第一章 立体几何初步章末总结

高中数学第一章立体几何初步章末小结教案新人教B版必修1示范教案整体设计教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章内容，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．值得注意的是对于本章知识结构，学生比较陌生，教师要帮助学生完成，并加以引导．三维目标通过总结和归纳立体几何的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力．重点难点教学重点：①空间几何体的结构特征．②由三视图还原为实物图．③面积和体积的计算．④平行与垂直的判定与性质．教学难点：形成知识网络．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.第一章是整个立体几何的基础，为了系统地掌握本章的知识和方法，本节对第一章进行复习．教师点出课题．设计2.大家都知道，农民伯伯在春天忙着耕地、播种、浇水、施肥、治虫，非常辛劳，到了秋天，他们便忙着收获．到了收获的季节，他们既高兴又紧张，因为收获比前面的工作更重要，收获的多少决定着一年的收成．我们前面的学习就像播种，今天的小结就像收获，希望大家重视今天的小结学习．教师点出课题．推进新课新知探究提出问题1请同学们自己梳理本章知识结构.2对比直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系.3对比面积、体积各自之间的关系.讨论结果：(1)本章知识结构：(2)平行关系与垂直关系的对比：(3)①柱、锥、台的侧面积关系：其中c′、c 分别为上、下底面周长，h′为斜高或母线长，h 为正棱柱或圆柱的高． ②柱、锥、台的体积关系：其中S 上、S 下分别为台体的上、下底面积，h 为高，S 为柱体或锥体的底面积． ③球的表面积和体积：S 球面＝4πR 2，V 球＝43πR 3.应用示例思路1例1 下列几何体是台体的是( )解析：A 中的“侧棱”没有相交于一点，所以A 不是台体；B 中的几何体没有两个平行的面，所以B 不是台体；很明显C 是棱锥，D 是圆台．答案：D点评：本题主要考查台体的结构特征．像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握．变式训练 1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱C ．两个圆台、一个圆柱D ．一个圆柱、两个圆锥 解析：因为梯形的两底平行，故另一底旋转形成了圆柱面．而两条腰由于与旋转轴相交，故旋转形成了锥体．因此得到一个圆柱、两个圆锥．答案：D2．下列三视图表示的几何体是( )A ．圆台B ．棱锥C ．圆锥D ．圆柱解析：由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体．又侧视图和正视图均是 等腰梯形，所以该几何体是圆台．答案：A3．下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的棱长都相等；②棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；③棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；④棱柱的上、下底面形状、大小相同． 正确的有__________．解析：棱柱的所有侧棱长都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等，其侧面都是平行四边形，只有当棱柱是直棱柱时，侧面才是矩形，侧面个数与底面边数相等，棱柱的上、下底面是全等的多边形，由此可知仅有③④正确．答案：③④2 已知正方体外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.233 C.423 D.433解析：过正方体的相对侧棱作球的截面，可得正方体的对角线是球的直径．设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则有2R ＝3a ，所以R ＝3a 2.则4π3(3a 2)3＝32π3，解得a ＝433. 答案：D点评：解决球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体外接球的直径是正方体的对角线这一隐含条件使得问题顺利获解．空间几何体的表面积和体积问题是高考考查的热点之一．主要以选择题或填空题形式出现，也不排除作为解答题中的最后一问，题目难度属于中、低档题，以考查基础知识为主，不会出现难题．其解决策略是利用截面或展开图等手段，转化为讨论平面图形问题，结合平面几何的知识来求解．变式训练1．如下图(1)所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23 B.33 C.43 D.32(1) (2)解析：如上图(2)所示，过B 作BG⊥EF 于G ，连结CG ，则CG⊥EF，BF ＝1，△BCG 中，BG ＝32，BC 边上的高为22，而S △BCG ＝12×1×22＝24， ∴V F —BCG ＝13×24×12＝224.同理过A 作AH⊥EF 于H ，则有V E —AHD ＝224，显然BCG —ADH 为三棱柱，∴V BCG —ADH ＝24×1＝24.则由图(2)可 知V ADE —BCF ＝V F —BCG ＋V E —AHD ＋V BCG —ADH ＝23. 答案：A点评：本题求几何体体积的方法称为割补法，经常应用这种方法求多面体体积．割补法对空间想象能力的要求很高且割补法的目的是化不规则为规则．2．某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其主视图如下图所示，则这个容器的容积为( )A.7π3 m 3 B.8π3m 3C ．3π m 3D ．12π m 3解析：由该容器的主视图可知圆柱的底面半径为1 m ，高为2 m ，圆锥的底面半径为1 m ，高为1 m ，则圆柱的体积为2π m 3，圆锥的体积为π3 m 3，所以该容器的容积为7π3 m 3.答案：A点评：三视图是新课标高考的新增内容，在高考中会重点考查，在该知识点出题的可能性非常大，应予以重视．此类题目的解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握．3．如下图所示，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )A.423 B.433 C.36 D.83解析：根据三视图，可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为主视图等边三角形的高3，所以体积为13×4×3＝433.