江西省吉安市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠︒＝，线段AD ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，K ，连接EF ，FK ．现将ABD △绕对角线BD 旋转，令二面角A －BD －C 的平面角为α，则在旋转过程中有（）A ．EFK ∠≤αB ．EFK ∠≥αC ．EDK ∠≤αD ．EDK ∠≥α【答案】B 【解析】 【分析】首先根据旋转前后的几何体，表示E FK ∠'和α，转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较顶角的问题，还需考虑180α=o 和0α=o 两种特殊情况. 【详解】 如图，DEF ∆绕BD 旋转形成以圆O 为底面的两个圆锥，(O 为圆心，OE 为半径，O 为DF 的中点)，E FK EFE π∠=-∠''，E OE απ=-∠'，当180α≠o 且0α≠o 时，OEE ∆'与等腰FEE ∆'中，EE '为公共边，FE FE OE OE =>=''，EFE EOE ∴∠<∠'', E FK α∴∠'>.当180α=o 时，E FK α∠'=, 当0α=o 时，E FK α∠'>, 综上，E FK α∠'≥。
C.D 选项比较EDK ∠与α的大小关系，如图即比较E DK '∠与α的大小关系，根据特殊值验证： 又当0α=o 时，E DK α∠'>,当180α=o 时，E DK α∠'< ，,C D ∴都不正确.故选B. 【点睛】本题考查了二面角的相关知识，考查空间想象能力，难度较大，本题的难点是在动态的旋转过程中，如何转化EFK ∠和α，从而达到比较的目的，或考查180α=o 和0α=o 两种特殊情况，可快速排除选项. 2．王老师在用几何画板同时画出指数函数x y a =（1a >）与其反函数log ay x =的图象，当改变a 的取值时，发现两函数图象时而无交点，并且在某处只有一个交点，则通过所学的导数知识，我们可以求出当函数只有一个交点时，a 的值为（ ） ABC ．2eD．e【答案】B 【解析】 【分析】当指数函数与对数函数只有一个公共点00(,)x y 时，则在该点的公切线的斜率相等，列出关于0,a x 的方程. 【详解】设切点为00(,)x y ，则000000,log ,1ln ln x a x y a y x a a x a ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⋅⎪⎩，解得：00,,x e y e a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故选B.【点睛】本题考查导数的运算及导数的几何意义，考查数形结合思想的应用，要注意根据指数函数与对数函数图象的凹凸性，得到在其公共点处公切线的斜率相等. 3．函数f(x)＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为( ) A ．[32-，32] B ．[32-，3] C ．[] D ．[，3] 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域. 详解：[]0,,20,2x x ππ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦Q ， 52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， 12,162sin x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()332,362f x sin x π⎛⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.4．某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A ，则不同的安排有（ ） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】B 【解析】 【分析】按照村小A 安排一个人和安排两个人两种情况分类讨论，按先分组后排序的方法，计算出不同的安排总数. 【详解】村小A 安排一人，则有2232C A ；村小A 若安排2人，则有1232C A .故共有1212323212C A C A +=.选B.【点睛】本小题主要考查分类加法计算原理，考查简单的排列组合计算问题，属于基础题.5L ，则 ） A ．第6项 B ．第7项C ．第19项D ．第11项【答案】B 【解析】L ，据此可得数列的通项公式为：n a = ，=解得：7n = ，即是这个数列的第7 项. 本题选择B 选项.6．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）． A ．10- B ．5- C ．10 D ．5【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为4求得． 【详解】解：对于251031551()()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 对于10﹣3r ＝4， ∴r ＝2，则x 4的项的系数是C 52（﹣1）2＝10 故选C ．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 7．已知复数122iz i-=-（为虚数单位），则z =（ ） A ．15B ．35C ．45D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结果. 【详解】 解：()()()()122124343222555i i i i z i i i i -+--====---+，则1z ==. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算法则，模的计算公式，考查计算能力，属于基础题. 8．点M 的极坐标为（1，π），则它的直角坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（1-，0）C ．（0，1）D ．（0，1-）【答案】B 【解析】 【分析】将极坐标代入极坐标与直角坐标之间的互化公式，即可得到直角坐标方程. 【详解】将极坐标代入互化公式得：cos 1cos 1x ρθπ==⨯=-，sin 1sin 0y ρθπ==⨯=，所以直角坐标为：()1,0-.故选B. 【点睛】本题考查极坐标化为直角坐标的公式，注意特殊角三角函数值不要出错.9．已知向量(2,)a x =-v，(1,)b x =v ，若2a b -v v 与a v 垂直，则b =v （ ）A ．2B ．3C．D．【答案】B 【解析】分析：先求出2a b -v v 的坐标，然后根据向量垂直的结论列出等式求出x ，再求b v 即可.详解：由题可得：()222(4,),28083a b x a b ax x b -=---⊥∴-=⇒=⇒==v vr v v v Q 故选B.点睛：考查向量的坐标运算，向量垂直关系和模长计算，正确求解x 是解题关键，属于基础题. 10．已知命题p ：x R ∃∈，sin x a >，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤C ．1a =D ．1a <【答案】A 【解析】分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出a 的值.