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第16讲 反比例函数的概念及图像知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范围：人教版初三，基础一般B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先要理解反比例函数的概念，能够判断一个给定的函数是否是反比例函数，能够利用待定系数法求解函数解析式，其次认识反比例函数的图像特征，能够根据图像上的点坐标特征进行一般问题的处理。
本节课的重点是函数图像特征及点的坐标特征，难点是与其他知识点的结合考察。
知识梳理讲解用时：25分钟反比例函数的定义1. 定义：一般地，形如xky =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数，xk y =还可以写成1-=kx y 2. 反比例函数解析式的特征：（1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； （2）比例系数k≠0；（3）一般情况下，自变量x 的取值为一切非零实数； （4）一般情况下，函数y 的取值是一切非零实数（1）图像的画法：描点法① 列表：应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数② 描点：由小到大的顺序 ③ 连线：从左到右光滑的曲线（2）反比例函数的图像是双曲线，xk y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交（3）反比例函数的图像是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）（4）反比例函数xk y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是： 如图，设点P （a ，b ）是双曲线xk y =上任意一点，作PA⊥x 轴于A 点，则⊥PAO 的面积是||21k ；由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C ，则⊥PQC 的面积为k2。
课堂精讲精练【例题1】下列问题情景中的两个变量成反比例的是（）A．汽车沿一条公路从A地驶往B地所需的时间t与平均速度vB．圆的周长l与圆的半径rC．圆的面积s与圆的半径rD．在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U【答案】A【解析】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0），A、t=（S是路程，定值），t与v成反比例，故本选项正确；B、l=2πr，l与r成正比例，故本选项错误；C、s=πr2，s与r2成正比例，故本选项错误；D、I=，电流强度I与电压U成正比例，故本选项错误；故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0），分别写出选项中函数关系式，再根据反比例函数的定义解答。
《反比例函数的图象和性质》知识全解课标要求了解反比例函数的图象是双曲线，会画双曲线，理解反比例函数的性质；感悟“数”、“形”之间的“转化与对应”的数学思想。
知识结构内容解析（1）反比例函数的图象：反比例的图象是双曲线，双曲线不同于直线，它的图象不是由少数几个点所能确定的，在画图象时所描的点越多，就越能清晰地反映出真实图象,尤其是第一次画双曲线时更要多描一些点，待熟练后可以少描一些点。
（2）反比例图象的性质： ①反比例函数的图像是双曲线，由x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，得函数值0≠y ，所以双曲线不经过原点，且不与两坐标轴相交；它的两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.当k >0时，x 、y 同号，故图象分布于第一、三象限；而当k <0时，x 、y 异号，故图象分布于第二、四象限；②反比例函数的图像不但是轴对称图形（对称轴是直线x y =或x y -=）而且是中心对称图形（对称中心是坐标原点）；③当k >0时，双曲线的双支分别位于第一、三象限；在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；当k <0时，双曲线的双支分别位于第二、四象限；在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；④反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xk y = （0≠k ）上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k 。
重点难点本课的重点是画反比例函数的图象和探究反比例函数的性质。
重难点的解决：对于画图应让学生领会图象的形成过程，而不是死记“步骤”，五点连线法画出的只是大致图象，要得到较精确的图象就必须多描一些点。