答案：B例3 如下图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.证明：(1)直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC⊥BC. ∵C 1C⊥AC，∴AC⊥平面BCC 1B 1. 又∵BC 1⊂平面BCC 1B 1， ∴AC⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ， ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴DE∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1. 变式训练 如下图(1)，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG⊥平面PAD ； (2)求证：AD⊥PB；(3)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF⊥平面ABCD ，并证明你的结论．(1) (2)证明：(1)如上图(1)，∵在菱形ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为AD 的中点， ∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴BG⊥平面PAD.(2)如上图(2)，连结PG.∵△PAD 为正三角形，G 为AD 的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G ，PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，且PG∩BG＝G ，∴AD⊥平面PGB.∵PB ⊂平面PGB ，∴AD⊥PB.(3)解：当F 为PC 的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：F 为PC 的中点时，在△PBC 中，FE∥PB，又在菱形ABCD 中，GB∥DE，而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，FE∩DE＝E ，∴平面DEF∥平面PGB.PG⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， ∴平面PGB⊥平面ABCD. ∴平面DEF⊥平面ABCD.点评：要证两平面垂直，最常用的办法是用判定定理：证一个平面内的一条直线垂直于另一平面，而线垂直面的证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直已知直线．要善于运用题目给出的信息，通过计算挖掘题目的垂直与平行关系，这是一种非常重要的思想方法，它可以使复杂问题简单化．思路2例 4 一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，则该几何体的表面积是__________，体积是__________．活动：学生回顾简单几何体的结构特征和三视图．解析：由三视图知该几何体是圆锥，且母线长为5 cm ，底面半径是3 cm ，圆锥的高是4 cm ，所以其表面积是π×3×(3＋5)＝24π (cm 2)，体积是π3×32×4＝12π (cm 3)．答案：24π cm 212π cm 3点评：本题主要考查三视图和圆锥的体积．解决本题的关键是由三视图能够想象出圆锥．变式训练1．下图所示的是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图(尺寸不限)．分析：先从三视图想象出实物形状，再根据实物形状画出它的直观图．解：由三视图可知该几何体是一个正三棱台，画法：(1)如左下图所示，作出两个同心的正三角形在一个水平放置的平面内的直观图；(2)建立z′轴，把里面的正三角形向上平移高的大小；(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，遮住线段用虚线表示，如右上图所示，即得到要画的正三棱台．2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，左下图所示是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )A．0 B．7 C．快D．乐解析：如右上图所示，将左上图折成正方体，可得2的下面是7.答案：B例 5 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 4 cm，则这个球的体积等于__________cm3.解析：正方体的对角线是球的直径，所以球的半径为432＝2 3 (cm)，其体积为4π3(23)3＝323π (cm3)．答案：323π点评：解决组合体问题的关键是明确组合体的结构特征．变式训练1．两相同的正四棱锥组成如下图(1)所示的几何体，可以放在棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体下图(2)的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个 解析：方法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个． 方法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为12，考查放入正方体后，面ABCD 所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是[12，1)，所以该几何体的体积取值范围是[16，13)．答案：D2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．434π D ．832π 解析：两小球的体积是2×4π3×13＝8π3，设大球的半径为R ，则有4π3R 3＝8π3，解得R ＝32.所以大球的表面积为4π(32)2＝434π.答案：C 知能训练1．如下图，直观图所示的原平面图形是( )A ．任意四边形B ．直角梯形C ．任意梯形D ．等腰梯形解析：显然直观图中边A′D′与B′C′都平行于x′轴，所以它们所对应的原图形中的边AD 、BC 是互相平行的；直观图中A′B′与y′轴平行，所以在原图形中对应的边AB 垂直于BC ；但是直观图中C′D′与y′轴不平行，所以在原图形中对应的边CD 不垂直于BC ，即AB 与CD 不平行．所以原图形应是直角梯形．答案：B2．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A ．