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数学建模线性拟合与非线性拟合

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数学实验与数学建模

实验报告

学 院： 南通大学理学院

班 级： 信计111

学 号：

姓 名：

实验名称： 线性拟合与非线性拟合

指导教师：

填写日期： 2013年11月5日

实验五 线性拟合与非线性拟合

一、 实验指导解读

本实验的主要目的是了解迭代法，研究迭代数列的收敛性，学习线性方程组的求解以学习非线性方程组的求解。

本次实验是通过两个变量的多组记录数据利用最小二乘法寻求两个变量之间的函数关系。

两个变量之间的函数关系主要有两种：一是线性关系（一次函数）；二是非线性关系（非一次的其它一元函数）。因此本实验做两件事：一是线性拟合（习题1）；二是非线性拟合（习题2）。习题2是用多项式函数、指数函数、双曲函数等初等函数以及分段函数拟合。

二、 实验基本方法与理论：

（习题1）线性拟合

修改、补充程序

要说明拟合效果，主要从形（大多数散点是否在拟合曲线上或附近）与量（残差是否小）！

计算残差的程序：

假设对两个变量的多组记录数据已有程序

biao={{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}}

并且通过Fit得到线性拟合函数y=ax+b

我们可以先定义函数（程序）

f[x_]:=a*x+b

再给出计算残差的程序

dareta=Sum[(biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]])^2,{i ,1, n}]

程序说明：

biao[[i]]是提取表biao的第i行，即{xi,yi}

biao[[i ,1]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即xi

biao[[i ,2]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即yi

biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]] 即yi-(a*xi+b)

（习题2）非线性拟合

修改、补充程序

要说明拟合效果，主要从形（大多数散点是否在拟合曲线上或附近）与量（残差是否小）！

计算残差的程序：

假设对两个变量的多组记录数据已有程序

biao={{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}} 并且通过Fit得到非线性拟合函数y=f(x)

我们可以先定义函数（程序）

f[x_]:=

再给出计算残差的程序

dareta=Sum[(biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]])^2,{i ,1, n}]

程序说明：

biao[[i]]是提取表biao的第i行，即{xi,yi}

biao[[i ,1]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即xi

biao[[i ,2]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即yi

biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]] 即yi-f(xi)

三、实验的整体思路

（1）对数据线性拟合

1、先对习题1的十组数据线性拟合，并从形与量看拟合效果；

2、对习题1的十组数据中的9组数据线性拟合，并从形与量看拟合效果；

3、对习题1的十组数据中的6组数据线性拟合，并从形与量看拟合效果。

4、对习题1的十组数据增加数据线性拟合，并从形与量看拟合效果。

（2）非线性拟合

1、先对习题2的数据用二次、三次、…、十五次多项式函数分别非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用多项式函数非线性拟合的优点与缺点。考虑对习题2的数据增加或减少

2、先对习题2的数据用指数函数、双曲函数等初等函数分别非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用初等函数非线性拟合的优点与缺点，同时思考有没有其它更好的非线性拟合。考虑对习题2的数据增加或减少

3、先对习题2的数据用分段函数（非初等函数）非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用分段函数非线性拟合的优点与缺点，同时思考有没有其它更好的非线性拟合。

四、实验过程

（一）线性拟合

1、首先求出线性拟合函数f[x_]=a*x+b;中a 、b的值，程序如下：

lianxi1biao={{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70},{160,74},{170,78},

{180,85},{190,89}}

ft1=Fit[lianxi1biao,{1,x},x]

gp=Plot[ft1,{x,100,190},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

fp=ListPlot[lianxi1biao,PlotStyle->{PointSize[0.05],RGBColor[0,0,1]}]

Show[fp,gp]

所以 a= 0.48303030303030314` ;b= -2.73939393939394` ;

将a、b代入函数f[x_]=a*x+b中，算出残差，程序如下：

a= 0.48303030303030314` ;b= -2.73939393939394` ;

f[x_]=a*x+b;

dareta=Sum[(lianxi1biao[[i,2]]-f[lianxi1biao[[i,1]]])^2,{i,1,10}]

得出残差

图形如下：

2、对习题1的十组数据中的九组数据线性拟合，首先求出线性拟合函数f[x_]=a*x+b;中a 、b的值，程序如下：

Clear[gp,fp];

lianxi1biao={{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70},{160,74},{170,78},

{180,85},{190,89}}

lianxi1biao101={{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70},{160,74},{170,78},

{180,85},{190,89}}

ft1=Fit[lianxi1biao101,{1,x},x]

gp=Plot[ft1,{x,100,190},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

fp=ListPlot[lianxi1biao101,PlotStyle->{PointSize[0.05],RGBColor[0,0,1]} ]