对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但因刚学完直线型（一次函数）的图象，学生对每步要求的理解并不深刻，因此，在画反比例函数图象时，会出现如下的问题：（1）“列表”时，只取少量几个自变量x 的值,可能缺乏代表性及忽略0x ≠等现象；（2）“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；（3）对双曲线与x 轴、y 轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解；为解决这一难点，教师要边讲解边示范作图；对于反比例函数的性质教学时，应进行有针对性的引导，先从解析式入手，让学生先进行“数”（0,0,0x y k ≠≠≠）、“式”（(0)k y k x=≠）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识；对于对称性可以先通过动手操作（折叠、旋转），观察得到；增减性、比例系数k 的符号与位置关系、k 的几何意义都可以通过问答探究得到。
第15讲 反比例函数的应用知识定位讲解用时：2分钟A 、适用范围：人教版初三，基础偏上B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先回顾反比例函数的定义、图像及其性质，其次重点掌握反比例函数在实际问题的应用，理解反比例函数在几何图形中的考察形式，本节的重点在于掌握反比例函数的综合应用，难点在于几何图形的综合考查，具有一定的难度。
知识梳理讲解用时：20分钟反比例函数的定义1. 定义：一般地，形如xky =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数，xk y =还可以写成1-=kx y 2. 反比例函数解析式的特征：（1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； （2）比例系数k≠0；（3）一般情况下，自变量x 的取值为一切非零实数； （4）一般情况下，函数y 的取值是一切非零实数（1）图像的画法：描点法① 列表：应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数② 描点：由小到大的顺序 ③ 连线：从左到右光滑的曲线（2）反比例函数的图像是双曲线，xk y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交（3）反比例函数xk y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：如图，设点P （a ，b ）是双曲线xk y =上任意一点，作PA⊥x 轴于A 点，则⊥PAO 的面积是||21k ；由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C ，则⊥PQC 的面积为k2。
课堂精讲精练【例题1】当温度不变时，气球内气体的气压P （单位：kPa ）是气体体积V （单位：m 3）的函数，下表记录了一组实验数据：P 与V 的函数关系式可能是（ ）。
V （单位：m 3） 1 1.5 2 2.5 3 P （单位：kPa ）96644838.432A ．P=96VB ．P=-16V+112C ．P=16V 2﹣96V+176D ．P V96= 【答案】 D【解析】本题考查了反比例函数的应用，观察发现：vp=1×96=1.5×64=2×48=2.5×38.4=3×32=96， 故P 与V 的函数关系式为p V96=，故选：D ． 讲解用时：3分钟解题思路：观察表格发现vp=96，从而确定两个变量之间的关系即可。
第19讲 反比例函数在几何图形中的应用知识定位讲解用时：2分钟A 、适用范围：人教版初三，基础一般B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先复习反比例函数相关的概念、图像以及性质，重点学习反比例函数在几何图形中的应用，能够结合不同的几何图形应用反比例函数知识进行问题转化，这也是本节课的重点和难点，希望学生能够熟练掌握分析过程，并进行求解。
知识梳理讲解用时：25分钟反比例函数的定义1. 定义：一般地，形如x ky =（k 为常数，0≠k ）的函数称为反比例函数，x k y =还可以写成1-=kx y 2. 反比例函数解析式的特征： （1）等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1； （2）比例系数k≠0； （3）一般情况下，自变量x 的取值为一切非零实数； （4）一般情况下，函数y 的取值是一切非零实数（1）图像的画法：描点法① 列表：应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数② 描点：由小到大的顺序③ 连线：从左到右光滑的曲线（2）反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交 （3）反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是： 如图，设点P （a ，b ）是双曲线x k y =上任意一点，作PA⊥x 轴于A 点，则⊥PAO 的面积是||21k ；由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C ，则⊥PQC 的面积为k 2。
