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合情推理演绎推理专题练习及答案

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合情推理、演绎推理

一、考点梳理：（略）

二、命题预测：

归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。

三、题型讲解：

1：与代数式有关的推理问题

例1、观察223322443223,abababababaabbababaababb进而猜想nnab

例2、观察1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…猜想第n个等式是： 。

练习:观察下列等式：332123，33321236，33332123410，…，根据上述规律，第五个．．．等式．．为 。

。

练习：在计算“1223(1)nn”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：

1(1)[(1)(2)(1)(1)],3kkkkkkkk由此得

112(123012),3123(234123),3…1(1)[(1)(2)(1)(1)].3nnnnnnnn

相加，得11223(1)(1)(2).3nnnnn

类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)nnn”，其结果为 .

2：与三角函数有关的推理问题

例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2020202020202020202020203sin30sin90sin150,23sin60sin120sin18023sin45sin105sin165,23sin15sin75sin1352

练习：观察下列等式：

① cos2α=2 cos2 α－1；

② cos 4α=8 cos4 α－8 cos2 α+1；

③ cos 6α=32 cos6 α－48 cos4 α＋18 cos2 α－1；

④ cos 8α= 128 cos8α－256cos6 α＋160 cos4 α－32 cos2 α＋1；

⑤ cos 10α=mcos10α－1280 cos8α＋1120cos6 α＋ncos4 α＋p cos2 α－1；

可以推测，m－n+p= .

3：与不等式有关的推理

例1、b克盐水中，有a克盐（0ab），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .

例2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1(),kNk已知铁钉受击三次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分铁钉长度是钉长的4,7请从这个事实中提炼一个不等式组为 。

练习、观察下列式子：

213122，221151,23322211171,2344.............

由上可得出一般的结论为： 。

练习、由331441551,,221331441。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。

4：与平面向量有关的推理

例1、类比平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea。写出空间向量基本定理是：

练习：类比平面上的三点共线基本定理。 5：与数列有关的推理

例1、已知数列}{na中，1a=1，当n≥2时，121nnaa，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通项表达式为：

。

例2、（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为

例3、（2010深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含()fn个“福娃迎迎”，则(5)f ；()(1)fnfn .

例4、等差数列}{na中，若10a= 0则等式121219......................(19,)nnaaaaaannN成立，类比上述性质，相应的，在等比数列中，若101b，则有等式 。

练习：设等差数列na前n项和为ns，则36396129,,,sssssss成等差数列。类比以上结论：设等比数列nb前n项积为nT，则3,T , ，129,TT成等比数列。

思考题：

(1)数列}{na是正项等差数列，若nnaaaabnn32132321，则数列}{nb也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列}{nc，若nd= ，则数列}{nd也为等比数列。

(2)若012,,,naaaa 成等差数列，则有等式 012012(1)0nnnnnnnCaCaCaCa成立，1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15 类比上述性质，相应地：若 012,,,nbbbb 成等比数列，则有等式_________成立。

6：与立体几何有关的推理

例 1、在直角三角形⊿ABC中，c=090，AC=b,BC=a,则⊿ABC的外接圆的半径222abr，运用类比方法，写出空间类似的命题： 。

练习：在直角三角形⊿ABC中，,ABACADBC于D,求证：222111,ADABAC那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由。

例2、在三角形⊿ABC中，c =090，则22coscos1AB,用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想。

练习：在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么

例3、如图，在平面内有面积关系1111..PABPABSPAPBSPAPB,写出图二中类似的体积关系，并证明你的结论。

7、与解析几何有关的推理

例1、已知命题：平面角坐标系 XOY中，⊿ABC顶点A（-P,0）和C（P,0），顶点B在椭圆2222221(0,)xymnpmnmn上，椭圆的离心率是e,则sinsin1,sinACBe试将该命题类比到双曲线中，给出一个结论。

练习：圆222(0)xyRR上任意点（不在x轴上），与圆上的(,0),(,0)ARBR连线,PAPB的斜率PAPBKK有下面等式成立：1,PAPBKK类比该结论，写出椭圆22221(0)xyabab中对应命题，并证明。

8：其他知识结合的推理

例1、观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律

例2、在⊿ABC中，不等式1119ABC成立；在四边形ABCD中，不等式111116+2ABCD成立；在五边形ABCDE中，1111125+3ABCDE成立；试猜想在N边形中，有怎样的不等式成立

例3规定(1).......(1),!mxxxxmCm0,1,xxRmC是正整数，且这是组合数(,)mnCnmmn是正整数，且的推广。 (1)求515C的值。

(2)组合数两个性质：11(1);(2)mnmmmmnnnnnCCCCC是否都能推广到mxC(,xRm是正整数)的情形若能推广，写出推广形式并给出证明，若不能，则说明理由。

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合情推理的例子_合情推理

合情推理的例子_合情推理

摘 要 合情推理是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修1—2）中第二章《推理与证明》第一节中的内容。文章对该内容第一课时的教学内容，目标，过程设计等作了较详细的阐述，对初涉该内容的教学者有一定的指导意义。

