2024届陕西省西安市西北工业大学高一数学第二学期期末经典试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．ABC ∆中，下列结论：①若A B >，则sin sin A B >，②sin()sin A B C +=，③cos()cos +=A B C ，④若ABC ∆是锐角三角形，则sin cos A B >，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．74．[]x 表示不超过x 的最大整数，设函数2()ln(1)h x x x =++，则函数()[()][()]f x h x h x =+-的值域为（ ）A ．{0}B ．{2,0}-C ．{1,0,1}-D ．{1,0}-5．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( ) A ．3,23,69B ．4,24,70C ．4,23,70D ．3,24,706．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．设复数12z i =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,48．若直线l 过两点(1,2)A ，(3,6)B ，则l 的斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-9．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（ ）A ．3πB ．23π C ．34πD ．56π10．已知259a =°，sin15cos15b =+°°，2231cos31c =°°，则实数a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b <<a c b <<B ．a b c <<C ．a c b ≥≥D ．a b c ≥≥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高等数学2009--2010第二学期期终考试试题答案及评分标准A卷一、1、-8，2、，3、，4、8π，5、，6、。
二、1, 2、，3、，4、，5、3，6、[]2121+-，，缺闭区间扣一分。
三、1、解：设切点…………………2分由已知条件得：，得到.………..4分切平面方程为即……………..6分2、解：……………..3分……………..6分3、解：………………4分………………6分四、1、解：g f fy xx u v∂∂∂=+∂∂∂，g f fx yy u v∂∂∂=-∂∂∂，…………….2分vfvfxvufxyufyx∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222g,vfvfyvufxyufxy∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222g, ………………..5分222222g gx yx y∂∂+=+∂∂………………6分2．解：设dydppyp=''=',y，………………………2分得到舍去）(,0y==+ppdydp，解得ycp1=，由初始条件yy21,21c1='=，………………………4分100(,)dy f x y dx⎰83π12eπ+1415-{}00000(,,),,2,1P x y z n x y=-224000sind d drππθϕϕ⎰⎰143π0021221x y-==-2230x y z+--=2200002,1, 3.2xx y z y===+=2(2)2(1)(3)0x y z-+---=231131()12yyyydy e dxy y e dy e∂=-=-⎰⎰⎰8232008222336dz d drz dzπθππ==⎰⎰⎰2y1=-22c x y +=, 由初12=c , 其特解为1,12+=+=x y x y 或。
……………………..6分3.、解：由xQ y p ∂∂=∂∂，得x e x f x f x f =-'-'')()()（，………………2分 x x x e y e c e c Y 21,221-=+=*-, 由初始条件61,3221-==c c , x x x e e e x f 216132)(2--=- ……….4分 (1,1)(0,0)()2()()x f x f x e ydx f x dy ''⎡⎤+++⎣⎦⎰ =⎰-+=-+--101212216134216134e e e dy e e e ）. ……………….6分五、解：1151lim lim (1)55n n n n n na n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, ∴收敛半径为5R =…………………..2分 当5x =-时, 15n n ∞=∑发散; 当5x =时,11(1)5n n n -∞=-⋅∑收敛 ∴收敛区间为(5,5]-…………………………………………………4分 设和函数1111111100110(1)()(1)55 [(1)][(1)()]5551 ln(1), (5,5]5515n n n n n n n n n x x n n n n n n x x S x x x n n t x t x dt dt n x x dt x x t -∞∞+-==∞∞---==-==-⋅⋅'=-=-⋅==+∈-+∑∑∑∑⎰⎰⎰………..