Show[fp,gp]

所以 a= 0.4783333333333335`;b=-1.9722222222222325`

将a、b代入函数f[x_]=a*x+b中，算出残差，程序如下：

a= 0.4783333333333335`;b=-1.9722222222222325` ;

f[x_]=a*x+b;

dareta101=Sum[(lianxi1biao[[i,2]]-f[lianxi1biao[[i,1]]])^2,{i,1,10}]

得出残差

图形如下：

3、对习题1的十组数据中的六组数据线性拟合，首先求出线性拟合函数f[x_]=a*x+b;中a 、b的值，程序如下：

Clear[gp,fp];

lianxi1biao={{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70},{160,74},{170,78},

{180,85},{190,89}}

lianxi1biao101={{140,66},{150,70},{160,74},{170,78}, {180,85},{190,89}}

ft1=Fit[lianxi1biao101,{1,x},x]

gp=Plot[ft1,{x,100,190},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

fp=ListPlot[lianxi1biao101,PlotStyle->{PointSize[0.05],RGBColor[0,0,1]}]

Show[fp,gp]

得 -0.314286+0.468571 x

所以 a= 0.46428571428571414` ;b=0.42857142857145963` ;

将a、b代入函数f[x_]=a*x+b中，算出残差，程序如下：

a= 0.46428571428571414` ;b=0.42857142857145963` ;

f[x_]=a*x+b;

dareta101=Sum[(lianxi1biao[[i,2]]-f[lianxi1biao[[i,1]]])^2,{i,1,10}]

得出残差

图形如下：

4、对习题1的十组数据增加数据线性拟合，首先求出线性拟合函数f[x_]=a*x+b;中a 、b的值，程序如下：

Clear[gp,fp];

lianxi1biao={{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70},{160,74},{170,78},

{180,85},{190,89}}

lianxi1biao101={{90,39},{100,45},{110,51},{120,54},{130,61},{140,66},{150,70},{160,74},{170,78},

{180,85},{190,89}}

ft1=Fit[lianxi1biao101,{1,x},x]

gp=Plot[ft1,{x,100,190},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]

fp=ListPlot[lianxi1biao101,PlotStyle->{PointSize[0.05],RGBColor[0,0,1]}]

Show[fp,gp]

所以 a= 0.46428571428571414` ;b=-3.999999999999992`` ;

将a、b代入函数f[x_]=a*x+b中，算出残差，程序如下：

a= 0.4909090909090908` ;b=-3.999999999999992`` ;

f[x_]=a*x+b;

dareta101=Sum[(lianxi1biao[[i,2]]-f[lianxi1biao[[i,1]]])^2,{i,1,10}]

得出残差

图形如下：

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数学建模十大经典算法

数学建模十大经典算法

数学建模十大经典算法

数学建模是将现实问题抽象化成数学问题，并通过数学模型和算法进行解决的过程。在数学建模中，常用的算法能够帮助我们分析和求解复杂的实际问题。以下是数学建模中的十大经典算法：

1.线性规划算法

线性规划是一种用于求解线性约束下的最优解的方法。经典的线性规划算法包括单纯形法、内点法和对偶理论等。这些算法能够在线性约束下找到目标函数的最大（小）值。

2.整数规划算法

整数规划是在线性规划的基础上引入了整数变量的问题。经典的整数规划算法包括分枝定界法、割平面法和混合整数线性规划法。这些算法能够在整数约束下找到目标函数的最优解。

3.动态规划算法

动态规划是一种将一个问题分解为更小子问题进行求解的方法。经典的动态规划算法包括背包问题、最短路径问题和最长公共子序列问题等。这些算法通过定义递推关系，将问题的解构造出来。

4.图论算法

图论是研究图和图相关问题的数学分支。经典的图论算法包括最小生成树算法、最短路径算法和最大流算法等。这些算法能够解决网络优化、路径规划和流量分配等问题。

5.聚类算法 聚类是将相似的数据点划分为不相交的群体的过程。经典的聚类算法包括K均值算法、层次聚类算法和密度聚类算法等。这些算法能够发现数据的内在结构和模式。

6.时间序列分析算法

时间序列分析是对时间序列数据进行建模和预测的方法。经典的时间序列分析算法包括平稳性检验、自回归移动平均模型和指数平滑法等。这些算法能够分析数据中的趋势、周期和季节性。

