第二章 晶格振动和晶格缺陷在上一章中，我们把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的，都处在其平衡位置上。
实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的，并且随着温度的升高，振动会不断加剧。
这种热振动也称晶格振动，它会破坏晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，从而对半导体的性质产生重要影响。
实际三维晶体中原子的振动现象很复杂，在这里我们只分析一维晶体（单原子和双原子链）的振动，然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。
§2-1 一维均匀线的振动为研究一维原子链的振动，首先复习一下一维均匀线中弹性波（纵波）的传播现象。
设均匀线的质量密度为ρ，弹性模量为K ，又设线上每一点只能沿线本身的方向（纵向）运动，如图2-1所示。
若在线元x ∆上施加一作用力，它将引起x 点的纵向位移u （x ）。
此时在x处的相对伸长（即形变）为xux e ∂∂=)(，在x x ∆+处的形变则为x xux e x x e ∆∂∂+=∆+22)()(。
根据胡克定律（Hooke's law ），此时在线元x ∆上的作用力为[]x xuK x e x x e K F x ∆∂∂=-∆+=∆22)()( (2-1）此作用力还可表示为线元质量x ∆ρ乘上加速度22tu∂∂，即22tux F x∂∂∆=∆ρ （2-2）从而有 22tu ∂∂=22222x u x u K ∂∂=∂∂υρ （2-3）式中，ρυK=是弹性波的传播速度（声波速度），与振动频率无关。
（2-3）式称线性振动方程，其解为具有如下形式的简谐波[])(ex p ),(t qx i A t x u ω-= （2-4）式中，A 为振幅，πνω2=为角频率，ν为振动频率，λπ2=q 为波矢（波数λ1π2⨯）。
由于波速λνυ=，从而有q υλπυπνω===/22 （2-5） 即ω与波矢q 成正比。
q 的绝对值可取∞→0，因而振动频率也可取∞→0，且与q 是一一对应的。
（2-5）式也称波的色散关系。
***胡克定律：是力学基本定律之一，适用于一切固体材料的弹性形变。
它指出：在弹性限度内，物体的形变与引起形变的外力成正比。
这个定律是英国科学家胡克提出的，所以叫做胡克定律。
（罗伯特·胡克，英国科学家，又译罗伯特·虎克（Robert Hooke ，1635年7月18日－1703年3月3日），英国博物学家，发明家。
1635年7月18日生于英国怀特岛的弗雷斯沃特村，1703年3月3日卒于伦敦。
在物理学研究方面，他提出了描述材料弹性的基本定律-胡克定律，在机械制造方面，他设计制造了真空泵，显微镜和望远镜，并将自己用显微镜观察所得写成《显微术》一书，细胞一词即由他命名。
在新技术发明方面，他发明的很多设备至今仍然在使用。
除去科学技术，胡克还在城市设计和建筑方面有着重要的贡献。
但由于与牛顿的争论导致他去世后少为人知。
胡克也因其兴趣广泛，贡献重要而被某些科学史家称为“伦敦的莱奥纳多（达芬奇）”）§2-2 一维单原子链的振动晶体由周期性排列的原子构成。
由于晶体微观结构的这种不连续性，使得晶体中原子的振动具有与连续媒质弹性振动不同的特点。
由于原子之间的相互作用，在晶体中每个原子的振动并不是彼此孤立的，而是一个原子的振动要依次传递给其他原子。
晶体中的原子振动，总体而言，也是以波的形式在晶体中传播的。
这种晶体中的原子振动波称格波。
下面分析由质量为m 、间距为a （晶格常数）的同种原子构成的一维单原子链的晶格振动。
如图2-2所示，假设第n 个原子的位移为u n 。
如果这个原子偏离平衡位置不远，则其受到的相互作用力可认为是准弹性的，并与原子间距的变化成比例。
因此，在忽略包括次近邻以外原子的作用后，n 原子所受到的作用力F n 为n-1和n+1两个最近邻原子的作用力之和，即)2()()(1111n n n n n n n n u u u u u u u F -+=---=-+-+βββ （2-6）式中，β称准弹性力常数且a K /=β，即a K β=，K 为弹性模量。
于是，第n 个原子的运动方程可写为=22dtu d m n)2(11n n n u u u -+-+β （2-7）该方程的解为简谐波[])(ex p t qna i A u n ω-= （2-8） 将（2-8）代入（2-7）得)2(2-+=--iqa iqa e e m βω=[]2sin 4)cos 1(22qaqa ββ-=-- 从而有 2sin 422qam βω= （2-9） 于是得 2sin 2sin )(22/1qaqa m m ωβω== （2-10）式中，2/1)/(2m m βω=为最大振动角频率。
（2-10）式即为一维单原子链的色散关系，也称频谱分布。
从而一维单原子链中准弹性波的传播速度为λπβπλπωλνλυa m sin )/(22/1=== （2-11） 与波长有关。
一维单原子链的格波（简谐波）具有以下性质：1．所有原子都以相同的角频率ω和振幅A 作简谐振动；2．各原子之间有一均匀变化的位相差。
位相差的大小由原子之间的距离a 和波长q πλ2=决定。
