九年级数学下册第三章圆试题(新版)北师大版

1题图

1.解决与弦有关的问题

垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题的方法一一构造直角三角形 在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线一一圆心到弦的距离

【例】如图，平面直角坐标系中，。P与x轴分别交于 A,B两点，点P的坐标

为(3,-1),AB=2 ⑴求。P的半径.

(2)将。P向下平移，求。P与x轴相切时平移的距离.

1

【标准解答】 ⑴作PC! AB于C,连接PA.，AC=CB=AB.

AB=2«3 AC'S

•・•点 P 的坐标为(3,-1), PC=1.

在 Rt △ PAC中，/ PCA=90 ,

••.PA=「। = =2

o P的半径为2.

(2)将。P向下平移，。P与x轴相切时平移的距离为 2-1=1.

1 .如图，。。的直径 CD=5cm,A呢。O的弦,ABLCD,垂足为 M,OM： OD=3： 5.则AB的长是 ( )

A.2 cm

C.4 cm

第三章圆

B.3 cm

D.2cm ••• / A=30° , / APD=70

2题图

2 .如图。O的直径AB垂直于弦 CD,垂足是E,/A=22.5 ° ,OC=4,则CD的长为

( )

A2 72 B.4 C.4\，'2 D.8

3 .。。过点B,C,圆心O在等腰直角△ ABC内部,/ BAC=90 ,OA=1,BC=6,则。。的半径为 ( )

A.«IO B2y 3

C. D3

2.与圆心角、圆周角有关的问题

(1)利用圆周角定理将圆心角与圆周角进行转化 ^

(2)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角的转化 ^

(3)利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形 ，为勾股定理、解直角三角形等知识的应用创造条

件.

(4)利用圆内接四边形的性质求圆心角或圆周角 ^

【例1】如图，。。中，弦AB,CD相交于点P,若/A=30° ,/APD=70，则/ B等于

( )

A.30 ° B.35 ° C.40° D.50

【标准解答】 选C. /Z APD>△ APC的外角,/ APD=/ C+/ A; / C=Z APD-Z A=40°

/ B=Z 0=40° .

【例2】如图，将三角板的直角顶点放在。 O的圆心上,两条直角边分别交。O于A,B两点，点P在优弧AB上,

且与点A,B不重合，连接PA,PB,则/ APB的大小为 度.

【标准解答】••• / AO*/ APB为AB所对的圆心角和圆周角

1 1

・ ./APB?/AOB=X 90° =45° .

答案:45

【例3】如图，。。是△ ABC的外接圆，CD是直径，/B=40° ,则/ ACD勺度数是

【标准解答】连接AD,

CD是直径，

/ CAD=90

••• / B=40° ,

/ D=40° ,

/ ACD=50

答案:50°

O,AD// BC, Z DAB=49 ,则/ AOC勺度数为【例4】如图，四边形ABCg接于。 1题图

【标准解答】如图，在A口上取点M,连接AM,CM,

. AD// BC,Z DAB=49 ,

，/ABC=13l ,

/ M=49° , /AOC=98 . 答案:98°

r跟踪训城j

1 .如图，。。的直径 CDL AB,/AOC=50，则/ CDB勺大小为 （ ）

A.25 ° B.30 ° 0.40° D.50 °

2 .如图,AB是。。的直径，C,D,E都是。O上的点，则/ACE吆BDE=( )

A.60 ° B.75 ° C.90° D.120 °

3 .如图，在。O的内接五边形 ABCD即,/ CAD=35 ,贝U/ B+Z E=° .

4 .如图,AB是。O的直径，C是弧AE的中点，CD，AB于D,交AE于F,连接AC,试证明AF=CF.

3.切线的判定与性质

(1)切线的三种判定方法 2题图

A

3题图 ①从公共点的个数来判断：直线与圆有且只有一个公共点

②从圆心到直线的距离来判断 ：圆心到直线的距离等于圆的半径

③应用判定定理：经过半径外端且与半径垂直.

