北京市海淀区2020届高三数学查漏补缺题含答案

高三数学查漏补缺题2020.6说明：1.提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题.2.教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用.3.试题按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正.【集合与简易逻辑】1. 已知集合A ＝{x |ln(1)1x +≤}，B ＝{－2,－1,0,1,2}，则A ∩B ＝ A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2, －1,0,1} D ．{－1,0,1,2}答案：A2. 在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin "A B >的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 ：C3.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面答案 ：B【复数】1. 如果复数 222(32)i z a a a a =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为A. 2B. 1C. −2D. 1 或 −2答案：C2.设32i z =-+，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 ：C 3. 若ii 1im n +=+，则实数m =_________，实数n =_________.答案：1,1m n =-=.【不等式】1.设0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b +<B ．2a ba b +<<<C ．2a b a b +<D 2a b a b +<<< 答案 ：B [解答]（方法一）已知a b <2a b+<，比较a ，因为22()0a a a b -=-<，所以a <22()0b b b a -=->b <；作差法：022a b b ab +--=>，所以2a b b +<，综上可得2a ba b +<<<；故选B ． （方法二）取2a =，8b =，4=，52a b +=，所以2a ba b +<<<． 2. 设R m ∈且0m ≠，“4+4m m>”的一个必要不充分条件是（ ） A ．2m ≠ B ．0m >且2m ≠ C ．2m > D ．2m ≥ 答案：A3. 已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么,,a b c 之间的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<答案：C4. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+答案 ：B [解答]由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=， 所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a bab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．【数列】1. 设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.A.若120a a +>，则230a a +>B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则2a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->答案：C2. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大. 答案：83. 已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则24681012a a a a a a +++++=______ 答案：57[解答]法一: 通过具体罗列各项34a =,45a =,57a =,68a =,710a =,811a =,913a =,1014a =,1116a =,1217a =,所以24681012a a a a a a +++++=57法二: 由递推关系进一步可得相邻几项之间的关系13,n n a a n ++=1233,n n a a n +++=+两式相减可得23,n n a a +-=所以数列{}n a 隔项成等差数列，所以24681012,,,,,a a a a a a 是以2为首项，以3为公差，共有6项的等差数列，用求和公式得24681012a a a a a a +++++=65623572⨯⨯+⨯= 4. 数列{}n a 是等差数列 ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，公比1q >，且55a b =，则A ．3746a a b b +>+B ．3746a a b b +≥+C ．3746a a b b +<+D ．3746a a b b +=+ 答案：C【平面向量】1．设向量a,b 不平行，向量+λa b 与+2a b 平行，则实数λ= ． 答案：122. 设π02θ<<，向量()()sin 2,cos ,cos ,1θθθ==a b ，若//a b ，则=θtan _______. 答案：123. 设向量()3,3=a ，()1,1=-b ，若()()λλ+⊥-a b a b ，则实数λ=________.答案：±34. 设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C [解答]∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a a b b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．【三角函数】1.若角α的终边过点(1,2)-，则sin 2_____α=答案：45- [解答]1,2,x y r ==-==sinαα∴==4sin22sin cos2(5ααα∴==⨯=-2. 函数()()cosf x xωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x的单调递减区间为A．13,44k k⎛⎫π-π+⎪⎝⎭，k∈ZB．132,244k k⎛⎫π-π+⎪⎝⎭，k∈ZC．13,44k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈ZD．132,244k k⎛⎫-+⎪⎝⎭，k∈Z答案：D3.函数()sinf x x=的图象向左平移3π个单位得到函数()g x的图象，则下列关于函数()()y f x g x=+的结论：①一条对称轴方程为76xπ=; ②点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心;③在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调增函数; ④最大值为32.其中所有正确的结论为__________.（写出正确结论的序号）答案：②③4. 设函数()f x=sin（5xωπ+）(ω＞0)，已知()f x在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x在（0,2π）有且仅有3个极大值点;②()f x在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④ 答案：D [解答]当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π…， 所以1229510ω<…，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<…，故③正确． 5.已知函数()(1tan )sin 2f x x x =-⋅． （Ⅰ）求()f x 的定义域及单调递减区间；（Ⅰ）比较()16f π，3()16f π，9()16f π的大小，并说明理由.[解答]（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{|,}2x x k k π≠π+∈Zsin ()(1)2sin cos cos xf x x x x=-⋅ 22sin cos 2sin x x x =- sin 2cos21x x =+-)14x π=+-，()f x 的单调递减区间为5[,),(,),8228k k k k k πππππ+π+π+π+∈Z （Ⅰ）()16f π=3()016f π>,9()016f π< 所以()16f π=3()16f π9()16f π>5. 已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为A.π6B.π3C.2π3D.4π3答案：C【解三角形】1.在△ABC 中，3A π∠=, 2BC =，则2AB =是△ABC 的面积为3的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C2. 在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于(,)M x y 11，将α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于(,)N x y 22，记()f y y α=+12.（Ⅰ）求函数()f α的值域；（Ⅰ）在△ABC 中，若(),,sin sin f C c A B ==+=1333714，求△ABC 的面积. [解答]（Ⅰ）sin ,sin ,y y παα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭123()sin sin sin f y y ππαααα⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12336,ππππαα<<∴<+<202663Q ∴sin πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭3336，函数()f α的值域是,⎛⎤ ⎥ ⎝332. （Ⅰ）()sin f C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭336,sin C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭16,C C ππππ<<∴<+<70666Q C ππ∴+=62,C π=3,由sin sin sin a b c A B C ===7sin sin A B +得a b +=13由余弦定理()cos c a b ab C a b ab =+-=+-222223，得ab =40，sin ABC a S b C ∴==12V3.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中=2b ，从①1cos 3A =，②1cos -3A =，③=3a ，④3=2a 四个条件中选出两个条件，使得该三角形能够唯一确定. 求边c ，sin B 及三角形面积 [解答] 选①③由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 解得3c = 由1cos 3A =得sin 3A =由正弦定理sin sin b aB A=得sin B 9= 1=sin 2ABC S bc A V=选②③由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 解得53c =由1cos 3A =-得sin A =由正弦定理sin sin b aB A=得sin B =1=sin 2ABC S bc A V=9. 【二项式定理】1. 若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a =________（用数字作答） 答案： -802.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______. 答案：162 5【概率统计】1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53 答案：A [解答]由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56. 所以选A.2.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“ ”连接）答案：1s ＞2s ＞3s3. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京市和张家口市联合举行.某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训.训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为E D C B A ,,,,五个等级，分别对应的分数为1,2,3,4,5.6 17 85 0 0 1 1 4 7 94 5 5 5 7 7 8 8 93 1 2 4 4 8 92 0 23 31 2 545+47=462，O元频率组距0.00020.00040.00080.0006乙100015002000250030003500O元频率组距0.00020.00040.00080.0006丙100015002000250030003500O 元频率组距0.00020.00040.00080.0006甲100015002000250030003500甲乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示.