人教A版必修四第二章：平面向量综合测试题(一)

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一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知(1,1),(1,1),(1,2)abc且c （ ）

A．1322ab B．1322ab C．3122ab D．3122ab

B提示：设cmanb，则(1,2)(1,1)(1,1)mn。

2．下列四式中不能化简为PQ的是 （ ）

A．()ABPABQ B．()()ABPCBAQC

C．QCQPCQ D．PAABBQ

D提示：PAABBQPBBQ，不能化简为PQ。

3.若三点A(2，3)，B(3，a)，C(4，b)共线，则有( )

(A)a=3,b=-5 (B)a-b+1=0 (C)2a-b=3 (D)a-2b=0

C提示：AB =(1,a-3),AC =(2,b-3),ABACb-3=2a-6,即2a-b=3.

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则AB·AC等于( )

(A)-16 (B)-8 (C)8 (D)16

D 提示：设向量AB,AC的夹角为θ，则ABAC=|AB |·|AC|cosθ=

(|AB |cosθ)|AC |=|AC|2=16.

5．已知1(1,),(2,4),,2manapmn且3p，则实数a （ ）

A．1或2 B．1或2 C．1或1 D．2或2

A提示：根据向量的坐标运算可知选A。

6.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x=( )

(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3

C提示：∵ a⊥b,∴3x+1×(-3)=0,得x=1.

7.设12,ee是两个不共线向量，若向量a=1223ee与向量b=123ee共线，则λ的值为(

)

(A)23 (B)-2 (C)92 (D)23

C提示：∵向量a与b共线，∴存在实数x,使a=xb,即21e-32e=x(31e+λ2e)=3x1e+ ------精品文档!值得拥有！------

------珍贵文档!值得收藏！------ λx2e, ∴23x,3x,得2x,39.2

8．已知向量(,),(4,3)amnb共线，但不同向，若1a，则a （ ）

A．43(,)55 B．43(,)55 C．43(,)55或43(,)55 D．43(,)55或43(,)55

B提示：设(0)ab，则(,)(4,3)mn，又1a，22(4)(3)1。

9.如图，在ABCD中，AB =a,AD =b,AN =3NC,M为BC的中点，则MN=( )

(A)1144ab (B)1122ab

(C)12ab (D)3344ab

A提示：111111MNMCCNBCCA.242444babba

10．下列命题中正确的是 （ ）

A．向量就是有向线段

B．aabb是0b的充要条件

C．若存在相异实数,，使0ab，则a与b共线

D．向量a在b的方向上的投影是一个模等于cosa（为a与b的夹角）方向与b

相同或相反的向量。

C提示：有向线段是向量的形象表示，但并非向量就是有向线段，A错；ab

ab,ab同向或至少一个为0，B错；投影是一个值而不是向量，D错。

11.向量a=(2,3),b=(-1,2),若m

a+b与a-2b平行，则m等于( )

(A)-2 (B)2 (C)12 (D)12

D提示： ∵m a+b=(2m,3m)+(-1,2)=(2m-1,3m+2),a-2b= (2,3)-(-2,4)=(4,-1),

且m a+b与a-2b平行，则有(2m-1)×(-1)=4(3m+2),即-2m+1=12m+8,∴m=12.

12．若,,acb是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①()()abccab

0；②abab；③()()bcacab不与c垂直；④(32)(32)abab 9题 ------精品文档!值得拥有！------

------珍贵文档!值得收藏！------ 2294ab，其中是真命题的是 （ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

D提示：向量的数量积不满足结合律，①错；[()()]0bcacabc，③错。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。

13．已知向量(2,3),(1,2),ab若()//(2)mabab，则实数m .

12提示：(21,32),2(4,1),(21)(1)4(32)0mabmmabmm。

14．若,ab为非零向量，且0ab，那么下列四个等式：（1） abab；（2）ab

（3）()0aab；（4）222abab，其中正确的等式的是 .

提示：正确的是（1）、（4）。

15．下列命题中正确的是 。（填序号）（3）

（1）若(2,4),(2,1)AB，则BA与x轴正方向所夹角余弦为4

（2）222()aabb （3）()acabbcc

（4）若,,acb都是非零向量，且aabc，则cb。

提示：(4,3)BA，取(1,0)a，则可得BA与x轴正方向所夹角余弦为45，

故A错；22()(cos)abab，2222abab，故B错.

16．已知||2||0ab,且关于x的方程2||0xaxab有实根,则a与b的夹角的

取值范围是 .

[,]3提示：令0得2||4aab0， cos||||abab≤221||1412||2aa，∴θ∈],3[。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分） 如图，ABCD是一个梯形，

//ABCD，且2ABCD，M、N分别是DC、AB的

中点，已知,ABaADb, 试用,ab分别表示

DC、BC、MN。

解： 由已知得1122DCABa，连结AC, C M

D

A B N ------精品文档!值得拥有！------

------珍贵文档!值得收藏！------ 则12ACADDCba, 1122BCACABbaaba,

NM=ND+DM=NA+AD+14DMba, 14MNNMab。

18.（本小题满分12分）已知不共线的平面向量,,acb两两所成的角相等且1,2,3abc

求向量acb的长度及其与a的夹角。

解：,,acb不共线两两夹角相等， 故夹角均为120

2222222acacacaacbcbbbb

111149212()213()223()2223，

设acb与a的夹角为，

则2113()112()13()222aacaaacbb

332cos231，150。

19.(12分 ）已知向量｜a｜=1,｜b｜=2.

(1)若向量a,b的夹角为60°,求a·b的值； (2)若｜a+b｜=5,求a·b的值；

(3)若a·(a-b)=0,求a,b的夹角.

解析：(1)a·b=｜a｜｜b｜cos〈a,b〉=1×2×cos60°=22.

(2)∵｜a+b｜=5, ∴2ab=5, 即a2+2a·b+b2=5, ∴a·b=1.

(3)∵a·(a-b)=0,∴a2-a·b=0, a·b=1，

∴cos〈a,b〉=｜｜｜｜abab =112=2,2 ∴a与b的夹角为4.

20.(12分)设向量1e,2e的夹角为60°且|1e|=|2e|=1，如果121212AB,BC28,CD3.eeeeee

(1)证明：A,B,D三点共线；

(2)试确定实数k的值，使k的取值满足向量212ee与向量12kee垂直. ------精品文档!值得拥有！------

------珍贵文档!值得收藏！------ 解析：(1)∵12AB，ee12BDBCCD55,ee∴BD5AB,即AB,BD共线，

∴A，B，D三点共线.

(2)∵(2e1+e2)⊥(e1+ke2),∴(2e1+e2)·(e1+ke2)=0,

2211212222kk0,eeeeee即2+k+12+k=0,解得k=54.

21.(12分)已知向量a=(3,4),c=(k,0).

(1)若a⊥(a-c)，求k的值； (2)若k=5,a与a-c所成的角为θ,求cosθ.

解析：依题意，a-c=(3-k,4),