(2)利用切线的判定定理的两个思路

①连半径，证垂直：

若已知直线与圆有公共点，则连接圆心和公共点，证明垂直

②作垂线，证等径：

若直线与圆的公共点没有确定 ，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径

(3)切线性质应用的两个思路

①有切点：连接切点和半径，必垂直，建直角三角形

②无切点：过圆心作半径，必垂直，得切点，建直角三角形

【例1】如图，在4ABC中，/C=90°①，/ABC的平分线交 AC于点E②，过点

一 ... ...... ③ 一 ................ .

E作BE的垂线于点F ,。。是4BEF的外接圆.

⑴求证:AC是。。的切线④.

(2)过点E作EHL AB于点HF ,

求证：CD=HF.

【信息解读・破译解题秘钥】

条件②直译为：/ CBE=/ FB苫.

条件③翻译为：BF为圆O的直径.

破译：连接OE,则可得/ OBE=z OEB整合条彳^②③，可得0日/ BC?.

破译：整合条件①⑥⑦得到 OEL AC,进而彳#到AC是。。的切线.

条件②翻译为：3'=EE,进而彳#至ij DE=EF.

破译：整合条件①②⑤，得到CE=EH.

破译：整合条件①⑤⑧⑨，得到△ EC阴△ EHF,进而彳#到CD=HF.

【标准解答】(1)连接OE. • •• BEX EF,

/ BEF=90 ,

BF为。O的直径.

• •• BE平分/ ABC,

OBEh CBE.

• •• OB=OE A Z OBEW OEB.

CBE4 OEB..1. OE// BC.

• •• / OEAh C=90° . OEL AC.

• •.AC是。O的切线.

(2)连接DE.

n -

• . / OBE=/ CBE,，DE=F:.

DE=EF.

. BE平分/ ABC,ECL BC,Ehl± AB,

EC=EH.

又・. / C=/EHF=90° ,DE=EF,

Rt△ DCE^RtAFHE..1. CD=HF.

【例2】如图，在。O中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点，连接AD,BC,BD.

(1)求证：△ABD^△ CDB.

(2)若/ DBE=37 ,求/ ADC的度数.

【标准解答】（1） AB,CD是直径，

• •• / ADB4 CBD=90 , 在△ ABD^ACDB • •• RtAABtD^ RtACDB(HL).

(2) ••• BE是切线,AB± BE,

/ ABE=90 ,

••• / DBE=37 , / ABD=53 ••• OA=OD, BADW ODA=90 -53 ° =37 A A ADC的度数为37

1 .如图，以△ ABC的BC边上一点。为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为

点,连接AD交BC于F,若AC=FC.

(1)求证:AC是。O的切线.

(2)若 BF=8,DF=/40,求。O的半径 r.

2 .如图,AB为。O的直径，PD切。。于点C,交AB的延长线于点 D,且/ D=2/ CAD.

⑴求/D的度数.

(2)若CD=2,求BD的长.

3 .如图，在△ ABC中,AB=AC,以AB为直径的。O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点

AC于点F.

⑴试说明DF是。O的切线.

(2)若 AC=3AE求 tanC.

BE的下半圆弧的中

E,过点D作DH 4 .三角形的外接圆与内切圆

(1)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 ，它到三角形三个顶点的距离都相等 .直角三角形外

接圆的半径等于斜边的一半 .

(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 ，它到三角形三条边的距离相等 .直角三角形内切圆的

a + b - c 半径r= 2 (其中a,b为直角边，c为斜边).

【例1】如图，△ ABC的外心坐标是 .

即 AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm. 工察踪训嫌J 1.如图所示，^ABC内接于。。，若/ OAB=28，则/C的大小是 ( )【标准解答】••• △ ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点 ，作图

如图， EF与MN勺交点O即为所求的△ ABC的外心，

・•.△ABC的外心坐标是(-2,-1).

答案：(-2,-1)

,

【例2】△ ABC的内切圆。 。与BC,CA,AB分别相切于点 D,E,F,且

AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm< AF,BD,CE 的长.

得 解 914r13. L --- y z 2

+

+ +

,x yx， 4 5 9 ---- X

y- C