六(下)奥数第5讲~平面几何之曲线图形

小学奥数几何知识点讲解几何是数学的一个重要分支，主要研究空间形状、大小、相对位置等概念及其性质和关系。

在小学奥数竞赛中，几何是一个常见的考察内容。

下面我将为大家讲解一些小学奥数几何知识点，希望能够帮助大家更好地应对几何题目。

1.点、线、面的概念在几何中，点是没有大小和形状的，只有位置的概念。

线是由无数个点组成的，没有宽度、长度、厚度等，可以用箭头表示方向。

面是由无数个点和线组成的，是平面上的一个二维图形。

2.正方形、长方形、三角形正方形是一种四条边都相等且角都是直角的四边形，它拥有四条对称轴。

长方形是一种拥有两组相等的对边和四个直角的四边形，它有两条对称轴。

三角形是一种由三条边和三个角组成的图形。

3.圆和半圆圆是由等距离圆心的所有点组成的集合，圆心到圆上任意一点的距离都相等。

半圆是圆的一半，由圆周上的一个弧和两条半径组成。

4.平行线和垂直线平行线是在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

垂直线是与另一条线段相交时，两条线段之间的角度为90度的线。

5.直角、锐角和钝角直角是一个角度为90度的角，锐角是小于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角。

6.对称和中心对称对称是指两个物体在一些轴线上镜像重合的关系，中心对称是指一个图形可以通过一些点进行旋转180度后重合。

7.面积和周长面积是指一个二维图形所占的空间大小，通常用平方单位表示，如平方厘米、平方米等。

周长是指一个图形的边缘长度。

8.直角三角形和勾股定理直角三角形是一种其中一个角为90度的三角形。

勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。

9.分数、比例和相似分数是表示一个整体被分成几等份的表达方式。

比例是指两个或多个数之间的等比关系。

相似是指两个图形有相同的形状，但是可能有不同的大小。

10.正多边形和不规则图形正多边形是指所有边和角都相等的多边形。

不规则图形是指边和角都不相等的图形。

二 几何图形
1． 平面图形
⑴多边形的内角和
N 边形的内角和=(N -2)×180°
⑵等积变形（位移、割补）
①
三角形内等底等高的三角形 ②
平行线内等底等高的三角形 ③
公共部分的传递性 ④ 极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S 1︰S 2 =a ︰b ； S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ⑷相似三角形性质（份数、比例）
①a b c h A B C H === ; S 1︰S 2=a 2︰A 2
②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; S=（a+b ）2 ⑸燕尾定理
S△ABG:S△AGC＝S△BGE:S△GEC＝BE:EC；
S△BGA:S△BGC＝S△AGF:S△GFC＝AF:FC；
S△AGC:S△BCG＝S△ADG:S△DGB＝AD:DB；
⑹差不变原理
知5-2=3,则圆点比方点多3。

⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。

⑻组合图形的思考方法
①化整为零
②先补后去
③正反结合
2．立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体:V升水=V物
②测啤酒瓶容积:V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

平面几何部分知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．baS 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCB A A BC D Ob aS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_ H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ DO F ED C B A【例 2】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AD=，四边形EFGO的面积AB=，15为．B【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2=，则阴影部分的面积为．AE EDB【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BA【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBA【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDA【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EF【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDC【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x y y x ABCD E FGE D CBA【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABC DO【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF G【例 17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．AB CDEF【例 18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．B【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？B【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．BEE【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDCB【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG∆的面积．MHGF E D CBAQ E GNMF P A D C B【例 25】如图，ABCD为正方形，1cmAM NB DE FC====且2cmMN=，请问四边形PQRS的面积为多少？CA【例 26】如右图，三角形ABC中，:4:9BD DC=，:4:3CE EA=，求:AF FB．OFED CBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BD DC=，:5:6AE CE=，求:AF FB.OFED CBA【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3BD DC=，:5:4EA CE=，求:AF FB.OFED CBA【例 27】如右图，三角形ABC中，:::3:2AF FB BD DC CE AE===，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．IHGFED CBA【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC的面积．IH G FEDCBA【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的倍．B【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBA【巩固】如图，ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF G【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EF【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GCBA【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBA。