（Ⅰ）根据上图判断，甲乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明） （Ⅰ）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；（Ⅰ）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的次数为X ，求X 的分布列.（频率当作概率使用） [解答]（Ⅰ）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定；（Ⅰ）因为甲单板滑雪项目测试中4分和5分成绩的频率之和为325.0，3分成绩的频率为375.0，所以甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为3分； 测试成绩为2分的频率为1.0075.0250.0375.0200.01=----， 所以甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为（Ⅰ）由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为4分并且乙的成绩为3分或4分的概率为163)375.0375.0(25.0=+⨯. X 的取值可能为2,1,0.2561691631)0(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ； 256781631163)1(12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ； 2569163)2(2=⎪⎭⎫⎝⎛==X P . 则的分布列如下表所示：X0 1 2)(X P25616916993．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号IIIIII IV V25678满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.(Ⅰ)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；(Ⅰ)从I 型号和V 型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；(Ⅰ)用 “11η=”, “21η=”, “31η=”, “41η=”, “51η=”分别表示I, II, III, IV, V 型号汽车让客户满意， “10η=”, “20η=”, “30η=”, “40η=”, “50η=” 分别表示I, II, III, IV , V 型号汽车让客户不满意.写出方差12345,,,,D D D D D ηηηηη的大小关系. [解答]（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是2501002007003501600++++=，满意的客户人数2500.51000.32000.67000.33500.2555⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故所求概率为5551111600320=． （Ⅰ）0,1,2ξ=.设事件A 为“从I 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B 为“从V 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A 、B 为独立事件. 根据题意，()P A 估计为0.5，()P B 估计为0.2 . 则(0)()(1())(1())0.50.80.4P P AB P A P B ξ===--=⨯=;(1)()()()()(1())(1())()P P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ξ==+=+=-+-0.50.80.50.20.5=⨯+⨯=; (2)()()()0.50.20.1P P AB P A P B ξ====⨯= .ξ的分布列为ξ的期望()00.410.520.10.7E ξ=⨯+⨯+⨯= .z yGP FEDA（Ⅰ）13245D D D D D ηηηηη>>=>．【立体几何】1. 如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角F –AE –P 的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =． 求证：点G 在平面AEF 内．[解答]（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又因为AD ⊥CD ，且PA AD A =I 所以CD ⊥平面PAD .（II ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AM ⊥PA AD ⊥，如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0）， D （0，2，0），P （0，0，2），因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）.所以()0,1,1AE =uu u r ，()2,2,2PC =-uu u r , ()0,0,2AP =uu u r. 所以1222,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭uu u r uu u r ，224,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭uu u r uu u r uu u r设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，则00AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uu u v n n ，即02240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩.令z =1,则y =-1,x =-1.于是()1,1,1=--n .又因为平面PAD 的法向量为()1,0,0=p，所以cos 3⋅==⋅n p <n,p >n p . 因为二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为3（III ）直线AG 在平面AEF 内，因为点G 在PB 上，且2,3PG PB =()2,1,2,PB =--uu r所以2424,,3333PG PB ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭uu u r uu r ，422,,333AG AP PG ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r .由（II ）知，平面AEF 的法向量为()1,1,1=--n ，所以4220333AG ⋅++=uuu r n =-，所以直线AG 在平面AEF 内.所以点G 在平面AEF 内.2. 如图，2AC ED =，//AC 平面EDB ，AC ⊥平面BCD ，平面ACDE ⊥平面ABC . （Ⅰ）求证：//AC ED ； （Ⅰ）求证：DC BC ⊥；（Ⅰ）当1BC CD DE ===时，求二面角A BE D --的余弦值；（Ⅰ）在棱AB 上是否存在点P 满足//EP 平面BDC ； （Ⅰ）设CDk DE=，是否存在k 满足平面ABE ⊥平面CBE ？若存在求出k 值，若不存在说明理由. [解答]（Ⅰ）因为//AC 平面EDB ，平面ACDE I 平面EDB =ED ，且AC ⊂平面ACDE ，所以//AC ED .（Ⅰ）法1：因为AC ⊥平面BCD ，所以AC ⊥CD ，因为平面ACDE ⊥平面ABC ，且平面ACDE I 平面=ABC AC ，CD ⊂平面ACDE ， 所以CD ⊥平面ABC ， 所以CD CB ⊥.（Ⅰ）法2：因为AC ⊥平面BCD ，所以AC ⊥CD ，AC ⊥CB ， 因为平面ACDE I 平面=ABC AC ， 所以DCB ∠为二面角D AC B --的平面角， 又因为平面ACDE ⊥平面ABC ，ACDE所以90DCB ∠=o ，即CD CB ⊥.（Ⅰ）由（Ⅰ）证明可知AC ⊥CD ，AC ⊥CB ，CD CB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系，因为1BC CD DE ===， 所以(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B D E ，所以(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(2,1,0)DE BD AE AB ==-=-=-u u u ru u u ru u u ru u u r设平面BDE 的法向量为(,,)x y z =m ，则由0,0,DE BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m u u u r u u u r 可得(0,1,1)=m . 设平面ABE 的法向量为(',',')x y z =n ，则 由0,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r 可得(1,2,1)=n .所以cos ,|⋅<>==⋅m n m n |m |n | 所以，依据题意可得二面角A BE D --的余弦值为. （Ⅰ）法1：取AC 中点F ，连接EF ，过点F 作//FP BC 交AB 于点P ，所以P 为AB 中点.因为2,//AC ED AC ED =，所以//ED FC ，所以//EF CD . 又EF FP F =I ，所以平面//EFP 平面BCD ， 所以//EP 平面BCD .法2：设AP AB λ=u u u r u u u r ，则(12,,1)EP EA AP λλ=+=--u u u r u u u r u u u r，由（Ⅰ）证明可知平面BCD 的一个法向量为(1,0,0)=k ， 由0EP ⋅=u u u r k 可得1=2λ，所以当P 为AB 中点时，EP 与平面BCD 成角为0o ， 所以当P 为AB 中点时，//EP 平面BCD . （Ⅰ）设2AC a =，则(2,0,0),(,0,),(0,,0)A a E a ka B b ，则(,0,),(2,,0)AE a ka AB a b =-=-u u u r u u u r，设平面CBE 的法向量为111(,,)x y z =m'，由0,0,CE CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m'm'u u u r u u u r 可得一个法向量(,0,1)k =-m'， 设平面ABE 的法向量222(,,)x y z =n'， 由0,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r可得一个法向量2(,,1)ak k b =n'， 由0⋅=m'n'可得1k =.所以当1k =时，平面ABE ⊥平面CBE .【函数与导数】1. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）答案：D2. 给出下列四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①答案：A 3．已知函数2ln 0,()210.xx f x x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是______. 答案 (0,2)4. 设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．（Ⅰ）求证：01ba<≤； （Ⅰ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围． [解答]（Ⅰ）证明：2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得(1)20f a b c '=++=， （1）2()2f m am bm c a '=++=-， （2）又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0,0,a c <> 由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得113ba-<<， （3） 将2c a b =--代入（2）得2220am bm b +-=，即方程2220ax bx b +-=有实根．故其判别式2480b ab ∆=+≥得 2b a -≤，或ba≥0， （4） 由（3），（4）得01ba<≤； （Ⅰ）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->，知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ，又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则由根与系数的关系得122122,10b bx x x x a a+=-=--<<， 当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>， 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a -=-=+，由（Ⅰ）知01ba<≤得 ||s t -的取值范围为[2,4).5.