2023届山西省太原市高三上学期期末测试数学试题

2022~2023学年第一学期高三年级期末考试

数学试卷

（考试时间：上午8:00—10:00）

说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分．

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合220,{lg(1)}AxxxBxyx，则AB（ ）

A．(0,1) B．(0,) C．(1,2) D．(,0)(1,)

2．设复数z满足i1iz（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知||||1,||3abab，则向量a与b的夹角为（ ）

A．30 B．60 C．120 D．150

4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA垂直于底面，ABCD，13AA，底面扇环所对的圆心角为2，弧AD的长度是弧BC长度的2倍，1CD，则该曲池的体积为（ ）

A．94 B．34 C．92 D．32

5．某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（ ）

A．96 B．120 C．240

D．360

6．已知2sin43，则sin2（ ）

A．49 B．49 C．59 D．59

7．如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设(,)fmn表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（ ）

2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 12 …

4 7 10 13 16 19 …

5 9 13 17 21 25 …

6 11 1 21 26 31 …

7 13 19 25 31 37 …

… … … … … … …

A．(3,18)49f B．(6,8)49f C．(7,7)49f D．(12,4)49f

8．已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx，若(22),(1)fxgx均为偶函数，当[2,0]x时，32()3fxaxxb，且(1)1f，则201|()|nfn（ ）

A．20 B．30 C．35 D．40

二、选择题全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．已知正数x，y满足2xy，则下列结论正确的是（ ）

A．xy的最大值是1 B．22xy的最小值是4

C．(1)xy的最大值是14 D．11xy的最小值是1

10．已知函数()sin()0,0,||2fxAxA的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．()fx的图象关于直线712x对称 B．()fx的图象关于点,06对称

C．将函数2sin26yx的图象向左平移2个单位长度可以得到函数()fx的图象

D．方程()2fx在(0,3)上有7个不相等的实数根

11．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两个不同点，则下列结论正确的是（ ）

A．若点(2,2)P，则||||AFAP的最小值是3

B．||AB的最小值是2

C．若||||12AFBF，则直线AB的斜率为22

D．过点A，B分别作抛物线C的切线，设两切线的交点为Q，则点Q的横坐标为1

12．已知正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为2，侧棱13AA，P为上底面1111ABCD上的动点，M为棱AD的中点，下列结论正确的是（ ）

A．三棱锥PCDM的体积为定值1

B．当直线AP与平面ABCD所成角为3时，点P的轨迹长度为34

C．若直线PD∥平面1ACB，则线段PD长度的最小值为11

D．直线PM被正四棱柱1111ABCDABCD外接球所截得线段长度的取值范围是[13,17]

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数2()2lnfxxax的图象在1x处的切线经过坐标原点，则实数a____________．

14．82113xxx的展开式中常数项为_________．（用数字作答）

15．在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设A“试验结果为阳性”，B“试验者患有此癌症”，据临床统计显示()0.99,()0.98PABPAB．已知某地人群中患有此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________．

16．已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点分别为12,FF，过2F作圆222:Oxya的切线，切点为T，延长2FT交双曲线E的左支于点P．若2232PFTF，则双曲线E离心率的取值范围是__________．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题10分）已知数列na的前n项和为nS．

（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求na的通项公式；

（2）设2212231loglognnnbnNaa，记nb的前n项和为nT，若对任意正整数的n，不等式nT恒成立，求的最小值． 条件①212aa，且12nnaaS；条件②na为等比数列，且满足12nnSk；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）

18．（本小题12分）在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足22bbca．

（1）求证：2AB；

（2）求62bcbcosB的取值范围．

19．（本小题12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差2s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布2,N，其中近似为样本平均数2,x近似为样本方差2s．

（ⅰ）利用该正态分布，求(175.6224.4)PZ；

（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(175.6,224.4)的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求()EX．

附：15012.2；若2,ZN，则()0.6826,(2Z2)0.9544PZP．

20．（本小题12分）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点．

（1）证明：AOBC；

（2）若OCD△是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，2DEEA，且二面角EBCD的大小为60，求直线AC与平面BCE所成角的正弦值．

21．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,FF，椭圆C经过点(0,2)A，且直2AF，与圆222xy相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线1(0)ykxk与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足0MPPQMQPQ，求点M横坐标的取值范围．

22．（本小题12分）已知函数2()(2)2(0)xfxxeaxaxa．

（1）若()fx在1x处取得极大值，求()fx的单调区间；

（2）若()fx恰有三个零点，求实数a的取值范围．

2022-2023学年太原市第一学期期末高三数学试题

参考答案及评分建议

一、选择题：

B D C A B C D B

二、选择题：

9．AC 10．AB 11．ACD 12．ACD

三、填空题：

13．2 14．98 15．11233 16．(2,10)

四、解答题：

17．解：（1）选择条件①212aa，且12nnaaS，

由题意可得1112nnaaS，∴11122nnnnnaaSSa，∴12nnaa，

∴na为公比2q的等比数列，

∵212aa，∴1122aa，∴12a，∴2nnanN；

选择条件②na为等比数列，且满足12nnSk，

由题意可得221332(8)(4)4,(16)(8)8aSSkkaSSkk，

∴322aqa，∴222nnnaaqnN；

（2）由（1）得2nnanN,

∴22122311111loglog(21)(23)22123nnnbaannnn,

∴1211111111112355721232323nnTbbbnnn，

∴的最小值为16．

18．解：（1）由余弦定理得2222cosabcbcA，

∵22bbca，∴(12cos)bAc，

由正弦定理得sinsinbcBC，∴sin(12cos)sinsin()BACAB，∴sinsin()BAB，

∵0,AB，∴0BA，∴BAB，∴2AB；

（2）由（1）得2,(12cos)ABcbA，

∴2624cos16248coscoscoscosBbcBbBBB，

∵2AB，∴03B，∴1cos12B，

∴4828cos12cosBB，∴62cosbcbB的取值范围为[82,12)．

19．解：（1）由题意得(1700.0021800.0091900.0222000.033x2100.0242200.0082300.002)10200，

22222(170200)0.002(180200)0.009(190200)0.022(200200)0.033s222(210200)0.024(220200)0.008(230200)0.00210150；

（2）由题意得22200,150,(200,150)xsZN，

（ⅰ）∵15012.2，∴(175.6224.4)0.9544PZ；