高考数学压轴专题新备战高考《不等式》真题汇编含解析
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新数学高考《不等式》专题解析
一、选择题
1．在锐角ABCV中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若222cos3aabCb，则tan6tantantanABCA的最小值为（ ）
A．733 B．352 C．332 D．32
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到4coscbA，再根据正弦定理得到sincos3sincosABBA，故tan3tanAB，3t53tan4an6ta3tatantannnBABCAB，计算得到答案.
【详解】
由余弦定理及222cos3aabCb可得222223aabcb，
即22222abbc，得22222cosababcA，整理得22 2cosabbcA.
2222cosabcbcAQ，2222cos2cosbbcAbcbcA，得4coscbA.
由正弦定理得sin4sincosCBA，又sinsinCAB，sin4sincosABBA，
整理得sincos3sincosABBA.
易知在锐角三角形ABC中cos0A， cos0B，tan3tanAB， 且tan0B.
πABCQ， tantanCABtantan1tantanABAB24tan3tan1BB，
tan6tantantanABCA233tan124tantanBBB353tan43tanBB3352542，
当且仅当5tan3B时等号成立.
故选：B.
【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
2．变量,xy满足约束条件1{2314yxyxy，若使zaxy取得最大值的最优解不唯一，则实数a的取值集合是（ ）
A．{3,0} B．{3,1} C．{0,1} D．{3,0,1}
【答案】B
【解析】 若0a，结合图形可知不合题设，故排除答案A，C，D，应选答案B．
3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲 乙 每天原料的可用总量
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.
【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得3212,28,0,0,xyxyxy
目标函数34zxy，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
可得目标函数在点P处取得最大值，由28,3212,xyxy得2,3P，则max324318z（万元）.选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4．已知等差数列{}na中，首项为1a（10a），公差为d，前n项和为nS，且满足15150aS，则实数d的取值范围是（ ）
A．[3,3]； B．(,3] C．[3,) D．(,3][3,)
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的前n项和公式转化条件得11322ada，再根据10a、10a两种情况分类，利用基本不等式即可得解.
【详解】
Q数列{}na为等差数列，
1515455102addSa，15112155015aSaad，
由10a可得11322ada，
当10a时，11111133323222222aaadaaa，当且仅当13a时等号成立；
当10a时，111133232222aadaa，当且仅当13a时等号成立；
实数d的取值范围为(,3][3,).
故选：D.
【点睛】
本题考查了等差数列前n项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
5．已知关于x的不等式222240mxmx得解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．2,6 B．,26,U
C．,26, D．2,6
【答案】D 【解析】
【分析】
分20m和20m两种情况讨论，结合题意得出关于m的不等式组，即可解得实数m的取值范围.
【详解】
当20m时，即当2m时，则有40，该不等式恒成立，合乎题意；
当20m时，则220421620mmm，解得26m.
综上所述，实数m的取值范围是2,6.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
6．若实数,,abc，满足222abab，2222abcabc，，则c的最大值是（ ）
A．43 B．2log3 C．25 D．24log3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出2ab的最小值后可得221abab的最大值，从而可得2c的最大值，故可得c的最大值.
【详解】
因为222abab，故22222222abababab，
整理得到24ab，当且仅当1ab时等号成立.
又因为2222abcabc，故2114211212133abcabab，
当且仅当1ab时等号成立，故max24log3c.
故选：D.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.
7．已知，均为锐角，且满足sin2cossin，则的最大值为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan3tan，由，均为锐角，则,22，要求出的最大值，只需求出tan()的最大值，利用两角差的正切公式，将tan()表示为tan的关系式，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由sin2cossin整理得sin2cossin，
即sincoscossin2cossin，
化简得sincos3cossin，则tan3tan，
所以2tantan2tan2tan11tantan13tan3tantan，
又因为为锐角，所以tan0，
根据基本不等式22313233tantan，
当且仅当3tan3时等号成立，
因为,22，且函数tanyx在区间,22上单调递增，
则的最大值为6.
故选:B.
【点睛】
本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.
8．若实数x，y满足40,30,0,xyxyy，则2xyy的最大值为（ ） A．512 B．8 C．256 D．64
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，如下图阴影部分所示，令xym，可知要使2mz取到最大值，只需m取到最大值即可，根据图像平移得到答案.
【详解】
作出可行域，如下图阴影部分所示，
令xym，可知要使2mz取到最大值，只需m取到最大值即可，
观察图像可知，当直线xym过点6,2A时m取到最大值8，
故2xyy的最大值为256.
故选：C．
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
9．已知不等式组yxyxxa表示的平面区域的面积为9，若点，
则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则(,),(,)AaaBaa，所以平面区域的面积1292Saa，
解得3a，此时(3,3),(3,3)AB，
由图可得当2zxy过点(3,3)A时，2zxy取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
10．已知,xy满足33025010xyxyxy，则36yzx的最小值为（ ）
A．157 B．913 C．17 D．313
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，目标函数36yzx的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.
【详解】
画出可行域如图中阴影部分所示，
目标函数36yzx的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.
