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复合函数求导练习题

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复合函数求导练习题

在微积分中，复合函数求导是一个重要的概念和计算方法。本文将介绍复合函数求导的基本原理，并提供一些练习题来加深对该概念的理解和应用。

一、复合函数求导的基本原理

复合函数，又称为合成函数，是由两个或多个函数组合而成的函数。设有函数f(x)和g(x)，则复合函数可以表示为f(g(x))。在求复合函数的导数时，有两个基本原理需要了解。

1.链式法则

链式法则是求解复合函数导数的基本原理之一。对于复合函数f(g(x))，其导数可以表示为：

f'(g(x)) * g'(x)

其中f'(g(x))表示f(x)对于g(x)的导数，而g'(x)表示g(x)对于x的导数。链式法则可以简化为“外函数的导数乘以内函数的导数”。

2.换元法则

换元法则是求解复合函数导数的另一个基本原理。当复合函数的内函数不易求导时，可以通过换元来简化求导过程。设u=g(x)，则复合函数可以表示为f(u)，此时求导公式可以变为：

f'(u) * g'(x)

其中f'(u)表示f(u)对于u的导数。 二、复合函数求导的练习题

在练习中，我们将使用链式法则和换元法则来求解一些复合函数的导数。下面是一些练习题：

1. 求解以下复合函数的导数：

(1) f(x) = sin(2x^2 + 3x)

(2) f(x) = e^(2x)cos(x)

(3) f(x) = ln(1 + x^2)

2. 求解以下复合函数的导数，并指出在哪些点上导数不存在：

(1) f(x) = sqrt(3x - 2)

(2) f(x) = arctan(2x - 1)

(3) f(x) = ln(sqrt(x^2 + 1))

3. 求解以下复合函数的导数，并求出函数的定义域：

(1) f(x) = sin(sqrt(x^2 - 9))

(2) f(x) = ln(cos(3x))

(3) f(x) = sqrt(4 - x^2)

请按顺序解答以上练习题，并在答案中详细写出求导过程和最终结果。为了方便阅读，我们将每个练习题横向排列，并在下方给出答案。

练习题答案：

1. (1) f'(x) = (4x + 3)cos(2x^2 + 3x)

(2) f'(x) = 2e^(2x)cos(x) - e^(2x)sin(x)

(3) f'(x) = 2x / (1 + x^2)

2.

(1) f'(x) = 1 / (2sqrt(3x - 2)), 导数不存在的点：x = 2/3

(2) f'(x) = 2 / (1 + (2x - 1)^2), 导数不存在的点：无

(3) f'(x) = x / (x^2 + 1), 导数不存在的点：无

3.

(1) f'(x) = (x / sqrt(x^2 - 9))cos(sqrt(x^2 - 9)), 定义域：[-3, -9) ∪ (3,

+∞)

(2) f'(x) = -3tan(3x), 定义域：(-π/6, π/6)

(3) f'(x) = -x / sqrt(4 - x^2), 定义域：(-2, 2)

通过以上练习题，我们可以加深对复合函数求导的理解，并熟练掌握链式法则和换元法则在实际计算中的应用。

总结：

复合函数求导是微积分中的重要概念，它可以应用于多种实际问题中。在本文中，我们介绍了复合函数求导的基本原理，并提供了一些练习题来帮助加深理解和应用。通过实际练习，我们可以更好地掌握复合函数求导的方法和技巧。希望本文对大家的学习和应用有所帮助。

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简单复合函数求导

简单复合函数求导

1 简单复合函数的导数

一、基础知识梳理：

（一）常用的求导公式

11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则

（二）复合函数的求导数公式

若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则

2)()()()(vvuvuvuuccuvuvuvuvuvu

（三）复合函数求导法则

1、二重复合：若)(ufy， )(xu 且)(xu在点x处可导。 则)()(•xufy

2、多次复合函数求导法则类推

二、典型例题分析：

例1、求下列函数的导数；

1）、3(23)yx 2）、ln(51)yx

2 练习：求下列函数的导数

1）、2(23)yx 2）、3(13)yx

例2、求下列函数的导数；

1）、131yx 2)、cos(12)yx

练习：求导数；

1）、1lnyx 2）、2xye

3）、求曲线sin2yx在点P（,0）处的切线方程。

例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1ffgg ，根据下列条件 求(5)h及'(5)h

复合函数求导法则

复合函数求导法则

平湖市新华爱心高级中学教学案之教案

课 题 复合函数求导法则 课型：新授课 主备教师：刘素梅 总课时：

第 课时

学习目标

1、牢记基本初等函数求导公式

2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数

3、能正确分解简单的复合函数，记住复合函数的求导公式

4、会求简单的形如faxb的复合函数的导数

教学重难点 重点 会分解简单的复合函数及会求导

难点 正确分解复合函数的复合过程

一．创设情景

复习 ：求下列函数的导数

（1）324yxx （3）sinxyx （2）3cos4sinyxx

（4）223yx （5）ln2yx

设置情境：（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗?

