1(1-=++n na a n nn .取n 为１，２，３，1,-n Λ，累乘得:)53(74111-⨯⨯⨯⨯=n a na nΛ （2≥n ）. 11,a =Q14(35)(2)1(1).n n n a nn ⨯⨯⨯-⎧≥⎪∴=⎨⎪=⎩L ， 当2≥n 时，n n n n a a n nn a a >⇒>+-=++1111)23(. 而80,56,50654>=<a a a ，5=∴m （３）当0=λ时，0121<+-=+n na a n n ，说明n n a a 与1+异号，此时不存在正整数N ，使得当N n >时，有n n a a <+1.当0>λ时，必存在正整数0N （取大于λλ2493++的正整数即可），使得当0n N >时，有1122>+-n nn λ，即存在正整数0N ，使得当0n N >时，有11>+nn a a ； 因为存在正整数N ，使得当N n >时，恒有n n a a <+1成立，取1N 为0N 与N 的较大者，则必存在正整数1M N ≥，使得当M n >时，0<n a .∴存在正整数M ，使得当M n >时，有.0<n a命题意图：数列中涉及恒成立或存在性的问题，往往和最大（小）值及单调性有关，常见做法是用1+n a 和n a 进行作差、作商、比较或构造函数来判断；通过本题的练习，希望学生能根据题目的条件和结论获取信息，抓住特点，进行代数推理论证；本题第（3）问也可用反证法说明，解题中要重视它的运用.立体几何1、在直平行六面体1AC 中，ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，AC BD O =I ，1AB AA =.（1）求证：1//C O 平面11AB D ； （2）求证：平面11AB D ⊥平面11ACC A ； （3）求直线AC 与平面11AB D 所成角的大小. 证明：（1）连接11A C 交11B D 于1O ，连结1AO . 在平行四边形11AAC C 中，11//C O AO ，11C O AO =，∴四边形11AOC O 为平行四边形. ∴11//C O AO .Q 1C O ⊄平面11AB D ，1AO ⊂平面11AB D ， ∴1//C O 平面11AB D .（2）在直平行六面体1AC 中，1A A ⊥平面1111A B C D ，∴111A A B D ⊥.Q 四边形1111A B C D 为菱形， ∴1111B D A C ⊥.Q 1111A C AA A =I ，11A C ⊂平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ， ∴11B D ⊥平面11ACC A .Q 11B D ⊂平面11AB D ， ∴平面11AB D ⊥平面11ACC A .（3）过C 作1CH AO ⊥交1AO 于H .Q 平面11AB D ⊥平面11ACC A ，平面11AB D I 平面11ACC A 1AO =， ∴CH ⊥平面11AB D .∴AH 为AC 在平面11AB D 上的射影.∴CAH ∠是AC 与平面11AB D 所成的角.OD 1C 1B 1A 1DCBA O 1OD 1C 1B 1A 1DCBA H O 1OD 1C 1B 1A 1DCBA设2AB =，在菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，∴AC =在Rt 11AA O ∆中，1AO =Q 11AO CH AC OO ⋅=⋅，∴7CH =.∴sin CH CAH AC ==.∴arcsin7CAH ∠=. （3）解法二：连11A C 交11B D 于1O ，分别以OB ,OC ,1OO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.设2AB =，在菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，∴AC =2BD =.则A （0，，0），C （00），1B （1，0，2），1O （0，0，2）.∴1AO =u u u u r （0，2），1AB =u u u r （12）.设平面11AB D 的法向量=n （x ，y ，z ），则1100.AO AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r ，n n∴2020.z x z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，∴0x =.令y =32z =-. =n （0，32-）. 设AC 与平面11AB D 所成的角为α.A A∴27sin 721234ACACα⋅===⋅u u u r u u u r n n . ∴27arcsinα=. 命题意图：熟悉立体几何中常见问题及处理方法，要求学生敏锐把握所给图形特征，制定合理的解决问题策略.立体几何主要是两种位置关系（平行、垂直），两个度量性质（夹角、距离）.解决问题的方法也有两种：几何方法和向量方法.两种方法各有优缺点，前者难在“找”和“作”的技巧性，后者难在建系和计算上，究竟用哪种方法，到时根据自己的情况决断.2、如图，二面角P CB A --为直二面角，∠PCB =90°, ∠ACB =90°，PM ∥BC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°，又AC =1,BC =2，PM =1. (Ⅰ)求证：AC ⊥BM ;(Ⅱ)求二面角M -AB -C 的正切值； （Ⅲ）求点P 到平面ABM 的距离.解：（Ⅰ）∵平面PCBM ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ,平面ABC I 平面=PCBM BC ．∴AC ⊥平面PCBM . 又∵BM ⊂平面PCBM , ∴AC BM ⊥.（Ⅱ）取BC 的中点N ，则1CN =．连接AN 、MN ．∵平面PCBM ⊥平面ABC ，平面PCBM I 平面ABC BC =，PC BC ⊥． ∴PC ⊥平面ABC ．∵//PM CN =，∴//MN PC =，从而MN ⊥平面ABC ．作NH AB ⊥于H ，连结MH ，则由三垂线定理知AB MH ⊥．从而MHN ∠为二面角M AB C --的平面角． ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°， ∴60AMN ∠=︒ ．在ACN ∆中，由勾股定理得2AN =．在Rt AMN ∆中，36cot 233MN AN AMN =⋅∠=⋅=． 在Rt BNH ∆中，5sin 15AC NH BN ABC BN AB =⋅∠=⋅=⨯=． BCNAH在Rt MNH ∆中，tan 5MN MHN NH ∠===故二面角M AB C --的大小为arc （Ⅱ）如图以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．设0(0,0,)P z 0(0)z >，由题意可知(0,2,0)B ，(1,0,0)A ，0(0,1,)M z ．0(1,1,)AM z =-u u u u r ，0(0,0,)CP z =u u u r由直线AM 与直线PC 所成的角为60°，得cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅︒u u u u r u u u r u u u u r u u u r即200z z =，解得0z =．