第3章 离散点绘制平面曲线-

离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧2008-06-10 22:45由于等值线图看起来非常直观、形象,因此在天气预报、气候预测分析等方面用得非常多,已成为预报员不可缺少的工具之一。

如各等压面层的位势高度图、高空环流、温度及降水分布图等等。

目前也有一些非常好的微机用绘图软件,如SUFER、GRADS 等。

这些软件一般都只有DOS 版,在流行的WINDOWS平台上,虽然可以调用,但不能使用鼠标操作,故不如使用在WINDOWS 环境中开发的软件方便。

因此,许多希望在自己开发的应用程序中能方便地显示及打印各类等值线图的人,都想知道绘制等值线图的原理方法。

如何用格点资料绘制等值线图在文献〔1〕中已有介绍,而离散点(如气象台站) 的资料必须通过插值才能绘制等值线图。

插值的方法有几种,比如三角网插值,它是将相邻的三个点连成一个个三角形,然后用文献〔1〕介绍的追踪法或其它方法在三角形边上进行插值。

此方法的优点是需要插的值少,插值算法简单,数据处理量少。

缺点是三角网的生成随意性很大,任意四个点可生成二组不同的三角形,不同的三角网插值得出的等值线也不可能完全相同。

若人为固定三角网,当有资料缺测时,就不得不重新调整三角网,因此程序的通用性不高。

目前比较流行的是通用性好的网格化方法。

1 离散点网格化理论上,离散点网格化可采用局部曲面拟合方法,用多元回归方法建立V ( X , Y) = a + bX + c Y或二次方程V ( X , Y) = a + bX + c Y + dX2 + eY2 + f X Y所谓局部,是指采用拟合点周围一定范围的部分离散点进行拟合。

这种做法虽然在许多情况下效果不错,但通常总是有些地方与实际情况有较大出入。

因此根据人工绘制等值线时的直接内插方式,采用以下几个步骤。

111 定点(1) 根据离散点的分布范围确定整个网格的范围及网格距,网格距不宜过大或过细。

(2) 确定每个离散点属于哪一个网格,也即每个网格包含哪些离散点。

python离散点拟合曲线离散点拟合曲线是一种常用的数据处理方法，能够将散点数据点转化为一条平滑的曲线，以便更好地理解和分析数据趋势。

在Python中，有多种方法可以实现离散点拟合曲线，本文将介绍两种常用的方法，分别是多项式拟合和样条插值。

1. 多项式拟合多项式拟合是一种基于最小二乘法的拟合方法，可以通过一条低阶多项式来逼近一组离散的数据点。

在Python中，可以使用numpy库中的polyfit()函数进行多项式拟合。

下面是一个示例代码：```import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 定义离散数据点x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2.3, 4.5, 6.7, 8.9, 11.2])# 进行二次多项式拟合coefficients = np.polyfit(x, y, 2)polynomial = np.poly1d(coefficients)# 生成拟合曲线上的点x_fit = np.linspace(x[0], x[-1], 100)y_fit = polynomial(x_fit)# 绘制原始数据点和拟合曲线plt.scatter(x, y, label='Data Points')plt.plot(x_fit, y_fit, label='Polynomial Fit')# 添加图例和标题plt.legend()plt.title('Polynomial Fit')# 显示图形plt.show()```2. 样条插值样条插值是一种基于插值原理的拟合方法，它利用多段低阶多项式来逼近离散数据点。

在Python中，可以使用scipy库中的interp1d()函数进行样条插值。

下面是一个示例代码：```import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.interpolate import interp1d# 定义离散数据点x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2.3, 4.5, 6.7, 8.9, 11.2])# 进行样条插值f = interp1d(x, y, kind='cubic')# 生成拟合曲线上的点x_fit = np.linspace(x[0], x[-1], 100)y_fit = f(x_fit)# 绘制原始数据点和拟合曲线plt.scatter(x, y, label='Data Points')plt.plot(x_fit, y_fit, label='Spline Interpolation') # 添加图例和标题plt.legend()plt.title('Spline Interpolation')# 显示图形plt.show()```通过以上示例代码，我们可以分别实现多项式拟合和样条插值，并绘制出对应的拟合曲线。