已知函数()(1)e x f x x a =--：（Ⅰ）若函数的最小值为-1，求实数a 的值；（Ⅰ）若12x x >，且有12+2x x a =，求证：12()()f x f x >.[解答]（Ⅰ）定义域为 R ，因为'()()e x f x x a =-，令()0='x f ，得a x = 当x 变化时，()x f '，()x f 变化如下表：所以a x =是函数()x f 极小值点，也是最小值点， 所以()e 1a f a =-=-，解得0=a ； （Ⅰ）由题可知a x >1，并且有122x a x -=，1121211e ()()(1)e (1)e ax x f x f x x a a x -=-----，记2e ()(1)e (1)eaxx g x x a a x =-----⋅,a x >，2e '()()(e )eaxx g x x a =--，当a x >时，2e e eaxx >，即()0>'x g ，所以()x g 在区间()∞+，a 上单调递增，()()0=>a g x g . 所以有()()21x f x f >，结论成立.【解析几何】1. 直线023cos =++y x α的倾斜角的取值范围是 . 答案:50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 2. 已知直线与直线平行，则的值为（ ）A.0或3或B.0或3C.3或D.0或答案：D062=++y a x 023)2(=++-a ay x a a 1-1-1-3. 已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,P p ，则m n p -+的值是（ ）A ．24B ．20C ．0D ．－4答案：B4.已知点()0,2A ,()2,0B . 若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C的个数为 答案；45. 已知直线1l ：0mx y m -+=与直线2l ：10x my +-=的交点为Q ，椭圆2214x y +=的焦点为1F , 2F ，则12QF QF +的取值范围是 A ．[2,)+∞B ．)+∞C ．[2,4]D ．4]答案 ：D6. 直线10x y --=与圆C :222(1)(1)x y r -+-=相交于两点M 、N ，若||MN =，则圆C 的半径=r ________. 答案 ：17.已知直线()021:=+++y a ax l 与圆22:16C x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的取值范围是________. 答案：)⎡⎣8. 卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为：22124x y x +=+，O 为坐标原点，点(1,0)A ，点P 为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是A ．卵圆C 关于x 轴对称B ．卵圆上不存在两点关于直线12x =对 C ．线段PO 长度的取值范围是[1,2] D ．OAP ∆的面积最大值为1 答案 ：B [解答]卵圆C 与y 轴交点为(0,2)-、(0,2)，与x 轴交点为(1,0)-、(2,0)（恰好关于12x =对称）（选项B 错误，也可通过方程求解，设点(,P m n22124m n m +=+.若存在卵圆C 上点Q 与(,)P m n 关于12x =对称，则(1,)Q m n -在卵圆C 上，满足方程，22(1)1124m n m -+=-+,22222||4(1)2m PO m n m m =+=+-+（12m -≤≤），可借助导数求最值.1||2OAPS n ∆==12m -≤≤），可求最大值. 9. 已知椭圆C 的标准方程为2214x y +=，梯形ABCD 的顶点在椭圆上.（Ⅰ）已知梯形ABCD 的两腰AC=BD ，且两个底边AB 和DC 与坐标轴平行或在坐标轴上.若梯形一底边AB =2，求梯形ABCD 的面积；(Ⅰ)若梯形ABCD 的两底AB 和DC 与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形并说明理由. [解答]（Ⅰ）若两底AB 和DC 与y 轴平行，由椭圆方程得A ，B 为该椭圆的上下顶点，不妨设DC在y 轴右侧，设)C y，)D y -，代入椭圆方程解得1)2C，1)2D -，所以梯形另外一底1CD =，因此面积2S =； 若两底AB 和DC 与x 轴平行，因为AB =2，不妨设AB 在x 轴上方，且(1,(1,)22A B -，可得(1,2C -，(1,2D --，但此时四边形ABCD 为矩形，故舍去. (Ⅰ)该梯形不可能为等腰梯形，理由如下：由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零，设直线AB 方程为1,y kx m =+直线CD 方程为2,y kx m =+其中120,,k m m ≠≠联立方程22114,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，整理得22211(14)8440k x km x m +++-=，0)44)(41(4)8(21221>-+-=∆m k km 整理得014222>+-m k ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则,4122)(,41821121212121k m m x x k y y k km x x +=++=++-=+故AB 中点M 坐标为)41,414(2121km k km M ++-； 同理可得CD 中点N 坐标为)41,414(2222k m k km N ++-；若梯形ABCD 为等腰梯形，则有AB ⊥MN ，即1-=⋅MN k k ，但k k kkm k km k m k m k MN 141414414414121222122-≠-=+++-+-+=，所以梯形ABCD 不可能为等腰梯形. 10.已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=o． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅰ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求OEG ∠的大小．[解答](Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BF O ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． (Ⅰ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =u u u r ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-u u u r ． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-u u u r u u u r 2220000044(1)x x y y y =-++- 20004414(1)y y y -=-+- 0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥u u u r u u u r ．90OEG ∠=︒．11. 已知椭圆222:14x y C b +=的焦点在x 轴，且右焦点到左顶点的距离为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程和焦点的坐标；（Ⅰ）与x 轴不垂直且不重合的直线l 与椭圆C 相交于不同的,A B 两点，直线l 与x 轴的交点为M ，点M 关于y 轴的对称点为N .(i) 求ABN ∆面积的最大值；（ii ）当ABN ∆||AB <.[解答]（Ⅰ）因为234a c a +=⎧⎨=⎩, 所以2,1a c ==.又222a b c =+, 所以23b =. 所以椭圆方程为221,43x y +=焦点坐标分别为12(1,0),(1,0)F F -. （Ⅰ）(i) 方法一：设1122(,),(,),:AB A x y B x y l y kx t =+, 所以(,0),(,0)tt M N k k-. 联立22,3412.y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(43)84120k x ktx t +++-=.2221212228412,,48(43)04343kt t x x x x k t k k -+=-=∆=-+>++， 即2243t k <+.AB = 点N 到直线AB的距离为d =.所以1243ABN S k ∆=+=2243k ≤+=当且仅当22243k t t -+=即22243t k =+时等号成立.(ii)因为AB ===. 而,3342>+k 所以121)34(4102<+<k ，所以226<<AB . 法二：（i ）设直线(0)x my t m =+≠,所以(,0),(,0)M t N t -. 联立方程2234=12,.x y x my t ⎧+⎨=+⎩化简得222(34)63120m y mty t +++-=.所以 2248(34)0m t ∆=-+>.12221226,34312.34mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以||AB ==点N 到AB的距离为：d =1||2ABN S AB d ∆===≤=.当且仅当||t =，即2223+4t m =等号成立.（ii）||AB ===因为2344m +>,所以||AB ∈.。

1绝密★启用前北京市海淀区普通高中2020届高三毕业班下学期高考查漏补缺数学试题2020年6月说明：1.提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题.2.教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用.3.试题按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错,希望老师们及时指出问题,以便及时改正.【集合与简易逻辑】1. 已知集合A ＝{x |ln(1)1x +≤},B ＝{－2,－1,0,1,2},则A ∩B ＝A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－2, －1,0,1}D ．{－1,0,1,2}2. 在ABC ∆中,“cos cos A B <”是“sin sin "A B >的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是2A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α,β平行于同一条直线D ．α,β垂直于同一平面【复数】1. 如果复数 222(32)i z a a a a =+-+-+为纯虚数,那么实数a 的值为 A. 2 B. 1 C. −2 D. 1 或 −22.设32i z =-+,则在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若ii 1im n +=+,则实数m =_________,实数n =_________. 【不等式】1.设0a b <<,则下列不等式中正确的是A．2a b a b +<< B．2a ba b +< C．2a b a b +<D2a ba b +<<2. 设R m ∈且0m ≠,“4+4m m>”的一个必要不充分条件是（ ） z3A ．2m ≠B ．0m >且2m ≠C ．2m >D ．2m ≥3. 已知(0,1)m ∈,令log 2m a =,2b m =,2m c =,那么,,a b c 之间的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<4. 设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【数列】1. 设{}n a 是等差数列,下列结论中正确的是（ ）.A.若120a a +>,则230a a +>B.若130a a +<,则120a a +<C.若120a a <<,则2a > D.若10a <,则()()21230a a a a -->2. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++> ,7100a a +< ,则当n = ________时,{}n a 的前n 项和最大.3. 已知数列{}n a ,22a =,*13,n n a a n n N ++=∈,则24681012a a a a a a +++++=______。

