湖南省益阳市中考数学试卷含答案（样卷）

2022年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共8小题，每题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔4分〕〔2022•益阳〕四个实数﹣2，0，﹣，1中，最大的实数是〔〕A．﹣2 B．0C．﹣D．1考点：实数大小比较．分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可．解答：解：∵﹣2＜﹣＜0＜1，∴四个实数中，最大的实数是1．应选D．点评：此题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．〔4分〕〔2022•益阳〕以下式子化简后的结果为x6的是〔〕A．x3+x3B．x3•x3C．〔x3〕3D．x12÷x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的运算法那么进行计算即可．解答：解：A、原式=2x3，故本选项错误；B、原式=x6，故本选项错误；C、原式=x9，故本选项错误；D、原式=x12﹣2=x10，故本选项错误．应选B．点评：此题考查的是同底数幂的除法，熟知同底数幂的除法及乘方法那么、合并同类项的法那么、幂的乘方与积的乘方法那么是解答此题的关键．3．〔4分〕〔2022•益阳〕小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是〔〕A．B．C．D．考点：概率公式．分析：由小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，∴她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是：=．应选C．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．〔4分〕〔2022•益阳〕以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．应选C．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5．〔4分〕〔2022•益阳〕一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，那么m应满足的条件是〔〕A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1考点：根的判别式．分析：根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．解答：解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．应选D．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．6．〔4分〕〔2022•益阳〕正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第一、三象限考反比例函数与一次函数的交点问题．点：专题：计算题．分析：根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组即可得到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断．解答：解：解方程组得或，所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点坐标为〔1，6〕，〔﹣1，﹣6〕．应选D．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．7．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，那么添加的条件是〔〕A．A E=CF B．B E=FD C．B F=DE D．∠1=∠2考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．解答：解：A、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔SAS〕，故此选项错误；C、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔SAS〕，故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF〔ASA〕，故此选项错误；应选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．8．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为〔﹣3，0〕，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，那么平移的距离为〔〕A．1B．1或5 C．3D．5考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．解答：解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．应选B．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上〕9．〔4分〕〔2022•益阳〕假设x2﹣9=〔x﹣3〕〔x+a〕，那么a=3．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接利用平方差公式进行分解得出即可．解答：解：∵x2﹣9=〔x+3〕〔x﹣3〕=〔x﹣3〕〔x+a〕，∴a=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．10．〔4分〕〔2022•益阳〕分式方程=的解为x=﹣9．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x=3x﹣9，解得：x=﹣9，经检验x=﹣9是分式方程的解．故答案为：x=﹣9．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．11．〔4分〕〔2022•益阳〕小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下〔单位：米〕：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，那么这组数据的中位数是 2.16米．考点：中位数．分析：根据中位数的概念求解．解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1.96，1.98，2.04，2.16，2.20，2.22，2.32，那么中位数为：2.16．故答案为：2.16．点评：此题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12．〔4分〕〔2022•益阳〕小明放学后步行回家，他离家的路程s〔米〕与步行时间t〔分钟〕的函数图象如下列图，那么他步行回家的平均速度是80米/分钟．考点：函数的图象．分析：他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．解答：解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，那么他步行回家的平均速度是：1600÷20=80〔米/分钟〕，故答案为：80．点评：此题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．13．〔4分〕〔2022•益阳〕如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC 重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，那么∠EAF的度数是60°．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．分析：根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．解答：解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC 的中点E的对应点为F，∴旋转角为60°，E，F是对应点，那么∠EAF的度数为：60°．故答案为：60°．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．三、解答题〔本大题共2小题，每题6分，共12分〕14．〔6分〕〔2022•益阳〕计算：|﹣3|+30﹣．