∴(1,1,3AM =-u u u u r ，(1,2,0)AB =-u u u r 设平面MAB 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则由110,0,30.20.AM x y z AB x y ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩u u u u r u u u r n n，取z =1=n . 取平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n则12cos ,<>nn 121213⋅===⋅n n n n 由图知二面角M AB C --为锐二面角，故二面角M AB C --的大小为． （Ⅲ）因为PM //,BN PM BN =，所以PMBN 是平行四边形，所以//PN BM ，因为PN ⊄平面AMB ，所以//PN 平面MAB .所以P 点到平面ABM 的距离等于N 点到平面ABM 的距离,111V 11332M ABN ABN MN S -∆=⋅=⋅⋅=ABM S ∆=，由等积可知，1V 1836M ABN h -==⋅⋅，解得h = P 点到平面ABM的距离为13.方法二、(1,0,3PA =-u u u r ，所以P 点到平面ABM的距离11||||PA d ⋅==u u u rn n 命题意图：用综合法解答立体几何问题，要注意步骤的规范性，如求二面角的大小，点到面的距离，要先证明，再计算.用向量方法解答，要注意两向量的夹角与所求角的关系，即相等、互补、互余等，还要注意所求角的范围，如斜线和平面所成角一定是锐角；要注意“体积法”在处理较难的角与距离问题中的灵活运用.注意：立体几何重在通性、通法的熟练，逻辑的严谨，计算准确上.概率1、理：某自助银行共有4台A TM 机，在某一时刻A 、B 、C 、D 四台ATM 机被占用的概率分别为31、21、21、25，设某一时刻这家自助银行被占用的ATM 机的台数为ξ （Ⅰ）如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，求该客户需要等待的概率； （Ⅱ）求至多有三台A TM 机被占用的概率； （Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望.解：（Ⅰ）设“如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，则该客户需要等待” 为事件M 111()326P M =⨯= 答：如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，该客户需要等待的概率为61. （Ⅱ）设“至多有三台ATM 机被占用” 为事件N111229()1322530P N =-⨯⨯⨯=答：至多有三台A TM 机被占用的概率为3029. （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4.10153212132)0(=⨯⨯⨯==ξP , 111321132113211219(1)322532253225322560P ξ==创?创?创?创?, 1113111311122113(2)322532253225322521122112113225322530P ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，601152212132522121315221213153212131)3(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==ξP ,12111)4(=⨯⨯⨯==ξP ,152630146011330112601911010)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 命题意图：概率主要考查两个公式（加法、乘法公式）、两个模型（古典概型、贝努里概型）（可以提醒学生“摸球”问题中的放回与不放回的区别）.但要注意答题的规范性，不要只列一个算术式子来解答；注意两个公式适用的条件，互斥和独立；注意两个模型的辨别；对于“至多”，“至少”问题，常用对立事件计算.2、文：某自助银行共有4台A TM 机，在某一时刻A 、B 、C 、D 四台ATM 机被占用的概率分别为31、21、21、25. （Ⅰ）如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，求该客户需要等待的概率； （Ⅱ）求至多有三台A TM 机被占用的概率； （Ⅲ）求恰有两台ATM 机被占用的概率.解：（Ⅰ）设“如果某客户只能使用A 或B 型号的A TM 机，则该客户需要等待” 为事件M . 111()326P M =⨯=. 答：如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，该客户需要等待的概率为61. （Ⅱ）设“至多有三台ATM 机被占用” 为事件N .111229()1322530P N =-⨯⨯⨯=. 答：至多有三台A TM 机被占用的概率为3029. （Ⅲ）设“恰有两台A TM 机被占用” 为事件S .1113111311122113()322532253225322521122112113225322530P S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=答：恰有两台ATM 机被占用的概率为3011.命题意图：概率主要考查两个公式（加法、乘法公式）、两个模型（古典概型、贝努里概型）. 但要注意答题的规范性，不要只列一个算术式子来解答；注意两个公式适用的条件，互斥和独立；注意两个模型的辨别；对于“至多”，“至少”问题，常用对立事件计算.3、小明一家三口都会下棋.在假期里的每一天，父母都交替与小明下三盘棋，已知小明胜父亲的概率是12，胜母亲的概率是23. (1) 如果小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率；(2) 父母与小明约定，只要他在三盘中能至少连胜．．两盘，就给他奖品，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下，还是先与母亲下？请用计算说明理由.解：(1) 记“小明在第i 盘胜父亲”为事件A i ()1,2,3i =，“小明在第i 盘胜母亲”为事件B i ()1,2,3i =， 则()12i P A =，()23i P B =. 所以小明恰胜一盘的概率为()123123123P A B A A B A A B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅11112111112322322323=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 答：小明恰胜一盘的概率为13.(2) 若与父亲先下，则小明获胜的概率为()12123P A B A B A ⋅+⋅⋅ 121211232322=⨯+⨯⨯=； 若与母亲先下，则小明获胜的概率为()12123P B A B A B ⋅+⋅⋅ 211124323239=⨯+⨯⨯=. ∵1429>, ∴小明应先与父亲下.命题意图：用数据说理和决策的意识.通过合理的分类、恰当的分步把复杂事件用相对简单（或已知概率）事件表示的能力，尤其是对（2）中()12123P A B A B A ⋅+⋅⋅121211232322=⨯+⨯⨯=划线部分的理解；还要注意概率和不等式等其它数学知识的交汇.