北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．44.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为A ． 0B ．12±C ．1±D ．2±5.以正六边形的6个顶点中的三个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为 A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 . 13.ABC中，b ，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=-- 其中0>a（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥ 且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知函数xe x ax xf 2)(-=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 0三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =-π()12f a =+所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x = ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈-所以221y t at =+- 其对称轴为4at =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===， 353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD （Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩020令2z =，则y x =-=，所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为19（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC 而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以3(1,,(2,1,0)22MF MB BF λ=+=+-因为MFPC，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,a b c ===11所以离心率c e a ==2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB = 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB==因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x轴时，|'|AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=-> ，所以t >22 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以|'|AB =因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ==-+因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是.19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=-- 化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e 22，令()'()x x a x a f x -++==e 220得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22 因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到x =>20， 所以(())fx x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+- ，所以'()2e e(2)x g x a x =+- 设()'()h x g x =，'()2e 2e x h x =- 令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=e22，令'()f x =0得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为 (),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222 注意到x =2和a >0，所以x =>22 设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >-所以()()f x F x >>-e220. 解：(Ⅰ) 满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++ 12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以 1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈， {}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。

2020 年海淀区高三数学查漏补缺题1. 数学思想方法的落实高三复习的最后目标是要让学生能够用数学的思想理解问题和解决问题. 假如在学生近一年的大批练习的基础上，教师帮助学生从数学思想的角度进行梳理，对每一个单元知识的思想特点与方法进行归纳，将会使学生对数学的认识提升一个层次.例 1：设函数 f ( x) ( x2 ax a)e x有极值.（Ⅰ）若极小值是0 ，试确立 a ；（Ⅱ）证明：当极大值为 3 时，只限于 a 3的状况.解：（Ⅰ） f '( x) (2 x a)e x ( x2 ax a)e x x( x a 2)e x ,由 f ( x) 0 得x 0或 x 2 a .①当 a 2 时， f '( x) x2e x 0 ，f (x)单一递减，函数 f ( x) 无极值，与题意不符，故 a 2 ；②当 a 2时， x 2 a 为极小值点.故 f ( x) 极小值 f (2 a) (4 a)e a 2 ，当极小值为0 时，a 4 ；③当 a 2 时，同理可得 f ( x)极小值 f (0) a ，当极小值为0 时， a 0 .由①②③知： a 0 或a 4 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当 a 2 时， f ( x)在 x 0处取极大值 f (0) a ，当a 3时，f ( x) 的极大值为 3 ；当 a 2 时， f (x)在 x 2 a 处取极大值 f (2 a) (4 a)e a 2 .3 时能否a 3？此刻的问题是当(4 a)e a23，得 (4 a )e a 2 3 0 ，即 e a 2 (4 a 3e2 a ) 0 （ * ）解方程 (4 a)e a2设 g ( a) 4 a 3e2 a ( a 2) 则 g (a) 1 3e2 a 0 ，所以， g( a) 在 ( ,2) 上单一递加，则有 g( a) g(2) 1，此时方程（*）无解，故当a 2 时， f ( x) 的极大值不行能为 3 .依据（Ⅰ）和（Ⅱ）知：函数 f ( x) 的极大值为 3 时，只限于 a = 3 .说明：本题主要考察学生研究函数方法的运用，即给函数分析式以后，可否经过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋向，经过研究导函数的符号进一步认识函数的正确的变化状态 .例 2. 已知函数f ( x) 1 a x3 x2 2 x 1.(a 0)3（Ⅰ）求函数 f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f (x) 在 ( 2, 1) 上单一减，且在 (0,1) 上单一增，务实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当 a 1 时，若x0 (t,0] ，函数 f (x)的切线中总存在一条切线与函数 f ( x) 在x0处的切线垂直，求的最小值 .解：（ I ）由已知f (0) 1，f '(x) ax2 2x 2，所以 f '(0) 2 ，所以函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为y 2x 1（ II ）解 1: ①当a 0 时， f '( x) 2x 2 ，知足在 ( 2, 1) 上 f '( x) 0 ，且在 (0,1) 上f '( x) 0 ，所以当a 0 时知足题意；②当 a 0 时， f '(x) ax2 2x 2 是恒过点(0, 2)，张口向下且对称轴 x 1 0 的抛物线，a由二次函数图象剖析可得在( 2, 1) 上 f '(x) 0 ，且在 (0,1) 上 f '(x) 0 的充要条件是f '(1)0解得 4 a 0 ，即 4 a0.f '( 1)0综上议论可得 4 a0.解 2：由已知可得在( 2, 1) 上 f '( x) 0，且在 (0,1) 上 f '( x)0 ，即a 2( x 1)2(1 1) 在( 2, 1) 上成立且 a2(x 1) 1 1 x2x2x x2 2( 2 ) 在(0,1)成x x立；因为在 ( 2, 1) 上2( 12 1 ) 0 ，在(0,1) 上2(12 1 ) 4,4 a 0. x x x x所以（ III ）当 a 1 时， f '( x) x2 2x 2 3 (x 1)2 3,由题意可得x0 (t ,0] ，总存在 x R使得 f '(x0 ) f '(x) 1成立，即f '( x0 ) 1 成立，因为f 1 ( ,1] U (0, ) ，当x0 (t,0] 时，f '( x) '( x) 3f '(x0 ) (3 (t 1)2 , 2] ，所以3 (t 1)2 0，解得 1 3 t 1 3. 所以的最小值为 1 3.例 3. 如图，矩形 ABCD 内接于由函数 yyx, y 1x, y 0 图象围成的关闭图形，其中顶点 C ，D 在 y 0 上，求矩形 ABCD 面积的最大值 .ABO DCx解：由图，设 A 点坐标为 ( x, x ) , x (0,3 2 5) ,则B (1 x, x) ， 由 图 可 得 1 x x ， 记 矩 形 ABCD 的面积为 S ，易得：S ABAD (1x x) x ( x) 3( x ) 2x令 tx, t (0, 5 1 )，得 S t 32tt2所以 S'3t22t1 (3t1)(t 1)，令 S0 ，得 t1或 t1 ，3因为 t(0, 51) ，所以 t1 .23S , S 随 t 的变化状况以下表：t(0, 11(1, 5 1))3332 S +-SZ极大值5]27由上表可知，当 t1，即 x1时， S 获得最大值为5，所以矩形 ABCD 面积的最大值3 927为 5.27说明：本题主假如帮助学生经历依据问题的条件和要求成立函数的分析式及确立定义域再研究函数的变化状态的思想过程.例 4.已知 f ( x)x ln x ax ， ( ) x 22 ，g x（Ⅰ）对全部 x (0, ), f (x)g(x) 恒成立，务实数a 的取值范围；（Ⅱ）当 a1时，求函数 f ( x)在[ m, m 3] ( m 0 ) 上的最小值 .解：（Ⅰ）对全部 x (0,), f (x)g( x) 恒成立，即 x ln x ax x 2 2恒成立 .也就是 a ln xx2在 x (0,)恒成立.x令 F ( x) ln x x2 ，则 F ( x)1 12 x 2 x 2 (x 2)( x 1)，x xx2x2x2在 (0，1) 上 F (x) 0 ，在 (1， ) 上 F ( x) 0 ，所以， F (x) 在 x 1 处取极小值，也是最 小值，即 F (x)(x)F (1) 3，所以 a 3 .min min（Ⅱ）当 a 1时， f (x) x ln xx ，f (x)ln x 2 ，由 f( x)0 得 x12.11 e 1①当 0 m 时，在 x [ m,( x) 0 ，在 x3] 上 f ( x) 0 2 2 )上 f ( 2 , m e e e所以， f ( x) 在 x 1f ( x) min f ( 1 1 e 2 处获得极小值，也是最小值， 2 ) 2 ,e e ②当 m1 时 ， f ' ( x) 0 ，所以 f ( x)在[ m,m 3] 上单一递加，e 2所以 f f min (x)(min x) f (m) m(ln m 1) .例 5. 已知数列a n 知足 a 1 a ， a nan 12 ．定义数列 b n ，使得 b n1 ， n N * ．若a n4 a 6 ，则数列 b n 的最大项为（ B ）A ． b 2B ． b 3C ． b 4D ． b 5例 6.假定实数a 1 ,a 2 , a 3 , a 4 是一个等差数列﹐且知足0 a 1 2 及 a 34 ﹒若定义函数f n (x) a n x ，此中 n 1,2,3,4 ﹐则以下命题中错误 的是（ B）．．A. f 2 (a 2 ) 4B.f 1(a 2 ) 1 C. 函数 f 2 ( x) 为递加函数D.x (0,) ，不等式 f 1( x) f 2 (x)f 3 ( x) f 4 (x) 恒成立 .说明：数列是函数，用函数的看法对待数列；用研究函数的方法解决数列问题是在数列复习中的重要方面 .2. 理解数学看法的实质的落实学生在考试中出现的问题好多时候都是出在看法上. 落实基本看法，不可以简单图解为就是做基础题，教师要能够针对学生的实质提出有效的较为深刻的问题检查学生的掌握状况，帮助学生理解数学看法的实质 .例 7. 函数( ) 3sin 2x π的图象为C，以下结论中不正确的是（ D ）．．．f x 3（写出全部正确结论的编号）A. 图象 C 对于直线x 11 π对称12B. 图象 C 对于点 2 ，0 对称3C. 函数 f (x) 在区间5内是增函数12，12D. 由y 3sin 2x 的图象向右平移 3 个单位长度能够获得图象C例 8．定义在R上的偶函数 f ( x)，对随意的x R 均有 f ( x 4) f ( x) 成立，当 x [ 0, 2]时， f (x) x 3 ，则直线 y 9f (x) 的图像交点中最近两点的距离等与函数 y．