…7分 …………………….8分六、解：设旋转曲面S 的方程为 12222=++z y x ，--------------------1分给定的方向 )0,21,21(0-=l方向导数函数 )(2c o s c o s c o s y x zf y f x f l f -=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα --------2分 设)12()(2222-+++-=z y x y x L λ， ---------------3分令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==∂∂=+-=∂∂=+=∂∂1202022042222z y x z zL y y L x x L λλλ ------------------4分 解之得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=02242z y x λλ 23±=λ ------------------6分 23=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3-=∂∂l f 23-=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3=∂∂lf 所以，所求的S 上的点为)0,36,66(- ------------------7分 七、解：……………………3分………………………6分………………………7分(2009)(1)2010ae f =000()()(x)lim ()(1)()lim lim x x x x x f x x f x f x f x e f x e x x ∆→∆∆→∆→+∆-'=∆-∆=+∆∆(x)()(0),(),(0)0,0..x x x f f x f e y ax c e f c y axe ''=+=+=∴== 111100(x)(1)(1)(1)!!x x x x n n n n f axe aexe ae x e aee x x ae ae n n ---+∞∞=====-+--=+∑∑n=100(1)(1)=ae (1)!!(1)(1),.!n nn nn x x ae n n n x ae x R n ∞∞=∞=--+-+-=∈∑∑∑。
1复习试题1. 填空题(1)方程32210x x +++=在实数范围内实根的个数为1;(2) 平面曲线ln(1)y x x =+在区间(1,)−+∞是凹的. 解 (1)令32()21,f x x x =+++ 则有2(1)20,(0)10,()320,f f f x x ′−=<=>=++>由零点定理及函数的单调性可知, 方程()0f x =在区间(,+)−∞∞内有唯一实根(1,0),ξ∈− 即原方程实根的个数为1.(2) 函数ln(1)y x x =+的定义域为(1,+).−∞ 22ln(1),.1(1)x xy x y x x +′′′=++=++ 易知当(1,+)x ∈−∞时, 0,y ′′> 因此曲线ln(1)y x x =+在整个定义域(1,+)−∞上是凹的.2. 请在下列题中选择四个结论中正确的一个:(1) 设函数()f x 在[0,1]上满足()0,f x ′′> 且(0)0,f ′= 则(1),(0),f f ′′ (1)(0)f f −或(0)(1)f f −的大小顺序是( B ).(A)(1)(0)(1)(0);f f f f ′′>>− (B)(1)(1)(0)(0);f f f f ′′>−> (C)(1)(0)(1)(0);f f f f ′′−>> (D)(1)(0)(1)(0).f f f f ′′>−>(2) 函数()f x 在点0x x =处取得极大值, 则( D ) .0(A)()0;f x ′= 0(B)()0;f x ′′< 0(C)()0f x ′=且0()0;f x ′′< 0(D)()0f x ′=或不存在.(3) 设函数()f x 具有三阶连续导数, 且()f x 满足等式2()[()],f x f x x ′′′+= 又(0)0,f ′= 则( C ).(A)(0)f 是()f x 的极大值; (B)(0)f 是()f x 的极小值; (C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点;(D)(0)f 不是()f x 的极值, 点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点. 解 (1) 对函数()f x 在[0,1]应用拉氏中值定理, 可得(1)(0)(),(0,1).f f f ξξ′−=∈因为()0,f x ′′> 故()f x ′在[0,1]上单调增加, 所以当[0,1]x ∈时, (1)()(1)(0)(0),f f f f f ξ′′′>=−> 即应选B.2(2) 根据函数取得极值的必要条件可知, 应选D. (3) 已知等式两端关于x 求导一次, 可得()2()() 1.f x f x f x ′′′′′′+=在已知等式及上式中令x=0, 可得(0)0,(0)1,f f ′′′′′== 即00()(0)()(0)limlim 10,0x x f x f f x f x x→→′′′′′′−′′′===>−由极限的保号性知, ()f x ′′在0x =两侧邻近处异号, 所以(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点. 又根据泰勒公式, 有22()()()(0)(0)(0),2!2!f f f x f f x x f x ξξ′′′′′=++=+ 其中ξ介于x 与0之间. 由极值的定义知, (0)f 不是()f x 的极值, 故应选C.3. 设()f x 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且1(0)(1)0,()1,2f f f === 试证至少存在一点(0,1),ξ∈ 使() 1.f ξ′=解 令()(),F x f x x =− 易知()F x 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且(0)(0)00,F f =−= 1111()()0,2222F f =−=> (1)(1)110.F f =−=−<由零点定理知, 在1(,1)2内至少存在一点,η 使得()0.F η= 对()F x 在[0,]η上用一次罗尔中值定理, 可知至少存在一点(0,),ξη∈ 使()()10,F f ξξ′′=−=即() 1.f ξ′=4. 