64 B ．16 C ．96 D ．不确定解析：由于正方体的体积是64，则其棱长为4，则其表面积为6×42＝96. 答案：C3．某四面体的各个面都是边长为1的等边三角形，则此四面体的表面积是( )A ．4 B.34C ．2 3 D. 3 解析：每个等边三角形的面积都是34，所以此四面体的表面积是4×34＝ 3. 答案：D4．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为__________．解析：圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长， 所以2πr＝4π，即r ＝2.所以S 底＝4π.所以S 全＝24π2＋8π.②以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长， 所以2πr＝6π，即r ＝3. 所以S 底＝9π.所以S 全＝24π2＋18π.答案：24π2＋8π或24π2＋18π5．如下图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m ，高是7 m ，制造这个塔顶需要多少铁板？分析：转化为求这个四棱锥的侧面积．利用过四棱锥不相邻的两侧棱作截面，依此来求侧面等腰三角形的面积．解：如下图所示，连结AC 和BD 交于O ， 连结SO ，则有SO⊥OA，所以在△SOA 中，SO ＝7 (m)， OA ＝22×2＝2(m)， 则有SA ＝7＋2＝3(m)， 则△SAB 的面积是 12×2×22＝22(m 2)． 所以四棱锥的侧面积是4×22＝8 2 (m 2)．答：制造这个塔顶需要8 2 (m 2)铁板．6．如下图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.分析：(1)转化为证明B1D1∥BD；(2)转化为证明AC⊥面BB1D；(3)转化为证明DC1的中点与M点的连线垂直平面DCC1D1.(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，而BD⊂平面A1BD，B1D1平面A1BD，∴B1D1∥面A1BD.(2)证明：∵BB1⊥面ABCD，AC⊂面 ABCD，∴BB1⊥AC，又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥面BB1D.而MD⊂面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解：当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连结NN1交DC1于O，连结OM，如下图所示．∵N是DC中点，BD＝BC，∴BN⊥DC；又∵DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，∴BN⊥面DCC1D1.又可证得，O是NN1的中点，∴BM∥ON，且BM＝ON，即四边形BMON 是平行四边形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC 1D 1D ，∵OM 面DMC 1，∴平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.拓展提升问题：如下图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3，分别过BC 、A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝VAEA 1—DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1—FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B —C 1F 1C.若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，试求截面A 1EFD 1的面积．探究：利用体积关系得到面积的关系解决此类问题，且灵活应用“转化”这一重要数学思想．截面A 1EFD 1为一个矩形，求其面积只要求出A 1E 的长度．注意到被两平行平面分割而成的三部分都是棱柱，其体积比也就是在侧面A 1B 被分割成的三个图形的面积比，于是容易得到各线段长度比进而得到线段AE 的长度，再利用勾股定理容易得到A 1E 的长度．解：因为V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，又棱柱AEA 1—DFD 1，EBE 1A 1—FCF 1D 1，B 1E 1B —C 1F 1C 的高相等，所以S△A 1AE∶S A 1EBE 1∶S△BB 1E 1＝1∶4∶1.所以S△A 1AE ＝16×3×6＝3， 即12×3×AE＝3. 所以AE ＝2.在Rt△A 1AE 中，A 1E ＝9＋4＝13，所以截面A 1EFD 1的面积为A 1E×A 1D 1＝A 1E×AD＝413.答：截面A 1EFD 1的面积为413.课堂小结本节课复习了：1．第一章知识及其结构图；2．三视图和体积、面积的有关问题；3．平行与垂直的判定．作业复习参考题A 7,8,9题．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于由三视图还原实物图，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结．备课资料领悟数学之妙几何学悖论悖论是逻辑学的名词，指自相矛盾的命题，如果承认这个命题，就可推出它的否定，反之如果承认这个命题的否定，却又可以推出这个命题．悖论在表面上看来是不可能的或者是自相矛盾的，然而你经过推理，却发现它们依然是真的，悖论不同于诡辩，它只是不自觉地导致了彼此矛盾的结果，在推导结果的过程中，遵循着一系列无懈可击的推理思想前进，结果却令人大吃一惊，忽然发现自己已陷入矛盾之中，这就不能不引起人们对悖论的兴趣，不仅一般人，而且包括大数学家们．下面举一些几何学方面的悖论的例子：(1)(2)1．不知去向的立方体在上图(1)中画了堆在一起的一些立方体，有人数有六个，有人则数有七个，怎么会数出的数相差一个呢？难道7＝6吗？我们可以用两种不同的方法去看．一种方法是用面A，B，C来组成小立方体，这样，可以数出有6个小立方体．还可用面A′，B′，C′来组成小立方体，这样，可以数出7个小立方体．由于采用哪种方法去看都同样有理，因此，6个或7个小立方体都是正确的．2．彭罗斯台阶如上图(2)是一个称为“彭罗斯台阶”的形体，它是由数学家罗杰尔·彭罗斯发明的，人们可以沿着台阶不断向上攀登，而一次又一次地回到自己原来的位置，这不就是说“向上等于向下”吗？当然不可能！只是由于我们的眼睛受图画的迷惑而认为这种台阶是存在的．。

