概率论与数理统计第4章复习
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第四章 随机变量的数字特征
一、 随机变量的数学期望
1. 离散型随机变量数学期望
设离散型随机变量X的分布律为：,...2,1,}{kpxXPkk若级数kkkpx绝对收敛，则称级数kkkpx的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即
kkkpxXE)(。
2. 连续型随机变量数学期望
设连续型随机变量X的概率密度函数为)(Xf，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即
dxxxfXE)()(.
数学期望简称期望或均值，他反映了随机变量所有可能取值的一种平均。
3. 随机变量函数的期望
（1） 设X是随机变量，)(xgy为实变量x的函数。
1） 若X是离散型随机变量，其分布律为：,}{kkpxXP 1k，2,3，...,且级数kkkpxg)(绝对收敛，则
kkkpxgxgEYE)()]([)(
2） 若X市连续型随机变量，其密度函数为)(xf，且积分dxxfxg)()(绝对收敛，则
dxxfxgxgEYE)()()]([)(
（2） 设（X，Y）是二维随机变量，),(yxgz为实变量x，y的二元函数。
1） 若（X，Y）是离散型随机变量，其分布律为：,),(ijiipyYxXP
,.....2,1,ji且ijijjipyxg),(绝对收敛，则
ijijjipyxgYXgEZE),()],([)(
2） 若（X，Y）是连续型随机变量，其密度函数为),(yxf，且dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛，则 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()],([)(。
4. 数学期望的性质
（1）CCE)(， C为任意常数， )()]([XEXEE；
（2）)()(XCECXE；
（3）)()()(YEXEYXE；
bXaEbaXE)()( ，
)(....)()()....(22112211nnnnXECXECXECXCXCXCE
（4）若X与Y相互独立，则)()()(YEXEXYE
一般地，若nXXX,.....,,21相互独立，则
)(....)()(),.....,,(2121nnXEXEXEXXXE。
（5）)()()]([222YEXEXYE
二、 方差
1. 定义
设X是一个随机变量，若})]({[2XEXE存在，则称})]({[2XEXE为X的方差，记为D(X)，即
})]({[)(2XEXEXD.
)()(XDX称为标准差或均方差。
方差D(X)表达了随机变量X的取值与其数学期望的偏离程度，是衡量随机变量取值分散程度的一个量。若X的取值比较集中，则D(X)较小；若X的取值比较分散，则D(X)较大。方差D(X)实际上是随机变量函数2)]([)(XEXXg的数学期望。
2. 计算
（1） 若X为离散型随机变量，其分布律为：,....2,1,}{kpxXPkk，则
kkkpXExXD2)]([)(
（2） 若X为连续型随机变量，其概率密度函数为)(xf，则
dxxfXExXD)()]([)(2 （3） 常用计算公式：)()()(22XEXEXD.
3. 方差的性质
（1）)()()(22XEXEXD， )()()(22XEXDXE；
（2）0)(CD， C为常数， 0)]([XDD；
（3）)()(2XDabaXD， a，b为常数；
（4）若X与Y相互独立，则)()()(YDXDYXD；
一般地，若),...,2,1(niXi相互独立，且),...,2,1)((niXDi存在，则
)(....)()()....(22112211nnnnXDCXDCXDCXCXCXCD
三、 常见分布的数学期望和方差
分布 数学期望 方差
0——1分布),1(pB p )1(pp
二项分布),(pnB np )1(pnp
泊松分布)(
均匀分布),(baU
2ba
12)(2ab
正态分布),(2N 2
指数分布)(E 1 21
习题
1. 随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E（X+ex2）=_______.
2. 设随机变量X服从参数为的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},则E(X) =_______.D(X)
=_______.
3. 一零件的横截面是圆，对截面的直径进行测量，设其直径X服从[0,3]上的均匀分布，则横截面积Y的数学期望EY=_______，方差DY=_______.
4. 设X和Y相互独立，且EX=10，EY=8，DX=DY=2，则E[(X+Y)2] =_______. 5. 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别是6和3，则随机变量2X-3Y的方差是=_______.
6. 设连续型随机变量X的分布函数如下，则EX=_______.
F(x)=1100,,,103xxxx 。
7. 设随机变量X～N(0，1)，Y=2X+1，则Y服从=_______.
A． N(1，4) B. N(0，1) C. N(1，1) D. N(1，2)
8. 设离散型随机变量X仅两个可能值：x1和x2，而且x1> x2，X取值x1的概率为0.6，又已知E(X)=1.4，D(X)=0.24 ,则X的分布律为 _______.
9. 现有10张奖券，其中8张为2元的，2张为5元的，今从中随机无回放地抽取3张，则得奖金的数学期望为_______.
10. 投二颗骰子（一颗骰子有六个面，各面的点数分别为1,2,3,4,5,6），为第一颗出现的点数，表示两颗中出现的较大的点数。求（1）E,D .(2)E,D().
11. 设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1在[0,1]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0,4），X3服从参数=3的泊松分布，求E[(X1-2 X2+3 X3)2].
12. 假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均值。
13. 把4个球随机地投入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E(X)和D(X)。
14. 一台设备由三大部件构成，在设备运转中部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求X的数学期望和方差。
15. 设随机变量X的分布律如下，试求Y=-X+1和Z=X2的期望与方差。
16. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行，假设二游客在早上八点的X分钟到达底层侯梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。
17. 设两个相互独立的随机变量和的分布律分别如下，求D（-2）。
X -1 0 0.5 1
2
P 1/3 1/6 1/6 1/12
1/4
9 10 11
0.3 0.5 0.2
-2 0 1 2
0.3 0.1 0.4 0.2 18. 今有甲、乙两个篮球队进行比赛，若有一队胜四场则比赛宣告结束，假设甲乙两队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，问需要比赛的场数的数学期望是多少？
19. 设随机变量和的联合分布律如下，问和是否相关？和是否相互独立？
-1 0 1
-1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8