关键词 推理；归纳；类比

一、教学内容与内容解析

（1）内容合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。

（2）内容解析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修1—2）中第二章《推理与证明》第一节的第一课时。因为归纳推理和类比推理统称为合情推理，所以本人认为应该把纳推理和类比推理都介绍给学生，整个课题才算完整。

推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。一般包括合情推理和演绎推理, 本节课所要学习的合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。可见归纳和类比是合情推理常用的思维方法。了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，这既是重点也是难点。

虽然由合情推理获得的结论，仅仅是一种猜想，并不一定正确，还有待证明，但是在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。

二、教学目标与目标解析

目标

（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义；

（2）能利用归纳和类比的方法进行简单的合情推理；

（3）认识合情推理在数学发现中的作用，提高学习兴趣，感受 数学的人文价值，体会到数学学习的美感。

目标解析

我们要建立一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。让学生通过欣赏“一叶知秋”产生的过程，借助学生已有生活常识，形成推理的直观认识；使学生对推理有初步认识，体验数学的一种基本思维过程，经历人们学习和生活中经常使用的思维活动。

教学时要紧密地结合学生熟悉的已学过的数学实例和生活实例，从浅显易懂的例子入手，大量运用数学家的故事激励学生，通过本节课要激发爱国主义热情，让学生体会到数学学习的美感。

让“合情推理”和“演绎推理”比翼齐飞

让“合情推理”和“演绎推理”比翼齐飞

让“合情推理”和“演绎推理”比翼齐飞

中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1672-2051（2020）12-004-01

东北师大史宁中教授认为:“数学的核心素养”有三:抽象、推理与模型。"推理贯穿着学生数学学习的始终,是学生思维的确证与表征。数学推理的基本模式有两种:一种是合情推理,另一种是演绎推理。《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出:“让学生经历观察,实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”可见,在小学阶段的学习中,学生的合情推理和演绎推理是相互交织在一起的,它们相辅相成,相得益彰。

数学推理形式主要有类比、归纳(完全归纳和不完全归纳)和演绎推理等。在小学数学教学中,教师要容忍学生推理过程中的“不严格的清楚”,引导学生逐步从推理合乎情理发展提升为推理合乎逻辑。

一、以“合情推理”为核心，奠定推理能力的基础

“合情推理”有助于发现,它应该是小学生主要的推理方式。著名数学家波利亚说，“数学要教证明，更要教猜想”。由于小学生处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，并且以形象思维为主，因此小学阶段的推理应当以“合情”推理为核心,为学生推理能力的发展奠基。教学中,教师可以引导学生进行归纳性、类比性猜想。

比如教学“比的基本性质”时，教师首先引导学生复习“商不变的规律”“小数的性质”以及“分数的基本性质”，并引导学生沟通它们之间的联系,学生深度体验到它们内在本质的一致性。不仅如此,教师还引导学生复习“除法算式”“分数”“比"之间的联系与区别,这样学生的认知被充分地激活。有学生迅速“类比””,认为既然除法中有商不变的规律、分数中有分数的基本性质,那么比中也一定存在着基本性质,并用他们自己的语言对“比的基本性质”展开了表述。学生通过数学知识本质的类比，形成了合情合理的数学猜想。通过多元验证，证实了他们的猜想。

二、以“演绎推理”为辅助，推动推理能力的发展

2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解

2.1合情推理与演绎推理同步练习含答案详解

2.1 合情推理与演绎推理

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．下列推理是归纳推理的是( )

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆

B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

2．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋„＋1n，经计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )

A．f(2n)>2n＋12 B．f(n2)≥n＋22 C．f(2n)≥n＋22 D．以上都不对

3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )

A．大前提错误 B．小前提错误

C．推理形式错误 D．非以上错误

4. 若点P是正四面体A－BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A－BCD的高为h，则( )

A．h>h1＋h2＋h3 B．h＝h1＋h2＋h3 C．h

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．把正有理数排序：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，„，则数19891949所在的位置序号是________．

6．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，„，根据上述规律，第四个等式为________．

三、解答题(共70分)

7.（15分）通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

23135sin75sin15sin020202；23150sin90sin30sin020202；23165sin105sin45sin020202；23180sin120sin60sin020202

高三数学合情推理与演绎推理试题

高三数学合情推理与演绎推理试题

高三数学合情推理与演绎推理试题

1. （已知集合，且下列三个关系：•‚ƒ有且只有一个正确，则.

【答案】

【解析】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；

若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.

【考点】推理与证明.

2. 观察分析下表中的数据：

多面体

面数（）

顶点数（)

棱数（)

三棱锥

5

6

9

五棱锥

6

6

10

立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.

【答案】

【解析】①三棱锥：,得；②五棱锥：,得；③立方体：,得；所以归纳猜想一般凸多面体中，所满足的等式是：，故答案为

【考点】归纳推理.

3. 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出，“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”，类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；

④“若x∈R，则|x|<1⇒－1

其中类比正确的为( )

A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④

【答案】A

【解析】对于③，“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”是错误的，如a＝2＋i，b＝1＋i，则a－b＝1>0，但2＋i>1＋i不正确；对于④，“若z∈C，则|z|<1⇒－1

4. 1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数，然后继续对重复上述变换，得数，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为 .