解析几何1、已知动点P 到直线334-=x 的距离是到定点（0,3-）的距离的332倍.（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）如果直线:(1)l y k x =+)0(≠k 与P 点的轨迹有两个交点A 、B ，求弦AB 的垂直平分线在y 轴上的截距0y 的取值范围.解：（Ⅰ）设动点),(y x P ，由题意知22)3(332334y x x ++=+.1422=+∴y x .即动点P 的轨迹方程是1422=+y x . （Ⅱ）联立方程组22(1),1.4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：0448)41(2222=-+++k x k x k .从而 2212221224816081444.14k k x x k k x x k ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，， 弦AB 的中点坐标为：)41,414(222kk k k ++- 弦AB 的线段垂直平分线方程为)414(141222k k x k k k y ++-=+-.所以垂直平分线在y 轴上的截距为：20413k ky +-=，()0k ≠.故弦AB 的线段垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围为]43,0()0,43[⋃-. 命题意图：对解析几何两大基本问题：①求轨迹；②通过方程研究曲线性质进行再梳理.轨迹方程的求法一般分为直接法和间接法.直接法的步骤：建系设点，找等量关系，列方程，化简，检验；间接法的关键是找参数.如果明确说直线与圆锥曲线有两个不同的交点，一般是考查判别式与根系关系的应用.取值范围一般是函数的值域或不等式（组）的解集.2、已知点,A B 分别是直线y x =和y x =-的动点（,A B 在y 轴的同侧），且OAB ∆的面积为98，点P 满足2AP PB =u u u r u u u r . （1）试求点P 的轨迹C 的方程；（2）已知F)，过O 作直线l 交轨迹C 于两点,M N ，若23MFN π∠=，试求MFN ∆的面积.（3）理：已知F )，矩形MFNE 的两个顶点,M N 均在曲线C 上，试求矩形MFNE面积的最小值.解：（1）设()11,A x x ，()22,B x x -，(),P x y ，则由2AP PB =u u u r u u u r 可得12122,(1)32(2)3x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因为OAB ∆的面积为98，所以12129182OA OB x x ===12x x =.22(1)(2)-得：2212819x xx y -==.所以，点P 的轨迹C 的方程为221x y -=. （2）显然)F为C的右焦点，设其左焦点为()'F .连接','F M F N ，由双曲线的对称性可知四边形'F MFN 为平行四边形，故3'ππ=∠-=∠MFN MF F .设1'MF r =，2MF r =.则由双曲线定义得： 122r r -=，即22121224r r r r +-=. 在'MF F ∆中，由余弦定理得： 3cos 2212221πr r r r -+=82'=FF.两式作差得：421=r r .所以，MFN ∆的面积33sin 2121'===∆πr r S S MFF . （3）（理）当直线MN x ⊥轴时，:FN y x =-MN的方程为x =，此时，矩形MFNE 面积为14.设直线:MN y kx m =+，代入221x y -=，消去y 得：()()2221210k x mkx m ---+=.设()()1122,,,M x y N x y ，则()()12221222222,11,1410,10mk x x k m x x kk m k ⎧+=⎪-⎪-+⎪⎪=⎨-⎪⎪∆=-+>⎪-≠⎪⎩ 由0FM FN ⋅=u u u u r u u u r得：2310k -+=.矩形MFNE 面积)()()22121221221321241k S FM FN e x e x x x x x k k -==-=-++=-+-.若21k <，显然2S ≥，若21k >，则令2312t k =->，故()222912241242419t S t t t t =-+=-+>⎛⎫---- ⎪⎝⎭.综上所述，可知当直线MN x ⊥轴时，矩形MFNE 面积最小为14. 命题意图：本题抓住解析几何重点研究问题设问，熟悉巩固通性通法，典型几何条件如长、角等的代数转换方法，让学生理解解析几何的基本思想与策略.解析几何要把握好条件的等价翻译，理顺各量间的关系，计算准确，进而得出正确结论.取值范围、最值、存在性、定值等问题是高中数学的重点题型，要重视.最值问题一般要建立函数关系（求哪个量的最值，这个量一般是因变量，关键是找到主动变化的量，即自变量），并且指出函数的定义域（定义域往往和判别式有关）.解析几何考最值要注意均值定理、导数和二次函数的运用.函数、导数1、设1()1(R)f x ax a x =+∈-，曲线y = f (x )在点（2，f (2)）处的切线方程为y = x +3. （1）求f (x )的解析式；（2）若x ∈[2,3]时，f (x )≥bx 恒成立，求实数b 的取值范围. 解：（1）由条件得f (2)=5，则（2，5）在)(x f 上，有512=+a 即.2=a112)(-+=∴x x x f （2）x ∈[2,3]时，f (x )≥bx 恒成立等价于)1(12)(-+=≤x x x x f b 恒成立， 令)1(12)(-+=x x x h x ∈[2,3]，所以]25,613[)(∈x h613≤∴b命题意图：切线方程要注意“在点”和“过点”的区别；恒成立问题，存在性问题一般和最值、值域、单调性密切相关，当不等式两端都为变量时，一般要先分离变量. 2、（理）已知函数())f x x a =+（0>x ，∈a R ）(1) 求函数)(x f 的单调区间；(2) 求函数)(x f 在[]1,8上的最大值和最小值．解：(1) ()4133f x x ax =+，故()12334133f x x ax -'=+=若0a ≥，则()0f x '>，因此()f x 在()0,+∞上是增函数．若0a <，则由()0f x '>得4a x >-，因此()f x 的单调递增区间是,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是0,4a ⎛⎫-⎪⎝⎭． (2) 若4a ≥-，则()0f x '>（[]1,8x ∈），因此()f x 在[]1,8上是增函数．那么()f x 在[]1,8x ∈上的最小值是()11f a =+，最大值是()8216f a =+； 若32a ≤-，则()0f x '<（[]1,8x ∈），因此()f x 在[]1,8上是减函数．那么()f x 在[]1,8x ∈上的最小值是()8216f a =+，最大值是()11f a =+．所以()f x 在[]1,8x ∈上的最小值是344a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当()()118216f a f a =+≥=+，即3215a -<≤-时，最大值是1a +；当154a -<<-时，最大值是216a +．命题意图：导数的应用，重点是单调性、极值、最值问题（或方程、不等式等可转化为最值的问题），要注意通性通法的落实.