答案： 1. 2于例 9．已知实数a, b,c, d成等比数列，且对函数y ln( x 2) x ，当x b时取到极大值c，则 ad 等于（A）A． 1 B． 0 C． 1 D． 2例 10．已知：数列a n 知足 a1 16 ，a n 1a n 2n ，则an的最小值为（ B ）nA. 8B. 7C. 6 D . 5例 11．两条分别平行于x 轴和y轴的直线与椭圆C： x2 y 2 1交于A、B、C、D四点，25 9则四边形 ABCD 面积的最大值为答案： 30.3.解决数学识题的一般思路的落实怎样剖析函数的问题？假如是数列乞降问题，应当先想什么？拿到一个分析几何的题目，怎样剖析？立体几何的问题要思虑什么？等等，近似这样的问题，要让学生多想一想，经过不一样的问题，让学生多思虑，过去讲过的、做过的好多的经典的题目换个视角让学生再思考！我们要教给学生思虑的方法而不是题型套路. 查漏补缺关注遗漏的知识点只是是一个方面，更重要的是学生的数学的思想方法能否是还有衰败实的地方.例 12．已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB是圆x2 y2 2x 2y 1 0 的两条切线， A, B 是切点，C是圆心，那么当四边形PACB面积取最小值时，弦AB .分析：过圆心 C （ 1， 1）作直线 3x 4 y 8 0 的垂线，垂足为 P, 这时四边形PACB面积的最小值为 2 2 ，四边形 PACB 中AB CP, CP3, AB4 2 .3例 13．已知点 M 1, a 和 Na,1 在直线 l : 2 x 3 y 1 0 的双侧，则 a 的取值范围是.分析： Q M , N 两点位于直线的双侧，2 3a 1 2a3 1 0,故1a 1例 14. 已知点 A( 1,0) 、 B(1,0) ， P( x 0 , y 0 ) 是直线 y x 2 上随意一点，以 A 、 B 为焦点的椭圆过点 P . 记 椭 圆 离 心 率 e 关 于 x 0 的 函 数 为 e(x 0 ) ， 那 么 下 列 结 论 正 确 的 是( B )A. e 与 x 0 一一对应B. 函数 e( x 0 ) 无最小值，有最大值C. 函数 e( x 0 ) 是增函数D. 函数 e( x 0 ) 有最小值，无最大值 分析：依照椭圆定义 |PA||PB|2a ，c1e3aa2.5当点 P 在 A' B （ A', A 对于直线对称）上时，2a 获得最小值，1.5此时，右图剖析可适当点 P 向左或向右挪动时，a 都在A' P1增大。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是 （A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-)（D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则（A ）11ab< （B ）sin sin a b > （C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为（A ）5- （B ）5 （C ）10- （D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C ）2-（D ）2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）A 1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

高三数学试卷 第1页（共25页高三年级四月份测试题 数学试卷A 2020.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知命题p ：x ∀∈R ，e 1>x ，那么命题p 的否定为（A ）0R x ∃∈，0e 1x ≤ （B ）R x ∀∈，e 1<x （C ）0R x ∃∈，0e 1x >（D ）R x ∀∈，e 1≤x（2）下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是（A ）3()2f x x =-+（B ）12()log ||f x x =（C ）3()3=-f x x x （D ）()sin f x x =（3）设集合2{340}A x x x =∈-->Z |，2{|e 1}x B x -=<，则以下集合P 中，满足()P A B ⊆R I ð的是（A ）{1,0,1,2}- （B ）{1,2}（C ）{1}（D ）{2} （4）已知3log2=a ，0.2log 0.3=b ，11πtan 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）<<b a c （B ）<<c b a （C ）<<c a b （D ）<<b c a（5）若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为mn，如图是某四面体的三视图，则这个四面体的直度为（A ）14（B ）12 （C ）34（D ）1高三数学试卷 第2页（共25页（6）已知向量(2,23)=a ，若(3)+⊥a b a ，则b 在a 上的投影是（A ）34（B ）34-（C ）43（D ）43-（7）已知△ABC ，则“sin cos A B =”是“△ABC 是直角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为 （A ）5049 （B ）5050 （C ）5051 （D ）5101（9）已知双曲线2212-=y x 的渐近线与抛物线2:2(0)M y px p =>交于点(2,)A a ，直线AB 过抛物线M的焦点，交抛物线M 于另一点B ，则AB 等于 （A ） 3.5（B ）4（C ）4.5（D ）5（10）关于函数2()(1)e xf x x ax =+-，有以下三个结论：① 函数恒有两个零点，且两个零点之积为1-； ② 函数的极值点不可能是1-； ③ 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有（A ）3个 （B ）2个（C ）1个（D ）0个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年海淀区高三数学查漏补缺题1.数学思维方法的落实高三复习的最终目标是要让学生能够用数学的思维理解问题和解决问题.如果在学生近一年的大量练习的基础上，教师帮助学生从数学思维的角度进行梳理，对每一个单元知识的思维特征与方法进行概括，将会使学生对数学的认识提高一个层次. 例1：设函数2()()e x f x x ax a -=++有极值.（Ⅰ）若极小值是0，试确定a ；（Ⅱ）证明：当极大值为3时，只限于3=a 的情况.解：（Ⅰ）2'()(2)e ()e (2)e x x x f x x a x ax a x x a ---=+-++=-+-, 由0)(='x f 得0=x 或a x -=2.① 当2=a 时，2'()e 0x f x x -=-≤，)(x f 单调递减，函数()f x 无极值，与题意不符，故2≠a ；② 当2>a 时，a x -=2为极小值点.故2()(2)(4)e a f x f a a -=-=-极小值，当极小值为0时，4=a；③ 当2<a 时，同理可得a f x f ==)0()(极小值，当极小值为0时，0=a .由①②③知：0=a 或4=a .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当2>a 时，)(x f 在0=x 处取极大值a f =)0(，当3=a 时，)(x f 的极大值为3；当2<a 时，)(x f 在a x -=2处取极大值2(2)(4)e a f a a --=-. 现在的问题是当2(4)e 3a a --=时是否3=a ？解方程2(4)e 3a a --=，得2(4)e 30a a ---=，即22e (43e )0a a a ----=（*） 设2()43e (2)a g a a a -=--<则2()13e 0a g a -'=-+>，所以，)(a g 在)2,(-∞上单调递增，则有1)2()(-=<g a g ，此时方程（*）无解，故当2<a 时，)(x f 的极大值不可能为3.根据（Ⅰ）和（Ⅱ）知：函数)(x f 的极大值为3时，只限于3a =.说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用，即给函数解析式之后，能否通过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋势，通过研究导函数的符号进一步了解函数的准确的变化状态.例2.已知函数321()213f x ax x x =+++.(0)a ≤ （Ⅰ）求函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在(2,1)--上单调减，且在(0,1)上单调增，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1a =-时，若0(,0]x t ∀∈，函数()f x 的切线中总存在一条切线与函数()f x 在0x 处的切线垂直，求的最小值.解：（I ）由已知(0)1f =，2'()22f x ax x =++，所以'(0)2f =， 所以函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+（II ）解1:①当0a =时，'()22f x x =+，满足在(2,1)--上'()0f x <，且在(0,1)上'()0f x >，所以当0a =时满足题意；②当0a <时，2'()22f x ax x =++是恒过点(0,2)，开口向下且对称轴10x a=->的抛物线，由二次函数图象分析可得在(2,1)--上'()0f x <，且在(0,1)上'()0f x >的充要条件是'(1)0'(1)0f f ≥⎧⎨-≤⎩解得40a -≤≤，即40.a -≤< 综上讨论可得40.a -≤≤解2：由已知可得在(2,1)--上'()0f x <，且在(0,1)上'()0f x >， 即222(1)112()x a x x x +<-=-+在(2,1)--上成立且222(1)112()x a x x x+>-=-+在(0,1)成立；因为在(2,1)--上2112()0x x -+>，在(0,1)上2112()4,x x-+<- 所以40.a -≤≤（III ）当1a =-时，22'()223(1)3,f x x x x =-++=--≤ 由题意可得0(,0]x t ∀∈，总存在x R ∈使得0'()'()1f x f x =-成立，即01'()'()f x f x -=成立，因为11(,](0,)'()3f x -∈-∞-+∞U ，当0(,0]x t ∈时，20'()(3(1),2]f x t ∈--，所以23(1)0t --≥，解得11t +≥≥-所以的最小值为1-例3. 如图，矩形ABCD内接于由函数1,0y y x y==-=图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在0y=上，求矩形ABCD面积的最大值.解：由图，设A点坐标为(x,x∈,则(1B，由图可得1x，记矩形ABCD的面积为S，易得：32(1S AB AD x=⋅==--令t t=∈，得32S t t t=--+所以'2321(31)(1)S t t t t=--+=--+，令0S'=，得113t t==-或，因为t∈，所以13t=.,S S'随t的变化情况如下表：由上表可知，当13t=，即19x=时，S取得最大值为527，所以矩形ABCD面积的最大值为527.说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程.例4. 已知axxxxf-=ln)(，2)(2--=xxg，（Ⅰ）对一切)()(),,0(xgxfx≥+∞∈恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当时，1-=a 求函数]3,[)(+m m x f 在(0m >)上的最小值.解：（Ⅰ）对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立. 也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立. 令x x x x F 2ln )(++= ，则F '2222)1)(2(2211)(xx x x x x x x x -+=-+=-+=， 在)10(，上F '0)(<x ，在上，)1(∞+上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即min )(x F 3)1()(min==F x F ，所以3≤a . （Ⅱ）当时，1-=a x x x x f +=ln )( ，f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ①当210e m <<时，在上)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在上]3,1(2+∈m ex 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21ex =处取得极小值，也是最小值，,1)1()(22min e e f x f -== ②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以min )(x f )1(ln )()(min+==m m m f x f . 例5. 已知数列{}n a 满足1a a =，12n n a a +=+．定义数列{}n b ，使得1n nb a =，*N n ∈．若46a <<，则数列{}n b 的最大项为 （ B ）A ．