第6节 曲线的曲率6.1弧长微分在曲线()y f x =上取定一点000(,())P x f x 为起点，从000(,())P x f x 到(,())x f x 的曲线段长记为()s x ，并规定当0x x <时()0s x <。

()s x 是单调增加的函数。

下面求弧长微分ds 。

()()()()s x s x x s x ≤∆≤∆≤∆≤∆∆≤∆≤∆ds =,()ds s x '== 如果()()xt y t ϕψ=⎧⎨=⎩则,()ds s t '==如果()ρρθ=则,()ds s θ'==以后经常要用到以上弧长微分公式。

图6.1y +离 散数 学6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。

设曲线()y f x =在()00,()x f x 的切线0L 与x 轴正向的夹角为0θ，在()00,()x x f x x +∆+∆的切线x L ∆与x 轴正向的夹角为x θ∆。

经过x ∆，切线的夹角变化了0x θθθ∆∆=-设()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的长为s ∆。

容易想见，()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的曲率（弯曲程度）与θ∆成正比，与s ∆成反比，平均曲率()k x sθ∆∆=∆ 让0x ∆→求极限，就得到曲线()y f x =在()00,()x f x 的曲率（弯曲程度）000()lim ()limx x d k x k x s dsθθ∆→∆→∆=∆==∆ 下面我们求出d dsθ从而得到求曲率的计算公式。

用x 作参数 ()()s s x x θθ=⎧⎨=⎩()()2222tan ()1()cos 1tan ()1()()()1()f x d f x dx d f x dx f x d f x dxd f x dx f x θθθθθθθ'=''=''+='''+=''='+第1章集 合322()1()d f x d ds dxdxds f x θθ''=='⎡⎤+⎣⎦003220()()1()f x k x f x ''='⎡⎤+⎣⎦例子：求半径为r 的圆上一点的曲率。

用c语言实现离散点拟合曲线离散点拟合曲线是一种利用已知数据点来推断未知数据点的方法。

在计算机科学领域，离散点拟合曲线通常是一个重要的问题，因为它可以帮助我们在数据可视化，数据分析和数据预测中更好地理解数据的变化。

在C语言中实现离散点拟合曲线有多种方法，下面介绍其中一种通用的方法，即使用最小二乘法。

最小二乘法是一种对数据进行拟合的方法，它基于最小化数据点和曲线之间的距离来查找最符合数据的函数。

下面是C语言实现离散点拟合曲线的步骤：1. 收集数据点，包括x和y的坐标。

2. 创建一个公式来表示拟合曲线（例如，直线，二次曲线等等）。

3. 对于每个数据点，计算该点在拟合曲线上的值，并计算该值与实际值之间的距离。

4. 最小化所有距离的平方和。

这就是所谓的最小二乘法。

5. 可以使用数值计算库（例如GNU Scientific Library）来解决最小二乘法问题，或手动实现。

下面是一个使用C语言手动实现最小二乘法来拟合一条直线的示例代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_POINTS 50int main() {int num_points;double x[MAX_POINTS], y[MAX_POINTS], sum_x = 0.0, sum_y = 0.0, sum_xx = 0.0, sum_xy = 0.0;double a, b;printf("Enter the number of data points: ");scanf("%d", &num_points);if (num_points > MAX_POINTS) {printf("Too many data points, exiting...\n");exit(1);}for (int i = 0; i < num_points; i++) {printf("Enter point %d (x, y): ", i+1);scanf("%lf %lf", &x[i], &y[i]);sum_x += x[i];sum_y += y[i];sum_xx += x[i] * x[i];sum_xy += x[i] * y[i];}a = (num_points * sum_xy - sum_x * sum_y) / (num_points * sum_xx - sum_x * sum_x);b = (sum_y - a * sum_x) / num_points;printf("\nThe linear equation that best fits the given data:\n"); printf("y = %.2lfx + %.2lf\n", a, b);return 0;}```在上述示例代码中，我们首先使用`scanf()`函数获取数据点的数量和每个数据点的x和y坐标。