如果有参数，常常需要分类讨论：提取常数系数时，要注意系数是否可能为零；导数为零的x 的值有多个时，要注意它们的大小关系是否是确定的等.2、（文）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R Q ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-()0t >．（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立， 即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．命题意图：使文科学生熟悉导数的基本应用，巩固处理此类问题的通性通法.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用．不等式1、已知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且2()24f x x x =- （I ）求函数()y g x =的解析式；（II ）解不等式()()|1|2f xg x x +≤-；解：（I ）设函数()y g x =图象上任意一点(,)P x y ，由已知点P 关于y 轴对称点'(,)P x y -一定在函数()y f x =图象上，代入得224y x x =+，所以()g x =224x x +（II ）()()|1|2f xg x x +≤-22|1|x x ⇔≤-22110x x x ⎧≤-⇔⎨-≥⎩或22110x xx ⎧≤-⎨-<⎩1x x ∈∅⎧⇔⎨≥⎩或1121x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪<⎩ 112x ⇔-≤≤命题意图：引导学生复习对称性（轴对称、中心对称）问题的处理方法.解不等式的方法可以概括为“化归”的过程，即转化为有理不等式.含有绝对值的不等式，就是要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，根据不同情况进行分类讨论，但要分清楚各个步骤是求交集还是并集.2、已知不等式112>+x 的解集为A ，不等式02)2(2<++-a x a x 的解集为B . （1）求集合A 及B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.解：（1）由112>+x ，得0112>+--x x 即011<+-x x . 解得11<<-x .∴{}11<<-=x x A .由02)2(2<++-a x a x ，得0))(2(<--a x x . ①若2>a ，则=B （2，a ）； ②若2=a ，则=B ∅； ③若2<a ，则=B （a ，2）. （2）要使B A ⊆，则2<a . 并且1-≤a .所以，当1-≤a 时，B A ⊆.命题意图：复习简单不等式的解法，注意分式不等式的等价转化，弄清集合间的关系，注意分类讨论的思想方法.。

2020 年海淀区高三数学查漏补缺题1. 数学思想方法的落实高三复习的最后目标是要让学生能够用数学的思想理解问题和解决问题. 假如在学生近一年的大批练习的基础上，教师帮助学生从数学思想的角度进行梳理，对每一个单元知识的思想特点与方法进行归纳，将会使学生对数学的认识提升一个层次.例 1：设函数 f ( x) ( x2 ax a)e x有极值.（Ⅰ）若极小值是0 ，试确立 a ；（Ⅱ）证明：当极大值为 3 时，只限于 a 3的状况.解：（Ⅰ） f '( x) (2 x a)e x ( x2 ax a)e x x( x a 2)e x ,由 f ( x) 0 得x 0或 x 2 a .①当 a 2 时， f '( x) x2e x 0 ，f (x)单一递减，函数 f ( x) 无极值，与题意不符，故 a 2 ；②当 a 2时， x 2 a 为极小值点.故 f ( x) 极小值 f (2 a) (4 a)e a 2 ，当极小值为0 时，a 4 ；③当 a 2 时，同理可得 f ( x)极小值 f (0) a ，当极小值为0 时， a 0 .由①②③知： a 0 或a 4 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当 a 2 时， f ( x)在 x 0处取极大值 f (0) a ，当a 3时，f ( x) 的极大值为 3 ；当 a 2 时， f (x)在 x 2 a 处取极大值 f (2 a) (4 a)e a 2 .3 时能否a 3？此刻的问题是当(4 a)e a23，得 (4 a )e a 2 3 0 ，即 e a 2 (4 a 3e2 a ) 0 （ * ）解方程 (4 a)e a2设 g ( a) 4 a 3e2 a ( a 2) 则 g (a) 1 3e2 a 0 ，所以， g( a) 在 ( ,2) 上单一递加，则有 g( a) g(2) 1，此时方程（*）无解，故当a 2 时， f ( x) 的极大值不行能为 3 .依据（Ⅰ）和（Ⅱ）知：函数 f ( x) 的极大值为 3 时，只限于 a = 3 .说明：本题主要考察学生研究函数方法的运用，即给函数分析式以后，可否经过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋向，经过研究导函数的符号进一步认识函数的正确的变化状态 .例 2. 已知函数f ( x) 1 a x3 x2 2 x 1.(a 0)3（Ⅰ）求函数 f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f (x) 在 ( 2, 1) 上单一减，且在 (0,1) 上单一增，务实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当 a 1 时，若x0 (t,0] ，函数 f (x)的切线中总存在一条切线与函数 f ( x) 在x0处的切线垂直，求的最小值 .解：（ I ）由已知f (0) 1，f '(x) ax2 2x 2，所以 f '(0) 2 ，所以函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为y 2x 1（ II ）解 1: ①当a 0 时， f '( x) 2x 2 ，知足在 ( 2, 1) 上 f '( x) 0 ，且在 (0,1) 上f '( x) 0 ，所以当a 0 时知足题意；②当 a 0 时， f '(x) ax2 2x 2 是恒过点(0, 2)，张口向下且对称轴 x 1 0 的抛物线，a由二次函数图象剖析可得在( 2, 1) 上 f '(x) 0 ，且在 (0,1) 上 f '(x) 0 的充要条件是f '(1)0解得 4 a 0 ，即 4 a0.f '( 1)0综上议论可得 4 a0.解 2：由已知可得在( 2, 1) 上 f '( x) 0，且在 (0,1) 上 f '( x)0 ，即a 2( x 1)2(1 1) 在( 2, 1) 上成立且 a2(x 1) 1 1 x2x2x x2 2( 2 ) 在(0,1)成x x立；因为在 ( 2, 1) 上2( 12 1 ) 0 ，在(0,1) 上2(12 1 ) 4,4 a 0. x x x x所以（ III ）当 a 1 时， f '( x) x2 2x 2 3 (x 1)2 3,由题意可得x0 (t ,0] ，总存在 x R使得 f '(x0 ) f '(x) 1成立，即f '( x0 ) 1 成立，因为f 1 ( ,1] U (0, ) ，当x0 (t,0] 时，f '( x) '( x) 3f '(x0 ) (3 (t 1)2 , 2] ，所以3 (t 1)2 0，解得 1 3 t 1 3. 