人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
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人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
必修4第二章平面向量教学质量检测
1.以下说法错误的是（）
A．零向量与任一非零向量平行
B．零向量与单位向量的模不相等
C．平行向量方向相同
D．平行向量一定是共线向量
2.下列四式不能化简为AD的是（）
AB＋CD）＋BC；（AD＋MB）＋（BC＋CM）；MB＋AD－BM；OC－OA＋CD
3.已知向量a=(3,4)，向量b=(5,12)，a与b夹角的余弦为：
cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
3×5+4×12) / (5×5+12×12)
56 / 169
所以选项C正确。
4.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+
3b| =
a+3b|^2 = (a+3b)·(a+3b)
a·a + 6a·b + 9b·b
1 + 6cos60° + 9
13
所以选项C正确。
5.已知ABCDEF是正六边形，且AB=a，AE=b，则BC=CD=DE=a-b，所以选项A正确。
6.设a，b为不共线向量，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，则AD=BC+CD=－9a-4b，所以选项C正确。
7.设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1+e2与e1+ke2共线，则有：
ke1+e2 = λ(e1+ke2)
k-λ)e1 + (1-λ)ke2 = 0 由于e1和e2不共线，所以k-λ=0或1-λ=0，即k=λ或k=1/λ，所以选项C正确。
8.在四边形ABCD中，AB=DC，且AC·BD=0，所以四边形ABCD是矩形，所以选项A正确。
9.已知M(－2,7)、N(10,－2)，点P是线段MN上的点，且PN=－2PM，则P点的坐标为：
P = (1/3)M + (2/3)N = (1/3)(-2,7) + (2/3)(10,-2) = (6,1)，所以选项C正确。
10.已知a=(1,2)，b=(-2,3)，且ka+b与XXX垂直，则有：
a+kb)·(a-kb) = 0
a|^2 - k^2|b|^2 = 0
1+4k^2 - k^2(4+9) = 0
k^2 = 5/13 或 k^2 = 13/5
所以k=±√(5/13)或k=±√(13/5)，所以选项B正确。
11.若平面向量a=(1,x)和b=(2x+3,-x)互相平行，则有：
2x+3 = k1 x = k2(1,x)
所以x=-3，代入a-b中得到a-b=(-5,4)，所以选项A正确。
12.下面给出的关系式中正确的个数是2.
18、（14分）
1）向量2AB＋AC＝2(AB+AC)=2(（-1，3）+（1，4）)=2（0，7），其模为7×2=14.
2）向量AB＝（-1，3），向量AC＝（1，4），则夹角的余弦值为cosθ=(AB·AC)/(|AB||AC|)=11/(√10×√18)=11/√180，所以夹角θ=arccos(11/√180)。
3）向量BC＝（2-，5-1）=（-1，-3），所以与BC垂直的单位向量为(3/√10，-1/√10)或(-3/√10，1/√10)。
19．（12分）
向量的模为13，所以其单位向量为/13，即(3/13，4/13)。所以向量的坐标为(3k，4k)。
20.（13分)
由xa(t23)b,ykatb可得向量b＝(x-a)/（t2-3）和b＝(y+ka)/t。因为b不为0，所以两式之比不为0，即（x-a）/（y+ka）＝t/（t2-3）。代入x和y的坐标可得k=1/3，t=√3或-t。
当t=√3时，b＝（3√3，-√3）或（-3√3，√3）。
当t=-√3时，b＝（-3√3，√3）或（3√3，-√3）。
因为|b|=2||，所以b的模为2√10或-2√10，所以取正值时，b＝（3√10，-√10）或（-3√10，√10）。
因为x与y垂直，所以a·b=0，即3x1-1y=0，解得y=9x。代入x和y的坐标可得x=1/5，y=9/5.
所以函数关系式k=f（t）为k=±√3/3，取正值时为k=√3/3.
当t>0时，f（t）=2√10t/√13>0，所以t>0.
当t0，所以t<0.
21．（13分）
1）向量的模为√37，所以其单位向量为/37，即（6/√37，1/√37）。又因为向量与垂直，所以它们的点积为0，即6x+y=0，所以y=-6x。
2）代入x和y的坐标可得x=6/37，y=-6×6/37=-36/37.四边形ABCD的面积为1/2|AC||BD|sin∠ACB=1/2√37×√37×sin(arccos(-1/√37))=2.所以x=6/37，y=-36/37，四边形ABCD的面积为2.
22．（13分）
1）a+tb的模为|a+tb|=√(a·a+2tab·a+t2b·b)，对t求导可得2a·(a+tb)+2tb·b=0，即t=-a·b/|b|2.
2）因为a和b共线同向，所以存在实数k使得a=k·b。所以a+tb=k·b+tb=(k+t)b，即a+tb与b共线，所以它们垂直。
1) 由AB=(-1,1)。AC=(1,5)，可得2AB+AC=(-1,7)，因此|2AB+AC|=√((-1)^2+7^2)=√50.
2) 由AB=(-1,1)。AC=(1,5)，可得|AB|=√2，|AC|=√26，AB·AC=(-1)×1+1×5=4，因此cosθ=AB·AC/|AB|·|AC|=4/(2√26)=2√13/13.
3) 设所求向量为m=(x,y)，则x^2+y^2=1.又BC=(2,4)，由BC⊥m，得2x+4y=0.由x^2+y^2=1和2x+4y=0，解得(x,y)=(±√5/5,-√5/5)或(±√5/5,√5/5)即为所求。
19.由题设，设b=（x,y,z）。则有b·(2,1,1)=0，即2x+y+z=0.又由|b|=1，可得x^2+y^2+z^2=1.解得sinα=1或cosα=±√2/2.当sinα=1时，cosα=0；当cosα=±√2/2时，由2x+y+z=0可解得z=±√2/2-x/2-y/2.因此所求的向量为(√2/2-x/2-y/2.x。y)或(-√2/2+x/2+y/2.x。y)。 20.(1) 由a=4，b=1，得-4k+t(t^2-3)=0，即k=t(t^2-3)/4.又由2t(t-3)>1/22，可得-33.
2) 由f(t)>0，可得t^3-3t+2>0，解得-2√3.结合(1)中的条件，可得-3√3.
21.(1) 由x(y-2)=y(4+x)和x+2y=0，可解得x=-6，y=3.因此向量(6+x,1+y)=(0,4)。
2) 由a=(6,1)和b=(-2,1)可得cosθ=(6×(-2)+1×1)/(√37×√5)=(-11/√185)，因此θ=arccos(-11/√185)。由b·(a+tb)=|b|·|a|cosθ，解得t=√185/11.因此所求向量为(6-2√185/11.1+√185/11)或(6+2√185/11.1-√185/11)。
22.(1) 当t=-a·b/|b|^2时，有|(a+tb)|^2=|a|^2-t^2|b|^2=|a|^2-|a|^2cos^2θ=|a|^2sin^2θ，即a+tb的模取最小值。
2) 当a、b共线同向时，有cosθ=0，因此t=-|a|/|b|。代入b·(a+tb)中，解得b·a-|a||b|=0，即b与a同向或反向。