离散点拟合曲线离散点拟合曲线是一种用于对一组无序数据点进行估计和预测的数学方法。

它可以将这些离散的数据点拟合成一个连续的曲线或函数，从而使我们能够更好地理解和分析数据。

离散点拟合曲线的应用非常广泛，包括经济学、医学、物理学、地球科学等领域。

它可以用于预测未来的趋势或现象，或者用于解释已有的数据集。

离散点拟合曲线的拟合方法主要有两种，分别是最小二乘法和最小二次曲线拟合。

最小二乘法是一种用于在线性回归中寻找最佳拟合直线的方法，而最小二次曲线拟合则是将数据点拟合成一个二次曲线。

下面我们将详细介绍这两种方法以及它们的优缺点。

一、最小二乘法最小二乘法是一种常见的拟合方法，它的基本思想是将拟合曲线与数据点之间的误差最小化。

这种方法利用了一个称为残差平方和（RSS）的指标来衡量模型的质量。

残差平方和是指每个数据点与拟合曲线之间的距离的平方之和。

最小二乘法的目标是使这个距离最小，从而获得最佳的拟合曲线。

利用最小二乘法可以拟合各种类型的曲线，包括线性、指数、对数、多项式等。

最小二乘法的优点是：1、它是一种强大的统计工具，可以处理许多类型的曲线。

2、它能够有效地解决噪声和误差的问题，从而提高数据的准确性。

3、它易于实现和使用。

1、它假设数据点之间的误差符合正态分布，而这种假设在实际应用中可能不成立。

2、最小二乘法对离群值敏感，因为在这种情况下，残差平方和会被放大，从而影响拟合曲线的准确性。

二、最小二次曲线拟合1、它能够更精确地描述非线性趋势的数据。

2、它对离群值的敏感度较低，因为曲线更能够适应数据点的变化。

但是，最小二次曲线拟合也存在一些缺点：1、它仅适用于拟合二次函数，因此在处理其他类型的曲线时可能不太灵活。

2、它需要更多的计算量和时间，因为计算二次函数需要更多的参数。

需要注意的是，无论是最小二乘法还是最小二次曲线拟合，都需要考虑到拟合曲线的精度和辨识度是否够高。

因此在实践中，我们需要经过多次试验和调整来确定最佳的拟合曲线。

离散点拟合曲线算法一、概述离散点拟合曲线算法是一种通过给定的离散数据点来拟合出一条连续的曲线的方法。

这种算法在实际应用中非常常见，比如在图像处理、机器学习、数据分析等领域都有广泛的应用。

二、常见的离散点拟合曲线算法1. 多项式拟合多项式拟合是最简单和最常用的拟合方法之一。

它通过给定的数据点，构造一个多项式函数来逼近真实曲线。

通常情况下，多项式函数为n次多项式，其中n为给定数据点数减1。

多项式函数可以表示为：f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, ..., an是待求解的系数。

2. 最小二乘法拟合最小二乘法是另一种常见的离散点拟合方法。

它通过最小化误差平方和来得到一个最优解。

误差平方和可以表示为：S = Σ(yi - f(xi))^2其中yi是给定数据点中第i个点的y坐标，f(xi)是x坐标为xi时多项式函数f(x)的值。

3. 样条插值样条插值是一种基于分段多项式函数的拟合方法。

它将曲线分成若干个小段，每个小段内部使用一个低次数的多项式函数来拟合数据点。

这种方法可以得到非常平滑的曲线，但是对于数据点较少或者分布不均匀的情况下可能会出现过拟合的问题。

三、如何选择合适的离散点拟合曲线算法在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的离散点拟合曲线算法。

