傅里叶变换的说明

作者：韩昊知乎：Heinrich

微博：@花生油工人

知乎专栏：与时间无关的故事

谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。

——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————

我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 12

年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……

这篇文章的核心思想就是：

要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

————以上是定场诗————

下面进入正题：

抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……

p.s.本文无论是 cos 还是 sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。

一、什么是频域

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

傅里叶变换的例子

介绍

傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数或信号表示为一组正弦和余弦函数的和。它在信号处理、图像处理、物理学等领域中被广泛应用。本文将通过几个例子来说明傅里叶变换的应用。

例子1：音频信号处理

1.1 音频信号的频谱分析

音频信号可以表示为一个时间域的波形，但傅里叶变换可以将其转换为频域的表示。通过傅里叶变换，我们可以获得音频信号的频谱信息，即不同频率成分的强度。

1.2 使用傅里叶变换进行降噪处理

傅里叶变换可以将信号分解为不同频率成分，因此可以通过滤除不需要的频率成分来对信号进行降噪处理。这在音频处理中非常有用，可以去除环境噪音或其他干扰。

1.3 声音合成

傅里叶变换还可以用于声音合成。通过合成不同频率的正弦波，可以生成具有不同音高和音色的声音。

例子2：图像处理

2.1 图像压缩

傅里叶变换在图像压缩中起着重要的作用。通过将图像转换到频域，可以去除高频成分，从而减小图像的大小。这在JPEG图像压缩算法中被广泛使用。 2.2 边缘检测

傅里叶变换也可以用于边缘检测。边缘通常表示为图像中灰度变化较大的区域，而傅里叶变换可以提取出这些频域上的高频成分，从而定位图像的边缘。

2.3 图像滤波

傅里叶变换还可以用于图像滤波。通过在频域对图像进行滤波操作，可以实现对图像的模糊、锐化、增强等效果。

2.4 图像恢复

当图像受到噪声或其他损坏时，傅里叶变换可以帮助我们恢复原始图像。通过滤波和反变换操作，可以去除噪声或修复损坏的部分。

例子3：物理学应用

3.1 信号分析

傅里叶变换在物理学中常用于信号分析。例如，通过对光谱信号进行傅里叶变换，可以分析出不同频率的光型，从而研究物质的光学特性。

3.2 波动方程求解

傅里叶变换还可以用于求解波动方程。通过将波动方程转换为频域，可以简化求解过程，从而得到波动方程的解析解。

3.3 反射和折射

傅里叶变换也可以分析光线在不同介质中的反射和折射行为。通过将光线的波动特性表示为频域上的分布，可以研究光在界面上的反射和透射规律。

2.6 傅里叶变换的性质

2.6.1线性

若信号和的傅里叶变换分别为和，

则对于任意的常数a和b，有

将其推广，若,则

其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.

显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和

2.6.2 反褶与共轭性

设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶

f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为

（2）共轭

（3）既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明：

设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则

在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质

2.6.3 奇偶虚实性

已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即

根据定义，上式还可以写成

下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数

对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得

（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)

X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故

这时X()=0，于是

可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即

左边反褶，右边共轭

（1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)

R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故

这时R()=0，于是

简述傅里叶变换

傅里叶变换是现代数学、物理及工程学的基石之一，它能将一个时间域信号转换成一个频域信号，为各种信号处理、控制、通信、图像处理等领域提供了有力的工具，是第一次把两个物理量之间的变换相结合，并在证明中使用了一些非常复杂的数学方法以及接近两个世纪的科学发展而发明的。

一、 傅里叶变换的定义

傅里叶变换是指将一个时间域函数f(x)转换成一个频域函数F(u)的过程。其定义是：

$$F(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-jux}dx$$

其中，j为虚数单位，u为频率，f(x)为原信号，F(u)为转换后的频率信号。该公式中，积分的上下限为负无穷到正无穷。

分析以上公式，可以发现傅里叶变换有以下几个特点：

1. 将原信号f（x）从时域转换到频域；

2. 傅里叶变换公式是一个积分表达式，波形的具体形式决定了计算的难度；

3. 积分变量是虚数u，表示频率； 4. 傅里叶变换是线性的。

二、傅里叶变换的性质

1. 时间移位性质

该性质指的是如果将函数f(x)向右移动a单位，则傅里叶变换的频域函数F(u)将乘以e^-j2πau：

$$FT(f(x-a)) = F(u) \cdot e^{-j2\pi ua}$$

2. 频率移位性质

该性质是当函数f(t)乘以一个复指数时，经傅里叶变换后，其频率也将发生移位。

$$FT(e^{j2\pi Tu}f(t)) = F(u-T) $$

其中T是一个常数，表示频域移位的量。

3. 线性性质

傅里叶变换是线性的，即对于任何两个函数f1(t)和f2(t)，有：

$$FT(af_1(t)+bf_2(t)) = aF_1(u)+bF_2(u)$$

其中a和b是任何常数。

4. 傅里叶变换的共轭对称性

傅里叶变换具有共轭对称性，即：

$$F^*(u) = F(-u)$$

5. 卷积定理

该性质的表述是：f和g的卷积时f和g的傅里叶变换的乘积。即： $$FT(f*g) = FT(f)\cdot FT(g)$$