平面几何之曲线图形基本模型：【例1】如图，阴影部分的面积是多少？例1图【举一反三】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。

举一反三图【例2】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)例2图【例3】(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧。

求阴影部分面积。

(π取3.14)例3图【例4】(奥林匹克决赛试题)在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。

它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米。

那么图中3个阴影部分的面积的和______是平方厘米。

例4图【例5】三角形ABC是直角三角形，阴影Ι的面积比阴影Π的面积小25cm2，AB＝8cm，求BC的长度。

(π 取3.14 )例5图【例6】在直角边为3与4的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如图所示的六边ABCDEF。

求这个六边形的面积是多少？例6图【巩固】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米。

问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？巩固图【例7】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米。

每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)。

那么，阴影部分的面积是_____平方米。

例7图【例8】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见下图）。

问：这只羊能够活动的范围有多大？例8图【例9】如图，ABCD是一个长为4，宽为3的长方形，围绕C点按顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积。

例9图练习：1、求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）2、正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

【小升初培优专题】六年级下册数学-平面几何综合训练—曲线型（解析版）一、知识点1、圆周长：C＝πd＝2πr扩倍问题（1）：若圆的半径扩大到n倍，则直径扩大到n倍，周长扩大到n倍，面积扩大到n²倍扩倍问题（2）：若两个圆的半径比为n：m，则它们的直径比为n：m，周长比为n：m，面积比则为n²：m²构造圆在长方形中画一个最大的圆在长方形中画最大的半圆技巧：长的一半与宽比较，谁小谁是半径。

2、半圆周长：C＝πr＋d面积：πr²÷23、圆环＝大圆面积－小圆面积＝πR²－πr²圆环面积：S环4、扇形弧长：r nl π2360⨯=面积：2360r nS π=5、组合图形方中圆：正方形与圆面积之比为4：π圆中方：圆与正方形面积之比为π：2方中圆中方：大正方形面积是小正方形面积的2倍圆中方中圆：大圆面积是小圆面积的2倍割补法：重叠问题：整体减空白一、填空题。

（每道小题5分，共 40分）1. （1）一个圆的半经扩大到3倍，直径扩大到 倍；周长扩大到 倍；面积扩大到 倍。

【解答】3，3，9。

（2）大圆和小圆的半径比是3：2，它们的直径比是 ，他们的周长比是 ，它们的面积比是 。

【解答】3：2，3：2，9：4。

2. 在一个长10厘米、宽4厘米的长方形内画圆，圆的直径最大是 厘米，能画 个这样的圆且互不重叠。

【解答】如下图，4：2。

3. 如图，以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是3厘米，图中阴影部分的周长是 厘米。

【解答】如下图，半径为3÷2＝1.5（厘米），连接BP 与CP ，因为BC 、CP 、PB 均为半径，所以△BCP 是等边三角形，那么∠PBC ＝∠PCB ＝60（度），弧长PB ＝60＝弧长PC ＝36060×3.14×3＝1.57（厘米），阴影部分的周长为1.57＋1.57＋1.5＝4.64（厘米）。

小学六年级奥数知识：几何初步认识（平面图形）这篇关于小学六年级奥数知识：几何初步认识（平面图形），是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！二、平面图形1、长方形（1）特征对边相等，4个角都是直角的四边形。

