非线性数学建模与数值计算方法

极值与最值问题的数学建模与求解方法

极值和最值问题是数学建模中常见的问题之一，它们在实际生活和科学研究中具有重要意义。本文将介绍极值与最值问题的数学建模与求解方法，并对相关理论进行详细解释。

首先，我们来定义一下极值与最值。极值是指在一定范围内，函数取得最大值或最小值的点，可以分为局部极值和全局极值。局部极值是在函数的某一小范围内达到的最大值或最小值，全局极值则是在整个定义域内取得的最大值或最小值。最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值。

在数学建模中，我们常常需要通过建立数学模型来解决实际问题。对于极值与最值问题，我们可以采用以下的数学建模方法。

第一，建立数学模型。对于给定的实际问题，我们需要从中抽象出数学模型。这包括确定参量、变量和约束条件等。对于极值问题，我们需要确定目标函数和约束条件，而对于最值问题，我们需要确定目标函数，但一般不考虑约束条件。

第二，求解极值与最值。根据所建立的数学模型，我们可以采用不同的求解方法来求解极值与最值问题。以下是几种常用的求解方法。

1. 寻找局部极值点：利用微积分的相关知识，我们可以求出函数的一阶和二阶导数，通过求导数为零的点来确定函数的局部极值点。然后进行极值点的对比，找到全局极值点。

2. 迭代法：对于复杂的非线性函数，我们可以采用迭代法来逼近极值点。迭代法将问题分解为多个子问题，并通过多次迭代逼近极值点。常见的迭代法包括牛顿法、梯度下降法等。 3. 整数规划方法：当目标函数和约束条件均为整数时，我们可以采用整数规划方法来求解极值与最值。整数规划方法将问题转化为线性规划问题，然后通过线性规划的方法来求解。

4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种随机搜索算法，通过模拟金属冶炼退火时的过程，以概率性的方式逼近极值点。该方法一般适用于非凸函数的最优化问题。

5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟自然进化过程的算法，通过种群的选择、交叉和变异等操作来逐步逼近极值点。该方法适用于高维、多峰和非线性函数的求解。

科技信息　高校理科研究　

数学建模思想在数值计算方法课程巾的滢透　

河南城建学院数理系　汪学海　兰奇逊　

［摘要］本文结合数　计算方法课程教学中的问题，在保持原有课程体系不变的情况下，探讨了将数学建模的思想渗透到数值计　

算方法的教学中的改革方案，并阐述了改革中需要注意的事项。　

［关键词］数学建模思想　数值计算方法　教学改革　

１．数值计算方法课程的性质、特点及教学中存在的问题　

《数值计算方法》是一门介绍科学计算的基础理论与基本方法的课　程。与其它相关数学课程相比，该课程的理论和方法在其他专业课程中　

经常用到，而且也常常用来解决实际问题，它具有理论性、实用性和实　践性都很强的特点。　

１．１内容丰富，知识面广　

《数值计算方法》包括非线性方程和线性方程组的数值解法，插值，　拟合，数值积微分以及微分方程数值解等方面的知识，涉及了数学分　

析、代数、微分方程，逼近论以及泛函分析等学科。内容比较丰富，所用　

到的知识面很广。　１．２公式多，计算过程繁杂　

《数值计算方法》不同于其他数学课程，它的公式很多，不容易记忆。　而且计算过程也很复杂，需要借助计算器或计算机来进行计算。　

１３注重理论联系实际　

《数值计算方法》是和实际联系非常紧密的一门学科，着重研究用计　算机处理实际计算问题的各种数值方法。很多问题是由实际计算问题　得来，方法的改进也是基于实际的需要和代价考虑的。因此它的各类算　

法要解决的问题是真正的实际问题，而不是假设中的数学问题。　

和其它某些课程一样，数值计算方法的教学并不尽如人意。很多学　

校都存在着学时量少、内容多的问题。另外，数值计算方法以数学问题　为研究对象，具有丰富完善的理论体系。它不仅着重研究求解数学问题　

的各种数值计算方法，而且也关注与此相关的理论，包括方法的收敛　性、稳定性和误差分析等等。这样，就容易出现过多地强调理论而轻视　

计算方法思想的现象。既浪费了大量的教学时间和精力，也难以收到良　好的教学效果。　

数学建模的基本方法和步骤

数学建模是一种应用数学方法解决实际问题的研究方法,其基本方法和步骤如下:

1. 确定问题:明确要解决的问题,包括问题的描述、背景、目的和限制等。

2. 收集数据:收集与问题相关的数据,可以通过调查、实验、案例分析等方式获取。

3. 建立模型:基于问题的特点,选择合适的数学模型来描述问题,包括线性、非线性、概率等模型。

4. 分析模型:对建立的数学模型进行分析,确定模型的参数和假设,并进行模型的检验和优化。

5. 求解模型:根据建立的数学模型,求解出问题的答案,可以使用数值方法、统计分析等方法进行求解。

6. 验证和评估:对求解出的答案进行验证和评估,检查答案的准确性和可靠性,并根据需要进行模型的优化和改进。

数学建模的基本方法和步骤需要注重问题分析、模型建立、数据分析和模型求解等环节,其中数据分析是非常重要的一环,需要注重数据的收集、处理和分析,以获取准确和可靠的信息。同时,数学建模需要注重实践,需要结合实际情况,不断优化和改进模型,以达到更好的解决实际问题的效果。

数学建模是一种重要的研究方法,可以帮助我们更好地理解和解决现实世界中的各种问题,具有广泛的应用前景和发展趋势。

科学计算与数学建模实验报告

牛顿法求解非线性方程

一、实验目的

学习使用MATLAB

运用MATLAB进行牛顿法求解非线性方程

加深对牛顿法的理解

二、实验内容

采用牛顿法求方程02x-x3在区间[0.5，2]上的一个根。

三、实验过程

（1）算法原理

牛顿法本质上是一种切线法，它从一端向一个方向逼近方程的根，其递推公式为：

)()('1nnnnxfxfxx

（2）算法程序代码

Function root=NewtonRoot (f,a,b,eps)

If (nargin==3)

eps=1.0e-4

end

f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);

if(f1==0)

root=b;

end

if(f2==0)

root=b;

end

if(f1*f2>0)

disp(‘两端点函数值乘积大于0！’);

return;

else

tol=1;

fun=diff(sym(f));

fa=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);

fb=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);

dfa=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),a);

dfb=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),b);

if(dfa>dfb)

root=a-fa/dfa;

else

root=b-fb/dfb;

end

while(tol>eps)

r1=root;

fx=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);

dfx=subs(sym(fun),findsym(sym(fun)),r1);