考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=3+1﹣3=1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．15．〔6分〕〔2022•益阳〕如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵EF∥BC，∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，∵AC平分∠BAF，∴∠CAF=∠BAF=50°，∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°．点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．四、解答题〔本大题共3小题，每题8分，共24分〕16．〔8分〕〔2022•益阳〕先化简，再求值：〔+2〕〔x﹣2〕+〔x﹣1〕2，其中x=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘法分配律计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=1+2x﹣4+x2﹣2x+1=x2﹣2，当x=时，原式=3﹣2=1．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．17．〔8分〕〔2022•益阳〕某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想〞读书小组协助老师随机抽取本校的局部学生，调查他们最喜爱的图书类别〔图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类〕，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答以下问题：〔1〕求被调查的学生人数；〔2〕补全条形统计图；〔3〕该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：〔1〕利用科普类的人数以及所占百分比，即可求出被调查的学生人数；〔2〕利用〔1〕中所求得出喜欢艺体类的学生数进而画出图形即可；〔3〕首先求出样本中喜爱文学类图书所占百分比，进而估计全校最喜爱文学类图书的学生数．解答：解：〔1〕被调查的学生人数为：12÷20%=60〔人〕；〔2〕喜欢艺体类的学生数为：60﹣24﹣12﹣16=8〔人〕，如下列图：；〔3〕全校最喜爱文学类图书的学生约有：1200×=480〔人〕．点评：此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．18．〔8分〕〔2022•益阳〕“中国﹣益阳〞网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，方案在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长〔精确到0.1米〕．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．考点：解直角三角形的应用．分析：设AD=x米，那么AC=〔x+82〕米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5〔x+82〕，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解答：解：设AD=x米，那么AC=〔x+82〕米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5〔x+82〕．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5〔x+82〕=4x，解得x=．∴AB=4x=4×≈546.7．答：AB的长约为546.7米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的根本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．五、解答题〔本大题共2小题，每题10分，共20分〕19．〔10分〕〔2022•益阳〕某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元〔进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货本钱〕〔1〕求A、B两种型号的电风扇的销售单价；〔2〕假设超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台〔3〕在〔2〕的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标假设能，请给出相应的采购方案；假设不能，请说明理由．考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：〔1〕设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B 型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；〔2〕设采购A种型号电风扇a台，那么采购B种型号电风扇〔30﹣a〕台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；〔3〕设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合〔2〕的条件，可知不能实现目标．解答：解：〔1〕设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：，答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；〔2〕设采购A种型号电风扇a台，那么采购B种型号电风扇〔30﹣a〕台．依题意得：200a+170〔30﹣a〕≤5400，解得：a≤10．答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；〔3〕依题意有：〔250﹣200〕a+〔210﹣170〕〔30﹣a〕=1400，解得：a=20，∵a＞10，∴在〔2〕的条件下超市不能实现利润1400元的目标．点评：此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答此题的关键是读懂题意，设出未知数，找出适宜的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．20．〔10分〕〔2022•益阳〕如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a 〔x﹣2〕2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．〔1〕求a，k的值；〔2〕抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；〔3〕在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．考点：二次函数综合题．分析：〔1〕先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a〔x﹣2〕2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；〔2〕设Q点的坐标为〔2，m〕，对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+〔3﹣m〕2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+〔3﹣m〕2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；〔3〕当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P〔2，﹣1〕重合，N点为点P 关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，那么四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．解答：解：〔1〕∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A〔1，0〕，B〔0，3〕．又∵抛物线抛物线y=a〔x﹣2〕2+k经过点A〔1，0〕，B〔0，3〕，∴，解得，故a，k的值分别为1，﹣1；〔2〕设Q点的坐标为〔2，m〕，对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+〔3﹣m〕2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+〔3﹣m〕2，∴m=2，∴Q点的坐标为〔2，2〕；〔3〕当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．