三角函数在物理中的应用

第２ｌ卷第１期　２０１３年０３月　技术物理教学　ＴＥＣＨＮＩＣＡＬ　ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＩＮＧ　Ｖｏ１．２ｌ　Ｎｏ．１　

Ｍａｒ．２Ｏ１３　

浅谈物理情境的创设　

王培花　

（南京市江宁区清水亭学校，江苏南京２ｌ１１０２）　

有一位德国学者曾举过一个精妙的比喻：　“将　１５克盐放在你面前，无论如何你难以下咽。但当　

将１５克盐放入一碗美味可口的汤中，你却在享用　佳肴的同时，将ｌ５克盐全部吸收了。”在物理课　

堂上创设良好的物理情境就好比在美味可口的汤中　放入食盐，能够让学生对物理知识本身发生兴趣，　

激发学生的学习动机，进而产生认知的需求。那么　

如何在物理课堂中创设良好的物理情境呢？下面笔　者就具体的案例，谈谈个人的做法：　１、创设问题情境，引发生活体验　案例１．在“物质的比热容”一节中，我（在　播放多媒体动画的基础上讲述）夏天，小明和小华　

一起到海边玩耍，当他们赤脚走在海边的沙滩上时　觉得沙子很烫，而他们跳到水里游泳时感觉到海水　

比沙子凉多了，这是什么原因呢？为了弄清这个问　题，晚上他们又来到了海边，仔细观察、尝试后却　

发现了与白天截然不同的结果，海水比沙子暖和。　

并在此基础上提出问题：为什么在同一时刻海水和　沙子的温度会不一样？白天海水比沙子凉，晚上为　

什么会出现海水比沙子暖和的现象？　２、创设实验情境，激活学生的思维　案例２．在“光的折射”中，我是这样设计的　

每张课桌有一个盛开水的小烧杯和一个激光笔，请　

大家打开激光笔，小心操作，看看你能看到哪些现　象？　学生甲：光在“白气”中“拐弯”，学生乙：　光是沿直线传播……　师：能告诉大家你是怎么实验的？　

学生回答……　师：我们大家做得都很好，观察得也仔细。老　师再在每张桌上添加一个小试管，请大家将小试管　

斜按入水中，看看会有什么发现？　学生：试管向上弯折了，水中的试管好像变短　了，水中和空气中粗细不同……　

师：这就是光的折射现象……　３、创设故事情境，体验学习的快乐　案例３．在“阿基米德原理”一节中我设计了　这样一个故事情境：有一次，国王要金匠给他做一　

２００８年第３期中学数学教学３３

导数在三角函数问题中的应用

江苏省苏州中学杨利刚（邮编：２１５００７）

引题求函数Ｙ一２ｓｉｎ（詈一ｚ）的单调增

区间．

错解由２ｋ丌一号≤詈一ｚ≤２ｋ兀＋号，得

一２ｋ７【一詈≤ｚ≤一２ｋ７ｃ＋警，ｋ∈Ｚ，因此，函数

ｙ一２ｓｉｎ（号一ｚ）的单调增区间是

［一２ｋ丌－－詈，一２忌丌＋警］，忌∈Ｚ．

通过验证，可以发现这正好是函数Ｙ的单调

减区间，而这样的错误在学生练习中屡见不鲜，

原因在于忽视了函数Ｙ是复合函数．尽管复合函

数的单调性在新课程教材必修（Ｉ）中有相应的

习题出现，但学生真正理解，并正确熟练地运用，

还有一个过程．

于是，教师常常灌输如下的处理方法：Ｙ一