2bB ．3bC ．4bD ．5b例 6. 假设实数1234,,,a a a a 是一个等差数列﹐且满足102a <<及34a =﹒若定义函数()x n n f x a =，其中1,2,3,4n =﹐则下列命题中错误．．的是（ B ） A. 22()4f a > B. 12()1f a > C. 函数2()f x 为递增函数 D. (0,)x ∀∈+∞，不等式1234()()()()f x f x f x f x <<<恒成立.说明：数列是函数，用函数的观点看待数列；用研究函数的方法解决数列问题是在数列复习中的重要方面. 2.理解数学概念的本质的落实学生在考试中出现的问题很多时候都是出在概念上.落实基本概念，不能简单图解为就是做基础题，教师要能够针对学生的实际提出有效的较为深刻的问题检查学生的掌握情况，帮助学生理解数学概念的本质.例7. 函数()3sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中不正确．．．的是（ D ） （写出所有正确结论的编号）A. 图象C 关于直线1112πx =对称 B.图象C 关于点203，π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间51212，ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数D.由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C例8．定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 ．答案：1.例9．已知实数d c b a ,,,成等比数列，且对函数x x y -+=)2ln(，当b x =时取到极大值c ，则ad 等于（ A ） A ．1-B ．0C ．1D ．2例10．已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则na n的最小值为（ B ） .A 8 .B 7 .C 6 .D 5例11．两条分别平行于x 轴和y 轴的直线与椭圆C ：192522=+y x 交于A 、B 、C 、D 四点，则四边形ABCD 面积的最大值为 答案：30. 3.解决数学问题的一般思路的落实如何分析函数的问题？如果是数列求和问题，应该先想什么？拿到一个解析几何的题目，如何分析？立体几何的问题要思考什么？等等，类似这样的问题，要让学生多想想，通过不同的问题，让学生多思考，过去讲过的、做过的很多的经典的题目换个视角让学生再思考！我们要教给学生思考的方法而不是题型套路.查漏补缺关注遗漏的知识点仅仅是一个方面，更重要的是学生的数学的思维方法是不是还有没落实的地方.例12．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么当四边形P A C B 面积取最小值时，弦AB = .解析：过圆心C （1，1）作直线3480x y ++=的垂线，垂足为P,这时四边形P A C B面积的最小值为，四边形P A C B 中,3,3AB CP CP AB ⊥=∴=. 例13．已知点()1,M a -和(),1N a 在直线:2310l x y -+=的两侧，则a 的取值范围是 .解析：Q ,M N 两点位于直线的两侧，()()2312310,a a ∴++-+<故11a -<<例14.已知点(1,0)A -、(1,0)B ，00(,)P x y 是直线2y x =+上任意一点，以A 、B 为焦点的椭圆过点P .记椭圆离心率e 关于0x 的函数为0()e x ，那么下列结论正确的是 ( B ) A.e 与0x 一一对应 B.函数0()e x 无最小值，有最大值 C.函数0()e x 是增函数 D.函数0()e x 有最小值，无最大值1c e a a== 当点P 在'A B （a 取得最小值， 此时，增大。

2020届高考数学查漏补缺之填空题题型专练（二）1、已知平面向量,,a b r r ||1a =r ,||2b =r ,1a b ⋅=r r .若e r为平面单位向量,则||||a e b e ⋅+⋅r r r r 的最大值是__________.2、设R x ∈,使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________.3、将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为种.（用数字作答） 4、在等差数列{}n a 中,若12324a a a ++=-,18192078a a a ++= ,则此数列前20项的和等于__________5、已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，， 则22x y +的取值范围是__________.6、已知向量a r ,b r 的夹角为60o ,2a =r ,1b =r ,则2a b +=r r __________.7、直线:10l mx y m +--=过定点___________，过此定点倾斜角为π2的直线方程为___________.8、某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是__________2cm ,体积是__________3cm .9、如图,扇形AOB 的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为__________.10、已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调,则t 的取值范围是__________ 11、已知两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为__________.12、已知数列{}n a 满足，111,131n n n a a a a --==⋅+，则该数列的通项n a =______.答案以及解析1答案及解析：解析：由题意,||||||||a eb ea eb e e e ⋅⋅⋅+⋅=+r r r rr r r r r r ,即向量a r 在e r 上的投影的模与向量b r 在e r 上的投影的模的和,所以当e r 与a b +r r平行,||||a e b e ⋅+⋅r r r r 取得最大值.所以()max||||||a e b e a b ⋅+⋅=+=r r r r r r2答案及解析： 答案：21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：2320x x +-<变形为(1)(32)0x x +-<,解得213x -<<,故使不等式成立的x 的取值范围为21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.3答案及解析： 答案：150解析：根据题意，分2步进行分析： ①、先将甲、乙等5位同学分成3组：若分成1−2−2的三组,有1225422215C C C A =种分组方法， 若分成1−1−3的三组,有1235432210C C C A =种分组方法， 则将5人分成3组，有151025+=种分组方法；②、将分好的三组对应三所大学,有336A =种情况，则每所大学至少保送一人的不同保送方法256150⨯=种； 故选：C.4答案及解析： 答案：180解析：∵1231819201202193181203()782454a a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+=-=, ∴12018a a +=. ∴12020()2018101802a a S +⨯==⨯=.5答案及解析： 答案：4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：不等式组所标示的平面区域是以(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部,如图由图知原点到直线 220x y +-=距离平方为22x y +最小值,为2455= ⎪⎝⎭,原点到点()2,3距离平方为22x y +最大值,为13,因此22x y +取值范围为4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6答案及解析： 答案：23解析：()2222a b a b +=+r r r r()2222cos602a a b b =+⋅⋅⋅︒+r r r r221222222=+⨯⨯⨯+44412=++=,∴2a b +==u ur r7答案及解析： 答案：()1,1；1x =解析：直线:10l mx y m +--=化为：()110x m y -+-=， ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得1,1x y ==，∴直线:10l mx y m +--=过定点()1,1， 过此定点()1,1倾斜角为π2的直线方程为1x =. 故答案为：()1,1，1x =.8答案及解析： 答案：80; 40解析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,222=62+24+42422=80S ⨯⨯⨯⨯-⨯表.3244240V =+⨯⨯=.9答案及解析： 答案：2解析：由扇形面积公式211222l l S lr l αα==⋅=，知412α=，所以2α=.10答案及解析： 答案：(0,1)(2,3)U解析：由题意知()()()2133434x x x x f x x x x x---+-'=-+-＝＝- 由()0f x '＝得函数()f x 的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间()1t t ，＋内， 函数()f x 在区间[]1t t ，＋上就不单调，由11t t <<＋或31t t <<＋，得01t <<或23t <<.11答案及解析：解析：把330x y +-=变化为6260x y +-=,则d =12答案及解析： 答案：132n a n =- 解析：()113112n n n a n a a --+=≥则1113n n a a --=，且111a =∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1n a 为首项，以3为公差的等差数列，则()1131n n a =+-，∴132n a n =-综上所述，答案：132n a n =-。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是 （A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C ）32-（D ）32（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

数学查漏补缺题说明：查漏补缺题是在海淀的五次统练基础上的补充，绝非猜题押宝，每道题的选择都有其选题意图，有的侧重知识、有的侧重方法、有的侧重题型、有的侧重选题内容，请老师根据选题意图，有所选择、有所侧重地训练学生.最后阶段的复习，应是梳理知识、梳理解题方法的基础上查漏补缺.三角函数1、在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边长分别是a 、b 、c .满足b A c C a =+cos cos 2. （1）求C 的大小；（2）求B A sin sin +的最大值.解：（1）由正弦定理及b A c C a =+cos cos 2得， B A C C A sin cos sin cos sin 2=+. 在ABC ∆中，π=++C B A ，∴B C A -=+π，即B C A sin )sin(=+.∴B C A B C A C A A C C A sin cos sin sin cos sin )sin(cos sin cos sin 2=+=++=+∴0cos sin =C A又Θπ<<A 0，π<<C 0，∴0sin >A . ∴0cos =C .∴2π=C .（2）由（1）得2π=C ，∴2π=+B A ，即A B -=2π.ΘA A B A cos sin sin sin +=+)4sin(2π+=A ，20π<<A ，∴4344πππ<+<A . ∴当4π=A 时，B A sin sin +取得最大值2.命题意图：在已知边角关系中既有边又有角的等式，一般要进行边角统一，边化角常用正弦定理，角化边常用正弦、余弦定理；熟练掌握()sin cos a x b x x φ+=+的变形；另外对于函数B x A y ++=)sin(φω的图象和性质要掌握好;已知三角函数值求角时，一定要注意角的取值范围，注意细节. 2、已知21cos cos sin )(2-+=x x x x f . （1）求)(x f 的对称轴方程；（2）将函数)(x f 的图象按向量a 平移后得到函数)(x g 的图象，若)(x g y =的图象关于点)0,2(π对称，求a 的最小值. 解：（1）2122cos 12sin 21)(-++=x x x f)2cos 2(sin 21x x +=)42sin(22π+=x 由242πππ+=+k x 得,28Z k x k ππ=+∈. )(x f ∴的对称轴方程为,28Z k x k ππ=+∈. （2）由题意可设(,0)m =a 则)422sin(22)(π+-=m x x g 又因为)(x g 的图象关于点)0,2(π对称，则有0)24sin(22=-+m ππ， 即552,,482Z k m k m k ππππ-=∴=-∈. 5,82Z k k ππ∴=-∈a 所以当1=k 时，min .8π∴=a命题意图：对于三角公式，重中之重是倍角公式、降幂公式及辅助角公式.