又∵对称轴x=2是AC的中垂线，∴M点与顶点P〔2，﹣1〕重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为〔2，1〕．此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，∴四边形AMCN为正方形．在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．六、解答题〔此题总分值12分〕21．〔12分〕〔2022•益阳〕如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．〔1〕求AD的长；〔2〕点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似假设存在，求出x的值；假设不存在，请说明理由；〔3〕设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，假设S=S1+S2，求S的最小值．考点：相似形综合题．分析：〔1〕过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC•sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；〔2〕假设以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，那么△PCB 必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP 中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据≠且≠，得出△PCB与△ADP不相似．〔3〕先求出S1=x•，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=〔x﹣1〕，在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣x+，最后根据S1=x•BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，S2=x〔x2﹣x+〕，最后根据S=S1+S2=x〔x﹣〕2+x即可得出S的最小值．解答：解：〔1〕过点C作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中，∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC•sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．〔2〕存在．假设以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，那么△PCB必有一个角是直角．①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．又由〔1〕知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，∴∠DPA=60°，∴∠DPA=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，∴PB=2，PC=2，∴AP=3．那么≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．〔3〕如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，那么S1=x•〔〕2=x•，①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．那么BM为△PCB外接圆的半径．在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，∵BN=PB=〔10﹣x〕=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=〔x﹣1〕．在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，∴S1=x•BM2=x〔x2﹣x+〕．②∵当0＜x≤2时，S2=x〔x2﹣x+〕也成立，∴S=S1+S2=x•+x〔x2﹣x+〕=x〔x﹣〕2+x．∴当x=时，S=S1+S2取得最小值x．点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．。

2020年湖南省益阳市中考数学试卷副标题题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 四个实数1，0，√3，−3中，最大的数是( )A. 1B. 0C. √3D. −32. 将不等式组{x +2≥0,x <1的解集在数轴上表示，正确的是( )A. B. C.D.3. 如图所示的几何体的俯视图是( )A.B.C.D.4. 一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3，4，且这组数据的平均数为4，则这组数据的中位数为( ) A. 7 B. 4 C. 3.5 D. 3 5. 同时满足二元一次方程x −y =9和4x +3y =1的x ，y 的值为( )A. {x =4y =−5B. {x =−4y =5C. {x =−2y =3D. {x =3y =−66. 下列因式分解正确的是( )A. a(a −b)−b(a −b)= (a −b)(a +b)B. a 2−9b 2=(a −3b)2C. a 2+4ab +4b 2=(a +2b)2D. a 2−ab +a =a(a −b)7. 一次函数y =kx +b 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. k <0B. b =−1C. y 随x 的增大而减小D. 当x >2时，kx +b <08. 如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，若AC =6，BD =8，则AB 的长可能是( )A. 10B. 8C. 7D. 69. 如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，DC 平分∠ACB ，若∠A =50°，则∠B 的度数为( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°10. 如图，在矩形ABCD 中，E 是DC 上的一点，△ABE 是等边三角形，AC 交BE 于点F ，则下列结论不成立的是( ) A. ∠DAE =30°B. ∠BAC =45°C. EFFB =12D. AD AB =√32二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功定点于距离地球36000千米的地球同步轨道．将“36000”用科学记数法表示为______． 12. 如图，AB//CD ，AB ⊥AE ，∠CAE =42°，则∠ACD 的度数为______． 13. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB =90°，测得ACB⏜的长为36cm ，则ADB ⏜的长为______cm ．14.反比例函数y=k−1的图象经过点P(−2,3)，则k=______．x15.小朋友甲的口袋中有6粒弹珠，其中2粒红色，4粒绿色，他随机拿出1颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是______．16.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是______．17.若计算√12×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是______(写出一个符合条件的即可)．18.某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是______元．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH=12米，斜坡CD的坡度i=1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP=26°．(1)求斜坡CD的坡角α；(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）20.