1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1．3.1 空间直角坐标系
知识点一 空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{}i，j，k，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA→，且点A的位置由向量OA→唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA→＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 OA→ 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA→＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
【题型目录】
题型一、空间中点的位置及坐标特征
题型二、求空间图形上的点的坐标
题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标
题型四、求空间两点的中点坐标
题型五、空间向量的坐标
题型一、空间中点的位置及坐标特征
1．下列命题中错误的是 ( )
A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)
B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)
C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
【素养导引】
1.了解空间直角坐标系的建系方式.(直观想象)
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(直观想象)
3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点.(直观想象)
【导学素材】
【问题1】数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢?
【问题2】直角坐标平面上的点M,怎样表示呢?
【问题3】如果我们也能建立一个空间直角坐标系,又该怎样表示空间的点呢?
1.空间直角坐标系
(1)建系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以
i,j,k 的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,这样就建立了空间直角坐标系.
(2)有关概念:
坐标轴 x轴、y轴、z轴
原点 点O
坐标向量 i,j,k
坐标平面 通过每两条坐标轴的平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面,它们把空间分成八个部分
(3)建系的常用规则.
①画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
②在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
【思考与交流】
空间直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有何特征?
提示:x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,即(x,0,0).
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即(0,y,0).z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即(0,0,z).
2.点的坐标和向量的坐标
(1)点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,存在唯一有序实数组(x,y,z),使𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =xi+yj+zk,则与𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标.
教A版选择性必修第一册 (1)
- 1 - 课时分层作业(四）
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1．空间两点A，B的坐标分别为（x,－y，z），（－x，－y,－z)，则A，B两点的位置关系是( ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y轴对称．]
2．已知A（1,2，－1），B(5,6，7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是（ )
A．(0，1,1) B．(0,1，－3）
C．（－1，0,3) D．（－1,0，－5)
D ［设直线AB与平面xoz交点坐标是M（x，y，z）,则错误!＝（x－1,－2，z＋1)，错误!＝（4,4,8），
又错误!与错误!共线，
∴错误!＝λ错误!，即错误!
解得x＝－1，z＝－5，∴点M（－1,0，－5)．故选D。］
3．设A(3，3,1)，B(1,0,5），C(0，1，0）,则AB的中点M到教A版选择性必修第一册 (1)
- 2 - 点C的距离|CM|＝（ )
A．错误! B．错误!
C．错误! D．错误!
C ［M错误! ,｜CM｜＝错误!＝错误!。]
4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD.A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝错误!A1B1，则错误!等于( )
A．错误!
B．错误!
C．错误!
D．错误!
C ［{错误!，错误!,错误!}为单位正交向量，错误!＝错误!＋错误!＝－错误!DC，→＋错误!，∴错误!＝错误!。］
5．设{i，j，k｝是单位正交基底，已知向量p在基底{a,b，c｝下的坐标为(8,6,4),其中a＝i＋j,b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底｛i,j,k｝下的坐标是( ）
A．(12,14,10) B．(10，12,14) 教A版选择性必修第一册 (1)
- 3 - C．（14,12，10) D．（4，3,2)
1 第一章 1.3 1.3.1
A级——基础过关练
1．已知点A(－3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(－3,－1,－4) B．(－3,－1,4)
C．(3,1,4) D．(3,－1,－4)
【答案】A
【解析】关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以A(－3,1,4)关于x轴的对称点坐标为(－3,－1,－4)．
2．在空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为( )
A．(0,2,0) B．(0,2,3)
C．(1,0,3) D．(1,2,0)
【答案】B
【解析】由于垂足Q在Oyz平面内,可设Q(0,y,z),因为直线PQ⊥Oyz平面,所以P,Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1,2,3),所以y＝2,z＝3,可得Q(0,2,3)．
3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知点B1(1,0,3),D(0,2,0),则点C1的坐标为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,3,1) D．(3,2,1)
【答案】A
【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1,2,3)．
4．在如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点A的坐标是( ) 2
A．(－1,－1,－1) B．(1,－1,1)
C．(1,－1,－1) D．(－1,1,－1)
【答案】C
【解析】依据空间点的坐标定义可知,点A的坐标是(1,－1,－1)．
5．如图,在正方体OABC－O1A1B1C1中,棱长为2,E是B1B上的点,且|EB|＝2|EB1|,则点E的坐标为( )
A．(2,2,1) B．2，2，23
C．2，2，13 D．2，2，43
【答案】D
【解析】因为EB⊥Oxy平面,而B(2,2,0),故设E(2,2,z)．又因为|EB|＝2|EB1|,所以|BE|＝23|BB1|＝43,故点E的坐标为2，2，43．
