下载文档原格式
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法是一种求解背包问题的有效方法。
分支定界法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，通过逐个解决子问题来逼近原问题的解。
在背包问题中，分支定界法通过将问题分解为一系列背包问题，从最简单的情况开始逐步扩展问题的规模，从而逐步逼近最优解。
分支限界法求解：
1．初始化：首先确定问题的约束条件和目标函数，并初始化问题的解空间树。
解空间树是问题解的搜索空间，其中每个节点表示一个可能的解。
2．搜索：从根节点开始，按照广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树。
在搜索过程中，每个节点代表一个子问题，通过对子问题进行求解，可以逐步逼近原问题的解。
3．剪枝：在搜索过程中，根据问题的约束条件和目标函数，对一些不可能成为最优解的节点进行剪枝，从而减少搜索空间的大小。
剪枝可以提高搜索效率，但需要注意避免剪枝过度导致最优解丢失。
4．求解：当搜索到叶子节点时，表示找到了一个可行的解。
此时需要对叶子节点进行评估，确定其是否为最优解。
如果叶子节点的价值大于当前最优解的价值，则更新最优解；否则将叶子节点加入到已访问节点集合中。
5．回溯：如果搜索到叶子节点时发现当前最优解的价值不小于已访问节点集合中的最大价值，则说明当前最优解已经是最优解或者已经超出了搜索空间的上限。
此时需要进行回溯操作，即从当前节点向上回溯到上一层节点，并继续搜索。
6．结束：当搜索到根节点时，表示已经搜索完了解空间树。
此时需要判断是否找到了最优解，如果没有找到则需要进一步调整搜索策略或调整问题的约束条件和目标函数。
背包问题背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP 完全问题。
问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W 的前提下，总价值是否能达到V ？它是在1978年由Merkel 和Hellman 提出的一、定义：背包问题属于组合优化问题，一般的最优化问题由目标函数和约束条件两部部分组成：我们有n 种物品，物品i 的重量为w i ，价格为p i 。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W 。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,ni i i S T w x W =≤∑ {}0,1i x ∈如果限定物品i 最多只能选择b i 个，则问题称为有界背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,n i i i S T w xW =≤∑ {}0,1,,i i x b ∈⋅⋅⋅如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。
二、基本模型的建立方法1、0-1背包问题的数学模型（最基础的背包问题）分类：0-1背包问题简单分为一维背包和二维背包问题。
特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
1.1 一维背包问题问题：一个旅行者准备进行徒步旅行，为此他必须决定携带若干物品。
设有n 件物品可供他选择，编号为1,2,...,n 第i 件物品重量为i w 千克，价值为i p 元，他能携带的最大重量为w 千克。
他应该装入哪几件物品价值最大。
解：引入变量i x ，且设1,(1,2,,)0,i i x i n i ⎧==⎨⎩表示将第种物品装入包中表示不将第种物品装入包于是此问题的数学模型为：1max ni i i f p x ==∑1122.....01,1,2,...,.n n iw x w x w x W S T x i n +++≤⎧⎨==⎩或 1.2 二维背包问题一维背包问题只考虑了背包重量的限制，如果再增加背包体积的限制为V ，并设第i 件物品的体积i v ，问如何携带可使总价值最大。
背包问题是一个经典的动态规划问题，有两个主要变种：0/1背包问题和背包问题。
以下是它们的状态转移方程：
1.0/1背包问题：
–设物品的重量数组为weights，价值数组为values，背包容量为W，物品个数为n。
–令dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
–状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−weigℎts[i]]+values[i])
–其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个物品，dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]表示选择第i个物品。
2.背包问题（允许物品分割）：
–设物品的重量数组为weights，价值数组为values，背包容量为W，物品个数为n。