7.傅里叶变换算法

傅里叶变换是将一个函数分解成一系列基础波形的过程。经典的傅里叶变换算法包括快速傅里叶变换和离散傅里叶变换等。这些算法能够在频域上对信号进行分析和处理。

8.最优化算法

最优化是研究如何找到一个使目标函数取得最大（小）值的方法。经典的最优化算法包括梯度下降法、共轭梯度法和遗传算法等。这些算法能够找到问题的最优解。

9.插值和拟合算法

插值和拟合是通过已知数据点来推断未知数据点的方法。经典的插值算法包括拉格朗日插值和牛顿插值等。拟合算法包括最小二乘法和非线性拟合等。这些算法能够通过已知数据来预测未知数据。

最小二乘法 线性与非线性拟合

最小二乘法 线性与非线性拟合

最小二乘法

线性与非线性拟合

最小二乘法实现数据拟合

最小二乘法原理

函数插值是差值函数p(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同，即p( )=f( ) (i=0,1,2,3……,n)，而曲线拟合函数

不要求严格地通过所有数据点( )，也就是说拟合函数 在

处的偏差

=

不都严格地等于零。但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求| |按某种度量标准最小。

即

=

为最小。这种要求误差平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。

(一)线性最小二乘拟合

根据线性最小二乘拟合理论，我们得知关于系数矩阵A的解法为A＝R\Y。

例题 假设测出了一组，由下面的表格给出，且已知函数原型为

y(x)=c1+c2*e^(-3*x)+c3*cos(-2*x)*exp(-4*x)+c4*x^2

试用已知数据求出待定系数的值。

在Matlab中输入以下程序

x=[0,0.2,0.4,0.7,0.9,0.92,0.99,1.2,1.4,1.48,1.5]';

y=[2.88;2.2576;1.9683;1.9258;2.0862;2.109;

2.1979;2.5409;2.9627;3.155;3.2052];

A=[ones(size(x)) exp(-3*x),cos(-2*x).*exp(-4*x) x.^2];

c=A\y;

c'

运行结果为

ans =

1.2200 2.3397 -0.6797 0.8700

下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图

x1=[0:0.01:1.5]';

A1=[ones(size(x1)) exp(-3*x1),cos(-2*x1).*exp(-4*x1) x1.^2]; x 0 0.2 0.4 0.7 0.9 0.92 0.99 1.2 1.4 1.48 1.5

数学建模-数据拟合

数学建模-数据拟合

数据拟合作业

小组成员：谭洪莲 2007211736 李志雄 2007211822 李小宁 2007211722

题目一：直接拟合。

法一：将身长和胸围相加，再与重量直接拟合，选择拟合效果最好的：

第一步：在Matlab命令窗口输入cftool 执行得到拟合工具箱

第二步：创建一个名为opt_us_fish的M文件

执行后拟合,选择最佳的，得到结果如下：

Warnings during fitting:

Equation is badly conditioned. Remove repeated data points

or try centering and scaling.

Linear model Poly4:

f(x) = p1*x^4 + p2*x^3 + p3*x^2 + p4*x + p5 Coefficients (with 95% confidence bounds):

p1 = 6.9e-011 (-2.238e-010, 3.618e-010)

p2 = -2.549e-007 (-1.344e-006, 8.346e-007)

p3 = 0.0003309 (-0.001117, 0.001778)

p4 = -0.151 (-0.9579, 0.6559)

p5 = 74.47 (-84.11, 233.1)

Goodness of fit:

SSE: 1.161

R-square: 0.9979

Adjusted R-square: 0.995

RMSE: 0.6221

拟合结果：

法二：将身长与胸围相乘，再与重量直接拟合，选择拟合效果最好的，结果如下：（步骤同上）

Warnings during fitting:

数学建模使用MATLAB进行数据拟合

数学建模使用MATLAB进行数据拟合

1.线性最小二乘法

x=[19 25 31 38 44]';

y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';

r=[ones(5,1),x.^2];

ab=r\y % if AB=C then B=A\C

x0=19:0.1:44;

y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;

plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

运行结果：

2.多项式拟合方法

x0=[1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996];

y0=[70 122 144 152 174 196 202];

a=polyfit(x0,y0,1)

y97=polyval(a,1997)

x1=1990:0.1:1997;

y1=a(1)*x1+a(2); plot(x1,y1)

holdon

plot(x0,y0,'*')

plot(1997,y97,'o')

3.最小二乘优化

3.1 lsqlin函数

例四：

x=[19 25 31 38 44]';

y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8]';

r=[ones(5,1),x.^2];

ab=lsqlin(r,y)

x0=19:0.1:44;

y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;

plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

3.2 lsqcurvefit函数

（1）定义函数

function f=fun1(x,tdata);

f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata); %其中x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k

（2）

td=100:100:1000;

cd=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59];

x0=[0.2 0.05 0.05];

x=lsqcurvefit(@fun1,x0,td,cd) %x(1)=a，x(2)=b，x(3)=k