近邻原子间的位相差为a a q λπ2=； 3．如果两个波矢'q q 和之间存在以下关系l aq q π2'+= （l 为任意整数） （2-12） 则相应于这两个波矢的格波所引起的原子振动是相同的。
**因为，对于'q 格波，原子振动为[][]t)-ex p )2ex p()(ex p 2(ex p 'ωπωωπqna A nl i t qna i A t na l a q i A u n （）=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= =u n (2-13)与波矢为q 的格波所引起的原子的振动相同。
因此，当q 在2π/a 的范围内变化时，能够给出所有的独立格波。
为了明确起见，通常限制 aq a ππ<≤-（2-14）波矢q 的这一变化范围，称为第一布里渊区。
格波之所以具有上述性质，是因为晶体中的原子不是连续分布，而是周期排列的。
由于q 在aaππ和-之间取值，故当aq π=max 时，相应的格波波长最小，为a q 22maxmin ==πλ。
这个结果的物理意义λ=6a(q=2π/6a)λ=6a/7(q=7*2π/6a)λ=2a(q=π/a)是很清楚的。
因为在晶格中不可能存在半波长比晶格常数a小的格波。
图2-3中，画出了)6(62aaq==λπ和)2(aaq==λπ的两个格波。
而)7/6(62*7aaq==λπ的简谐波与aq62π=的格波相差aπ2，但半波长小于a，故不属于格波。
图2-3 一维单原子链中不同波长的格波§2-3 一维双原子链的振动如图2-4所示，假设在质量为m1和m2的两种原子组成的晶格常数为a的一维晶体中，分别用序列号'n和"n标志第n个原胞中的m1和m2原子，用'nu和"nu表示'n和"n原子的位移，并认为相邻原子之间的准弹性力常数β相等，则可仿照一维单原子链情况，写出以下两种原子的运动方程'"1"2'212(nnnn uuudtudm-+=-β）)2("''12"22nnnn uuudtudm-+=+β（2-15）上述方程的解为[])(ex p1'tqnaiAunω-=[])(ex p 2"t qna i A u nω-= 3,2,1,0±±±=n （2-16） 将（2-16）代入（2-15）得0)1()2(2121=+---A e A m iqa βωβ0)2()1(2221=--+A m A e iqa ωββ （2-17） 这是一个二元线性齐次联立方程组。
若要A 1和A 2不同时为零，则其系数行列式必等于零。
即)2()1()1()2(2221ωβββωβm e e m iqa iqa -++--=0 （2-18） 利用qa e e iqa iqa cos 2=+-和2sin 2cos 12qaqa =-，可得 02sin 422212221214=++-qam m m m m m βωβω （2-19）从而有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2sin 112222021qa r ωω⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2sin 112222022qa r ωω (2-20) 式中,212122m m m m +=βω,221212)(4m m m m r +=。
由（2-20）可知，每个q 对应两个ω（负ω无意义）。
因此，在原胞中有两个原子的一维晶体中有两支振动波（格波），其中频率较高者与晶体的光学性质有关，通常称光学波。
而频率较低者则与宏观弹性波（声波）有密切关系，通常称声学波。
图2-5给出了一维双原子链振动频率与波矢之间的色散关系。
下面讨论两种极端情况，即对波长最长和最短的格波进行讨论。
1）对q=0和q=π/a 有01)0(ωω= ， 201112)(r a -+=ωπω0)0(2=ω ， 202112)(r a --=ωπω （2-21）从而有 )0()()()0(22101ωπωπωωω〉〉〉=aa =0 （2-22）2）对无限长波长声学波，0)0(2=ω，从而由（2-16）和（2-17）式有121"'==A Au u nn （2-23）即此时两个原子的位移相同。
这意味着无限长声学波中，两个原子的振动是同步的，并在任何时刻它们偏离平衡位置的方向相同，与弹性波类似，故称其为声学波。
3）对无限长波长光学波，最大频率01)0(ωω=。
根据（2-16）和（2-17）式有： 1221"'m mA A u u n n -== （2-24）因此，在无限长光学波中，同一原胞中的两个原子反向位移，位相相反，质量中心不动，即0"2'1=+n nu m u m 。
如果原胞由两个符号不同的离子组成，它们的反位相振动将导致原胞电偶极矩的变化，从而引起红外光的吸收和发射，故称其为光学波。
4）对较长波长格波，即q 较小时，有22sin qaqa ≈，从而（2-20）式中的根号项可展成级数，结果对光学波有：)321(22201q a r -≈ωω (2-25) 当0→q 时，光学波的相速度∞→=qf 1ωυ,而群速度0162201→-==q a r dq d g ωωυ. 而对声学波则有：q q m m araq υβωω=+=≈)(2412102 （2-26） 式中，a K /2=β。
上式表明,对于长声学波，振动频率正比于声速ρβυKm m a=+=)(221且相速度与群速度均等于声速，即：υυυ==g f 。