有两条对称轴。

（2）计算公式c=2(a+b)s=ab2、正方形（1）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

有4条对称轴。

（2）计算公式c=4as=a23、三角形（1）特征由三条线段围成的图形。

内角和是180度。

三角形具有稳定性。

三角形有三条高。

（2）计算公式s=ah/2（3）分类按角分锐角三角形：三个角都是锐角。

直角三角形：有一个角是直角。

等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。

钝角三角形：有一个角是钝角。

按边分不等边三角形：三条边长度不相等。

等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。

4、平行四边形（1）特征两组对边分别平行的四边形。

相对的边平行且相等。

对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。

平行四边形容易变形。

（2）计算公式s=ah5、梯形（1）特征只有一组对边平行的四边形。

中位线等于上下底和的一半。

等腰梯形有一条对称轴。

（2）公式s=(a+b)h/2=mh6、圆（1）圆的认识平面上的一种曲线图形。

圆中心的一点叫做圆心。

一般用字母o 表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

一般用r表示。

在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

一般用d表示。

同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。

圆的大小由半径决定。

圆有无数条对称轴。

（2）圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

（3）圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

⼩升初六年级奥数——⼏何（平⾯图形）⼀、分数百分数问题，⽐和⽐例这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占⽐例⾮常⾼，重点应该掌握好以下内容：对单位1的正确理解，知道甲⽐⼄多百分之⼏和⼄⽐甲少百分之⼏的区别；求单位1的正确⽅法，⽤具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；分数⽐和整数⽐的转化，了解正⽐和反⽐关系；通过对“份数”的理解结合⽐例解决和倍（按⽐例分配）和差倍问题；⼆、⾏程问题应⽤题⾥最重要的内容，因为综合考察了学⽣⽐例，⽅程的运⽤以及分析复杂问题的能⼒，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：路程速度时间三个量之间的⽐例关系，即当路程⼀定时，速度与时间成反⽐；速度⼀定时，路程与时间成正⽐；时间⼀定时，速度与路程成正⽐。

特别需要强调的是在很多题⽬中⼀定要先去找到这个“⼀定”的量；当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的⽐例关系求第三个量的⽐；学会⽤⽐例的⽅法分析解决⼀般的⾏程问题；有了以上基础，进⼀步加强多次相遇追及问题及⽕车过桥流⽔⾏船等特殊⾏程问题的理解，重点是学会如何去分析⼀个复杂的题⽬，⽽不是⼀味的做题；三、⼏何问题⼏何问题是各个学校考察的重点内容，分为平⾯⼏何和⽴体⼏何两⼤块，具体的平⾯⼏何⾥分为直线形问题和圆与扇形；⽴体⼏何⾥分为表⾯积和体积两⼤部分内容。

学⽣应重点掌握以下内容：等积变换及⾯积中⽐例的应⽤；与圆和扇形的周长⾯积相关的⼏何问题，处理不规则图形问题的相关⽅法；⽴体图形⾯积：染⾊问题、切⾯问题、投影法、切挖问题；⽴体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；四、数论问题常考内容，⽽且可以应⽤于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：掌握被特殊整数整除的性质，如数字和能被9整除的整数⼀定是9的倍数等；最好了解其中的道理，因为这个⽅法可以⽤在许多题⽬中，包括⼀些数字谜问题；掌握约数倍数的性质，会⽤分解质因数法，短除法，辗转相除法求两个数的最⼤公因数和最⼩公倍数；学会求约数个数的⽅法，为了提⾼灵活运⽤的能⼒，需了解这个⽅法的原理；了解同余的概念，学会把余数问题转化成整除问题，下⾯的这个性质是⾮常有⽤的：两个数被第三个数去除，如果所得的余数相同，那么这两个数的差就能被这个数整除；能够解决求⼀个多位数除以⼀个较⼩的⾃然数所得的余数问题，例如求1011121314 (9)899除以11的余数，以及求20082008除以13的余数这类问题；五、计算问题计算问题通常在前⼏个题⽬中出现概率较⾼，主要考察两个⽅⾯，⼀个是基本的四则运算能⼒，同时，⼀些速算巧算及裂项换元等技巧也经常成为考察的重点。

