中考数学复习一元二次方程专项易错题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．

①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P（﹣2﹣1，2）；②P（﹣32 ，154）

【解析】

试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；

②ΔOBCΔAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2yaxbxc与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x，∴0{312abccba，解得：1{23abc，∴二次函数的解析式为223yxx=2(1)4x，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2230yxx，解得3x或1x，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223yxx上，∴设点P（x，223xx），

①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232yxx，解得x=21（舍去）或x=21，∴点P（21，2）；

②设P(x，y)，则223yxx，∵ΔOBCΔAPDABCPC=PDOSSSS四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222xyyx=333222xy

=2333(23)222xxx=239622xx=23375()228x，

∴当x=32时，ABCPS四边形最大值=758，当x=32时，223yxx=154，此时P（32，154）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

2．计算题

（1）先化简，再求值：21xx÷（1+211x），其中x=2017．

（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．

【答案】（1）2018；（2）m=4

【解析】

分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；

（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.

详解：（1）21xx÷（1+211x）

=2221111xxxx

=22111xxxxx

=x+1，

当x=2017时，原式=2017+1=2018

（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0， 解得，m=4

点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

3．解方程： 2212xx6x9（）

【答案】124xx23，

【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.

试题解析：因式分解，得

2212xx3（）（）

开平方，得

12xx3，或12xx3（）

解得124xx23，

4．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？

（探究）

探究一：

（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2=232=3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1=3．

（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3=342=6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1=6．

（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=aa12线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为______．

探究二： （4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有1+2=232=3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为aa12×3×1=3aa12．

（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有1+2+3=342=6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为______．

（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

探究三：

（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12

条线段，棱AD上有1+2=232=3条线段，则图中长方体的个数为3aa12×bb12×3=3aba1b14．

（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有aa12条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有1+2+3=342=6条线段，则图中长方体的个数为______．

（结论）如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

（应用）在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为______．

（拓展）

如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．

【答案】探究一：（3）aa12 ；探究二：（5）3a（a+1）；（6）aba1b14 ；探究三：（8）3aba1b12 ；【结论】：①abca1b1c18 ；【应用】：

180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是64，见解析.

【解析】

【分析】

（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上的线段条数，即可得出结论；

(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；

(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论．

【详解】

解：探究一、（3）棱AB上共有aa12线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，

则图中长方体的个数为aa12 ×1×1=aa12 ，

故答案为aa12 ；

探究二：（5）棱AB上有aa12 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段， 则图中长方体的个数为aa12 ×6×1=3a（a+1），

故答案为3a（a+1）；

（6）棱AB上有aa12 条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上只有1条线段，

则图中长方体的个数为aa12 ×bb12×1=aba1b14，

故答案为aba1b14；

探究三：（8）棱AB上有aa12 条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有6条线段，

则图中长方体的个数为aa12 ×bb12×6=3aba1b12，

故答案为3aba1b12；

(结论)棱AB上有aa12 条线段，棱AC上有bb12条线段，棱AD上有cc12条线段，

则图中长方体的个数为aa12×bb12×cc12=abca1b1c18，

故答案为abca1b1c18；

(应用)由(结论)知，abca1b1c18，

∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为2342131418=180，

故答案为为180；

拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a=b=c=x，

由题意得

33(1)8xx=1000，

∴[x（x+1）]3=203，

∴x（x+1）=20，

∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）

∴4×4×4=64

所以组成这个正方体的小立方块的个数是64． 【点睛】

解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．

5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．

【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2

【解析】

【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；

（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.

【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，

∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；

（2）由（1）可知a≤174，

∴a的最大整数值为4，

此时方程为x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

【答案】（1）见详解；（2）4＋10或4＋22.

【解析】

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.

【详解】

解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，