２ｓｉｎ（号一ｚ）一一２ｓｉｎ（ｚ一号），改为求函数ｙ＝

ｓｉｎ（ｚ一号）的单调减区间，结果晷学生大多机械

地操作，个中理由仍不甚清楚．

导数进人高中数学教材，给函数性质的研究

带来了新的工具，开辟了新的视角．若对引题作导数法处理：

ｙ７—２ｃｏｓ（号一ｚ）（詈一ｚ）７一一２ｃｏｓ（ｚ一号），

由ｙ７≥ｏ，得ｃ。ｓＸ一号）≤ｏ，即２ｋ，ｃ＋。参≤ｚ一

詈≤２忌兀＋挚，２ｋ兀＋警≤ｚ２ｋ丌＋警，惫∈

ｚ．因此函数ｙ一２ｓｉｎ（詈一ｚ）的单调增区间是：

［２志兀＋警，２ｋ兀＋字］艇ｚ．

这样的处理，显得自然，学生也容易掌握．

下面再谈谈导数在三角函数问题处理中的

有效运用．

１求解与三角函数有关的单调区间

例１求函数ｖ—ｓｉｎ２ｚ一３ｓｉｎｘ＋６的单调

增区间．解Ｙ７—２ｓｉｎｘｃｏｓｘ一３ｃｏｓｘ＝ｃｏｓｘ（２ｓｉｎｘ一３），令Ｙ７≥０，由于２ｓｉｎｘ一３＜０，所以ＣＯＳＺ≤

ｏ，得２ｋ兀＋号≤ｚ≤２ｋ丌＋萼．

因此，所求函数的单调增区间是：５

［２点丌＋号，２ｋ兀＋擎］艇ｚ．

ｏ，ｏ’ｃｏｔ，ｔ＇ｃ．，ｏ’ｏ’ｃ＿，ｃ’协，，妇，，０７ｃ９亡７０７ｃ７０．，ｏ＿，０７ｃ’ｃ．，．。－，ｏ’ｏ’ｏ’ｃ．）ｏＩ，ｃ’ｃｏｔ々ｔ々心艺Ｈ＞，０７０７ｃ々ｃ’０７０．，ｃｏｃ，ｔ’ｏ，

《数学之友）　２０１０年第ｌ２期　

单位圆在三角函数中的应用　

解题探索　季东升　（江苏省滨海中学，２２４５００）　

在高中数学必修四的《三角函数》中，从三角函　数定义、三角函数线的表示到诱导公式、两角和差的　余弦公式的推导都是以单位圆为工具，不仅表达简　洁，而且形象直观，使用方便，更易于学生理解．因　此，充分挖掘三角函数与圆的内在联系，利用圆的几　何特征以及圆的参数方程，把三角函数问题转化为　与圆相关的问题，数形结合，可以激发学生的兴趣，　开拓学生思维．　１证明三角不等式　

例１设　为锐角，求证：１＜ｓｉｎ　ｑ－ＣＯＳ　＜　＇ＩＴ．　证明：在直角坐标系中作单　位圆，设角　的终边为ＯＰ，过点　Ｐ作　轴的垂线，垂足为Ｑ，过点　Ｐ作Ｙ轴的垂线，垂足为Ｒ，则　ｓｉｎａ＝ＱＰ，ＣＯＳＯ￣＝ＯＱ，　．　’．‘　为锐角，在△ＯＰＱ中，ＤＱ＋ＱＰ＞ＯＰ，　．‘．ｓｉｎｃ￣＋ｃｏｓ　＞１．　而ｓＡＯＰＢ￣０Ｂ・　Ｐ＝÷ｃ。ｓ　，　ＳｌＸＯＡＰ＝ＩＯＡ・ＱＰ＝÷ｓｉｎ　，　

．ｓ扇　＝号ｘ，×詈＝詈，　又四边形ＯＡＰＢ被扇形ＯＡＢ覆盖．　．・．Ｓ△Ｄ朋＋．ｓ△ｏ　＜Ｓ扇ｏＡ　，即ｓｉｎｔｘ＋ｃ０ｓ　＜　＇Ｉ　Ｔ，　综上可知：１＜ｓｉｎ　＋ｃ。ｓ　＜＿．＇ＩＴ　

２证明三角等式　例２　已知ａｃｏｓ￣＋ｂｓｉｎａ＝Ｃ，ａｃｏｓ￣＋６ｓｉ　＝Ｃ　（口６≠０，ａ＝　≠　，　∈ｚ），求证：ｃ。ｓ２　ｃ２　—０　＋６　‘　证明：在平面直角坐标系，设点Ａ（ｃｏｓ　，ｓｉｎａ）　与点Ｂ（ｃｏ　，ｓｉ　）是直线ｆ：　＋ｂｙ＝ｃ与单位圆　＋ｙ２＝ｌ的　两个交点．　从而ｆ　ＡＢ　ｆ　＝（ｃｏｓ　—　ｃｏ　）　＋（ｓｉｎｏｔ—ｓｉ　）　＝２—　２ｃｏｓ（　－ｆ１）．　、，　