二．新课讲授

探究1、探究函数ln2yx的结构特点

探究:指出下列函数的复合关系

复合函数的概念 一般地，对于两个函数()yfu和()ugx，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作()yfgx。

复合函数的导数 复合函数()yfgx的导数和函数()yfu和()ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx

三．典例分析

例1（课本例4）求下列函数的导数：

（1）2(23)yx；（2）0.051xye；

（3）sin()yx（其中,均为常数）． 备课札记

11)()2)sin()nmyabxyxx 解：（1）函数2(23)yx可以看作函数2yu和23ux的复合函数。根据复合函数求导法则有

xuxyyu=2''()(23)4812uxux。

函数求导习题

函数求导习题

函数求导习题

一 函数全导

tzdtdvvzdtduuzdtdzdtdwwzdtdvvzdtduuzdtdztwwtvvtuuwvufzdtdvvzdtduuzdtdztvvtuuvufz，公式简化为特别tw)(),(),(),,,()(),(),,(

ttetettuvetzdtdvvzdtduuzdtdzdtdztveutuvzttttcossincoscos)sin(,cos,,sin1解：求全导例

tLnttttxyxyxyxyxytetLnttttLntttLnttLntttyzyetyzzeyzyetyzyedtdzzudtdyyudtdxxudtdudtdutztLnytxyzeu1121212)sincos)(cos(cos)1)(sin(cos)sin)(cos(1))cos()sin(()1)(sin(,cos),(,1),sin(2此处注意解：求全导例

下面给出一个抽象函数的例子

])()()()()(2[])()()()()()()([2)()()(1)(1)()(,,,,)(),(),,(32```22```1`2```2`2`122ttttttfttttttttfdtduttyxtytqdtdyyqdtdxxqdtdqxytxttxyttpdtdyypdtdxxpdtdpfqufpudtdqqudtdppudtduyxtqxytpdtduftytxyxtxytfu代入解：令均可微求全导其中设例二 求偏导

`2`3`2`1`3`122222`32`22`222),(,)),(,,()2()()())(()()(:)(14fyfdxdwwzdxdvvzdxduuzyzxffdxdwwzdxdvvzdxduuzxzyxwyvxuyxyxfzxyfxyxyyfxyfxyxyfxyxzxyxyfz，解：令解）（，假设所有函数均可微求下列函数的的偏导数例

复合函数求导练习题

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复合函数求导练题

一、选择题（共26小题）

1.设$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，则$f'(2)=\frac{1}{9}$。

2.设函数$f(x)=g(x)+x+\ln x$，曲线$y=g(x)$在点$(1,g(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+2$。

3.下列式子不正确的是$(2sin2x)'=2cos2x$。

4.设$f(x)=sin2x$，则$f''(\frac{\pi}{4})=-1$。

5.函数$y=cos(2x+1)$的导数是$y'=-2sin(2x+1)$。

6.下列导数运算正确的是$(x^2)'=2x$。

7.下列式子不正确的是$(3x^2+xcosx)'=6x+cosx-xsinx$。

8.已知函数$f(x)=e^{2x}-3x$，则$f'(0)=2$。

9.函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$的导数是$f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$。

10.已知函数$f(x)=sin2x$，则$f'(x)=2cos2x$。

11.$y=e^{sinx\ cosx\ sinx}$，则$y'=\frac{d}{dx}(e^{sinx\

cosx\ sinx})=cosx\ cos^2x\ e^{sinx\ cosx\ sinx}$，所以$y'(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。

12.下列求导运算正确的是$(e^{2x})'=2e^{2x}$。

13.若$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，则函数$f(x)$可以是$ln\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。

14.设$f(x)=\frac{1}{2}(sin2x+cos2x)$，则$f^{2013}(x)=\frac{1}{2}(sin2x+cos2x)$。