高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》真题汇编及答案
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【最新】数学《不等式》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知函数2222,2{log,2xxxfxxx ，若0Rx，使得2054fxmm 成立，则实数m的取值范围为 （ ）
A．11,4 B．1,14 C．12,4 D．1,13
【答案】B
【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：11f,则要考查的不等式转化为：2154mm，解得：114m，即实数m的取值范围为 1,14 .
本题选择B选项.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2．若,xy满足约束条件360601xyxyy，则122yx的最小值为( )
A．116 B．18 C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件360601xyxyy所表示的可行域，如图所示，
其中可得(3,1)A，(5,1)B，(3,3)C，
因为1222yxxy，令zxy，当直线yxz经过A时，z取得最小值， 所以z的最小值为min314z，
则1222yxxy的最小值为41216.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
3．设变量,xy满足约束条件0211xyxyxy，则目标函数5zxy的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
【详解】
根据约束条件0211xyxyxy画出可行域如图：目标函数z＝5x+y可化为y＝-5x+z，
即表示斜率为-5，截距为z的动直线，由图可知，
当直线5zxy过点1,0A时，纵截距最大，即z最大，
由211xyxy得A（1，0）
∴目标函数z＝5x+y的最小值为z＝5
故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4．设实数满足条件则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
5．已知点P，Q分别是抛物线28xy和圆22(2)1xy上的动点，点(0,4)A，则2||||PAPQ的最小值为( )
A．10 B．4 C．232 D．421
【答案】B
【解析】
【分析】
设出点P的坐标00,xy，用0y表示出PA；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值.
【详解】
设点00,Pxy，因为点P在抛物线上，所以200080xyy，
因为点(0,4)A，则2222200000||48416PAxyyyy.
又知点Q在圆22(2)1xy上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F，
要使2||||PAPQ的值最小，则||PQ的值应最大，即0max13PQPFy.
所以222000003632516||||33yyyPAPQyy 0000252536236433yyyy
当且仅当02y时等号成立.
所以2||||PAPQ的最小值为4.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.
6．已知实数x，y满足不等式||22xy，则22xy最小值为（ ）
A．2 B．4 C．22 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22xy表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解.
【详解】
由题意，可得
当0y≥时，22xy；
（2）当0y时，22xy，
如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形，
又由22xy最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，
又由2222211d，所以24d，
即22xy最小值为4.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.
7．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误，
因为选项C正确，故选C．
【考点】
指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
8．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在AB、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时. AB、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）
A．320千元 B．360千元 C．400千元 D．440千元
【答案】B
【解析】
设生产甲、乙两种产品x件,y件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：
2348069600,0,xyxyxyxNyN，
原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2zxy的最大值.
绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：
目标函数在点150,60B处取得最大值：max2215060360zxy千元.
本题选择B选项.
点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
9．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲 乙 每天原料的可用总量
A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8
A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.
【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得3212,28,0,0,xyxyxy
目标函数34zxy，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
可得目标函数在点P处取得最大值，由28,3212,xyxy得2,3P，则max324318z（万元）.选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
10．设x，y满足102024xxyxy，向量2,1axr，1,bmyr，则满足abrr的实数m的最小值为（ ）
A．125 B．125 C．32 D．32
【答案】B 【解析】
【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2myx，根据约束条件画出可行域，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线2myx过可行域内的点C时，从而得到m的最小值即可．
【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为2,1axr，1,bmyr，
由abrr得20xmy，∴当直线经过点C时，m有最小值，
由242xyxy，得8545xy，∴84,55C，
∴416122555myx，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
11．设m，n为正数，且2mn，则1312nmn的最小值为（ ）
A．32 B．53 C．74 D．95
【答案】D
【解析】
【分析】
根据2mn，化简135112(1)(2)nmnmn，根据均值不等式，即可求得答案；
【详解】
当2mn时，
