近世代数习题解答2

.

1 / 11 近世代数习题解答

第二章群论

1群论

1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证 不是一个群,因为不适合结合律.

2. 举一个有两个元的群的例子.

证 }1,1{G 对于普通乘法来说是一个群.

3. 证明, 我们也可以用条件1,2以与下面的条件

''5,4来作群的定义:

'4. G至少存在一个右单位元e,能让aae 对于G的任何元a都成立

'5. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元,1a能让 eaa1

证 <1> 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由eaa1 得eaa1

因为由'4G有元'a能使eaa'1

所以))(()('111aaaaeaa

即 eaa1

<2> 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即

由 aae 得 aea

即 aea

这样就得到群的第二定义.

<3> 证 bax可解

取bax1

这就得到群的第一定义.

反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.

2单位元,逆元,消去律

1. 若群G的每一个元都适合方程ex2,那么G就是交换群.

证 由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对Gba,有baababab111)(.

2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.

证 <1> 先证a的阶是n则1a的阶也是n.eeaaeannn111)()(

若有nm 使eam)(1 即 eam1)(因而 1eameam 这与a的阶是n矛盾.a的阶等于1a的阶

<2> a的阶大于2, 则1aa 若 eaaa21 这与a的阶大于2矛盾

<3> ba 则 11ba

总起来可知阶大于2的元a与1a双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数 .

2 / 11 3. 假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的

个数一定是奇数.

证 根据上题知,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶

2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶

2的元的个数一定是奇数.

4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.

证 Ga

故 Gaaaanm,,,,,,2

由于G是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:

nmaa)(nm 故 eamn

mn是整数,因而a的阶不超过它.

4群的同态

假定在两个群G和G的一个同态映射之下,aa,a和a的阶是不是一定相同?

证 不一定相同

例如 }231,231,1{iiG

对普通乘法GG,都作成群,且1)(x

G的任意元,1是G的元>

由 可知 G∽G

但 231,231ii的阶都是3.

而1的阶是1.

5变换群

1. 假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元1,使得1?

证 我们的回答是回有的},3,2,1{A

1: 1→1 2 1→1

2→1 2→3

3→2 3→4

4→3 4→5

……

显然是一个非一一变换但 1

2. 假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成babaxx,,是有理数,0a形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群?

证 <1> :baxx

dcbca,是有理数 0ca 是关闭的.

(2) 显然时候结合律 .

3 / 11 (3) 1a0b 则 :xx

而 1所以构成变换群.

又 1: 1xx

故1221因而不是交换群.

3. 假定S是一个集合A的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号:)('aaa

来说明一个变换.证明,我们可以用21: )()]([2121aaa来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是S的单位元.

证 :1)(1aa

那么:21)()]([2121aaa

显然也是A的一个变换.

现在证这个乘法适合结合律:

故 )()(321321

再证还是S的单位元

4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换.

证 设是是变换群G的单位元

G ,G是变换群,故是一一变换,因此对集合

A的任意元a,有A的元b,

))(()(aa=abb)()(

另证 )()(1xx

根据.7.1习题3知xx)(1

5. 证明实数域上一切有逆的nn矩阵乘法来说,作成一个群.

证 G={实数域上一切有逆的nn矩阵}

GBA, 则11AB是AB的逆

从而 GBA,

对矩阵乘法来说,G当然适合结合律且E〔n阶的单位阵〕 是G的单位元.

故 G作成群.

6 置换群

1. 找出所有3S的不能和)(123231交换的元.

证 3S不能和)(123231交换的元有 )(),(),(123321123213123132 这是难验证的.

2. 把3S的所有的元写成不相连的循环置换的乘积

解: 3S的所有元用不相连的循环置换写出来是:

<1>, <12>, <13>, <23>, <123>, <132>.

3. 证明:

<1> 两个不相连的循环置换可以交换 .

