开放题的几个案例及其教育价值【摘要】目前，数学开放题已成为数学教学领域的热点和亮点，被认为是当今最富有价值的题型之一。
现行初中数学教材中的数学题大多是封闭题，而实践表明封闭题已不能完全满足新课程数学素质教育的要求，所以，关注初中数学开放题并用之于数学教学实践就显得特别有价值。
笔者在学习相关文献的基础上，结合平素教学案例，主要对其内在的教育价值予以分析和阐述。
关键词：数学开放题教学案例教育价值一、开放题的涵义数学开放题是对数学问题自身结构、解题的思维过程进行研究，以及对他们进行外在形式分类的结果，数学开放题是相对数学封闭题而言的。
除了和封闭题的相对对立这样一点外，国际上对于什么是数学开放题这一概念还没有取得完全一致的意见。
从查阅的文献资料看，学者们多从问题命题要素的特点来分析数学开放题的涵义，归纳起来主要有以下三类：1、答案不确定的数学问题日本的泽田利夫认为：“有几种正确答案似乎都带有可能条件的问题，称为未完结的问题、开放的问题，……目的在于使之思索集中得出答案的方法和过程，……动机在于培养造就数学的思考方法和处理方法的能力和态度”1；有多种正确答案、结果是开放的题，这类问题给予学生以自己喜欢的表达方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法2；答案不唯一的问题成为开放题3；数学开放题是指那些答案不唯一、并在设问方式上要求学生进行多方位、多角度、多层次探索的数学习题。
42、条件不完备，结论不确定的数学问题。
如条件多余需选择，条件不足需补充的或答案不固定的数学问题5；问题不1泽田利夫，从“未完结问题”提出的算术、数学课的教学方案，外国教育，1980年（4）。
2刘学质，问题解决在美国和日本，数学教学，1993（2）。
3俞求是，中学数学教科书中的开放题，中学数学教学参考，1999（4）。
4戴再平主编，开放题——数学教学的新模式，上海教育出版社，2002。
5王万祥，《中学数学习题理论研究》。
必有解、答案不必唯一，条件可以多余6；数学开放题是相对于传统中条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题7；开放型问题是指题目的条件不完备或结论不明确，从而蕴涵着多种可能性，要求解题者自行推断8。
3、数学开放题是指条件开放（条件在不断变化）、结论开放（多结论或无结论）、策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题。
具有多种不同的解法、或有多种可能的解答，……笼统地称之为问题的开放性（郑毓信，1994）。
9一个数学问题，如果它的答案不唯一或者有多种解法，就称这个问题为开放题。
10综上所述，和传统意义上的数学习题比较起来，这类题目的最大特点就是条件的开放和答案不确定，这样的问题对解题者来说没有直接的解决问题的方法，往往需要解题者对问题建立自己的理解之后，联系已有的知识和经验，尝试对问题进行解答。
因为问题解决过程的个性化，导致问题解决结果的多样性。
本文对数学开放题的理解是数学开放题是答案不唯一或者有多种解法，需要解题者进行多层次、多角度的理解和探索的题目。
二、数学开放题在教学实践中的类型和特点分析从不同的分类角度可以把数学开放题进行不同的分类，常见的分类方式有按命题要素分类、按答案结构分类、按解题目标分类等等11，根据初中学生的年龄特点，笔者在课堂教学中所选用的开放题主要是按命题要素分类的，即条件开放型、策略开放型、结论开放型、综合开放型四种类型。
借助具体的题例分析数学开放题的特点。
（1）条件开放题6陈昌平，关于问题解决（problem-solving），数学教学，1995（6）。
7刘萍，数学开放题与学生主体意识的培养，中学数学，2008年（9）。
8孙耀庭，结合教材编制开放性问题，数学通讯，2006（5）。
9郑毓信，《问题解决和数学教育》，江苏出版社，2004。
10朱乐平，小学数学开放题的含义和分类，小学教学，1999年（4）。
11戴再平，开放题——数学教学的新模式，上海教育出版社，p39。
数学命题一般可根据思维形式分为“假设－推理—判断”三个部分。
如果数学开放题的未知要素是假设，则为条件开放题。
下面一个例题就是笔者在《平行四边形》的教学中选用的条件开放题。
例1：已知：如图2-1，四边形ABCD,仅从下列条件中任取两个加以组合,能得出四边形ABCD是平行四边形的结论。
①AB∥CD②BC∥AD③AB=CD④BC=AD图2-1分析：这是一道条件开放题，题目给出了部分条件及确定的结论，目的在于考察学生对平行四边形判定的理解和应用，要求学生深入认识题中的内在联系，填写出能得到结论的两个条件就能解决。
（2）策略开放题如果数学开放题的未知要素是推理，则为策略开放题。
这类题目从题设出发，去探索结论成立的多种途径或最优途径，具体表现为一题多解、一题多变引申推广、最优方案设计等。
在有理数的运算教学中笔者使用了下面这个例题：例2：请用你认为比较简便的方法计算：分析：本题有以下几种的具有代表性解题方法方法1：直接通分，相加后约分。
方法2：方法3:其中方法1是常规方法，方法2提出了与常规方法不相同的方法，体现了化归思想。
方法3运用了一种数学方法，即把分数拆分成两个分数的差，抵消互为相反数，得到计算结果。
显然比前两种方法更新颖、简便，容易引起思维的震憾。
（3）结论开放题数学开放题的未知要素是判断，则为结论开放题。
这类题目从同一条件出发去探求多种不同的结论，主要考查和培养学生的发散能力和应用能力。