学习必备欢迎下载第一章《立体几何初步》单元知识总结知识链接构成几何体的基本元平行投影与中心投空间几何体柱，锥，台，球的结构特征柱，锥，台，球的表面积和体积直观图和三视图的画法平面的基本性质确定平面的条件空间平行直线及其传递点，线，面之空间中的平行关直线与平面平行的判定及性间的位置关质系平面与平面平行的判定及性直线与平面垂直的判定及性空间中的垂直关系平面与平面垂直的判定及性点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

（2）能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。

（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4）理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。

（5）理解平面的基本性质及确定平面的条件。

（6）掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。

（7）掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。

名师导航1.学习方法指导（ 1）空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。

②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。

③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。

④对于一个正棱台， 当上底面扩展为下底面的全等形时， 就变为一个直棱柱； 当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。

由 S 正棱台侧1(c c )h 和 V 正棱台h(sss s ) ，就可看出它们的侧面积与体积23公式的联系。

（ 2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个 公理。

②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。

③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直。

《立体几何初步》精要总结一、空间几何体1．棱柱：有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两面的交线都平行。

（1）分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。

②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱等。

（2）棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形；③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

2．平行六面体：底面是平行四边形的柱叫做平行六面体。

（1）{平行六面体}⊃≠{直平行六面体}⊃≠{长方体}⊃≠{正四棱柱}⊃≠{正方体}；（2）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；3样的棱锥叫正棱锥。

特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。

性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等；②正棱锥的高h 、斜高h '、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径r ）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径R ）、底面的半边长可组成四个直角三角形。

4．正棱台：由正棱锥截得的棱台叫正棱台。

正棱台的特性，尤其是正棱台的上、下底面半径、边心距和 侧棱、斜高和台高所形成的三个直角梯形和两个直角三角形，在解决问题中往往起到关键的作用。

直角梯形可以转化为直角三角形，这四个直角三角形包含了正棱台的主要元素，底面边长、边心距、高、斜高，应用它们之间的关系就可以解 决正棱台的有关计算问题。

5．球：球的截面的性质：①用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直。

立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。

- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。

- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。

- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。

- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

高中数学必修二第一章立体几何初步知识点立体几何初步是高中数学必修二第一章的内容，有哪些知识点需要掌握的呢?下面是店铺给大家带来的高中数学必修二立体几何初步知识点，希望对你有帮助。

高中数学必修二第一章立体几何初步棱柱表面积A=L*H+2*S,体积V=S*H(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积)圆柱表面积A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,体积V=S*H=π*R^2*H(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积,R--底面圆半径)球体表面积A=4π*R^2,体积V=4/3π*R^3(R-球体半径)圆锥表面积A=1/2*s*L+π*R^2,体积V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H (s--圆锥母线长,L--底面周长,R--底面圆半径,H--圆锥高)棱锥表面积A=1/2*s*L+S,体积V=1/3*S*H(s--侧面三角形的高,L--底面周长,S--底面面积,H--棱锥高)长方形的周长=(长+宽)×2 正方形 a—边长 C=4aS=a2 长方形 a和b-边长 C=2(a+b)S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a边上的高s-周长的一半 A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC [s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα 平行四边形 a,b-边长 h-a边的高α-两边夹角S=ah =absinα =菱形 a-边长α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 S=Dd/2=a2sinα 梯形 a和b-上、下底长 h-高m-中位线长 S=(a+b)h/2 =mh d-直径C=πd=2πrS=πr2 =πd2/4 扇形 r—扇形半径正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S a—圆心角度数C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] -(r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3 圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/4 椭圆 D-长轴 d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc)V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积h-高V=Sh/3 棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积S0-中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积C=2πr S底=πr2S侧=Ch S表=Ch+2S底 V=S底h =πr2h空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高V=πr2h/3圆台 r-上底半径 R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台r1和r2-球台上、下底半径 h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体 R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2 =π2Dd2/4桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)三视图的投影规则是：主视、俯视长对正主视、左视高平齐左视、俯视宽相等点线面位置关系公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。