4 / 11 <2> )()(11121iiiiiikkk

证<1> ))((121mkkiiiii=)(11211132nmmkknmmkiiiiiiiiiiiii)(12121113221nmmkkknmkkkkiiiiiiiiiiiiiiii

=<)(121211132132niiiiiiiiiiiiiiiinmmkkkmkkk

又 mkkiii21(>)(21kiii=)(12121113221nmmkkknmkkkkiiiiiiiiiiiiiiii)(112111132nmmkknmmkiiiiiiiiiiiiii

=)(121211132132nmmkkknmkkkiiiiiiiiiiiiiiii,故))(())((211121kmkmkkiiiiiiiiii

<2> )())((11121iiiiiiikkk,故)()(11121iiiiiikkk.

3. 证明一个K一循环置换的阶是K.

证 设)()(2113221kiiiiiikiii

…………

设kh, 那么 )()(111ikhhiiiih

５． 证明nS的每一个元都可以写成)1(,),13(),12(n这1n个２－循环置换

中的若干个乘积.

证 根据.6.2定理２.nS的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积

而我们又能证明

同时有)1)(1)(1()(111iiiiill, 这样就得到所要证明的结论.

则)(1132niiii)(1111kkiiii

7 循环群

1． 证明一个循环群一定是交换群.

证)(aGma,Gan

则mnmnnmnmaaaaaa

2． 假设群的元a的阶是n,证明ra的阶是dn这里),(nrd是r和n的最大公因子

证 因为dnr),(所以,,11dnndrr而 1),(11nr

3.假设a生成一个阶n是的循环群G.

证明ra也生成G,假如1),(nr

证 a生成一个阶n是的循环群G,可得生成元a的阶是n,这样利用上题即得所证,

或者,由于1),(nr有1tnsr

nrtnsrtnsraaaaa)( 即)(raa

故raa)()(

4 假定G是循环群,并且G与G同态,证明G也是循环群.

证 有2.4.定理1知G也是群,

设 G且aa)(<是同态满射>

Gb则存在Gb使bb)(kab 因而G∽G

故kkaa)( 即kab)(

因而kab即Ã=〔ã〕 .

5 / 11 5．假设G是无限阶的循环群,G是任何循环群,证明G与G同态.

证 ⅰ〕设G是无限阶的循环群,

)(aG)(aG 令aa)(

且)()()(aaaaaaassss

所以G∽G

ⅱ〕设)(aG而a的阶是n.

令：11khaa 当且只当111knqh,

nk10易 知是G到G的一个满射

设knqkk21则212121)(kkqqnhhkqqqn)(21

那么 khhaaa212121kkkkqkqaaaaa

G∽G

8 子群

1．找出S3的所有子群

证S3={)132(),123(),23(),13(),12(),1(}的子群一定包含单位元)1(.

ⅰ〕S3本身与只有单位元)1(都是子群

ⅱ〕包含)1(和一个2一循环的集合一定是子群因)1()(),())(1(2ijijij

2H={)12(),1(},3H ={)13(),1(}, 4H={)23(),1(}亦为三个子群

ⅲ〕包含)1(与两个3—循环置换的集合是一个子群

)()(2ijkijk, )1())((ikjijk5H={)132(),123(),1(}是子群,3S有以上6个子群,

今证只有这6个子群,

ⅳ〕包含)1(与两个或三个2—循环置换的集合不是子群因)())((ijkikij不属于此集合

ⅴ>若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群

因)()(2ikjijk

ⅵ>一个集合若出现两个3—循环置换与一个2—循环置换不是子群

因)())((ikijkij

ⅶ〕3—循环置换与2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群

因若)(),(ikij出现 则)(0)((jkijkij

故3S有且只有6个子群.

2.证明；群G的两个子群的交集也是G的子群.

证21,HH是G的两个子群,21HHH

H显然非空 Hba, 则1,Hba 同时2,Hba

因2,1HH是子群,故11Hab,同时21Hab