六年级曲线几何知识点【正文】六年级曲线几何知识点曲线几何是数学中的重要分支，它研究的是曲线的性质、图形的变换和相关的计算方法。

六年级是学习曲线几何的关键时期，下面将介绍几个六年级曲线几何的知识点。

一、直线和曲线的基本概念1. 直线：直线是两个方向相反且不断延伸的点的集合，可以用线段无限延伸表示。

直线有始有终，没有弯曲。

2. 曲线：曲线是由连续的点组成，具有弯曲的形状。

常见的曲线有弧线、圆、椭圆等。

二、图形的对称性1. 线对称：当一个图形绕着一条直线旋转180度后，图形与原来的位置完全一致，这条直线称为图形的对称轴。

如果一个图形可以折叠后与自身完全重合，那么它是线对称的。

2. 点对称：当一个图形绕着一个点旋转180度后，图形与原来的位置完全一致，这个点称为图形的对称中心。

如果一个图形可以在对称中心处旋转180度后与自身完全重合，那么它是点对称的。

三、直角、钝角和锐角1. 直角：两条相交的线段互相垂直时，所形成的角为直角。

直角的度数为90度。

2. 钝角：大于90度小于180度的角称为钝角。

3. 锐角：小于90度的角称为锐角。

四、平行和垂直关系1. 平行线：两条直线在同一平面内没有交点，永远保持相同的距离，那么这两条直线就是平行线。

2. 垂直线：两条直线相交且互相垂直，那么这两条直线就是垂直线。

三、圆的性质1. 圆心：圆的中心点称为圆心，通常用字母O表示。

2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。

3. 直径：穿过圆心的线段称为直径，直径是半径的两倍。

4. 弧长：圆上两点之间的弧长是圆上这两点之间的弧的长度。

5. 扇形：以圆心为顶点，圆上的两条半径为边的图形称为扇形。

6. 弦：圆上连接两点的线段称为弦。

五、平面和立体图形1. 平面图形：平面图形是二维图形，仅具有长度和宽度，没有高度，如矩形、三角形等。

2. 立体图形：立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度，如立方体、圆柱体等。

六、相似图形1. 相似三角形：具有相同形状但可能不同大小的三角形称为相似三角形。

平面几何部分教学目标：1．熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者132S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： b a S 2S 1D C B A A B C D O b a S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积． _A _B_G _C _E_F _D _A _B _ G _C _E _F_DO F E D CB A【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ． 【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==， 则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF交EC 于M ，求BMG ∆的面积．【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． 【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积． 练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________． 练习7. 如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．备选【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【备选2】 如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【备选3】 如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？【备选4】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？【备选5】 如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =【备选6】 如图在ABC △中，13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． 【备选7】。

知识要点归总：平面图形知识点一三角形1．三角形的意义：由三条线段首尾顺次连接围成的图形叫作三角形。

2．三角形各部分名称：围成三角形的每条线段叫作三角形的边，两条线段的交点叫作三角形的顶点。

从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条边叫作三角形的底。

3．三角形的分类：（1）按角分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

（2）按边分为两类：不等边三角形和等腰三角形（含等边角形）。

4．三角形的特性：三角形具有稳定性。

5．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

6．三角形的内角和是180°。

7．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，等腰三角形有：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形三种；三条边都相等的三角形叫作等边三角形，也可以叫作正三角形；等边三角形的每个角都是60°。

知识点二四边形1．四边形的概念：由四条线段首尾顺次连接围成的图形叫作四边形。

我们学过的长方形、正方形、平行四边形和梯形都是四边形。

2．四边形的分类：不规则四边形、平行四边形、长方形、正方形和梯形。

3．各图形的特点：（1）长方形：长方形的对边平且相等，四个角都是直角。

（2）正方形：正方形的四条边都相等，四个角也相等。

正方形是特殊的长方形。

（3）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行且相等。

平行四边形容易变形，不稳定。

长方形和正方形都是特殊的平行四边形。

（4）梯形：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。

有一个角是直角的梯形叫作直角梯形；两条腰相等的梯形叫作等腰梯形。

（5）完全相同的两个三角形或两个梯形或两个平行四边形能拼成一个平行四边形。

知识点三 圆形1．圆的意义和各部分名称：圆是一种曲线图形。

圆中心的一点叫作圆心。

用字母o 表示。

圆心到圆上任意一点的线段叫作半径，用字母r 表示。

通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，用字母d 表示。

在同一个圆或等圆里：22d r r d ==，。

平面几何之曲线图形基本模型：【例1】已知AB=120米，从A 到B 有三条半圆弧路线可走，走 圆弧路线的长度最短，最短长度是 。

（π=3） ☞点拨：三条路线，都是有半圆弧线构成，若想求最短的长度，实则是分别求圆弧的长度。

【分析】设线路（1）的两圆弧半径分别为1r 和2r ，则圆弧的长度为12122r 2r 2(r r )60180222ππππ++==⨯=（米） 同理线路（2）的长度也为180米，线路（3）的长度为260260180ππ⨯÷==（米）所以三条线路的长度是一样，都为180米。

