两个平面垂直的判定定理

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《平面与平面垂直的判定定理》教学设计

作者：金富国

来源：《学校教育研究》2018年第02期

一、教材分析

1.教材内容

本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教B版）》第二章1.2.3节。本节课主要学习平面与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。

2.地位与作用

本节课中的面面面垂直定义是探究面面垂直判定定理的基础；面面面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直性质定理的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带。学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的，并且是高考考查的重点内容。

3.思想方法

作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试观察、探索、特殊到一般、数形结合、归纳转化等数学思想方法。

二、学情分析

本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了线线垂直、线线垂直的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于面面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。但是学生对于理解面面面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出面面面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直”就有一定困难；同时，面面面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。

三、教学目标

（一）知识目标

理解平面与平面垂直的定义与判定定理，并能运用面面垂直判定定理解决简单问题。 龙源期刊网

（二）能力目标

蓟县一中 2013——2014 学年度第 二 学期教案

高中 二 年级 数学 学科 第__10_周第___3___课时

课 题 立体几何复习 授课教师 温建军

教

学

目

标 知识与

技 能 （1）掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；

（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

过程与

方 法 利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象为直观，易于识记，同时凸现数学知识的发展和联系。

情感

态度

与价

值观 通过知识的整合、梳理，理会空间点、线、面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

教学重点

难 点 重点：各知识点间的网络关系。

难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

教学方法

媒体手段 讨论交流 讲练结合 教学反思 通过本节课的学习，通过教学活动，使学生了解，感受知识的形成过程；培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

一、整合知识，发展思维

1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1：ABBA,——判定直线是否在平面内。

公理2：不共线的三点确定一个平面——确定平面的依据。

推论1：直线与直线外一点确定一个平面。

推论2：两条相交或平行直线确定一个平面。

公理3：lPlPP且,,。——判定两个平面交线的位置。

公理4：cacbba////,//。——判定空间直线之间平行。

2、位置关系：

（1）直线与直线：相交、平行、异面。

（2）直线与平面：直线在平面内、相交、平行。

（3）平面与平面：相交、平行。

3、空间平行、垂直之间的转化与联系：

判定定理 性质定理

直线与平面平行 ////,,ababa babaa//,,//

- 1 - 两个平面垂直的判定定理

在向量空间中，如果a，b两个平面两两垂直，那么a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交，则称a，b两个平面垂直是满足的。

定理：

令a，b两个平面的法向量分别为n1，n2，则a，b两个平面垂直的充分必要条件是n1n2=0.

证明：

设a，b两个平面垂直，则a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交。

取a，b两个法向量n1，n2任意一组，据定理可知，n1n2=0，即可证明a，b两个平面垂直。

反之，设n1n2=0，则n1，n2两个向量无法构建一个正交系统，因此n1，n2不能构成正交标准基；而正交标准基是构建空间的基本单位，因此不存在两个平面两两垂直，从而证明n1n2=0是a，b两个平面垂直的充分必要条件。

综上所述，故以上结论成立，两个平面垂直的判定定理正确。

扩展：

根据以上两个平面垂直的判定定理，可以进行多维空间中任意平面垂直的判定，平行的判定和平面的->.定。

在多维空间中，例如三维空间中，若x，y两个平面垂直，则前提条件必须满足的是：平面的法向量x，y满足n1n2=0。

若两个平面x，y平行，则n1=kn2，其中k是不等于零的实数， - 2 - 这里n1，n2分别为平面x，y的法向量。

若 x，y 两个平面平行且垂直于 z面，则 n1n2=0且 n1n3（n3为z平面的法向量）=0。

由此可见，通过求解平面的法向量点积，可以确定几个平面之间的垂直或平行关系，从而验证多维空间中任意两个平面垂直的判定定理。

结论：

以《两个平面垂直的判定定理》为标题，本文研究了该定理的定义与证明，并且讨论了该定理在多维空间中的广泛运用。综上所述，两个平面垂直的判定定理正确。

关于《两个平面垂直的判定定理》说课

关于《两个平面垂直的判定定理》说课

1教材结构与内容简析：

1.1本节内容在全书及章节的地位；

两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节，这之前学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础，而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。

1.2数学思想方法分析：

1.2.1从定理的证明过程，面面垂直可转化为线面垂直，就可以看到数学的化归，"降维"思想。

1.2.2在教材所提供的材料中，从建构手段角度分析，可以看到归纳思想，而这一思想中包含着重组的意识和能力。

2教学目标：

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：

2.1基础知识目标：掌握平面与平面垂直的判定定理及其变 式，能利用它们解决相关的问题。

2.2能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。

2.3创新素质目标：引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力；判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力；判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。

2.4个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质。

3教学重点、难点、关键：

重点：判定定理的证明及变式探索

难点：判定定理的变式。

关键：本节课通过判定定理的证明及变式探索，着重培养和发展学生的认知和元认知能力。

4教材处理

建构主义学习理论认为，建构即认知结构的组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线联构成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。本课时为何提出变式呢，应该说，这一处理方法正是基于此理论的体现。其次，本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？如何发展？又如何从实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式，如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。