课堂精讲精练【例题1】如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ）。
A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=【答案】A【解析】本题考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，⊥等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ， ⊥21xy=10，⊥y 与x 的函数关系式为：xy 20=，故选：C 。
讲解用时：2分钟 解题思路：利用三角形面积公式得出21xy=10，进而得出答案 教学建议：表示出三角形面积表达式即可。
难度：2 适应场景：当堂例题 例题来源：绥化模拟 年份：2018【练习1】已知一菱形的面积为12cm 2，对角线长分别为xcm 和ycm ，则y 与x 的函数关系式为 。
【答案】xy 24= 【解析】本题考查了根据实际问题抽象出反比例函数解析式，由题意得：y 与x 的函数关系式为x x y 242=⨯=菱形面积，故本题答案为：xy 24=。
讲解用时：2分钟解题思路：根据菱形面积=对角线的积⨯21，可列出关系式x x y 242=⨯=菱形面积。
教学建议：熟记菱形面积与对角线之间的关系。
难度：2 适应场景：当堂练习 例题来源：邵阳县校级月考 年份：2017秋【例题2】 如图，是双曲线x y 6=，xy 2=在第一象限内的图象，直线AB⊥x 轴分别交双曲线于A 、B 两点，则⊥AOB 面积为（ ）。
A ．4 B ．3 C ．2D ．1 【答案】C【解析】本题主要考查了反比例函数的性质，⊥A 在反比例函数线x y 2=上，⊥⊥OAC 的面积是21×2=1， 同理⊥OBC 的面积是21×6=3，则⊥AOB 面积为S ⊥OBC ﹣S ⊥OAC =3﹣1=2， 故选：C 。
讲解用时：3分钟解题思路：根据反比例函数的几何意义，反比例函数xk y =上一点P ，过p 作y 轴的垂线PC ，则⊥OPC 的面积是21|k|，据此即可求解。
教学建议：表示出三角形面积与反比例函数k 之间的关系。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：南岗区校级二模 年份：2016【练习2】 如图，双曲线xk y =经过点A （2，2）与点B （4，m ），则⊥AOB 的面积为（ ）。
A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】本题考查了反比例函数性质以及多边形面积公式等知识点， 过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，如图， ⊥双曲线xk y =经过点A （2，2），⊥k=2×2=4， 而点B （4，m ）在x y 4=上，⊥4•m=4，解得m=1， 即B 点坐标为（4，1），⊥S ⊥AOB =S ⊥AOC +S 梯形ABDC ﹣S ⊥BOD =21OC•AC+21×（AC+BD ）×CD ﹣21×OD×BD =21×2×2+21×（2+1）×（4﹣2）﹣21×4×1 =3．故选：B 。
讲解用时：5分钟解题思路：过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，把点A （2，2）代入双曲线x k y =确定k 的值，再把点B （4，m ）代入双曲线xk y =，确定点B 的坐标，根据S ⊥AOB =S ⊥AOC +S 梯形ABDC ﹣S ⊥BOD 和三角形的面积公式与梯形的面积公式进行计算即可。
教学建议：表示出多边形面积与反比例函数k 之间的关系。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：牡丹江 年份：2017秋【例题3】如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标是（10，0），双曲线)0(>=x xk y 经过点C ，且OB•AC=160，则k 的值为（ ）。
A ．40B ．48C ．64D ．80 【答案】 B【解析】此题考查了反比例函数与菱形的性质、勾股定理以及坐标与图形性质等知识点，⊥四边形OABC 是菱形，OB 与AC 为两条对角线，且OB•AC=160， ⊥菱形OABC 的面积为80，即OA•CD=80，⊥OA=OC=10，⊥CD=8，在Rt⊥OCD 中，OC=10，CD=8，根据勾股定理得：OD=6，即C （6，8），则k 的值为48，故选：B 。
讲解用时：5分钟解题思路：过C 作CD 垂直于x 轴，交x 轴于点D ，由菱形的面积等于对角线乘积的一半，根据已知OB 与AC 的乘积求出菱形OABC 的面积，而菱形的面积可以由OA 乘以CD 来求，根据OA 的长求出CD 的长，在直角三角形OCD 中，利用勾股定理求出OD 的长，确定出C 的坐标，代入反比例解析式中即可求出k 的值。
教学建议：关键是表示出C 点的坐标，显然是要过C 作CD 垂直于x 轴。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：渝北区自主招生 年份：2014【练习3】如图，平行四边形ABOC 中，对角线交于点E ，双曲线)0(<=k xk y 经过C 、E 两点，若平行四边形ABOC 的面积为10，则k 的值是（ ）。
