广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学理试题(解析版)
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广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）
2019届高三第二次联考试题 理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．
【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，
∴，
由为纯虚数，则，解得a=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．
2.设全集，集合，，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．
【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，
∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，
={x|﹣5＜x≤2}，
2 故选：B．
【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．
3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（ ）
A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．
【详解】记每天走的路程里数为{an}，
由题意知{an}是公比的等比数列，
由S6=378，得=378，
解得：a1=192，
∴=12（里）．
故选：D．
【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：
①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．
②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．
③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．
④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．
4.函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
3 【解析】
【分析】
利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．
【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），
令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是
故选：B．
【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．
5.下列有关命题的说法中错误的是( )
A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.
B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.
C. 命题“，有且”的否定形式是“，有 且”.
D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.
【答案】C
【解析】
【分析】
A．根据复合命题真假关系进行判断即可；
B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；
C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；
D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.
【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；
对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；
对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0”，错误；
对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，
故选：C
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
4
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，
∴
本题选择C选项.
点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．
【详解】=2xy．
5 ∵C，F，D三点共线，
∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．
∴==．
令f（x）=，得f′（x）=，
令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．
当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．
∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．
8.已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．
【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，
可得f（﹣x）=﹣f（x），
f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），
即f（x+2）=﹣f（x），
进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
f（x）为周期为4的函数，
若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）
=504×0+2+0=2．
故选：B．
6 【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．
【详解】f（x）=2sinωx，
∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．
又∵函数在[]上递增，
∴[﹣，]⊇[]，
∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，
又∵ω＞0，
∴0＜ω≤，
又在区间上存在唯一的使得，
根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，
即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，
∴ω≥，
综上，可得ω∈[，]．
故选：D．
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．
10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： ,称为第1组，为第2组，
7 依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )
A. 第组 B. 第组 C. 第组 D. 第组
【答案】A
【解析】
【分析】
求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.
【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为 则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组
选A.
【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.
11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。如：,依此类推，其中，且
设则
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据1=++++++++++++，结合裂项相消法，可得+==，解得m，n值，根据奇函数的定积分为零，即可得到结果.
【详解】∵2=1×2，6=2×3，30=5×6，42=6×7，
56=7×8，72=8×9，90=9×10，110=10×11，132=11×12，
∴1=++++++++++++
=（1﹣）+++（﹣）+，
∴+==
∴m=13，n=20，
即
8 ∴
故选：C
【点睛】本题考查归纳推理，考查定积分知识，考查学生的逻辑思维能力与计算能力，求得m，n的值是关键．
12.已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中e＝2．71828… 为自然对数的底数），则实数的取值范围是( )
A. （，] B. （，] C. [，） D. [，）
【答案】D
【解析】
【分析】
化简不等式可得mex＜，根据两函数的单调性得出正整数解为1和2，列出不等式组解出即可．
【详解】当x＞0时，由x2﹣mxex﹣mex＞0，可得mex＜（x＞0），
显然当m≤0时，不等式mex＜（x＞0），在（0，+∞）恒成立，不符合题意；
当m＞0时，令f（x）=mex，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
令g（x）=，则g′（x）==＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（0）=m＞0，g（0）=0，且f（x）＜g（x）有两个正整数解，
则∴，即，解得≤m＜．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式整数解问题，考查函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题.
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设变量满足约束条件：，则的最大值是___________
【答案】
【解析】
【分析】