所以的最小值为 1 3.例 3. 如图，矩形 ABCD 内接于由函数 yyx, y 1x, y 0 图象围成的关闭图形，其中顶点 C ，D 在 y 0 上，求矩形 ABCD 面积的最大值 .ABO DCx解：由图，设 A 点坐标为 ( x, x ) , x (0,3 2 5) ,则B (1 x, x) ， 由 图 可 得 1 x x ， 记 矩 形 ABCD 的面积为 S ，易得：S ABAD (1x x) x ( x) 3( x ) 2x令 tx, t (0, 5 1 )，得 S t 32tt2所以 S'3t22t1 (3t1)(t 1)，令 S0 ，得 t1或 t1 ，3因为 t(0, 51) ，所以 t1 .23S , S 随 t 的变化状况以下表：t(0, 11(1, 5 1))3332 S +-SZ极大值5]27由上表可知，当 t1，即 x1时， S 获得最大值为5，所以矩形 ABCD 面积的最大值3 927为 5.27说明：本题主假如帮助学生经历依据问题的条件和要求成立函数的分析式及确立定义域再研究函数的变化状态的思想过程.例 4.已知 f ( x)x ln x ax ， ( ) x 22 ，g x（Ⅰ）对全部 x (0, ), f (x)g(x) 恒成立，务实数a 的取值范围；（Ⅱ）当 a1时，求函数 f ( x)在[ m, m 3] ( m 0 ) 上的最小值 .解：（Ⅰ）对全部 x (0,), f (x)g( x) 恒成立，即 x ln x ax x 2 2恒成立 .也就是 a ln xx2在 x (0,)恒成立.x令 F ( x) ln x x2 ，则 F ( x)1 12 x 2 x 2 (x 2)( x 1)，x xx2x2x2在 (0，1) 上 F (x) 0 ，在 (1， ) 上 F ( x) 0 ，所以， F (x) 在 x 1 处取极小值，也是最 小值，即 F (x)(x)F (1) 3，所以 a 3 .min min（Ⅱ）当 a 1时， f (x) x ln xx ，f (x)ln x 2 ，由 f( x)0 得 x12.11 e 1①当 0 m 时，在 x [ m,( x) 0 ，在 x3] 上 f ( x) 0 2 2 )上 f ( 2 , m e e e所以， f ( x) 在 x 1f ( x) min f ( 1 1 e 2 处获得极小值，也是最小值， 2 ) 2 ,e e ②当 m1 时 ， f ' ( x) 0 ，所以 f ( x)在[ m,m 3] 上单一递加，e 2所以 f f min (x)(min x) f (m) m(ln m 1) .例 5. 已知数列a n 知足 a 1 a ， a nan 12 ．定义数列 b n ，使得 b n1 ， n N * ．若a n4 a 6 ，则数列 b n 的最大项为（ B ）A ． b 2B ． b 3C ． b 4D ． b 5例 6.假定实数a 1 ,a 2 , a 3 , a 4 是一个等差数列﹐且知足0 a 1 2 及 a 34 ﹒若定义函数f n (x) a n x ，此中 n 1,2,3,4 ﹐则以下命题中错误 的是（ B）．．A. f 2 (a 2 ) 4B.f 1(a 2 ) 1 C. 函数 f 2 ( x) 为递加函数D.x (0,) ，不等式 f 1( x) f 2 (x)f 3 ( x) f 4 (x) 恒成立 .说明：数列是函数，用函数的看法对待数列；用研究函数的方法解决数列问题是在数列复习中的重要方面 .2. 理解数学看法的实质的落实学生在考试中出现的问题好多时候都是出在看法上. 落实基本看法，不可以简单图解为就是做基础题，教师要能够针对学生的实质提出有效的较为深刻的问题检查学生的掌握状况，帮助学生理解数学看法的实质 .例 7. 函数( ) 3sin 2x π的图象为C，以下结论中不正确的是（ D ）．．．f x 3（写出全部正确结论的编号）A. 图象 C 对于直线x 11 π对称12B. 图象 C 对于点 2 ，0 对称3C. 函数 f (x) 在区间5内是增函数12，12D. 由y 3sin 2x 的图象向右平移 3 个单位长度能够获得图象C例 8．定义在R上的偶函数 f ( x)，对随意的x R 均有 f ( x 4) f ( x) 成立，当 x [ 0, 2]时， f (x) x 3 ，则直线 y 9f (x) 的图像交点中最近两点的距离等与函数 y．答案： 1. 2于例 9．已知实数a, b,c, d成等比数列，且对函数y ln( x 2) x ，当x b时取到极大值c，则 ad 等于（A）A． 1 B． 0 C． 1 D． 2例 10．已知：数列a n 知足 a1 16 ，a n 1a n 2n ，则an的最小值为（ B ）nA. 8B. 7C. 6 D . 5例 11．两条分别平行于x 轴和y轴的直线与椭圆C： x2 y 2 1交于A、B、C、D四点，25 9则四边形 ABCD 面积的最大值为答案： 30.3.解决数学识题的一般思路的落实怎样剖析函数的问题？假如是数列乞降问题，应当先想什么？拿到一个分析几何的题目，怎样剖析？立体几何的问题要思虑什么？等等，近似这样的问题，要让学生多想一想，经过不一样的问题，让学生多思虑，过去讲过的、做过的好多的经典的题目换个视角让学生再思考！我们要教给学生思虑的方法而不是题型套路. 查漏补缺关注遗漏的知识点只是是一个方面，更重要的是学生的数学的思想方法能否是还有衰败实的地方.例 12．已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB是圆x2 y2 2x 2y 1 0 的两条切线， A, B 是切点，C是圆心，那么当四边形PACB面积取最小值时，弦AB .分析：过圆心 C （ 1， 1）作直线 3x 4 y 8 0 的垂线，垂足为 P, 这时四边形PACB面积的最小值为 2 2 ，四边形 PACB 中AB CP, CP3, AB4 2 .3例 13．已知点 M 1, a 和 Na,1 在直线 l : 2 x 3 y 1 0 的双侧，则 a 的取值范围是.分析： Q M , N 两点位于直线的双侧，2 3a 1 2a3 1 0,故1a 1例 14. 已知点 A( 1,0) 、 B(1,0) ， P( x 0 , y 0 ) 是直线 y x 2 上随意一点，以 A 、 B 为焦点的椭圆过点 P . 记 椭 圆 离 心 率 e 关 于 x 0 的 函 数 为 e(x 0 ) ， 那 么 下 列 结 论 正 确 的 是( B )A. e 与 x 0 一一对应B. 函数 e( x 0 ) 无最小值，有最大值C. 函数 e( x 0 ) 是增函数D. 函数 e( x 0 ) 有最小值，无最大值 分析：依照椭圆定义 |PA||PB|2a ，c1e3aa2.5当点 P 在 A' B （ A', A 对于直线对称）上时，2a 获得最小值，1.5此时，右图剖析可适当点 P 向左或向右挪动时，a 都在A' P1增大。