设()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 证明存在(,),a b ξ∈ 使得11[()()]()().n n n n b f b a f a n f f b aξξξξ−′−=+− 解 令()(),n F x x f x = 依题可知()F x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 由拉氏中值定理, 可知至少存在一点(,),a b ξ∈ 使1()()()()(),()n n F b F a F n f f b a ξξξξξ−−′′==+−故命题成立.5. 设0,a b << 函数()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 试利用柯西中值定理证明: 存在一点(,),a b ξ∈ 使得()()()ln .bf b f a f aξξ′−=解 令()ln ,F x x = 依题可知(),()f x F x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 且当(,)x a b ∈时, 1()0,F x x′=> 由柯西中值定理, 可知至少存在一点(,),a b ξ∈ 使3()()()()(),1()()()f b f a f f f F b F a F ξξξξξξ′′−′===′−故命题成立.6. 求下列极限:(1) 11lim();1ln x x x x→−− (2) 11lim ()(0,0);x x x x a b a b →+∞−>> (3) 21lim (sin cos );x x x x→∞+ (4) 1ln(1lim;arccot x x x →+∞+ (5) 11112lim ,nxx x xn x a a a n →∞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠其中12,,,0.n a a a > 解 (1) 001111ln 11ln 1lim()lim = lim11ln (1)ln ln x x x x x x x x x x x x x x x→→→−++−−=−−−+ 0011ln ln 11lim=lim =.ln 1ln 112x x x x x x x x x →→+=+−++(2) 1111011220211ln ()ln ()lim()limlim11xx xx x x x x x a a b b a b x x x a b xx →+∞→+∞→+∞−−−−−==−11lim(ln ln )ln .xxx aa ab b b→+∞=−=(3) 21ln(sincos )210lim ln(sincos lim (10x x x x x x x x→∞→∞++=∵ 22221121cos ()sin ()2cos sinlimlim 2,21121(sin cos )()sin cosx x x x x x x x x x x x x →∞→∞−−−−===+−+ 221lim (sincos =e .x x x x→∞∴+4(4) 2020211()11ln(1)11limlim lim 1.1arccot (1)1x x x x x x x x x xx →+∞→+∞→+∞−+++===+−+ (5) 1111111212ln()ln 0lim ln(lim(10xxx x xx n nx x a a a a a a nnx n nx→∞→∞++++−= ∵ 111112221111221(ln ln ln )()lim1()()xxxn n x xxx na a a a a a x n a a a x →∞+++−=++−1212ln ln ln ln(),nn a a a na a a n+++==1111212lim .nxx x xn n x a a a a a a n →∞⎛⎞++⎜⎟∴=⎜⎟⎜⎟⎝⎠7. 在区间(,)−∞+∞内方程1142cos 0x x x +−=有几个实根?解 令1142()cos ,f x x x x =+− 则()f x 在(,)−∞+∞上连续, 且为偶函数, 只需考虑它在[0,)+∞上的零点情况.当0x >时, 314211()sin .42f x x x x −−′=++显然(0)10,f =−<(1)2cos10,f =−> 且当(0,1)x ∈时, ()0,f x ′> 因此函数()f x 在(0,1)内有且仅有一个实根. 当1x ≥时, 11421,x x +> 而cos 1,x ≤ 因此当1x ≥时, ()0,f x > 即()f x 在[1,)+∞上无实根. 综上所述, ()f x 在[0,)+∞上有且仅有一个实根. 因此原方程在(,)−∞+∞上有且仅有两个实根.8. 试讨论方程e (0)x x a a −=>有几个实根. 解 令()e ,x f x x a −=− 则有()e (1).x f x x −′=−5令()0,f x ′= 可得唯一驻点为1,x = 且当(,1)x ∈−∞时, ()0,f x ′> 当(1,)x ∈+∞时, ()0,f x ′< 因此1(1)e f a −=−为函数的极大值.又lim (),lim (),x x f x f x a →−∞→+∞=−∞=−所以1(1)e f a −=−也是函数的最大值(即点1(1,e )a −−为曲线()f x 的最高点), 且曲线有水平渐近线.y a =− 因此当1(1)e 0,f a −=−< 即1e a −>时, 方程e (0)x x a a −=>无实根;当1(1)e 0,f a −=−= 即1e a −=时, 方程e (0)x x a a −=>有且仅有一个实根; 当1(1)e 0,f a −=−> 即10e a −<<时, 方程e (0)x x a a −=>有两个实根.9. 试问a 为何值时, 函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值? 它是极大值还是极小值? 