以下是一些选择算法的建议：1. 数据量较少且分布均匀时，可以使用多项式拟合。

2. 数据量较大或者存在一定噪声时，可以使用最小二乘法拟合。

3. 需要得到平滑曲线时，可以使用样条插值。

4. 如果需要同时考虑多个因素来进行拟合，则可以使用多元回归分析。

四、常见问题及解决方案1. 过拟合问题过拟合是指模型在训练集上表现很好，但在测试集上表现很差的情况。

解决过拟合问题有以下几种方法：a. 增加训练数据量；b. 减小模型复杂度；c. 正则化。

2. 数据量不足问题如果数据量不足，可能会导致拟合曲线的精度不高。

解决这个问题的方法是增加数据量或者使用更加复杂的模型。

多个点生成平滑函数曲线在数据分析和可视化中，经常需要将一组离散的点拟合成一条平滑的曲线。

这通常可以通过插值（Interpolation）或曲线拟合（Curve Fitting）来实现。

下面是一些常用的方法：多项式插值：多项式插值是一种通过多项式函数来逼近离散数据点的方法。

常见的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值和分段插值等。

样条插值：样条插值是一种数学方法，用于通过一组离散点生成一条平滑曲线。

这种方法通常使用分段多项式函数，并且在连接点处保持一定的连续性（如C0连续、C1连续、C2连续等）。

常用的样条插值包括三次样条插值。

最小二乘法拟合：最小二乘法是一种常用的数学优化技术，用于寻找一组参数，使得某个模型（如线性模型、多项式模型等）与给定数据之间的残差平方和最小。

通过最小二乘法，可以将一组点拟合成一条平滑曲线。

贝塞尔曲线和B样条曲线：贝塞尔曲线和B样条曲线是计算机图形学中常用的参数曲线，它们能够生成平滑且易于控制的曲线。

这些曲线由一组控制点定义，并通过特定的数学公式计算得到。

高斯过程回归：高斯过程回归是一种非参数贝叶斯方法，用于回归问题。

它不仅能够提供预测值，还能给出预测的不确定性。

高斯过程回归可以生成平滑的曲线，并且对于非线性关系也能处理得很好。

局部加权散点图平滑（LOESS/LOWESS）：LOESS（局部加权回归散点图平滑）是一种非参数回归方法，它结合了多元线性回归和局部加权平滑的概念。

LOESS能够在每个点的邻域内拟合一个多项式回归模型，并且根据距离远近给每个邻点赋予不同的权重。

核密度估计与核平滑：核密度估计是一种用于估计随机变量概率密度函数的方法。

在曲线拟合的上下文中，核平滑可以用来估计离散点集上的连续函数。

这种方法通常涉及选择一个核函数（如高斯核），并通过卷积来平滑数据点。

选择哪种方法取决于你的具体需求，比如数据的性质（是否线性、是否有噪声等）、所需的平滑程度以及计算复杂度等因素。

在实际应用中，可能需要尝试不同的方法，以找到最适合你数据的平滑曲线生成技术。

离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧离散点插值方法、等值线的绘制及平滑技巧2008-06-10 22:45由于等值线图看起来非常直观、形象,因此在天气预报、气候预测分析等方面用得非常多,已成为预报员不可缺少的工具之一。

如各等压面层的位势高度图、高空环流、温度及降水分布图等等。

目前也有一些非常好的微机用绘图软件,如SUFER、GRADS 等。

这些软件一般都只有DOS 版,在流行的WINDOWS平台上,虽然可以调用,但不能使用鼠标操作,故不如使用在WINDOWS 环境中开发的软件方便。

因此,许多希望在自己开发的应用程序中能方便地显示及打印各类等值线图的人,都想知道绘制等值线图的原理方法。

如何用格点资料绘制等值线图在文献〔1〕中已有介绍,而离散点(如气象台站) 的资料必须通过插值才能绘制等值线图。

插值的方法有几种,比如三角网插值,它是将相邻的三个点连成一个个三角形,然后用文献〔1〕介绍的追踪法或其它方法在三角形边上进行插值。

此方法的优点是需要插的值少,插值算法简单,数据处理量少。

缺点是三角网的生成随意性很大,任意四个点可生成二组不同的三角形,不同的三角网插值得出的等值线也不可能完全相同。

若人为固定三角网,当有资料缺测时,就不得不重新调整三角网,因此程序的通用性不高。

目前比较流行的是通用性好的网格化方法。

1 离散点网格化理论上,离散点网格化可采用局部曲面拟合方法,用多元回归方法建立V ( X , Y) = a + bX + c Y或二次方程V ( X , Y) = a + bX + c Y + dX2 + eY2 + f X Y所谓局部,是指采用拟合点周围一定范围的部分离散点进行拟合。