–令dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
–状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−weigℎts[i]]+values[i])
–其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个物品，dp[i][j-weights[i]] + values[i]表示选择第i个物品。
这两个状态转移方程是背包问题中最基本的形式，它们都采用动态规划的思想，通过填表格的方式逐步求解问题。
在实际应用中，你可以根据具体问题的要求进行适当的调整。
背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。
以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。
2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。
3. 初始化：f[0][0]=0。
4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。
时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
空间复杂度：O(n*m)。
01背包问题动态规划算法
01背包问题是求在限定条件下，在一定的容量内最优装载物品，使得总价值最大。
动态规划算法是一种用于解决多阶段决策问题的途径，其特点是将原问题划分成若干子问题，每个子问题只求解一次，保存子问题的解，避免了重复计算。
01背包问题动态规划算法的步骤如下：
1、确定状态：物品的种数i (i=1,2,…n)，背包的容量j (j=0,1,2,…V)。
2、确定状态转移方程：f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-wi]+vi}。
3、确定初始状态：f[i][0]=0,f[0][j]=0。
4、确定输出：最后f[n][V]即为最优解。
5、根据状态转移方程从左到右，从上到下进行迭代计算。
01背包问题（01knapsackproblem）0 / 1 背包问题(0 / 1 knapsack problem)背包问题（Knapsack problem）是⼀种组合优化的问题。
问题可以描述为：给定⼀组物品，每种物品都有⾃⼰的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最⾼。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、[组合数学]，[计算复杂性理论]、[密码学]和[应⽤数学]等领域中。
也可以将背包问题描述为，即在总重量不超过W的前提下，总价值是否能达到V。
1、题⽬描述假设商店中有如下3个商品，他们的重量和价格如下：索引重量价值011500143000232000假如你是⼀个⼩偷，你有⼀个重量为4的包，每个商品只能偷⼀次，请问你怎么偷才会使得最后的价值最⼤？2、分析这种问题⼀般可以⽤动态规划很好地解决。
但是如果我不⽤动态规划，⽽是⽤搜索所有情况来解决也可以，每个商品都有偷或不偷的选项，所以n个商品就有n^2种情况，所以⽤遍历的⽅法时间复杂度为O(n^2) n为商品的数量现在我们假设B(k, w)表⽰的是前k个商品，在背包容量为w的情况下能偷的最⾼价值当现在⾯对的第k个物品重量太重时：B(k, w) = B(k-1, w)，代表我在多了⼀个物品的选择的情况下，仍然和没有这件物品时的选择⼀样，所以结果也⼀样（因为我偷不了或者我不偷的情况）当第k个物品的重量我可以接受时：B(k, w) = B(k-1, w - 这件物品的重量) + 这件物品的价值代表我如果偷了这件物品，那剩下的w - 这件物品重量的空间可以容纳的最⼤价值就是在上⼀次选择时B(k-1, w - 这件物品的重量)的值。
再加上这件物品的价值就是我偷了这件物品的最⼤值。
所以，在衡量⼀个B(k, w)时，⾸先看⼀下能不能偷，能得话看⼀下偷还是不偷两个的最⼤值，就是B(k, w)的值，所以我们回到上⾯的问题，问题的解就是B(2，4)的值我们⽤⼆维数组 dp[][]来表⽰整个的过程可选商品 \ 背包容量012340号商品（1，1500）015001500150015000 ~ 1号商品（4，3000）015001500150030000 ~ 2号商品（3，2000）01500150020003500如图中加粗数字1500代表的是在有前两个商品，背包容量为2时可以偷的最⼤价值为1500图中加粗数字3000，即在有前2个商品，背包重量为4时，可以偷的最⼤价值为3000，这个数是这样算的：第⼆个商品（1号）重量为4，正好满⾜，如果偷的话所以价值为3000 + 0 = 3000如果不偷的话价值和只有1个商品，背包容量为4的价值⼀样，1500取最⼤值为3000所以问题的关键就在构建这个⼆维数组3、实现/*** 时间复杂度：O(n * capacity) n为商品数量，capacity为包的⼤⼩* 空间复杂度：O(n * capacity) 可以优化为capacity*/public class Main{/*** 0/1 背包问题* @param w w[i]代表i号物品的重量（从0开始）* @param v v[i]代表i号物品的价值（从0开始）* @param capacity 代表包的最⼤容量* @return 可以偷的商品的最⼤值*/public static int knapsack(int[] w, int[] v, int capacity){int goods = w.length; // 商品数int[][] dp = new int[goods][capacity + 1];// 初始化第⼀⾏,因为第⼀⾏上层没有元素了，即只有第⼀个商品时for(int j = 1; j <= capacity; j++){if(j >= w[0]) dp[0][j] = v[0];}// 前i个商品, 背包容量为j时偷得最⼤价值for(int i = 1; i < goods; i++) {for(int j = 1; j < capacity + 1; j++) {// 如果容量不够放下第i个商品if(w[i] > j) {dp[i][j] = dp[i-1][j];} else { // 如果可以放下这件商品dp[i][j] =Math.max(dp[i-1][j], v[i] + dp[i-1][j-w[i]]);}}}// System.out.println(Arrays.deepToString(dp));return dp[goods - 1][capacity];}}⽤滚动数组优化空间复杂度：因为如果我们从后往前构建每⼀⾏，那上⼀⾏保留的就可以在构建时候⽤/*** 时间复杂度：O(n * capacity) n为商品数量，capacity为包的⼤⼩* 空间复杂度：O(capacity)*/public class Main{/*** 0/1 背包问题* @param w w[i]代表i号物品的重量（从0开始）* @param v v[i]代表i号物品的价值（从0开始）* @param capacity 代表包的最⼤容量* @return 可以偷的商品的最⼤值*/public static int knapsack(int[] w, int[] v, int capacity){int goods = w.length; // 商品数int[] dp = new int[capacity + 1];// 前i个商品, 背包容量为j时偷得最⼤价值for(int i = 0; i < goods; i++) {for(int j = capacity; j > 0; j--) {// 如果能装下就更新，装不下就不更新(上⼀⾏的值)if(j - w[i] >= 0) {dp[j] = Math.max(dp[j], v[i] + dp[j - w[i]]);}}}return dp[capacity];}}。
01背包问题的数学逻辑摘要：一、背包问题概述二、背包问题的数学模型1.基本形式2.扩展形式3.多维背包问题三、求解背包问题的算法1.暴力枚举法2.动态规划法3.贪心算法4.回溯算法四、背包问题的应用1.运筹学2.物流管理3.投资决策五、提高背包问题求解效率的方法1.优化数据结构2.改进算法策略3.利用贪心策略正文：一、背包问题概述背包问题是一个经典的组合优化问题，起源于运筹学领域。
它描述了一个旅行者需要在有限的重量和容量限制下，从一系列物品中选择最有价值的物品装入背包的过程。
背包问题具有广泛的应用背景，如物流管理、投资决策等。
二、背包问题的数学模型1.基本形式背包问题基本形式可以用以下数学模型表示：给定一组物品，每种物品都有一定的重量和价值，求在背包重量限制下，如何选择物品使得背包内物品的总价值最大。
2.扩展形式在基本形式的基础上，背包问题还可以扩展为多个背包、有先后顺序的物品、有特殊约束条件等。
3.多维背包问题多维背包问题是在二维平面上的扩展，不仅需要考虑物品的重量和价值，还要考虑物品之间的相互依赖关系。
三、求解背包问题的算法1.暴力枚举法暴力枚举法是一种简单的求解背包问题的方法，通过遍历所有可能的物品组合，找到满足条件的最优解。
但该方法时间复杂度高，不适合处理大规模问题。
2.动态规划法动态规划法是将背包问题分解为子问题，通过递归的方式求解。
该方法具有较好的时间复杂度，但需要合理设计状态转移方程。
3.贪心算法贪心算法在每一步都选择当前最优的解，但不一定能得到全局最优解。
在背包问题中，贪心算法可以通过物品的价值与重量比来选择装入背包的物品。
4.回溯算法回溯算法是一种试探性的搜索算法，通过逐步尝试的方式寻找最优解。
在背包问题中，回溯算法可以通过剪枝策略减少搜索空间。
四、背包问题的应用1.运筹学背包问题是运筹学领域的一个典型例子，通过求解背包问题，可以优化物流、仓储等领域的运营管理。
2.物流管理在物流领域，背包问题可以用于优化路径规划、货物分拣等问题。