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是 （A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-)（D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则（A ）11ab< （B ）sin sin a b > （C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为（A ）5- （B ）5 （C ）10- （D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C ）2-（D ）2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）A 1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5}（C ）{1,3}（D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a bR ，且a b ，则（A ）11ab（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为（A ）5 （B ）5 （C ）10 （D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍杨浦区初三数学基础测试卷 20081A 1B 1C 1D ABCD1111ABCD A B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P . 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

65左视图56北京市海淀区2022年高三查漏补缺题-数学（理）北京市海淀区2020届高三查漏补缺数学（理）试题1.函数cos(4)3y xπ=+图象的两条相邻对称轴间的距离为A. π8B. π4C.π2D.2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A．e xy=B．sin2y x=C．3y x=-D．12logy x=3.若向量,a b满足||||2==a b，且6⋅+⋅=a b b b，则向量,a b的夹角为A．30°B．45°C．60°D．90°4.已知函数()sinf x x x=，则π()11f，(1)f-，π3f-（）的大小关系为A．ππ()(1)()311f f f->->B．ππ(1)()()311f f f->->C．ππ()(1)()113f f f>->-D．ππ()()(1)311f f f->>-5.某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_____,体积为_____________.6.设、是不同的直线，α、β、是不同的平面，有以下四个命题：①若//,//,αβαγ则//βγ②若αβ⊥，//mα，则mβ⊥③若,//m mαβ⊥，则αβ⊥④若//,m n nα⊂，则//mα其中所有真命题的序号是_____7.设不等式组20240x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D，若直线2x y b+=上存在区域D上的点，则的取值范畴是_____.8.已知不等式组02,20,3240x x y x y ≤≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为W ，则W 的面积是_____；设点(,)P x y W ∈，当22x y +最小时，点P 坐标为_____．9.523)x的展开式中的常数项为10. 运算e11(2)d x x x +=⎰ . 11.若直线的参数方程为112x t y t =+⎧⎨=-⎩，，其中为参数，则直线的斜率为_______.12.如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ,PO 交圆O 于,B C 两点，1PA PB ==，则____,____.AB ACB =∠=13.如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '， CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ， 设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ③四边形MENF 面积()S g x =，[0,1]x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中正确命题的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414.直线y ax b =+与抛物线2114y x =+相切于点P . 若P 的横坐标为整数，那么22a b +的最小值为 .15.已知数列{}n a 的前项和221, 4,(1), 5.n n n S n a n n ⎧-≤⎪=⎨-+-≥⎪⎩ 若5a 是{}n a 中的最大值，则实数a 的取值范畴是_____.解答题部分：1.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-（I ）求()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22Af =且2a bc =，试判定ABC ∆ 的形状.AB P CO2. 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作轴的垂线与射线3(0)y x x =≥交于点Q ，与轴交于点M ．记MOP α∠=，且ππ(,)22α∈-． （Ⅰ）若1sin 3α=，求cos POQ ∠； （Ⅱ）求OPQ ∆面积的最大值.3. 已知函数π()cos2sin()12f x x a x =+-+,且π()124f =+ （Ⅰ）求的值.（Ⅱ）求函数()f x 在区间 [0,π]上的最大和最小值.4.数列{}n a 的各项差不多上正数，前项和为n S ,且对任意n N +∈，都有33332123n na a a a S ++++=. （Ⅰ）求证：22n n n a S a =-；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.5. 已知正三角形ACE 与平行四边形ABCD 所在的平面互相垂直.又90ACD ∠=，且2,2CD AC ==，点,O F 分别为,AC AD 的中点.(I) 求证：CF DE ⊥ (Ⅱ) 求二面角O DE C --值.MFO E C BA6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差.7. 已知函数21()6ln(2)2f x ax x=-++在2x =处有极值.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y kx =与函数'()f x 有交点，求实数的取值范畴.8. 已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1a ≥-. （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若存在10x >，20x <，使得12()()f x f x <，求的取值范畴.9. 设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -． （Ⅰ）求证：01ba<≤； （Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范畴．10. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且通过点3(1,)2A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,M N 为椭圆C 上的两个动点，线段MN 的垂直平分线交轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范畴.11.如图，已知(3,0)(0)M m m ->，,N P 两点分别在轴和轴上运动，同时满足0MN NQ ⋅=，12NP PQ=. （Ⅰ）求动点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若正方形ABCD 的三个顶点,A B C ,在点Q 的轨迹上， 求正方形ABCD 面积的最小值.12. 动圆过点(0,2)F 且在轴上截得的线段长为，记动圆圆心轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）已知,P Q 是曲线C 上的两点，且2PQ =，过,P Q 两点分别作曲线C 的切线，设两条切线交于点M ，求△PQM 面积的最大值．13.已知椭圆22:143x y C +=的左右两个顶点分别为A B ，，点M 是直线:4l x =上任意一点，直线MA ，MB 分别与椭圆交于不同于A B ，两点的点P ，点Q . （Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点F 的坐标； （Ⅱ）（i ）证明,,P F Q 三点共线；（Ⅱ）求PQB ∆面积的最大值。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020年海淀区高三数学查漏补缺题1.数学思维方法的落实高三复习的最终目标是要让学生能够用数学的思维理解问题和解决问题.如果在学生近一年的大量练习的基础上，教师帮助学生从数学思维的角度进行梳理，对每一个单元知识的思维特征与方法进行概括，将会使学生对数学的认识提高一个层次. 例1：设函数2()()e x f x x ax a -=++有极值.（Ⅰ）若极小值是0，试确定a ；（Ⅱ）证明：当极大值为3时，只限于3=a 的情况.解：（Ⅰ）2'()(2)e ()e (2)e x x x f x x a x ax a x x a ---=+-++=-+-, 由0)(='x f 得0=x 或a x -=2.① 当2=a 时，2'()e 0x f x x -=-≤，)(x f 单调递减，函数()f x 无极值，与题意不符，故2≠a ；② 当2>a 时，a x -=2为极小值点.故2()(2)(4)e a f x f a a -=-=-极小值，当极小值为0时，4=a；③ 当2<a 时，同理可得a f x f ==)0()(极小值，当极小值为0时，0=a .由①②③知：0=a 或4=a .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当2>a 时，)(x f 在0=x 处取极大值a f =)0(，当3=a 时，)(x f 的极大值为3；当2<a 时，)(x f 在a x -=2处取极大值2(2)(4)e a f a a --=-. 现在的问题是当2(4)e 3a a --=时是否3=a ？解方程2(4)e 3a a --=，得2(4)e 30a a ---=，即22e (43e )0a a a ----=（*） 设2()43e (2)a g a a a -=--<则2()13e 0a g a -'=-+>，所以，)(a g 在)2,(-∞上单调递增，则有1)2()(-=<g a g ，此时方程（*）无解，故当2<a 时，)(x f 的极大值不可能为3.根据（Ⅰ）和（Ⅱ）知：函数)(x f 的极大值为3时，只限于3a =.说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用，即给函数解析式之后，能否通过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋势，通过研究导函数的符号进一步了解函数的准确的变化状态.例2.已知函数321()213f x ax x x =+++.(0)a ≤ （Ⅰ）求函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(2,1)--上单调减，且在(0,1)上单调增，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1a =-时，若0(,0]x t ∀∈，函数()f x 的切线中总存在一条切线与函数()f x 在0x 处的切线垂直，求的最小值.解：（I ）由已知(0)1f =，2'()22f x ax x =++，所以'(0)2f =， 所以函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+（II ）解1:①当0a =时，'()22f x x =+，满足在(2,1)--上'()0f x <，且在(0,1)上'()0f x >，所以当0a =时满足题意；②当0a <时，2'()22f x ax x =++是恒过点(0,2)，开口向下且对称轴10x a=->的抛物线，由二次函数图象分析可得在(2,1)--上'()0f x <，且在(0,1)上'()0f x >的充要条件是'(1)0'(1)0f f ≥⎧⎨-≤⎩解得40a -≤≤，即40.a -≤< 综上讨论可得40.a -≤≤解2：由已知可得在(2,1)--上'()0f x <，且在(0,1)上'()0f x >， 即222(1)112()x a x x x +<-=-+在(2,1)--上成立且222(1)112()x a x x x+>-=-+在(0,1)成立；因为在(2,1)--上2112()0x x -+>，在(0,1)上2112()4,x x-+<- 所以40.a -≤≤（III ）当1a =-时，22'()223(1)3,f x x x x =-++=--≤ 由题意可得0(,0]x t ∀∈，总存在x R ∈使得0'()'()1f x f x =-成立，即01'()'()f x f x -=成立，因为11(,](0,)'()3f x -∈-∞-+∞U ，当0(,0]x t ∈时，20'()(3(1),2]f x t ∈--，所以23(1)0t --≥，解得11t +≥≥-所以的最小值为1-例3. 如图，矩形ABCD内接于由函数1,0y y x y==-=图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在0y=上，求矩形ABCD面积的最大值.解：由图，设A点坐标为(x,x∈,则(1B，由图可得1x，记矩形ABCD的面积为S，易得：32(1S AB AD x=⋅==--令t t=∈，得32S t t t=--+所以'2321(31)(1)S t t t t=--+=--+，令0S'=，得113t t==-或，因为t∈，所以13t=.,S S'随t的变化情况如下表：由上表可知，当13t=，即19x=时，S取得最大值为527，所以矩形ABCD面积的最大值为527.说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.例4. 