如果三角函数解答题要求单调性、对称性、周期等，一般暗示着“化一”的过程，即通过恒等变形把函数化为B x A y ++=)sin(φω；另外会从“数”和“形”两方面来分析这个函数的性质和几何特点,即以图引导思维；注意平移问题的处理，如函数平移，按向量平移，曲线的平移问题. 提示：要求学生记清诱导公式，“特殊角”的三角函数值.数列1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()L n=1,2,3. （Ⅰ）求证：数列{}1+n S 为等比数列； （Ⅱ）求通项公式n a ； （Ⅲ）设2n nn S a b =,求证：1...21<+++n b b b . 证明：（Ⅰ）2+3=1+n n S S Θ, )1+(3=1+∴1+n n S S . 又3=1+1S Θ,{}1+∴n S 是首项为3，公比为3的等比数列且*31,N n n S n =-∈.（Ⅱ）1=n 时，2==11S a ,1>n 时，)13()13(11---=-=--n n n n n S S a)13(31-=-n 132-⨯=n .故1*23,N n n a n -=⨯∈.（Ⅲ） ()11211232311,1(31)(31)(31)3131n n n nn n n nb n ----⨯⨯=<=->-----Q )131131()131131()131131(21...1322121---+⋅⋅⋅+---+---+<+++∴-n n n b b b 11312121<--+=n . 命题意图：数列既是高中数学的重点，也是难点.掌握好等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，能用概念判断是否为等差、等比数列.常见考点：n S 与n a 的关系（注意讨论）；b ka a n n +=+1；递推——猜想——数学归纳法证明；迭加)(1n f a a n n +=+；迭乘n n a n f a ⋅=+)(1；裂项求和；错位相减等；数列不等式证明中注意放缩法的运用.2、无穷数列{}n a 满足：1221+-=+n n n a a n n λ（0≥λ为常数）. （1）若,11=a 且数列{}n na 为等比数列，求λ； （2）已知,11=a 3=λ，若8050<<m a ，求m ；（3）若存在正整数N ，使得当N n >时，有n n a a <+1，求证：存在正整数M ，使得当M n >时，有.0<n a解：（１）2121n n a n na n λ+-=+Q ，1(1) 2.n nn a n na λ++∴=- 由{}n na 为等比数列，知2-n λ与n 无关，故0=λ.当0=λ时，数列{}n na 是以１为首项，以2-为公比的等比数列. （２）当3=λ时，23)1(1-=++n na a n nn .取n 为１，２，３，1,-n Λ，累乘得:)53(74111-⨯⨯⨯⨯=n a na nΛ （2≥n ）. 11,a =Q14(35)(2)1(1).n n n a nn ⨯⨯⨯-⎧≥⎪∴=⎨⎪=⎩L ， 当2≥n 时，n n n n a a n nn a a >⇒>+-=++1111)23(. 而80,56,50654>=<a a a ，5=∴m （３）当0=λ时，0121<+-=+n na a n n ，说明n n a a 与1+异号，此时不存在正整数N ，使得当N n >时，有n n a a <+1.当0>λ时，必存在正整数0N （取大于λλ2493++的正整数即可），使得当0n N >时，有1122>+-n nn λ，即存在正整数0N ，使得当0n N >时，有11>+nn a a ； 因为存在正整数N ，使得当N n >时，恒有n n a a <+1成立，取1N 为0N 与N 的较大者，则必存在正整数1M N ≥，使得当M n >时，0<n a .∴存在正整数M ，使得当M n >时，有.0<n a命题意图：数列中涉及恒成立或存在性的问题，往往和最大（小）值及单调性有关，常见做法是用1+n a 和n a 进行作差、作商、比较或构造函数来判断；通过本题的练习，希望学生能根据题目的条件和结论获取信息，抓住特点，进行代数推理论证；本题第（3）问也可用反证法说明，解题中要重视它的运用.立体几何1、在直平行六面体1AC 中，ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，AC BD O =I ，1AB AA =.（1）求证：1//C O 平面11AB D ； （2）求证：平面11AB D ⊥平面11ACC A ； （3）求直线AC 与平面11AB D 所成角的大小. 证明：（1）连接11A C 交11B D 于1O ，连结1AO . 在平行四边形11AAC C 中，11//C O AO ，11C O AO =，∴四边形11AOC O 为平行四边形. ∴11//C O AO .Q 1C O ⊄平面11AB D ，1AO ⊂平面11AB D ， ∴1//C O 平面11AB D .（2）在直平行六面体1AC 中，1A A ⊥平面1111A B C D ，∴111A A B D ⊥.Q 四边形1111A B C D 为菱形， ∴1111B D A C ⊥.Q 1111A C AA A =I ，11A C ⊂平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ， ∴11B D ⊥平面11ACC A .Q 11B D ⊂平面11AB D ， ∴平面11AB D ⊥平面11ACC A .（3）过C 作1CH AO ⊥交1AO 于H .Q 平面11AB D ⊥平面11ACC A ，平面11AB D I 平面11ACC A 1AO =， ∴CH ⊥平面11AB D .∴AH 为AC 在平面11AB D 上的射影.∴CAH ∠是AC 与平面11AB D 所成的角.OD 1C 1B 1A 1DCBA O 1OD 1C 1B 1A 1DCBA H O 1OD 1C 1B 1A 1DCBA设2AB =，在菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，∴AC =在Rt 11AA O ∆中，1AO =Q 11AO CH AC OO ⋅=⋅，∴7CH =.∴sin CH CAH AC ==.∴arcsin7CAH ∠=. （3）解法二：连11A C 交11B D 于1O ，分别以OB ,OC ,1OO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.设2AB =，在菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，∴AC =2BD =.则A （0，，0），C （00），1B （1，0，2），1O （0，0，2）.∴1AO =u u u u r （0，2），1AB =u u u r （12）.设平面11AB D 的法向量=n （x ，y ，z ），则1100.AO AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r ，n n∴2020.z x z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，∴0x =.令y =32z =-. =n （0，32-）. 设AC 与平面11AB D 所成的角为α.A A∴27sin 721234ACACα⋅===⋅u u u r u u u r n n . ∴27arcsinα=. 命题意图：熟悉立体几何中常见问题及处理方法，要求学生敏锐把握所给图形特征，制定合理的解决问题策略.立体几何主要是两种位置关系（平行、垂直），两个度量性质（夹角、距离）.解决问题的方法也有两种：几何方法和向量方法.两种方法各有优缺点，前者难在“找”和“作”的技巧性，后者难在建系和计算上，究竟用哪种方法，到时根据自己的情况决断.2、如图，二面角P CB A --为直二面角，∠PCB =90°, ∠ACB =90°，PM ∥BC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°，又AC =1,BC =2，PM =1. (Ⅰ)求证：AC ⊥BM ;(Ⅱ)求二面角M -AB -C 的正切值； （Ⅲ）求点P 到平面ABM 的距离.解：（Ⅰ）∵平面PCBM ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ,平面ABC I 平面=PCBM BC ．∴AC ⊥平面PCBM . 又∵BM ⊂平面PCBM , ∴AC BM ⊥.（Ⅱ）取BC 的中点N ，则1CN =．连接AN 、MN ．∵平面PCBM ⊥平面ABC ，平面PCBM I 平面ABC BC =，PC BC ⊥． ∴PC ⊥平面ABC ．∵//PM CN =，∴//MN PC =，从而MN ⊥平面ABC ．作NH AB ⊥于H ，连结MH ，则由三垂线定理知AB MH ⊥．从而MHN ∠为二面角M AB C --的平面角． ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°， ∴60AMN ∠=︒ ．在ACN ∆中，由勾股定理得2AN =．在Rt AMN ∆中，36cot 233MN AN AMN =⋅∠=⋅=． 在Rt BNH ∆中，5sin 15AC NH BN ABC BN AB =⋅∠=⋅=⨯=． BCNAH在Rt MNH ∆中，tan 5MN MHN NH ∠===故二面角M AB C --的大小为arc （Ⅱ）如图以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．设0(0,0,)P z 0(0)z >，由题意可知(0,2,0)B ，(1,0,0)A ，0(0,1,)M z ．0(1,1,)AM z =-u u u u r ，0(0,0,)CP z =u u u r由直线AM 与直线PC 所成的角为60°，得cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅︒u u u u r u u u r u u u u r u u u r即200z z =，解得0z =．∴(1,1,3AM =-u u u u r ，(1,2,0)AB =-u u u r 设平面MAB 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则由110,0,30.20.AM x y z AB x y ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩u u u u r u u u r n n，取z =1=n . 取平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n则12cos ,<>nn 121213⋅===⋅n n n n 由图知二面角M AB C --为锐二面角，故二面角M AB C --的大小为． （Ⅲ）因为PM //,BN PM BN =，所以PMBN 是平行四边形，所以//PN BM ，因为PN ⊄平面AMB ，所以//PN 平面MAB .所以P 点到平面ABM 的距离等于N 点到平面ABM 的距离,111V 11332M ABN ABN MN S -∆=⋅=⋅⋅=ABM S ∆=，由等积可知，1V 1836M ABN h -==⋅⋅，解得h = P 点到平面ABM的距离为13.方法二、(1,0,3PA =-u u u r ，所以P 点到平面ABM的距离11||||PA d ⋅==u u u rn n 命题意图：用综合法解答立体几何问题，要注意步骤的规范性，如求二面角的大小，点到面的距离，要先证明，再计算.用向量方法解答，要注意两向量的夹角与所求角的关系，即相等、互补、互余等，还要注意所求角的范围，如斜线和平面所成角一定是锐角；要注意“体积法”在处理较难的角与距离问题中的灵活运用.注意：立体几何重在通性、通法的熟练，逻辑的严谨，计算准确上.概率1、理：某自助银行共有4台A TM 机，在某一时刻A 、B 、C 、D 四台ATM 机被占用的概率分别为31、21、21、25，设某一时刻这家自助银行被占用的ATM 机的台数为ξ （Ⅰ）如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，求该客户需要等待的概率； （Ⅱ）求至多有三台A TM 机被占用的概率； （Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望.解：（Ⅰ）设“如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，则该客户需要等待” 为事件M 111()326P M =⨯= 答：如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，该客户需要等待的概率为61. （Ⅱ）设“至多有三台ATM 机被占用” 为事件N111229()1322530P N =-⨯⨯⨯=答：至多有三台A TM 机被占用的概率为3029. （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4.10153212132)0(=⨯⨯⨯==ξP , 111321132113211219(1)322532253225322560P ξ==创?创?创?创?, 1113111311122113(2)322532253225322521122112113225322530P ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，601152212132522121315221213153212131)3(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==ξP ,12111)4(=⨯⨯⨯==ξP ,152630146011330112601911010)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 命题意图：概率主要考查两个公式（加法、乘法公式）、两个模型（古典概型、贝努里概型）（可以提醒学生“摸球”问题中的放回与不放回的区别）.