川省成都市届高中毕业班第一次诊断性检测理科数学试题新

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

1.设集合2,|20URAxxx．则UCA（ ）．

A．,12,U B．1,2 C．,12,U

D．1,2

2.命题“若ab，则acbc”的否命题是（ ）．

A．若ab，则acbc B．若acbc，则ab

C．若acbc，则ab D．若ab， 则acbc

3.执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（ ）．

A．19 B．-1或1 C．1 D．-1

4.已知双曲线222210,0xyabab的左，右焦点分别为12,FF，双曲线上一点P满足2PFx轴．若12212,5FFPF，则该双曲线的离心率为（ ）．

A．1312 B．125 C．32 D．3

5.已知为第二象限角，且24sin225，则cossin的值为（ ）．

A．75 B．75 C．15 D．15

6. 512xx的展开式中2x的系数为（ ）．

A．25 B．5 C．-15 D．-20

7.如图，网格上纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）． A．136 B．34 C．25 D．18

8.将函数sin23cos2fxxx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移16个单位长度，得到函数gx的图象，则gx图象的一条对称轴方程是（ ）．

A．6x B．6x C．524x D．3x

9.在直三棱柱111ABCABC中，平面与棱1111,,A,ABACCAB分别交于点,,,EFGH，且直线1//AA平面.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面//平面11BCCB；③平面平面BCFE.其中正确的命题有（ ）．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

10.已知,AB是圆22:4Oxy上的两个动点，522,,33ABOCOAOBuuuvuuuvuuuvuuuv.若M是线段AB的中点，则OCOMuuuvuuuuvg的值为（ ）．

A．3 B．23 C．2 D．-3

11.已知函数fx是定义在R上的偶函数，且11fxfx，当1,0x时，3fxx.则关于x的方程cosfxx在51,22上的所有实数解之和为（ ）．

A．-7 B．-6 C．-3 D．-1

12.已知曲线21:0,0Cytxyt在点4,2Mt处的切线与曲线12:1xCye也相切，则24lnett的值为（ ）．

A．24e B．8e C．2 D．8

第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13.若复数1aizi（其中,aRi为虚数单位）的虚部为-1，则a____________．

14.我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取0,3上的任意值时，直线yt被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________．

15.若实数,xy满足约束条件24022010xyxyx，则1yx的最小值为

____________．

16. 已知ABC中，2,BC6,ACABC的面积为32.若线段BA的延长线上存在点D，使4BDC，则CD____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知数列na满足112,24nnaaa．

（1）证明数列4na是等比数列；（2）求数列na的前n项和nS．

18.（本小题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70,85内，记为B等；分数在60,70内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定,,ABC为合格，D为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在50,100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为,CD的所有数据茎叶图如图2所示.（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲，乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）如图１，在正方形ABCD中，点,EF分别是,ABBC的中点，BD与EF交于点,HG为BD中点，点R在线段BH上，且0BRRH.现将,,AEDCFDDEF分别沿,,DEDFEF折起，使点,AC重合于点B（该点记为P），如图2所示.（1）若2，求证：GR平面PEF；（2）是否存在正实数，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为225？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分12分）已知椭圆22154xy的右焦点为F，设直线:5lx与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线1l与椭圆交于,BA两点，M为线段EF的中点.（1）若直线1l的倾斜角为4，求ABM的面积S的值；（2）过点B作直线BNl于点N，证明：,,AMN三点共线.

21.（本小题满分12分）已知函数1ln12,2fxxxaxaaR.（1）当0x时，求函数1ln12gxfxxx的单调区间；（2）当aZ时，若存在0x，使不等式0fx成立，求a的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为2的直线l的参数方程为1cossinxtyt（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2cos4sin0.

（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点1,0P.若点M的极坐标为1,2，直线l经过点M且与曲线C相交于,AB两点，设线段AB的中点为Q，求PQ的值.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数13,1fxxxx.

（1）求不等式6fx的解集；

（2）若fx的最小值为n，正数,ab满足22nabab，求2ab的最小值.

参考答案

一、选择题

题号 1 2

3 4 5 6

7 8 9 10 11

12

答案 B A B C B C B D C A A

D

二、填空题

13. -2 14.92 15. 32 16. 3

三、解答题

17.解：（1）∵12a，∴142a．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

当1n时，120a，∴112Sa；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

当2n时，0na，

∴12nnSaaaL．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

22122424222412124124212nnnnnnnLL ……………………………11分

又当1n时，上式也满足．

∴当*nN时，1242nnSn．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18.解：（1）由题意，可知100.012100.056100.018100.010101x，

∴0.004x．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴甲学校的合格率为1100.0040.96．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

而乙学校的合格率为210.9650．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）样本中甲校C等级的学生人数为0.01210506．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

而乙校C等级的学生人数为4．

∴随机抽取3人中，甲校学生人数X的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分

∴12213364646433331010101013110,1,2,3301026CCCCCCPXPXPXPXCCCC，

∴X的分布列为

0 1 2 3

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

数学期望311912310265EX．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：（1）由题意，可知,,PEPFPD三条直线两两垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∴PD平面PEF．．．．．．．．．．．．．．．3分

在图1中，∵,EF分别是,ABBC的中点，∴//ACEF，∴2GBGH．

又∵G在BD的中点，∴2DGGH．在图2中，∵2PRBRRHRH，且2DGGH，

∴在PDH中，//PDGR．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴GR平面PEF．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由题意，分别以,,PFPEPD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz．

设4PD，则0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,4PFED．∴1,1,0H．．．．．．．．．7分

∵PRRH，∴1PRPHuuuvuuuv，∴,,011R .

∴22,,0,,01111RFuuuv．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又∵2,2,0,0,2,4EFDEuuuvuuuv，设平面DEF的一个法向量为,,mxyz．