详解：命题p ：x R ∃∈，sin x a >，则p ⌝为,sin x R x a ∀∈≤，p ⌝是真命题，即sin x a ≤恒成立，sin x 的最大值为1，所以1a ≥ 故选A.点睛：含有一个量词的命题的否定11．在ABC ∆中，0CA CB ⋅=，2BC BA ⋅=，则BC =v （ ）A ．1 BC D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积公式直接求解即可 【详解】因为0BC AC ⋅=u u u v u u u v，所以ABC ∆为直角三角形，所以2|cos |2BC BA AB BC ABC BC ⋅=⋅⋅∠==u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以BC =u u u v 故选B 【点睛】本题考查平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力.12．椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF 的内切圆的周长为2π， ,A B 两点的坐标分别为()11,x y ， ()22,x y ，则21y y -=（ ）A ．53B ．103C ．203D 【答案】A 【解析】 【分析】设△ABF 1的内切圆的圆心为G ．连接AG ，BG ，GF 1．设内切圆的半径为r ，则1πr=π，解得r=12．可得2ABF S V =()2212r AB AF BF ++=2112y y -•|F 1F 1|，即可得出．【详解】由椭圆222516x y +=1，可得a=5，b=4，=2． 如图所示，设△ABF 1的内切圆的圆心为G ．连接AG ，BG ，GF 1． 设内切圆的半径为r ，则1πr=π，解得r=12．则2ABF S V =()2212r AB AF BF ++=2112y y -•|F 1F 1|， ∴12⨯4a=|y 1﹣y 1|×1c ， ∴|y 1﹣y 1|=a c =53．故选C ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、三角形内切圆的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．函数()f x 为R 上的奇函数，若对任意的()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，已知()20f =，则不等式()20xf x -<的解集为______.【答案】()2,4 【解析】 【分析】根据题意，可得函数在()0,∞+上的单调性，结合()20f =可得()f x 在()0,∞+上的符号，利用函数的奇偶性可得在(),2-∞-上，()0f x <，则()2,0-上，()0f x >，即可分析()20xf x -<的解，可得答案． 【详解】根据题意，若对任意的1x ，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则()f x 在()0,∞+上为增函数，又由()20f =，则在()0,2上，()0f x <，则在()2,+∞上，()0f x >， 又由()f x 为奇函数，则在(),2-∞-上，()0f x <，则()2,0-上，()0f x >，()()02020x xf x f x >⎧-<⇒⎨-<⎩或()020x f x <⎧⎨->⎩，即0022x x >⎧⎨<-<⎩或022x x >⎧⎨-<-⎩或0220x x <⎧⎨-<-<⎩或022x x <⎧⎨->⎩ 解得：24x <<， 即不等式的解集为()2,4； 故答案为：()2,4 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题． 14．若不等式321032a a x x -+<有且只有1个正整数解，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()6,+∞ 【解析】 【分析】 令()32132a a f x x x =-+（0x >），求出()()21f x ax ax ax x '=-=-，由导数研究函数()f x 的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出a 的范围． 【详解】 令()32132a a f x x x =-+（0x >），则()()21f x ax ax ax x '=-=-. 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >； 所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，不合题意，舍去； 当0a =时，有10<，显然不成立；当0a >时，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<； 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，依题意，需()()110,3284210,32a a f a a f ⎧=-+<⎪⎪⎨⎪=-+≥⎪⎩解得6a >，故实数a 的取值范围是()6,+∞. 【点睛】本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．15．设空间向量(1,2,)AB n =u u u v ，(2,,4)CD m =-u u u v ，且//AB CD u u u v u u u v，则m n -=__________．【答案】-2. 【解析】分析：//AB CD u u u v u u u v，利用向量共线定理即可得出结论详解：()1,2,AB n =u u u v ，()2,,4CD m =-u u u v ，且//AB CD u u u v u u u v即1224n m ==- 即m =-4，n =-2∴2m n -=-点晴：本题主要考察空间向量的平行，注意熟记平面向量平行垂直的计算，空间向量的平行垂直的计算 16．在ABC ∆中,D 为AB 的中点,24AC CD ==,ABC ∆的面积为6,BE CD ⊥且BE 交CD 于点E ,将BCD ∆沿CD 翻折,翻折过程中，AC 与BE 所成角的余弦值取值范围是__．【答案】30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】分析：根据题意，过A 作CD 的垂线，垂足为,F 过B 作CD 的垂线，垂足为,E 由题可求得3BE AF == ，设,BE AC u u u v u u u v的夹角为θ，()BE AC BE AF FC BE AF ∴⋅=⋅+=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由此可求AC 与BE 所成角的余弦值取值范围详解：如图所示，根据题意，过A 作CD 的垂线，垂足为,F 过B 作CD 的垂线，垂足为,E 由题24AC CD ==,ABC ∆的面积为6，113,22ACD ABC S S AF CD ==⋅=∴V V 3BE AF == ，设,BE AC u u u v u u u v 的夹角为θ，()BE AC BE AF FC BE AF ∴⋅=⋅+=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v33912cos 9cos ,44θθ⇒-≤≤⇒-≤≤故C 与BE 所成角的余弦值取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.