但要注意答题的规范性，不要只列一个算术式子来解答；注意两个公式适用的条件，互斥和独立；注意两个模型的辨别；对于“至多”，“至少”问题，常用对立事件计算.2、文：某自助银行共有4台A TM 机，在某一时刻A 、B 、C 、D 四台ATM 机被占用的概率分别为31、21、21、25. （Ⅰ）如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，求该客户需要等待的概率； （Ⅱ）求至多有三台A TM 机被占用的概率； （Ⅲ）求恰有两台ATM 机被占用的概率.解：（Ⅰ）设“如果某客户只能使用A 或B 型号的A TM 机，则该客户需要等待” 为事件M . 111()326P M =⨯=. 答：如果某客户只能使用A 或B 型号的ATM 机，该客户需要等待的概率为61. （Ⅱ）设“至多有三台ATM 机被占用” 为事件N .111229()1322530P N =-⨯⨯⨯=. 答：至多有三台A TM 机被占用的概率为3029. （Ⅲ）设“恰有两台A TM 机被占用” 为事件S .1113111311122113()322532253225322521122112113225322530P S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=答：恰有两台ATM 机被占用的概率为3011.命题意图：概率主要考查两个公式（加法、乘法公式）、两个模型（古典概型、贝努里概型）. 但要注意答题的规范性，不要只列一个算术式子来解答；注意两个公式适用的条件，互斥和独立；注意两个模型的辨别；对于“至多”，“至少”问题，常用对立事件计算.3、小明一家三口都会下棋.在假期里的每一天，父母都交替与小明下三盘棋，已知小明胜父亲的概率是12，胜母亲的概率是23. (1) 如果小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率；(2) 父母与小明约定，只要他在三盘中能至少连胜．．两盘，就给他奖品，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下，还是先与母亲下？请用计算说明理由.解：(1) 记“小明在第i 盘胜父亲”为事件A i ()1,2,3i =，“小明在第i 盘胜母亲”为事件B i ()1,2,3i =， 则()12i P A =，()23i P B =. 所以小明恰胜一盘的概率为()123123123P A B A A B A A B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅11112111112322322323=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 答：小明恰胜一盘的概率为13.(2) 若与父亲先下，则小明获胜的概率为()12123P A B A B A ⋅+⋅⋅ 121211232322=⨯+⨯⨯=； 若与母亲先下，则小明获胜的概率为()12123P B A B A B ⋅+⋅⋅ 211124323239=⨯+⨯⨯=. ∵1429>, ∴小明应先与父亲下.命题意图：用数据说理和决策的意识.通过合理的分类、恰当的分步把复杂事件用相对简单（或已知概率）事件表示的能力，尤其是对（2）中()12123P A B A B A ⋅+⋅⋅121211232322=⨯+⨯⨯=划线部分的理解；还要注意概率和不等式等其它数学知识的交汇.解析几何1、已知动点P 到直线334-=x 的距离是到定点（0,3-）的距离的332倍.（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）如果直线:(1)l y k x =+)0(≠k 与P 点的轨迹有两个交点A 、B ，求弦AB 的垂直平分线在y 轴上的截距0y 的取值范围.解：（Ⅰ）设动点),(y x P ，由题意知22)3(332334y x x ++=+.1422=+∴y x .即动点P 的轨迹方程是1422=+y x . （Ⅱ）联立方程组22(1),1.4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：0448)41(2222=-+++k x k x k .从而 2212221224816081444.14k k x x k k x x k ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，， 弦AB 的中点坐标为：)41,414(222kk k k ++- 弦AB 的线段垂直平分线方程为)414(141222k k x k k k y ++-=+-.所以垂直平分线在y 轴上的截距为：20413k ky +-=，()0k ≠.故弦AB 的线段垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围为]43,0()0,43[⋃-. 命题意图：对解析几何两大基本问题：①求轨迹；②通过方程研究曲线性质进行再梳理.轨迹方程的求法一般分为直接法和间接法.直接法的步骤：建系设点，找等量关系，列方程，化简，检验；间接法的关键是找参数.如果明确说直线与圆锥曲线有两个不同的交点，一般是考查判别式与根系关系的应用.取值范围一般是函数的值域或不等式（组）的解集.2、已知点,A B 分别是直线y x =和y x =-的动点（,A B 在y 轴的同侧），且OAB ∆的面积为98，点P 满足2AP PB =u u u r u u u r . （1）试求点P 的轨迹C 的方程；（2）已知F)，过O 作直线l 交轨迹C 于两点,M N ，若23MFN π∠=，试求MFN ∆的面积.（3）理：已知F )，矩形MFNE 的两个顶点,M N 均在曲线C 上，试求矩形MFNE面积的最小值.解：（1）设()11,A x x ，()22,B x x -，(),P x y ，则由2AP PB =u u u r u u u r 可得12122,(1)32(2)3x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因为OAB ∆的面积为98，所以12129182OA OB x x ===12x x =.22(1)(2)-得：2212819x xx y -==.所以，点P 的轨迹C 的方程为221x y -=. （2）显然)F为C的右焦点，设其左焦点为()'F .连接','F M F N ，由双曲线的对称性可知四边形'F MFN 为平行四边形，故3'ππ=∠-=∠MFN MF F .设1'MF r =，2MF r =.则由双曲线定义得： 122r r -=，即22121224r r r r +-=. 在'MF F ∆中，由余弦定理得： 3cos 2212221πr r r r -+=82'=FF.两式作差得：421=r r .所以，MFN ∆的面积33sin 2121'===∆πr r S S MFF . （3）（理）当直线MN x ⊥轴时，:FN y x =-MN的方程为x =，此时，矩形MFNE 面积为14.设直线:MN y kx m =+，代入221x y -=，消去y 得：()()2221210k x mkx m ---+=.设()()1122,,,M x y N x y ，则()()12221222222,11,1410,10mk x x k m x x kk m k ⎧+=⎪-⎪-+⎪⎪=⎨-⎪⎪∆=-+>⎪-≠⎪⎩ 由0FM FN ⋅=u u u u r u u u r得：2310k -+=.矩形MFNE 面积)()()22121221221321241k S FM FN e x e x x x x x k k -==-=-++=-+-.若21k <，显然2S ≥，若21k >，则令2312t k =->，故()222912241242419t S t t t t =-+=-+>⎛⎫---- ⎪⎝⎭.综上所述，可知当直线MN x ⊥轴时，矩形MFNE 面积最小为14. 命题意图：本题抓住解析几何重点研究问题设问，熟悉巩固通性通法，典型几何条件如长、角等的代数转换方法，让学生理解解析几何的基本思想与策略.解析几何要把握好条件的等价翻译，理顺各量间的关系，计算准确，进而得出正确结论.取值范围、最值、存在性、定值等问题是高中数学的重点题型，要重视.最值问题一般要建立函数关系（求哪个量的最值，这个量一般是因变量，关键是找到主动变化的量，即自变量），并且指出函数的定义域（定义域往往和判别式有关）.解析几何考最值要注意均值定理、导数和二次函数的运用.函数、导数1、设1()1(R)f x ax a x =+∈-，曲线y = f (x )在点（2，f (2)）处的切线方程为y = x +3. （1）求f (x )的解析式；（2）若x ∈[2,3]时，f (x )≥bx 恒成立，求实数b 的取值范围. 解：（1）由条件得f (2)=5，则（2，5）在)(x f 上，有512=+a 即.2=a112)(-+=∴x x x f （2）x ∈[2,3]时，f (x )≥bx 恒成立等价于)1(12)(-+=≤x x x x f b 恒成立， 令)1(12)(-+=x x x h x ∈[2,3]，所以]25,613[)(∈x h613≤∴b命题意图：切线方程要注意“在点”和“过点”的区别；恒成立问题，存在性问题一般和最值、值域、单调性密切相关，当不等式两端都为变量时，一般要先分离变量. 2、（理）已知函数())f x x a =+（0>x ，∈a R ）(1) 求函数)(x f 的单调区间；(2) 求函数)(x f 在[]1,8上的最大值和最小值．解：(1) ()4133f x x ax =+，故()12334133f x x ax -'=+=若0a ≥，则()0f x '>，因此()f x 在()0,+∞上是增函数．若0a <，则由()0f x '>得4a x >-，因此()f x 的单调递增区间是,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是0,4a ⎛⎫-⎪⎝⎭． (2) 若4a ≥-，则()0f x '>（[]1,8x ∈），因此()f x 在[]1,8上是增函数．那么()f x 在[]1,8x ∈上的最小值是()11f a =+，最大值是()8216f a =+； 若32a ≤-，则()0f x '<（[]1,8x ∈），因此()f x 在[]1,8上是减函数．那么()f x 在[]1,8x ∈上的最小值是()8216f a =+，最大值是()11f a =+．所以()f x 在[]1,8x ∈上的最小值是344a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当()()118216f a f a =+≥=+，即3215a -<≤-时，最大值是1a +；当154a -<<-时，最大值是216a +．命题意图：导数的应用，重点是单调性、极值、最值问题（或方程、不等式等可转化为最值的问题），要注意通性通法的落实.如果有参数，常常需要分类讨论：提取常数系数时，要注意系数是否可能为零；导数为零的x 的值有多个时，要注意它们的大小关系是否是确定的等.2、（文）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R Q ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-()0t >．（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立， 即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．命题意图：使文科学生熟悉导数的基本应用，巩固处理此类问题的通性通法.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用．不等式1、已知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，且2()24f x x x =- （I ）求函数()y g x =的解析式；（II ）解不等式()()|1|2f xg x x +≤-；解：（I ）设函数()y g x =图象上任意一点(,)P x y ，由已知点P 关于y 轴对称点'(,)P x y -一定在函数()y f x =图象上，代入得224y x x =+，所以()g x =224x x +（II ）()()|1|2f xg x x +≤-22|1|x x ⇔≤-22110x x x ⎧≤-⇔⎨-≥⎩或22110x xx ⎧≤-⎨-<⎩1x x ∈∅⎧⇔⎨≥⎩或1121x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪<⎩ 112x ⇔-≤≤命题意图：引导学生复习对称性（轴对称、中心对称）问题的处理方法.解不等式的方法可以概括为“化归”的过程，即转化为有理不等式.含有绝对值的不等式，就是要根据绝对值的意义去掉绝对值符号，根据不同情况进行分类讨论，但要分清楚各个步骤是求交集还是并集.2、已知不等式112>+x 的解集为A ，不等式02)2(2<++-a x a x 的解集为B . （1）求集合A 及B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.解：（1）由112>+x ，得0112>+--x x 即011<+-x x . 解得11<<-x .∴{}11<<-=x x A .由02)2(2<++-a x a x ，得0))(2(<--a x x . ①若2>a ，则=B （2，a ）； ②若2=a ，则=B ∅； ③若2<a ，则=B （a ，2）. （2）要使B A ⊆，则2<a . 并且1-≤a .所以，当1-≤a 时，B A ⊆.命题意图：复习简单不等式的解法，注意分式不等式的等价转化，弄清集合间的关系，注意分类讨论的思想方法.。