一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222coscos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

高中数学第一章立体几何初步理论知识小结素材新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步理论知识小结素材新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章立体几何初步理论知识小结素材新人教B版必修2的全部内容。

立体几何理论知识证明线线平行有哪些方法：//BC D思考：垂直于同一直线的两直线互相平行吗?与一个平面所成的角相等的两直线互相平行吗？证明两直线是异面直线通常有两种方法：异与ABa证明线面平行:（想想，有哪些方法）证明直线平行于平面，通常就是在平面找一条直线和这条直线平行。

证明两个平面平行:证明直线垂直于直线直线垂直有两种：（1）相交且垂直；(2)异面且垂直。

常用的证明直线垂直的方法还有：(1）勾股定理；(2）；(3）如果两条异面直线所成的角是90︒，那么它们也垂直。

证明平面垂直于平面:“线面垂⇒面面常用就只一种，记住它。

证明直线垂直于平面：两条异面直线的距离公式：θcosθcoscosAB CD⋅=空间两条直线的位置关系:空间直线与平面的关系:其它一些公式:知识的总结升华：看图，你能理清下列关系吗？它们各是用什么定理推导的？。

必修2第一章 立体几何初步---知识点总结一、空间几何体1.构成空间几何体的基本元素 （1）几何体：只考虑一个物体占有空间部分的_____和_____，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体. （2）构成空间几何体的基本元素是___、___、___. （3）平面及其表示方法①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的.（4（5）空间中点、线、面的位置关系①空间中直线与直线的位置关系：______、______、______与______.②空间中直线与平面的位置关系：_____________、_____________、_______________. ③空间中平面与平面的位置关系：______、_______.（6）直线与平面平行、垂直以及平面与平面平行、垂直的定义.①直线与平面平行：_____________________________________________； ②直线与平面垂直：_____________________________________________； ③平面与平面平行：_____________________________________________； ④平面与平面垂直：_____________________________________________. 2. 柱、锥、台和球的结构特征（1）多面体：___________________________________.①多面体的面：___________________________________________； ②多面体的棱：___________________________________________； ③多面体的顶点：_________________________________________； ④多面体的对角线：_______________________________________； ⑤多面体的分类：_________________________________________； ⑥多面体至少有_____个面.（2）几何体的截面：一个几何体和一个_________相交所得到的平面图形. 例如，在上图中画出了多面体的一个截面________.（3）凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果_____________________________，则这样的多面体就叫做凸多面体.不是凸多面体的多面体叫做凹多面体. （4）旋转体：一个平面图形绕它所在平面内的___________旋转形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫______.概念 图形表示概念 母线母线.母线.图形表示 ①球面：________________________________. ②球的小圆：____________________________； ③球的大圆：____________________________. ④经线是球面上从北极到南极的____________. ⑤纬线中___________是大圆，_______是小圆.⑥两点的球面距离：_____________________________________________________________________________. （（3.（1）投影：光是直线传播的，一个不透明的物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做________.留下物体影子的屏幕叫做_________. ①投影分为两种：___________和___________.②中心投影: 一个_________把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影. ③平行投影：一束_________照射下形成的投影叫平行投影.④平行投影分为正投影和斜投影.________________________叫做正投影，________________________叫斜投影. ⑤中心投影的特点：( ) 中心投影的投射线由_________出发;( ) 中心投影_________物体的真实大小;( ) 空间图形经过中心投影后，直线变成________，但平行线可能变成了_____________; ( ) 中心投影后的图形与原图相比虽然改变较多，但______强，看起来与__________一致，最像原来的物体，在绘画时，经常使用.⑥平行投影的性质：当图形中的直线或线段不平行于投射线时，( )直线或线段的平行投影仍是_______________. ( )平行直线的平行投影是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.()平行于投射面的线段，它的投影与这条线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.()与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.()在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于＿＿＿＿＿＿＿.（2）直观图：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.①在立体几何中，空间几何体的直观图是在＿＿＿＿＿投影下画出的空间图形.②在立体几何中，画水平放置的平面图形的直观图的一种方法是＿＿＿＿＿＿＿＿.③斜二测画法口诀:平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚，空间观感好体现.4.三视图：将空间图形向三个＿＿＿＿＿＿＿＿＿的平面作＿＿投影，然后把这三个投影按主视图在＿＿＿，左视图在＿＿＿，俯视图在主视图＿＿＿＿＿的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图.①三视图的特点：()主、俯视图＿＿＿＿＿；主、左视图＿＿＿＿＿；俯、左视图＿＿＿＿＿＿.() 画三视图时，能看见的轮廓和棱用＿＿＿＿，看不见的轮廓和棱用＿＿＿＿＿.5.棱柱、棱锥、棱台和球的表面积（底面积+侧面积）与体积如果、分别表示上、下底面的周长，表示高，表示斜高，表示母线长，、分别表示上、下底面的半径，、图形语言平行公理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.等角定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.等角定理推论1：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相反，那么这两个角＿＿＿＿＿.等角定理推论2：如果一个角的两边与另一个角的两边一边方向相同，另一边方向相反，那么这两个角＿＿＿＿.等角定理推论3：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的＿＿＿＿＿＿＿＿相等.4.空间四边形①定义：＿＿＿＿＿＿连接不共面的四点A,B,C,D所构成的图形，叫做空间四边形.②空间四边形的顶点：四个点中的各个点.③空间四边形的边：所连接的相邻顶点间的线段.即＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④空间四边形的对角线：连接不相邻的顶点的对角线. 即＿＿＿＿＿＿＿.⑤空间四边形的表示：用表示顶点的四个字母表示.即＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.二面角（1）半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面.（2）二面角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，这条直线叫做二面角的＿＿，每个半平面叫做二面角的＿＿．如图，棱为，两个面分别为，，记作＿＿＿＿＿＿. （3）二面角的平面角：以二面角的＿＿＿上任一点为端点，在两个面内分别作＿＿＿＿的两条射线，这＿＿＿＿＿所成的角叫做二面角的平面角.（4）二面角的范围：＿＿＿＿＿＿.（5）直二面角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.空间中线线垂直与面面垂直的定义①线线垂直：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②面面垂直：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.。