、　

又单位圆的圆心到直线ｚ的距离ｄ　，　

由平面几何知识Ｉ　ｌ　一（　１　ＩＡＢＩ）　＝　，　

Ｅｌｌ　１＇一　＝ｄ２＿。　ｃ＋２　，　

．，…ｓ　＝南　

３求三角函数值　例３已知　，　是方程ｃｏｓｔ＋３ｓｉｎｔ＝２在（０，　耵）内的２个不等根，求ＣＯＳ（　—ＪｌＢ）的值　解：不妨设　＞　，由已知　得：ＣＯＳ￣＋３ｓｉｎｃ￣＝２，ｃｏ　＋３ｓｉ　＝２．・．。ｓｉｎ２　＋ｃｏｓ　＝１，ｓｉｎ　＋　ｃｏｓ　＝１，　．・．点Ａ（ＣＯＳＯ￣，ｓｉｎａ），　、　

・４２・　中学数学月刊　２００６年第８期　

进行复数运算，从而求解：　

代数式法：令ｚｌ一口＋ｂｉ，ｚ２一ｆ＋ｂｉ，　

代入等式Ｉｚ　一ｚ　Ｉ＝Ｉｚ　＋ｚ　Ｉ，证得　

（　）　一一（等　）　＜０．　

三角式法：设ｚ１一ｒｌ（ｃｏｓ　ａ＋ｉｓｉｎａ），ｚ２　

一ｒ２（ｃｏｓ卢＋ｉｓｉｎ卢），　代人ＩＺ　＋Ｚ　Ｉ—Ｉ２　一Ｚ　Ｉ，运算后证明　

（　）ｚ一一［　ｓ１‘ｎ（ａ一卢）］ｚ＜０．若从　为　，　一，．，　’　一　。’　，　纯虚数审视，则由Ｉｚ　＋ｚ　Ｉ　：Ｉｚ　一　

２Ｉ　（　ｌ＋　２）（　１＋Ｚ２）一（　１一　２）（　ｌ一　

ｚ２）￣ｚｌ　＋一ＺｌＺ２—０，由Ｚｌｚ２≠０，所以　＋　（　）一０，从而得证．　Ｚ　２　不过上述三个方法均不如前面给出的方　

法．只有多角度审视探索，才能选择最佳解题　

方法，提高解题速度．　

成功在审题，失败也在审题，审题失误是　

造成解题失败的重要原因，“前车之覆，后车　

之鉴”，若想提高解题的成功率，既需要高度　

重视审题，还需学会审题，审题应贯穿于解题　

全过程，审题要求全面掌握题中提供的全部　

信息，达到透彻理解题意准确解题的目的．　

单位圆在三角函数中的巧妙应用　

韩文美　（江苏省张家港职业教育中心校　２１５６００）　

在求解三角函数的问题中有时用常规　

方法求解会遇到一些困难，计算比较繁或难　以下手，若引入单位圆，利用单位圆本身直　

观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数　

学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思　路清晰，方法明确．现例说如下．　

１　求角　

例１　若ａ，卢∈（０，７ｒ），１２０８　ａ＋１２０８卢一　

１２０８（ａ＋卢）一　，求ａ，卢的值．　

评析　利用单位圆的特征和相关的数　

学知识，可以非常便捷地求解出三角函数值　

中对应的角．　解　由１２０８　ａ＋ＣＯＳ卢一１２０８（ａ＋卢）＝　

展开整理，　

可得ｓｉｎ　ａｓｉｎ卢＋（１—１２０８　Ｏ＇）ＣＯＳ卢＋　

１２０８　ａ—　３：０．　

令ｚ—ｓｉｎ　，Ｙ—ＣＯＳ　，可得方程组　ｆｚ　＋ｙ　一１，