δ函数在物理学中的应用

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微积分在物理学中的应用

作者：蔺守臣

来源：《中国校外教育·基教(中旬)》2015年第13期

摘要：通过应用微积分知识解决物理量的变化率、电容器充放电以及运动学变量求解等问题，同时结合具体的实例来探讨求证，为解决一些初等物理问题提供了一些新的思路，体现了微积分在物理学中的作用。

关键词：导数 微分 积分 定积分

高等数学中的微积分不仅是一些计算公式，更包含了一种数学思想。微分的思想就是“无限细分”，而积分的思想就是“无限求和”。其中的“无限”便是极限，极限是用运动的思想分析和解决问题，是微积分思想的基础。正因如此，微积分在生活中各个领域、各个学科中都有越来越广泛的应用。

一、导数

导数是指当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

1.物理量的变化率求解

变加速直线运动中，有位移、时间、速度、加速度等物理量，而加速度就是速度的变化率。解决这类问题较为直观的是利用v-t图像，加速度a就是图像的斜率（即a=△v/△t），面积便是位移s，而图像的斜率和面积是几何意义上的微积分。

3.积分

积分是微分的逆运算，在实际应用中，被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积。

仍以引子中电容器的问题为例，如果把从0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。因为t=N△t，当△t取无穷小时，i△t便有N→∞个，因此要把无穷个i△t进行相加，方便起见，可以用微积分符号idt表示q=lim∑i△t=idt，称为对i在时间上求积分。

这样做的意义在于：从i-t图像上看，q=limt∑i△t=idt就是i-t图像中的面积。若是恒定电流，△q=i△t，即小块矩形面积；若为变化的电流，用△q=i△t来计算，发现有一小块近似三龙源期刊网

姓名：李波 学号：PB11204050

自然辩证法在物理学中体现

物理是一门建立在实验基础上的自然科学，它的发展和建立是在曲折斗争进行，整个过程中体现了理论与实践、继承与突破的辩证统一，及时我们常说的自然辩证法。

在社会生活中，在人类思维中自然辩证法都起作用，自然界的发展也是符合辩证法规律的。在自然学科中它强调一种思辨方法。例如，在物理学中，我们认识到客观世界是物质的，宇宙、银河系、分子、原子、原子核 基本粒子都是物质。电场和磁场是客观存在的，它们具有力和能的性质，它们能与其它物质发生遵守某种规律的相互作用能被感知；同时，它们也是物质，只不过是以特殊的形态存在，物质之间相互依赖，相互关联，从而构成一个统一的整体。又如，运动是物质最普遍、最基本的属性。物质的运动是无条件的，绝对的，两物体相互作用将伴随着动量的转移或转化。麦克斯韦的电磁场理论表明，不均匀变化的电场产生变化的磁场，不均匀变化的磁场产生变化的电场，从而产生了电磁波。这又从另一面表达了物体运动是相互联系的、相互制约的、相互转化的，没有运动的物质和没有物质的运动都是不可思议的。

物理学中这样的例子还有很多，再比如：运动和静止、作用与反作用力、加速与减速、吸热与放热、压缩与伸长、合成与分解、守恒与不守恒、正功与负功、在透镜成像中实相与虚像、对称与不对称等等。

自然辩证法，在我看来，就是关于自然的辩证法，就是将辩证法用于对自然的研究与认识。既然物理学来源于哲学，那么就应该用正确的哲学观点去指导物理学的研究。同样，既然哲学本身就是对世界的总体看法，无论是客观的自然界，还是人与社会的思想界，都应该将新的研究成果提供给哲学以丰富其内容。将自然辩证法应用于理论姓名：李波 学号：PB11204050

物理的研究，就是告诉我们，要用辩证的观点，用全面的，发展的观点看问题。

２０１７年６月　第１１卷第２期　伊犁师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙｉｌｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊｕｎ．２０１７　Ｖｏ１．１１　Ｎｏ．２　

Ｉ！ｉ函数在量子力学中的应用　

周恒为，尹红梅，高　峰　

（伊犁师范学院物理科学与技术学院，新疆伊宁８３５０００）　

摘要：　函数由于其奇异的性质，在物理学中有着重要的作用，首先介绍　函数的定义和性　质，并通过具体的实例归纳了其在量子力学中的应用，希望对学生能更加灵活运用８函数解决量　子力学相关问题有一定的启发．　关键词：６函数；量子力学；应用　中图分类号：Ｏ４１３．１；Ｏ１７４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３＿＿Ｊ９９９ｘ（２０１７）０２＿－００８１—０７　

Ｏ引言　

１９２６年，物理学家狄拉克为了解决量子力学中　

力学量算符连续本征值谱的本征函数归一化问题，　引入和定义了　函数［　．由于６函数具有局部无限突　

变、整体积分有限等奇异特性，在物理学中得到了广　泛应用．例如力学中质点的质量密度　、电学中点电　

荷的电荷分布ｂ　、固体物理中布拉维点阵中的格点　分布　、光学中点光源辐射的功率分布ｂ　、电路中的　信号脉冲　，以及量子力学中坐标算符的本征函数　

均可用　函数表示，这种描述不仅使复杂的问题变　

得简单，而且物理意义非常清楚．　６函数的性质在量子力学中的连续谱波函数的　归一化、粒子在周期性微扰作用下的跃迁几率、　势　

阱中粒子的波函数和能级、用Ｗｅｌｙ规则计算力学量　算符等运算中均会涉及和应用，但在以往的教学反　馈中发现，学生在用　函数处理问题时不能灵活应　

用，甚至有困难．为此，本文在介绍　函数的定义、运　算性质的基础上，归纳总结其在量子力学中的运用，　

便于对　函数的学习和查阅，希望对学生在今后学　习中，能够更加灵活变通地运用６函数解决物理问　题有一定的启发和帮助．　１一元　函数的定义、性质及常见的　

1 微积分在物理学中的应用

The application of calculus in physics

摘要: 关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论，使运算也更加简便 。“应用数学处理物理问题的能力”是我们必须掌握的一种解决物理问题的方法，“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律，进行推导、求解，并根据结果做出物理判断、进行物理解释，得出物理结论”是物理解题中运用的数学方法，微积分就是其中一种。

关键词: 微积分

Key words: calculus

基金项目：本文为大学生科研项目批准文号xs11035资助项目

作者简介：姓名：李东康（出生年月198211），女，吉林省；单位全称：通化师范学院物理学院，职称：助教；研究方向：光学；刘明娟，通化师范学院物理学院本科学生；

1、微积分

1.1定义：

设函数xF在ba,上有界，在ba,中任意插入若干个分点a=0X <1X<...<

1Xn

设函数xfy在某区间内有定义，0x及xx0在此区间内。如果函数的

2 增量00xfxfxy可表示为 xxyA（其中A是不依赖于x的常数），而x是比x高阶的无穷小，那么称函数xf在点0x是可微的，

xA称作函数在点0x相应于自变量增量x的微分，记作yd，即xyAd。设函数xfy在某区间内有定义，0x及xx0在此区间内。通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作xd，即xxd。于是函数xfy的微分又可记作dxdfdy。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。