课程设计报告课程名称数据结构课程设计课题名称背包问题专业信息与计算科学班级1001班学号22姓名王锐指导教师刘洞波张晓清郭芳2012年6月9日课程设计任务书课程名称数据结构课程设计课题背包问题专业班级信科1001班学生姓名王锐学号22指导老师刘洞波张晓清郭芳审批刘洞波张晓清郭芳任务书下达日期：2012年6月9日任务完成日期：2012年6月16日一、设计内容与设计要求1．设计内容：1）问题描述假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为W1，W2，···，Wn的物品，能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使W1+W2+···+Wn=T，要求找出所有满足上述条件的解。
例如：当T=10，共6件物品，物品的体积为{1，2，3，4，5，8}，那么可找到下列4组解：（1，2，3，4）、（1，4，5）、（2，3，5）、（2、8）。
2）实现提示可利用回溯法的设计思想来解决背包问题。
首先，将物品排成一列，然后顺序选取物品装入背包，假设已选取了前i件物品之后背包还没有装满，则继续选取第i+1件物品，若该件物品“太大”不能装入，则丢弃而继续选取下一件，直至背包装满为止。
但如果在剩余的物品中找不到合适的物品以填满背包，则说明“刚刚”装入背包的那件物品“不合适”，应将它取出“丢弃一边”，继续再从“它之后”的物品中选取，如此重复，直至求得满足条件的解，或者无解。
由于回溯求解的规则是“后进先出”，因此要用到栈。
2．设计要求：课程设计报告规范1)需求分析a.程序的功能。
b.输入输出的要求。
2)概要设计a.程序由哪些模块组成以及模块之间的层次结构、各模块的调用关系；每个模块的功能。
b.课题涉及的数据结构和数据库结构；即要存储什么数据，这些数据是什么样的结构，它们之间有什么关系等。
3)详细设计a.采用C语言定义相关的数据类型。
b.写出各模块的类C码算法。
c.画出各函数的调用关系图、主要函数的流程图。
4)调试分析以及设计体会a.测试数据：准备典型的测试数据和测试方案，包括正确的输入及输出结果和含有错误的输入及输出结果。
b.程序调试中遇到的问题以及解决问题的方法。
c.课程设计过程经验教训、心得体会。
5)使用说明用户使用手册：说明如何使用你编写的程序，详细列出每一步的操作步骤。
6)书写格式见附带说明。
7)附录a.参考书目b.源程序清单（带注释）●考核方式指导老师负责验收程序的运行结果，并结合学生的工作态度、实际动手能力、创新精神和设计报告等进行综合考评，并按优秀、良好、中等、及格和不及格五个等级给出每位同学的课程设计成绩。
具体考核标准包含以下几个部分：①平时出勤（占10%）②系统需求分析、功能设计、数据结构设计及程序总体结构合理与否（占10%）③程序能否完整、准确地运行，个人能否独立、熟练地调试程序（占40%）④设计报告（占30%）注意：不得抄袭他人的报告（或给他人抄袭），一旦发现，成绩为零分。
⑤独立完成情况（占10%）。
●课程验收要求①运行所设计的系统。
②回答有关问题。
③提交课程设计报告。
④提交软盘（源程序、设计报告文档）。
⑤依内容的创新程度，完善程序情况及对程序讲解情况打分。
二、进度安排附：课程设计报告装订顺序：封面、任务书、目录、正文、评分、附件（A4大小的图纸及程序清单）。
正文的格式:一级标题用3号黑体,二级标题用四号宋体加粗,正文用小四号宋体;行距为22。
正文的内容:一、课题的主要功能；二、课题的功能模块的划分（要求画出模块图）；三、主要功能的实现（至少要有一个主要模块的流程图）；四、程序调试；五、总结；六、附件（所有程序的原代码，要求对程序写出必要的注释）。
正文总字数要求在5000字以上（不含程序原代码）。
目录1.需求分析……………………………………………………………………1.1程序功能……………………………………………………………….1.2输入输出要求………………………………………………………….2.概要设计……………………………………………………………………2.1主要程序功能模块图…………………………………………………2.2数据结构及其关系……………………………………………………3.详细设计……………………………………………………………………3.1C语言定义的相关数据类型……………………………………………3.2模块的主要类C码算法……………………………………………….3.3主要函数的流程图……………………………………………………3.4各函数模块的调用关系图……………………………………………4.调试分析以及设计体会……………………………………………………4.1测试数据………………………………………………………………4.2调试中的问题与分析…………………………………………………4.3课程设计心得体会……………………………………………………5.使用说明……………………………………………………………………6.参考书目……………………………………………………………………附录：源程序清单（带注释）1．需求分析1.1程序的功能程序的功能是：假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为W1，W2，···，Wn的物品，能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包，即使W1+W2+···+Wn=T，要求找出所有满足上述条件的解。