已知axxxxf-=ln)(，2)(2--=xxg，（Ⅰ）对一切)()(),,0(xgxfx≥+∞∈恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，1-=a 求函数]3,[)(+m m x f 在(0m >)上的最小值.解：（Ⅰ）对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立. 也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立. 令x x x x F 2ln )(++= ，则F '2222)1)(2(2211)(xx x x x x x x x -+=-+=-+=， 在)10(，上F '0)(<x ，在上，)1(∞+上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即min )(x F 3)1()(min==F x F ，所以3≤a . （Ⅱ）当时，1-=a x x x x f +=ln )( ，f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ①当210e m <<时，在上)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在上]3,1(2+∈m ex 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21ex =处取得极小值，也是最小值，,1)1()(22min e e f x f -== ②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以min )(x f )1(ln )()(min+==m m m f x f . 例5. 已知数列{}n a 满足1a a =，12n n a a +=+．定义数列{}n b ，使得1n nb a =，*N n ∈．若46a <<，则数列{}n b 的最大项为 （ B ）A ．2bB ．3bC ．4bD ．5b例 6. 假设实数1234,,,a a a a 是一个等差数列﹐且满足102a <<及34a =﹒若定义函数()x n n f x a =，其中1,2,3,4n =﹐则下列命题中错误．．的是（ B ） A. 22()4f a > B. 12()1f a > C. 函数2()f x 为递增函数 D. (0,)x ∀∈+∞，不等式1234()()()()f x f x f x f x <<<恒成立.说明：数列是函数，用函数的观点看待数列；用研究函数的方法解决数列问题是在数列复习中的重要方面. 2.理解数学概念的本质的落实学生在考试中出现的问题很多时候都是出在概念上.落实基本概念，不能简单图解为就是做基础题，教师要能够针对学生的实际提出有效的较为深刻的问题检查学生的掌握情况，帮助学生理解数学概念的本质.例7. 函数()3sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中不正确．．．的是（ D ） （写出所有正确结论的编号）A. 图象C 关于直线1112πx =对称 B.图象C 关于点203，π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间51212，ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数D.由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C例8．定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 ．答案：1.例9．已知实数d c b a ,,,成等比数列，且对函数x x y -+=)2ln(，当b x =时取到极大值c ，则ad 等于（ A ） A ．1-B ．0C ．1D ．2例10．已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则na n的最小值为（ B ） .A 8 .B 7 .C 6 .D 5例11．两条分别平行于x 轴和y 轴的直线与椭圆C ：192522=+y x 交于A 、B 、C 、D 四点，则四边形ABCD 面积的最大值为 答案：30. 3.解决数学问题的一般思路的落实如何分析函数的问题？如果是数列求和问题，应该先想什么？拿到一个解析几何的题目，如何分析？立体几何的问题要思考什么？等等，类似这样的问题，要让学生多想想，通过不同的问题，让学生多思考，过去讲过的、做过的很多的经典的题目换个视角让学生再思考！我们要教给学生思考的方法而不是题型套路.查漏补缺关注遗漏的知识点仅仅是一个方面，更重要的是学生的数学的思维方法是不是还有没落实的地方.例12．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么当四边形P A C B 面积取最小值时，弦AB = .解析：过圆心C （1，1）作直线3480x y ++=的垂线，垂足为P,这时四边形P A C B面积的最小值为，四边形P A C B 中,3,3AB CP CP AB ⊥=∴=. 例13．已知点()1,M a -和(),1N a 在直线:2310l x y -+=的两侧，则a 的取值范围是 .解析：Q ,M N 两点位于直线的两侧，()()2312310,a a ∴++-+<故11a -<<例14.已知点(1,0)A -、(1,0)B ，00(,)P x y 是直线2y x =+上任意一点，以A 、B 为焦点的椭圆过点P .记椭圆离心率e 关于0x 的函数为0()e x ，那么下列结论正确的是 ( B ) A.e 与0x 一一对应 B.函数0()e x 无最小值，有最大值 C.函数0()e x 是增函数 D.函数0()e x 有最小值，无最大值1c e a a== 当点P 在'A B （a 取得最小值， 此时，增大。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合UA B 是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R ，且a b ，则（A ）11a b（B ）sin sin a b（C ）11()()33ab （D ）22a b（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5（B ）5（C ）10（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12（B ）12（C ）32（D 2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面上的正投影，则记()Nf M . 如图，在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，记平面11AB C D 为，平面ABCD 为，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P ，2[()]Q f f P . 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面；③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是（A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。