这种做法虽然在许多情况下效果不错,但通常总是有些地方与实际情况有较大出入。

因此根据人工绘制等值线时的直接内插方式,采用以下几个步骤。

111 定点(1) 根据离散点的分布范围确定整个网格的范围及网格距,网格距不宜过大或过细。

用c语言实现离散点拟合曲线标题：用C语言实现离散点拟合曲线介绍：在数据分析和模式识别的领域中，离散点拟合曲线是一个关键概念。

通过使用C语言，我们可以实现一个离散点拟合曲线的算法，以将离散的数据点拟合成平滑的曲线。

在本文中，我们将深入探讨离散点拟合曲线的背景知识、使用C语言实现的步骤以及一些应用实例。

通过阅读本文，您将能够更全面、深刻和灵活地理解离散点拟合曲线的概念和实现方法。

1. 离散点拟合曲线的概述离散点拟合曲线是一种通过离散的数据点来拟合一个连续的曲线的方法。

该方法可以用于对实验数据、传感器测量值等进行模型拟合，以便更好地理解和解释数据。

离散点拟合曲线通常使用不同的拟合函数，比如多项式函数、高斯函数等。

在深入了解如何用C语言实现离散点拟合之前，我们需要先对拟合函数和拟合精度等概念有一个基本的了解。

2. 使用C语言实现离散点拟合曲线的步骤在C语言中，我们可以使用一些数学库函数来实现离散点拟合曲线算法。

以下是一个基本的步骤：2.1 数据预处理在开始拟合之前，我们需要对原始的离散数据进行预处理。

这包括去除异常值、数据平滑处理等，以保证数据的可靠性和准确性。

2.2 选择拟合函数根据数据的特性和问题的需求，我们需要选择合适的拟合函数。

例如，可以选择多项式拟合函数、指数函数、对数函数等。

拟合函数的选择应根据实际情况进行权衡。

2.3 拟合曲线参数估计通过调整拟合函数的参数，我们可以使拟合曲线与离散数据点的误差最小化。

这一步骤通常使用最小二乘法等数学方法来进行拟合参数的估计。

2.4 曲线生成与优化根据估计得到的参数，我们可以生成离散点拟合曲线，并进一步对曲线进行优化以提高拟合精度。

这可以通过迭代算法、数值优化方法等来实现。

3. 应用实例离散点拟合曲线在实际应用中有广泛的用途。

以下是一些应用实例：3.1 数据分析和预测通过对历史数据的离散点拟合，我们可以对未来趋势和发展进行预测。

这在金融、市场调研等领域中具有重要意义。

第32讲绘制(散点绘制)散点绘制是一种用于可视化数据的方法，通过在坐标系中绘制离散的数据点来展示它们的分布和关系。

本文档将介绍如何进行散点绘制以及如何解读散点图。

散点绘制的步骤散点绘制通常需要以下几个步骤：1. 准备数据：首先，你需要选择要绘制的数据，并准备好它们的数值。

这些数据可以是一组相关的数据，比如两个变量之间的关系，或者是一组独立的数据，比如样本的分布。

2. 创建坐标系：在绘制散点图之前，你需要创建一个合适的坐标系。

坐标系通常由两个轴组成，分别代表数据的两个维度。

例如，x轴可以表示一个变量的取值，y轴可以表示另一个变量的取值。

3. 绘制数据点：一旦坐标系准备好，你可以开始绘制数据点了。

根据数据的具体取值，在坐标系中标出每一个数据点。

你可以使用不同的符号或颜色来表示不同的数据点，以区分它们的属性或类别。

4. 添加标签和标题：为了增加图表的可读性，你可以在数据点附近添加标签，以显示数据的具体值。

此外，还可以添加一个标题，说明图表的主题或目的。

散点图的解读散点图可以提供以下信息：- 数据的分布：通过观察散点图中的点的分布情况，你可以了解数据的分布模式。

例如，如果数据点趋向于聚集在一起，可能表示存在某种相关性或趋势。

- 变量之间的关系：散点图可以显示两个变量之间的关系。

如果数据点呈现出一种特定的形态，比如线性、曲线或聚集，那么可以得出这两个变量之间存在一种关联关系。

- 异常值的检测：通过观察散点图，你可以发现是否存在异常值。

异常值是与其他数据点明显不同的值，可能是由于测量错误或异常情况引起的。

总结散点绘制是一种用于展示数据分布和变量关系的方法。

通过遵循准备数据、创建坐标系、绘制数据点以及添加标签和标题的步骤，你可以轻松地绘制散点图。