高中数学第一章立体几何初步章末小结学案新人教B版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步章末小结学案新人教B版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章立体几何初步章末小结学案新人教B版必修1的全部内容。

第一章立体几何初步知识建构综合应用专题一几何体的展开图问题几何体的展开图因几何体的不同而不同,它不仅反映了几何体本身的特点，还能反映空间的平行与垂直关系．通过几何体的展开图形状的研究可以使我们更加形象地理解空间几何体的结构特征．应用1如图（1)(2）(3）三个图形能否折叠成棱柱?请试折叠一下并说明理由．提示：首先判断各图如果能折成棱柱则应该折成什么样的棱柱，再看各图与相应棱柱展开图有什么差异．这个题主要要求学生把握多面体的基本情况,运用纸张折叠，结合想象,掌握简单几何体的性质与构成．应用2如图，圆柱体的底面圆周长为24 cm,高为5 cm,BC为上底面的直径,一壁虎从距圆柱的底端A点2 cm的E处沿着表面爬行到母线CD距C点1 cm的点F处，请你帮助壁虎确定其爬行的最短距离．提示:将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法．在求空间图形表面两点间的最短距离时,常运用“展开"变换，化曲(折)为直,从而把“折线拉成直线，曲面展成平面”，使问题得以巧妙解决．由于壁虎是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱侧面展开成平面图形．根据两点之间线段最短求最短距离．专题二表面积、体积的计算问题几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用．本部分内容在高考中一直是重点考查的内容,考查形式可以是选择、填空题，也可以是解答题,难度上属于容易题，应引起重视．应用1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD,CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（)．A．与x，y,z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关提示：选取四面体的面EFQ作为底，P到面EFQ的距离为高．应用2(2011·湖北黄冈高三模拟)如图，正三棱柱的棱长和底面边长均为2，主视图是边长为2的正方形，则左视图的面积为( )．A．4 B．2错误! C．2错误! D．错误!提示：根据“长对正，高平齐，宽相等”法则找出左视图的各边长再进行计算．专题三空间几何体中的平行和垂直判断或证明空间线面的位置关系，主要是通过平行、垂直关系的判定定理与性质定理进行转换，通过相互转化，推证相关结论．应用1如图，ABCD为正方形，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G,H是DF，FC的中点．（1）求证：GH∥平面CDE;(2)求证:BC⊥平面CDE。