【巩固1】 如图，阴影部分的面积是多少？ 【巩固2】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。

【例2】如图1中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心。

求阴影部分的面积和（π取3.14）☞点拨：此题是一个不规则图形，可用基本公式求解一块阴影面积，再求得阴影的面积总和，但这并不是最好的方法，可否通过割补，平移、对称、旋转、翻转等方法转化为规则图形呢？【分析】将原图割补成如上图2，阴影部分正好是一个半圆，面积为cm）⨯⨯÷=（23.1455239.25【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3)例【例3】如图1，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径。

已知AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)☞点拨：一种思路是把不规则的图形利用图形的分割转化为熟悉的图形求解。

另一种方法是通过图形扩展，从易求的整体面积里排除掉不需要的面积求解。

【分析】方法一：如上图，连接PD、AP、BD，如图PD//AB,那么△ABD与△ABP同底等高，面积相等，则阴影部分的面积转化为△ABP与圆内的小弓形的面积和。

△ABP 的面积()10102225S ABP =⨯÷÷=;弓形面积 =3.14554552=7.125S ⨯⨯÷-⨯÷弓阴影部分面积为==257.125=32.125ABP S S S ++阴弓方法二：构造弯角形【例4】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示。

第五讲几何——立体部分—、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形，八个顶点■十二条棱.cF①在六个面中，两个对面是全等的•即三组对面两两全等.(S 放在一起能够完全 重合的两个图形称为全等图形•②长方体的表面积和体积的计算公式是:长方体的 表面积：2( S ab be ca 二++长方体；长方体的体积:V abc =长方体.③正方体是各棱相等的长方体•它是长方体的特例，它的六个面都是正方形•如果 它的棱长为a ，那么：26S a 二正方体，3V a 二正方体-例题精讲:2【解析】原正方体的表面积是4X 4X 6=96（平方厘米•每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又増加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分•总的来看■每一个面都増加了4个边长是1厘米的正方形.从而•它的表面积是：96+4x 6=120平方厘米【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积9一般从上下.左右.前后3个方向考虑•变化前后的表面积不变:50x 50x6=15000（平方厘米•【例3］下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞•第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1 2厘米•那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?【解析】我们仍然从3个方向考虑•平行于上下表面的各面面积之和: 2X2X2=8（平方厘米;左右方向.前后方向:2X2X4=16（平方厘米.lxlx4=4（平方厘米，1 2 XX 4=1（平方厘米.x4=（平方厘米•这个立体图形的表面积为:816++4+1+ 1429(平方厘米・【例4]-个正方体木块9棱长是1米■沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条■每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块,那么这24块长方体的表面积之和是多少?【解析】锯一次増加两个面•锯的总次数转化为增加的面数的公式为:锯的总次数X2二增加的面数•原正方体表面积:lx lx6=6(平方米L共锯了(2-1 +(3-1 +(4-1 =6次, 6+1 X I x2x6=18（平方米•【巩固】(2008年走美六年级初赛一个表面积为256cm的长方体如图切成27个小长方体•这27个小长方体表面积的和是2【解析J每一刀増加两个切面•增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2563168(cmx=・【例5］如图,25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体•表面积最小是多少?【解析J当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333X X的正方体时，表面积最小■现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木9或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54・【例6】要把12件同样的长Q、宽b.高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小,该如何打包？⑴当b=2h时•如何打包?⑵当b<2h时•如何打包?⑶当b:>2h时•如何打包?【解析】图2和图3正面的面积相同■侧面面积二正面周长X长方体长■所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2(b・2h・当b =2h时，图2和图3周长相等,可随意打包;当b <2h时，按图2打包;当b >2h 时，按图3打包【巩固】要把6件同样的长17.宽人高3的长方体物品拼装成一件大的长方体,表面积最小是多少？【解析】考虑所有的包装方法，因为6=I X2X3,所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1x1x6拼接•重叠面有三种选择•共3种包装方法•第二种按长宽高1x2x3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择•有2个长方体并列方向的重S面剩下2种选择，一共有6种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034【例7】如图,在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体,求这个立体图形的表面积.【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩'‘的「压缩'‘后我们发现:小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起9正好是大正方体的上面•这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分:上下方向:大正方体的两个底面;四周方向（左右、前后方向：小正方体的四个侧面,大正方体的四个侧面•上下方向：55250xx=｛平方分米;侧面:554100xx=（平方分米,44464xx=｛平方分米.这个立体图形的表面积为:5010064214++=｛平方分米-【例8】（2008年“希望杯，，五年级第2试如图•棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米.5厘米的四个正方【解析】（法1四个正方体的表面积之和为：2(1235 6396234+++x=x=(平方厘米,重叠部分的面积为:22222222213(221 (321 (32139141440X + X+++++++=+++=(平方厘米，所以,所得到的多面体的表面积为:23440194-=（平方厘米.（法2三视图法•从前后面观察到的面积为22253238卄二平方厘米,从左右两个 面观察到的面积为225334+二平方厘米•从上下能观察到的面积为2525二平方厘米•表面积为（3834252194++x=（平方厘米•【例9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个 立体图形•，求这个立体图形的表面积.丿. 体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是 平方厘米.二葺丿.r~h【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示•因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面•上表面的面积为:9平方厘米，左表面的面积为:8平方厘米，前表面的面积为:iO平方厘米.