并求此值.解 若函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值, 则应有π3π()(cos cos3)0,3x f a x x =′=+= 因此 2.a = 又()2sin 3sin 3,f x x x ′′=−−π()0,3f ′′=< 故π(3f 是极大值,10. 单调函数的导数是否必为单调函数? 研究下面的例子: ()sin .f x x x =+解 单调函数的导数未必为单调函数, 如函数()sin ,f x x x =+ 由于()1cos 0,f x x ′=+≥ 因此函数()f x 在整个定义域上是单调增加的. 但其导函数()f x ′是周期函数, 显然不是单调函数.11. 问,a b 为何值时, 点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点? 解 若点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点, 则应有321111()3,(62)0,x x x x y ax bx y ax b ====⎧=+=⎪⎨′′=+=⎪⎩ 即3,620,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 从而可得39,.22a b =−= 12. 求抛物线2,y =ax bx c ++ 使它和sin y x =在点π(,1)2处有共同的切线和相6等的曲率.解 依题, 要使抛物线过点π(,1),2 则应有2π2()1,ax bx c ++= 要使抛物线和曲线sin y x =在点π(,1)2处有共同的切线和相等的曲率, 则应有ππ22332222ππ22(2)cos ,2sin ,[1(2)](1cos )x x x x ax b x a x ax b x ====⎧+=⎪⎪⎪⎪−⎨=⎪⎪+++⎪⎪⎩从而可得方程组2ππ1,42π0,21,a b c a b a ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩ 解得21ππ,,1.228a b c =±==±∓ 此时抛物线的方程为221ππ1228y x x =−++或221ππ1.228y x x =−++−13. 试证明下列不等式:(1) 当1x <时, 1e ;1x x≤− (2) 当1x >时,ln(1).ln 1x xx x+>+ 解 (1) 作辅助函数()e (1)1,x f x x =−− 考察1x <时函数的性态.令()e 0,x f x x ′=−= 可得唯一驻点为0,x = 且当(,0)x ∈−∞时, ()0,f x ′> 当(0,1)x ∈时, ()0,f x ′< 因此(0)0f =为函数在(,1)−∞上的极大值, 也是最大值. 故当1x <时, ()(0)0,f x f <= 即e (1)1,x x −< 因此1e .1x x≤− (2) 作辅助函数()ln ,g x x x = 考察1x >时函数的性态. 易知当1x >时, ()ln 10,g x x ′=+> 所以()g x 在(1,)+∞上是单调增加的, 故当1x >时, (1)(),g x g x +> 即(1)ln(1)ln ,x x x x ++> 从而有 ln(1).ln 1x xx x+>+ 14. 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导, 且()0,()0,f a f a ′>< 又当x a >时()0,f x ′′< 证明方程()0f x =在(,)a +∞内必有且仅有一个实根.7解 因为当x a >时, ()0,f x ′′< 所以()f x ′在(,)a +∞上单调减少, 故当x a >时, ()()0,f x f a ′′<< 从而()f x 在(,)a +∞上单调减少.注意到()0,f a > 根据零点 定理, 只需说明存在一点, 使得 该点处的函数值为负即可. 由图 3.11可以看出, 曲线()f x 在点 (,())a f a 处的切线与x 轴交点的 横坐标b 处, 应有()0.f b <下面证明这一结论.曲线在点(,())a f a 处的切线 方程为()()().y f a f a x a ′−=−上式中令0,y = 可得().()f a b a f a =−′显然.b a >将函数()f x 在x a =处展成一阶泰勒公式, 有2()()()()()(),2!f f x f a f a x a x a ξ′′′=+−+− 其中ξ介于x 与a 之间. 在上式中令,x b = 则依题有22()()()()()()()()()()()()2!()2!f f a f f b f a f a b a b a f a f a b a f a ξξ′′′′′′=+−+−=+−+−′2()()0.2!f b a ξ′′=−< 于是我们有()0,()0,f a f b >< 根据零点定理及函数的单调性可知, 方程()0f x =在(,)a +∞内必有且仅有一个实根.15. 设函数()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 且()()1,f a f b == 试证明存在,(,),a b ξη∈ 使得e [()()] 1.f f ηξηη−′+=解 令()e (),x F x f x = 依题可知()F x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 由拉氏中值定理, 可知至少存在一点(,),a b η∈ 使()()(),()F b F a F b a ξ−′=−即 e ()e ()e e ==e [()()].b a b a f b f a f f b a b aηηη−−′+−−再对函数()e x g x =在[,]a b 上应用一次拉氏中值定理, 可知至少存在一点(,),a b ξ∈ 使图3.118e e =e .b a b aξ−−以上两式相除, 便得e [()()] 1.f f ηξηη−′+=。