例如：当T=10，共6件物品，物品的体积为{1，2，3，4，5，8}，那么可找到下列4组解：（1，2，3，4）、（1，4，5）、（2，3，5）、（2、8）。
1.2输入输出要求1．从界面中输入的供选择的物品的数目不能超过程序定义的N；2. 输入一个物品体积后，要按回车键，然后输入下一个数据；3．输入背包容纳的体积T不能大于所有物品的体积总和；4，输入后稍等片刻，程序进行清屏。
2．概要设计2.1主要程序的功能模块图功能模块图如下图1图12.2数据结构及其关系程序中定义了主要的类型是int类型和struct 类型。
int 类型中有int w[M]，int T，int N，int i，int j等，int w[M]是一个数组，其中的各数据元素都是同属一个集合的关系，是的顺序存储结构。
其它的数据是无向关系。
struct类型：struct{int s[M];int top;}things;struct 类型中int s[M]和int top都是其所属的元素。
其中int s[M] 是一个数组，其中的各数据元素都是同属一个集合的关系，是的顺序存储结构。
int s[M]和int top是一种线性关系。
结构体本身事顺序存储的。
3．详细设计3.1 C语言定义的相关数据类型int 类型：int w[M]; //供选择的物品int T=0; //背包的最大容量int N=0; //物品的数目int k=0;int i=0;int j=1struct类型：struct{int s[M]; //存放被选出来的物品序号的数组int top; //栈顶指针}things;3.2模块的主要类C码算法初始化模块：for(i=0;i<N;i++){things.s[i]=0;things.top=0;}挑选模块和输出模块：do{ while(T>0&&k<=N){if(T>=w[k]){ things.s[things.top++]=k;T-=w[k];}k++;}if(T==0){ printf("\n第%d种挑选方法:(",j);for(i=0;i<things.top;i++){printf("\t%d ",w[things.s[i]]);}j++;printf(")\n");}k=things.s[--things.top];things.s[things.top]=0;T+=w[k];k++;}while(!(things.top==0&&k==N));3.3主要函数的流程图流程图如下图2图23.4各函数模块的调用的关系图模块调用关系图如下图3图34.调试分析以及设计体会4.1测试数据为了测试程序的正确性，我准备了几份数据，数据如下：1.输入供选择的物品的数目:6输入供选择的物品的体积：第一个物品的体积：1第二个物品的体积：3第三个物品的体积：4第四个物品的体积：5第五个物品的体积：8第六个物品的体积：2输入背包的容量：10测试结果如下图4图42.输入供选择的物品的数目:3输入供选择的物品的体积：第一个物品的体积：1第二个物品的体积：3第三个物品的体积：4输入背包的容量：4输出结果如下图5图54.2调试中的问题与分析调试程序是课程设计中一个很重要的环节，它让我们发现自己程序的错误，让我们不断的改正错误直到程序可以运行。
在调试中，我的程序出现了很多的问题，有些是出于本身的知识遗忘缺陷和，有些一些是出于实践与理论的差别，还有一些是由于粗心引起的。
由于很久没有温习C语言的，所以对C语言输入输出的知识有所遗忘，在输入物体体积时，开始在scanf语句输入数组的一个数，我以为数组输入只需写数组名，没有使用地址符，只写“W[i]”，结果数据一直无法输入，后来在同学的提醒下才想起来，对数组中的数据一个一个输入和一次输入数组时不同的，前者需要输写地址符，正确的输入应该是”&W[i]”,修改后数据才正常的输入，这是个对知识遗忘引起的错误。
在调用延时清屏函数时犯了一个错误就是Sleep函数中S必须大写，这是头文件中#include"windows.h"中默认的形式，如果不大写将无法调用该函数。
在平时运行中，程序都可以做，但是在答辩那天程序不能做，检查了好久的程序觉得没有错误，找了好多人来检查程序也没发现错误，直到后来回到寝室才发现，是自己不小心挪动了初始化数据的部分，使其放到了输入数据之前，在输入数据之前对数据进行了初始化，在使用数据时，出现数据溢出的现象。
这个问题是由于粗心引起的，而且是个很难发现的错误。
调试程序的过程中，我发现了很多的错误。
这个过程不仅仅是对程序的检测也是对我的学习的检测。
让自己发现自己还存在着很多的不足。
在机房的几次调试，让我再次去温习了C语言，对于C语言和自己学习的成果有了再次的提升，也对自己的编写习惯有了一些改变。
总之调试程序让我受益匪浅。
4.3课程设计心得体会本次课程设计让我将我所学的C语言与数据结构有机结合，即提升了动手写程序的能力，也温习了C语言和检测了我的学习效果。
虽然在两周的课程设计中我遇到了很多的困难，但是最后看着自己编写的程序能够实现功能并且很好的运行是一件非常开心的事。