因此，这个立体图形的总表面积为:(9810254++x=(平方厘米・上下面左右面前后面【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【解析】该图形的上.左、前三个方向的表面分别由9、7. 7块正方形组成.该图形的表面积等于（977 246卄X二个小正方形的面积•所以该图形表面积为46 平方厘米.【例10］有30个边长为1米的正方体•在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色•求被涂成红色的表面积.【解析】44( 1234 456x ++++ x =(平方米•【例11】棱长是m厘米（m为整数的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体•至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为!3订2,此时m的最小值是多少？【解析】切割成棱长是I厘米的小正方体共有3m个,由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为13:12而131225+m所以小正方体的总数是25的倍数即3m是25 的倍数，那么m是5的倍数.当5m =时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面.上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265x+xx=个,表面没有红色的小正方体有1256560•二个,个数比恰好是13:12,符合题意•因此m的最小值是5.【例12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体•其中34个为白色的,30个为黑色的现将它们拼成-个444X X的大正方体•在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多•相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来.在整个大正方体中,没有露在表面的小正方体有3（42 &=（个，用黑色的;在面上但不在边上的小正方体有2（42 624-x=（个，其中30822-=个用黑色.这样•在表面的44696X "个H X的正方形中，有22个是黑色.962274=（个是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米9每个长方体相交于个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色■-个涂一面，一个涂两面，一个涂三面•涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析J每个长方体的棱长和是288396十二厘米，所以■每个长方体长、宽.高的和是96424=厘米因为9每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数•所以•每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米.7厘米.要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少.所以，涂一面的长方体应涂一个87x面■有8756X =个;涂两面的长方体,若两面不相邻■应涂两个87x面,有872112x X二个；若两面相邻，应涂一个87x面和一个97x面,此时有(7892105x+-=个, 所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体9若三面不两两相邻，应涂两个87x面.一个97x面9有(78894147 x++-=个；若三面两两相邻•有((((((718171918191146-x-+-x-+-x-=个■所以涂三面的最少有146个.那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307++=个.【例14］把一个大长方体木块表面上涂满红色后•分割成若干个同样大小的小正方体•其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块,那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】设小正方体的棱长为1•考虑两种不同的情况•一种是长方体的长.宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况.当长方体的长、宽.高中有一个是1时■分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些.因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100a b二X,那么分成的小正方体个数为((((221242104a b ab a b a b +x+x二+++=++,为了使小正方体的个数尽量少■应使(a b + 最小，而两数之积一定•差越小积越小,所以当10a b =时它们的和最小，此时共有((102102144+X +二个小正方体.当长方体的长、宽、高都大于I时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331++X二.由于三个数的和一定,差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少,应该令312227=++,此时共有2227I08xx=个小正方体.因为108144<,所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体.【例15】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形•用红、黄.蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色•那么•用红色染的正方形最多有多少个?【解析】一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图•因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对•所以至多有两个面可以染成5个红色方格.红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图•因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格.最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图•所以，红色方格最多有52422222X +X +X二（个.（另解事实上上述的解法并不严密,“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢?”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值.对于同一个平面上的格网,如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色•但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：⑴如图,每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色.⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环, 这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色（如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之:先去掉一个白格、剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉,必然有一个抽屉中有两个红色方格，像这样的环，在正方体表面最多能找129到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道，涉及的18个方格中最多能有8个可 染成红色•⑶剩下6338392I2xx-x-x=个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能 有6个能染成红色.综上所述.能被染成红色的方格最多能有88622++二个格子能染 成红色.