A ．﹣B ．﹣C ．﹣4D ．﹣5【答案】B【解析】本题是平形四边形与反比例函数的综合应用，设E 的坐标是（m ，n ），则mn=k ，⊥平行四边形ABOC 中E 是OA 的中点，⊥A 的坐标是：（2m ，2n ），C 的纵坐标是2n ，把y=2n 代入)0(<=k x k y 得：x=n k 2，即C 的横坐标是：n k 2， ⊥OB=AC=n k 2﹣2m ，OB 边上的高是2n ， ⊥（nk 2﹣2m ）•2n=10，即k ﹣4mn=10， ⊥k ﹣4k=10，解得：k=310-，故选：B 。
讲解用时：8分钟解题思路：设E 的坐标是（m ，n ），则mn=k ，平行四边形ABOC 中E 是OA 的中点，则A 的坐标是：（2m ，2n ），C 的纵坐标是2n ，表示出C 的横坐标，则可以得到AC 即OB 的长，然后根据平行四边形的面积公式即可求得k 的值。
教学建议：根据E 点的坐标表示出AC 的长度。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：丹徒区校级模拟 年份：2018【例题4】如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C （1，3），过点C 的直线y=kx+b 〔k ＜0〕与x 轴交于点A 。
（1）求反比例函数的解析式；（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求⊥COD 的面积。
【答案】（1）xy 3=；（2）4 【解析】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，（1）⊥点C （1，3）在反比例函数图象上，⊥k=1×3=3，⊥xy 3=； （2）当x=3时，y=1，⊥D （3，1），⊥C （1，3）、D （3，1）在直线y=k 2x+b 上，⊥，⊥，⊥y=﹣x+4，令y=0，则x=4，⊥A （4，0），⊥S ⊥COA =21×4×3=6，S ⊥DOA =21×4×1=2， ⊥⊥COD 的面积=S ⊥COA ﹣S ⊥DOA =6﹣2=4．讲解用时：8分钟解题思路：第（1）问中由于点C （1，3）在反比例函数图象上，⊥K 1=1×3=3可求反比例函数的解析式；第（2）问由直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3，易求其解析式，进而求出直线与x 轴交点坐标，再用分割处理即可求出⊥COD 的面积。
教学建议：不规则三角形面积用割补法处理。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：黄冈模拟 年份：2016【练习4】已知：A （m ，2）是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x3（x ＞0）的交点。
（1）求m 的值； （2）若该一次曲线的图象分别与x 、y 轴交于E 、F 两点，且点A 恰为E 、F 的中点，求该直线的解析式；【答案】（1）m=23；（2）434+-=x y【解析】本题考查了一次函数的与反比例函数的综合知识，（1）⊥A （m ，2）是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x 3的交点， ⊥2=m 3，⊥m=23； （2）由（1）得A （23，2），⊥2=23k+b ， 由题意可知：A 是线段EF 的中点，且E （k b -，0）F （0，b ）则：A （2,2b k b -）， ⊥2b =2，即b=4，⊥k=34-， ⊥一次函数y=kx+b 的解析式为：434+-=x y 讲解用时：8分钟解题思路：第（1）问把点A 的横纵坐标代入反比例函数的解析式即可求得m 的值；第（2）问由A 点向两坐标轴作垂线，利用相似三角形的性质求得点E 、F 的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可。
教学建议：熟记中点坐标公式是解决第（2）问的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：泰山区模拟 年份：2016【例题5】在平面直角坐标系中，双曲线)0(121>-=x x k y 在第一象限的图象记为G 1。
（1）求k 的取值范围；（2）在第一象限另一个反比例函数)0(322>=x xy 的图象记作G 2，过x 轴正半轴上一点A 作垂直于x 轴的直线，分别交G 1、G 2于点P 、Q ，若k=2，PQ=7，求点A 的横坐标；【答案】（1）k ＞21；（2）31【解析】本题主要考查了反比例函数的性质、直线和双曲线的交点坐标的确定以及解不等式组等知识点，（1）⊥当x ＞0时，图象在第一象限，⊥2k ﹣1＞0，⊥k ＞21； （2）⊥k=2，⊥y 1=x3， 设A 点坐标为（m ，0），⊥P （m ，m 3）， ⊥反比例函数y 2=x 32（x ＞0），⊥Q （m ，m 32），⊥PQ=mm 323-， ⊥PQ=7，⊥m m 323-=7，⊥m=31， 经检验，符合题意，⊥点A 的横坐标为31； 讲解用时：10分钟解题思路：第（1）问利用反比例函数的性质即可得出结论；第（2）问利用待定系数法求出G 1的解析式，进而表示出点P 坐标，再表示出点Q 的坐标，最后用PQ=7建立方程求解即可。