在初三函数部分期末复习时笔者举了这样一个例子：例3：已知函数图像经过A(3，3)、B(1，－1)两点，请你导出满足上述条件的函数解析式，并简要说明解答过程。
分析：该题由于函数解析式的类型未知，因此所确定的函数可能为直线、双曲线、抛物线等，结论不确定，是一道结论开放题。
此题既考察数学基本方法——待定系数法，又能训练学生思维的逻辑性和严密性。
（4）综合开放题如果数学题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，这类题目可成为综合开放题。
对于这种问题，由于答题者思考角度与经验背景不同，必然会提出多种多样的解题策略，这样的问题，其条件、解题策略与结论都呈现极大的开放性。
例4：如图2-2，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，给出5个论断：①CD⊥AB，②BE⊥AC，③AE=CE，④∠ABE=30°，⑤CD=BE．(1)如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗?(2)从论断①、②、③、④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是．(只需填论断的序号)(3)用(2)中你选的3个论断作为条件，论断作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明。
图2-2分析：这是综合开放题，它从等边三角形及其两条高中写出5个论断，然后加以组合来研究新命题．它虽然难度不高，却令人颇感新意，从命题的层层推进到解题，体现出对灵活思维的要求，同时也能促进思维的发展。
三、开放题的应用及教育价值（附课堂观察案例）数学开放题本身蕴涵的广阔时空和思维内容，常常具有丰富的思维材料、多样的思维方向和解题途径，它使学生能更加自然的进行自主探索、亲身实践、合作交流，让学生的数学学习活动真正成为一个感受发现的乐趣、获得丰富的学习体验的过程。
笔者结合教学实践，选取学生发展和教师成长两个维度将其教育价值概括如下：（一）促进学生发展1、有助于培养学生的问题意识，促进学生的数学理解和数学思维能力的发展。
例如：浙教版八年级上7.2.2一节中的探究活动-----正方形边上的点数n与各边上的点数和s之间的函数关系，这是一个策略开放问题，笔者在教学中鼓励学生积极思考并阐述自己的想法，记录如下：学生1：s=4n-4,理由是每条边上有n个点，4条边就是4n个，4个顶点有重复计算所以再减4学生2：我们小组认为是4（n-1），每条边把要重复的点去掉一个再乘以4 学生3：也可以是2n+2（n-2）学生4：我觉得可以从面积上考虑n2-（n-2）2﹉﹉该题的解题过程没有固定的方法，结果虽一样但过程具有很大的开放性，需要解题者通过自己的理解，结合自己的角度和技能，探索和构建解决问题的方法。
学生可以在自己理解的基础上，在自己选定的方向上用自己的方式努力。
在这个过程中，学生常常可以做出多种不同的理解，选择自己喜欢的思维方式或者问题表征方式，采取不同的方式或路径解决问题。
而且所有学生都可以在问题解决的过程中做出自己的努力，学生在与人交流的过程中能意识到自己有所发现，有所成就，并逐渐愿意思考、乐于思考和善于思考。
善于思考的一个重要表现就是善于提出问题和解决问题的思路。
心理学的研究表明，没有问题的思维往往是被动的、肤浅的思维，思维过程也即是发现问题、推断问题和解决问题的过程。
因而强烈的问题意识不仅可以体现个体思维品质的活跃性、深刻性，而且可以作为思维的动力，推动思维的展开和运作。
学生在对数学开放题进行理解的同时，常常更能放开思维的视角，教师要注意在与学生互动的过程中引导学生观察、分析、概括、提炼，可以培养学生的问题意识，引导学生敢问、会问。
同时，学生之间对问题做出的理解和想法本身就是一种非常丰富和珍贵的教学资源，学生们对来自同伴的理解和意见更能对他们造成某种思维上的冲击，更能引起他们的疑问和讨论热情。
他们常常主动做出解释，和要求其他汇报的同学做出解释，不断展示思维过程。
这一过程是学生对数学开放题进行分析、综合、比较等思维活动的过程。
学生在不断地进行讨论、表达，会促进学生的思维碰撞，有利于培养学生思维的逻辑性、批判性和深刻性。
2、有利于培养学生创新思维能力。
开放题的解题没有固定模式可遵循，在解答过程中，可能引发不同的视角，必须打破常规的思维模式束缚，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位寻找答案，因而思维方向和模式呈发散性有利于培养学生的创新意识和创新思维能力。
笔者在中考第一轮复习阶段中曾采用了下面这个例题：例５：试比较下列两个图形的异同。
分析：这两个图形的异同可从多角度来挖掘，相同点有：都是正多边形；都有外接圆；都有内切圆等等。
不同点有：边数不同；对称轴不同等等。
在解本题时并没有常规的解题模式可以遵循，呈发散性，如果找到一个新的角度，就会有新的答案。
数学开放题本身具备的创新性，容易激起学生的创造欲望。
学生在解决开放题的过程中，通过分析后独立往往会提出一种新的解题视角或独立构造出一种新的方案，这本身就是一种创造。
在开放题的教学中，教师要引导学生根据所给的已知条件或要求对问题广泛联想，积极探索、猜想，以便寻找方法，使问题得到合理解决。
数学开放题由于具有探索性和多样性，不同的问题应有不同的解题策略，需要不断研究和推敲，常常要不循常规，勇于创新，考虑的问题存在着多种可能性，这样有利于培养思维的独创性、多向性和灵活性，从而提高学生的创新思维能力。