即答案为30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：本题考查平面图形的翻折问题，考查异面直线的夹角文，属难题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设向量sin ,cos )2a x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，(cos ,sin cos )b x x x =+v ，x ∈R ，记函数()f x a b =⋅r r . （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，a =ABC ∆面积的最大值.【答案】 (1) 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈. （2）12. 【解析】分析：（1）函数()f x a b =⋅vv ，根据向量坐标的运算，求出()f x 的解析式，化简，结合三角函数的性质可得单调递减区间； （2）根据()12f A =，求出A，由a =ABC ∆面积的最大值. 详解：（1）由题意知：()sin cos f x a b x x =⋅=⋅v v)()sin cos sin cos x x x x -+1sin2cos2sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，则可得：51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）∵()12f A =，∴1sin 232A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合ABC ∆为锐角三角形，可得236A ππ==，∴4A π=.在ABC ∆中，利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即(2222b c bc =+≥（当且仅b c =时等号成立），即2bc ≤=，又sin sin42A π==，∴1sin 24ABC S bc A bc ∆==(1242+≤+=.点睛：本题考查了三角函数的性质的运用、余弦定理和基本不等式灵活应用. 18．已知函数()2e xf x x =-.（1）当0x ≥时，求()f x 的最小值；（2）若存在实数1x ，2x ，使得()()221112323ln 42x f x x -+-=+，求21x x -的最小值. 【答案】（1）1；（2）1ln 22+ 【解析】 【分析】（1）由函数()2e xf x x =-，根据函数的单调性证明即可.（2）设()()221112323ln 42x f x x m -+-=+=，求出1ln 32m x +=，1422m x e -=，0m >，令()()14ln 3202xx h x ex +=->，根据函数的单调性求出其最小值即可. 【详解】（1）()2xf x e x '=-Q ，()2x f x e ''=-⎡⎤⎣⎦，由20x e ->，解得ln 2x >， 由20x e -<，解得0ln 2x ≤<，()f x '∴在[)0,ln 2单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，()()ln 222ln 20f x f ''∴≥=->， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，∴当0x ≥时，()f x 的最小值为()01f =.（2）设()()221112323ln 42x f x x m -+-=+=， 则12321eln 42x x m -=+=. 1x R ∈Q ，则1230x e ->，即0m >，故123ln x m -=，21ln24x m =-， 1ln 32m x +∴=，1422m x e -=，即1421ln 322m m x x e-+-=-，0m >. 令()()14ln 3202x x h x e x -+=->，则()14122x h x e x-'=-，因为142x e-和12x-在()0,∞+上单调递增， 所以()h x '在()0,∞+上单调递增，且104h '⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴当14x >时，()0h x '>， 当104x <<时，()0h x '<，()h x ∴在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当14x =时，()h x 取最小值，此时11ln 242h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21x x -最小值是1ln 22+. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性的应用、导数在求函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.19．甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是23，假设每局比赛结果相互独立. (Ⅰ)比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束．求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；(Ⅱ)比赛采用三局两胜制，设随机变量X 为甲在一场比赛中获胜的局数，求X 的分布列和均值； (Ⅲ)有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制.问哪个方案对甲更有利.（只要求直接写出结果） 【答案】（Ⅰ）2027（Ⅱ）分布列见解析，E （X ）4427=（Ⅲ）方案二对甲更有利 【解析】 【分析】（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．（Ⅱ）由已知得X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）方案二对甲更有利．【详解】（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜． ∴甲获得比赛胜利的概率为：P ＝（23）2122133C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（23）2027=．（Ⅱ）由已知得X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）＝（13）219=， P （X ＝1）12211433327C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， P （X ＝2）＝（23）2122133C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（23）2027=．∴随机变量X 的分布列为：∴数学期望E （X ）0129272727=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制． 方案二对甲更有利． 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力及逻辑推理能力，是中档题．20．把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．【答案】 )R 【解析】 【分析】四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。