第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是 最多的情况.【例16】一个长、宽.高分别为21厘米.15厘米.12厘米的长方形•现从它的上面尽可能大的切下一个正方体•然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体•最后再从第二次剩余的 部分尽可能大的切下一个正方体•剩下的体积是多少立方厘米？【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长•由于21:15:127:5:4=,为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754»,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要 求・那么对于原长方体来说•三次切下的正方体的棱长分别是12厘米.9厘米和6厘米,所以剩下的体积应是：（33321I5I2I296I107xx-++=｛立方厘米.1299663 454 12126312【例17】有黑白两种颜色的正方体积木•把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面的积木颜色不同，标A 的为黑色,图中共有黑色积木多少块?【解析】分层来看,如下图（切面平行于纸面共有黑色积木17块【巩固】这个图形•是否能够由112XX 的长方体搭构而成？【解析】每一个H2X X 的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块,所以该图形不能够由112X X 的长方体搭构而成・【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字（不同的立方体可以写相同的数字先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻（见左下图.依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少？232311【解析】第一层如下图•第二层.第三层依次比上面一层每格都多1（见下图.76543565第三层65432第二层第一层34323454 2345上面的9个数之和是27•由对称性知，上面、前面.右面的所有数之和都是27・ 同理,下面的9个数之和是45,下面.左面.后面的所有数之和都是45•所以六个面上所有数之和是(2745 3216+x=.【例18] (05年武汉明心杯数学挑战赛如图所示，一个555X X 的立方体,在一 个方向上开有115x X 的孔，在另一个方向上开有215X X 的孔•在第三个方向上开有315X X 的孔，剩余部分的体积是多少?表面积为多少？【解析】求体积:开了 315x X 的孔■挖去31515X x=,开了 115xx 的孔■挖去11514xx ・=;开了215X X 的孔，挖去 215(22 6xx-+=,剩余部分的体积&555(1546 lOOx x ・++二.(另解将整个图形切片•如果切面平行于纸面■那么五个切片分别如图:得到总体积为:22412100x+=求表面积:表面积可以看成外部和内部两部分•外部的表面积为556I2138X 内部的面积可以分为前后、左右.上下三个方向，面积分别为（22515121320X x+x-x-x=.(2153513132* x + x-x-=(2I5I511214x x + x-x-=,所以总的表面积为13820321+++=.（另解运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32总表面积为（2323040204x++=・【总结】“切片法J全面打洞（例如本题，五层一样，挖块成线（例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖，这里体现的思想方法是:化整为零•有序思考！【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的.其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分•请问剩下的部分共有多少个小正方体？【解析J对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的，然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目、最后再把它们相加.采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下,其中黑色部分表示挖除掉的部分.第3层从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个.11个.11个.6个、22个，所以总共还剩下22111162272++++=（个小正方体.【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方【解析】解法一：（用'喀斥原理"来解由正面图形抽出的小正方体有5525X二个，由侧面图形抽出的小正方体有5525X二个，由底面图形抽出的小正方体有4520X二个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228x + x + x=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227X + X二个,底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227x + x + e个,三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个•根据容斥原理■252520877452++"=＞所以共抽出了52个小正方体・1255273•三所以右图中剩下的小正方体有73个.注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个,必须知道是哪4块■这是最让人头疼的事.但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型9再由第三个方向来穿过“花墙".这里，化虚为实的思想方法很重要.解法二:（用“切片法"来解可以从上到下切五层，得:⑴从上到下五层,如图:⑵或者•从右到左五片,如图:请注意这里的挖空的技巧是:先认一种方向.比如:从上到下的每一层•首先都应该有第一层的空四块的情况•即如果挖第二层:第(1步,把中间这些位置的四块挖走如图:第(2步•把从右向左的两块成线地挖走•(请注意挖通的效果就是成线挖去,如图:第(3步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块!挖成线!如图:【例19】(2009年迎春杯高年级组复赛右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形,(5)⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍/7)(8)(9)(10)是同样的等腰直角三角形,(11) 是正方形.那么，以⑸⑹⑺⑻⑼(10)(11)为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍.(11)CIO)(7) (6)【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图9将它们还原成立体图形, 可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形,是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼（10）（11）为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是（11）•四个侧面是（7X8X9X10）,两个斜面是⑸⑹.对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求,也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分.由于左图四个面都是正三角形9右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套•对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到（如下左图, 切去 1 ABDA . 1CBDC . 11 ID A C D、IIIB ACB；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到（如下右图，切去1BACB ,1DACD ・假设左图中的立方体的棱长为。