通过解读散点图，你可以获得关于数据的分布、变量关系和异常值的有用信息。

> 注意：本文档提供了散点绘制的基本概念和步骤，但在实际应用中可能需要根据具体情况进行调整和进一步的学习。

用c语言实现离散点拟合曲线离散点拟合曲线是指通过一组离散的数据点，找到一条最符合这些数据点的曲线。

在实际应用中，离散点拟合曲线常用于数据分析、图像处理、机器学习等领域。

本文将介绍如何用C语言实现离散点拟合曲线。

我们需要明确离散点拟合曲线的数学模型。

常用的模型包括线性模型、多项式模型、指数模型、对数模型等。

在本文中，我们将以多项式模型为例进行讲解。

多项式模型是指通过多项式函数来拟合数据点。

多项式函数的一般形式为：y = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中，y为因变量，x为自变量，a0、a1、a2、...、an为多项式系数，n为多项式次数。

接下来，我们需要确定多项式的次数。

一般来说，多项式次数越高，拟合效果越好，但也容易出现过拟合的情况。

因此，我们需要通过交叉验证等方法来确定最优的多项式次数。

在确定多项式次数后，我们需要求解多项式系数。

求解多项式系数的方法有很多种，比如最小二乘法、牛顿插值法、拉格朗日插值法等。

在本文中，我们将以最小二乘法为例进行讲解。

最小二乘法是指通过最小化误差平方和来求解多项式系数。

误差平方和的一般形式为：S = Σ(yi - f(xi))^2其中，yi为实际值，f(xi)为拟合值。

通过对S求导，可以得到多项式系数的解析解。

具体实现过程可以参考以下代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define MAXN 1000double x[MAXN], y[MAXN];double a[MAXN];int n, m;void input(){printf("请输入数据点个数n：");scanf("%d", &n);printf("请输入多项式次数m："); scanf("%d", &m);printf("请输入数据点：\n");for (int i = 0; i < n; i++) {scanf("%lf%lf", &x[i], &y[i]);}}void solve(){double A[MAXN][MAXN], B[MAXN]; for (int i = 0; i <= m; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {A[i][j] = 0;for (int k = 0; k < n; k++) {A[i][j] += pow(x[k], i+j);}}B[i] = 0;for (int k = 0; k < n; k++) {B[i] += y[k] * pow(x[k], i);}}for (int i = 0; i <= m; i++) {for (int j = i+1; j <= m; j++) { double t = A[j][i] / A[i][i]; for (int k = i; k <= m; k++) { A[j][k] -= t * A[i][k];}B[j] -= t * B[i];}}for (int i = m; i >= 0; i--) {for (int j = i+1; j <= m; j++) { B[i] -= A[i][j] * a[j];}a[i] = B[i] / A[i][i];}}void output(){printf("拟合多项式为：\n"); for (int i = m; i >= 0; i--) {printf("%+.2lf*x^%d", a[i], i); }printf("\n");}int main(){input();solve();output();return 0;}```以上代码实现了最小二乘法求解多项式系数的过程。