奥数探险平面与立体几何奥数探险：平面与立体几何在数学领域中，平面与立体几何是奥数竞赛中常见的重要题型。

平面几何涉及到平面上的点、线、角等概念，而立体几何则关注三维空间中的体积、表面积以及立体图形的性质。

本文将以解题技巧和实例为主，深入探讨奥数平面与立体几何的知识点。

一、平面几何1. 点、线、角的性质在平面几何中，点是最基本的要素，无宽度、无长度，只有位置。

线则由无数个点组成，是一系列无限延伸的点的集合。

角是由两条射线共享一个端点形成的，常见的有直角、锐角和钝角。

要解决点、线、角的性质问题，我们需要熟悉它们的定义以及相关定理，比如垂直、平行、相似等概念。

2. 三角形与四边形三角形是平面几何中最简单的多边形之一，由三条线段连接成。

掌握三角形的性质和相关定理是解题的关键。

四边形则是由四条线段组成的图形，根据边的长度和角的大小，可以分为矩形、正方形、菱形等不同类型。

在解题过程中，要多运用正方形的性质和矩形的特点，善用对角线等技巧。

3. 相似三角形与全等三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不一的三角形，它们的对应角度相等，对应边的比例也相等。

全等三角形则是指既有相同形状又有相同大小的三角形，它们的对应边和对应角均相等。

在解决相似三角形和全等三角形的问题时，我们要善于利用对应边比例和对应角的关系，灵活运用相似、全等三角形的性质。

二、立体几何1. 体积和表面积体积是立体图形所占据的空间大小，例如长方体、圆柱体和球体等。

计算体积时，需要了解各种立体图形的特点和公式。

表面积是指立体图形的外部面积总和，它是解决立体几何问题的另一个重要指标。

在计算表面积时，需要注意各个面的数量和面积公式。

2. 平行和垂直关系在立体几何中，平行和垂直是常见的关系。

垂直关系指两条直线或两个平面之间的交角为直角，而平行关系则是指两条直线或两个平面永远不相交。

解决平行和垂直关系的问题时，需要熟悉相关定理和判定条件，例如平行线之间的角相等、垂直平分线的性质等。