计算：(−3)2+2×(√2−1)−|−2√2|.21.先化简，再求值：(2a−1a+1−aa+1)÷a−1a，其中a=−2．22.如图，OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，且MA=MB，OA，OB分别交⊙O于C，D.求证：AC=BD．23.为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：笔画数123456789101112131415字数4810161420243616141191071请解答下列问题：(1)被统计汉字笔画数的众数是多少？(2)该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：请确定上表中的、的值及扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数；(3)若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7～9画(C组)的字数有多少个？24.新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．(1)求原来生产防护服的工人有多少人？(2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？25.如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是(4,2)，点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF=PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则MN2=(x2−x1)2+(y2−y1)2】(1)判断点P在运动过程中是否经过点C(0,5)；(2)设动点P的坐标为(x,y)，求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；范围．26.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：四个实数1，0，√3，−3中，−3<0<1<√3，故最大的数是：√3．故选：C．直接利用有理数的比较大小的方法分析得出答案．此题主要考查了实数运算，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．2.【答案】A【解析】解：解不等式x+2≥0，得：x≥−2，又x<1，∴不等式组的解集为−2≤x<1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：A．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：从上面看该几何体，选项D的图形符合题意，故选：D．从上面看该几何体所得到的图形即为该几何体的俯视图．本题考查简单几何体的三视图，俯视图是从上面看所得到的图形，也可以理解为从上面对该几何体正投影所得到的图形．4.【答案】C【解析】解：根据题意知，另外一个数为4×4−(2+3+4)=7，所以这组数据为2，3，4，7，=3.5，则这组数据的中位数为3+42故选：C．先根据算术平均数的概念求出另外一个数据，从而得出这组数据，再利用中位数的概念求解可得．本题主要考查中位数和算术平均数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．5.【答案】A【解析】解：由题意得：{x −y =9①4x +3y =1②，由①得，x =9+y③，把③代入②得，4(9+y)+3y =1，解得，y =−5，代入③得，x =9−5=4， ∴方程组的解为{x =4y =−5，故选：A ．根据二元一次方程组的解法求解即可．本题考查二元一次方程组的解法，加减消元法、代入消元法是解二元一次方程组的两种基本方法． 6.【答案】C【解析】解：A 、a(a −b)−b(a −b)= (a −b)2，故此选项错误； B 、a 2−9b 2=(a −3b)(a +3b)，故此选项错误； C 、a 2+4ab +4b 2=(a +2b)2，正确；D 、a 2−ab +a =a(a −b +1)，故此选项错误； 故选：C ．直接利用公式法以及提取公因式法分别分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 7.【答案】B【解析】解：如图所示：A 、图象经过第一、三、四象限，则k >0，故此选项错误； B 、图象与y 轴交于点(0,−1)，故b =−1，正确； C 、k >0，y 随x 的增大而增大，故此选项错误； D 、当x >2时，kx +b >0，故此选项错误； 故选：B ．直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键． 8.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA =12AC =3，OB =12BD =4，在△AOB 中：4−3<AB <4+3， 即1<AB <7， ∴AB 的长可能为6． 故选：D ．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出AB 的取值范围，进而得出结论．本题考查的了平行四边形的性质和三角形的三边关系．解题时注意：平行四边形对角线互相平分；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 9.【答案】B【解析】解：∵DE 垂直平分AC ， ∴AD =CD ， ∴∠A =∠ACD又∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠ACD=100°，∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−100°=30°，故选：B．依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．10.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°，AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，AB//CD，AB=CD，∴∠DAE=∠CBE=30°，故选项A不合题意，∴cos∠DAC=√32=ADAE=ADAB，故选项D不合题意，在△ADE和△BCE中，{AD=BC∠DAE=∠CBE AE=BE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴DE=CE=12CD=12AB，∵AB//CD，∴△ABF∽△CEF，∴CEAB =EFBF=12，故选项C不合题意，故选：B．由矩形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°，AD= BC，∠DAB=∠CBA=90°，AB//CD，AB=CD，可得∠DAE=∠CBE=30°，由锐角三角函数可求cos∠DAC=√32=ADAE=ADAB，由“SAS”可证∴△ADE≌△BCE，可得DE=CE=12CD=12AB，通过证明△ABF∽△CEF，可得CEAB=EFBF=12，通过排除法可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．11.【答案】3.6×104【解析】解：36000=3.6×104．故答案为：3.6×104．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于36000有5位，所以可以确定n=5−1=4．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．12.【答案】132°【解析】解：∵AB⊥AE，∠CAE=42°，∴∠BAC=90°−42°=48°，∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠ACD =132°．故答案为：132°．直接利用平行线的性质结合垂直定义得出∠BAC 度数以及∠ACD 的度数．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠BAC 度数是解题关键．13.【答案】12【解析】解：法一：∵ACB⏜的长为36cm ， ∴270π⋅OA 180=36，∴OA =180×36270π，则ADB ⏜的长为：90π⋅OA 180=90π180×180×36270π=12(cm)；法二：∵ACB⏜与ADB ⏜所对应的圆心角度数的比值为270°：90°=3：1， ∴ACB⏜与ADB ⏜的弧长之比为3：1， ∴ADB⏜的弧长为36÷3=12(cm)， 答：ADB⏜的长为12cm ． 故答案为：12．根据ACB⏜的长为36cm ，可得半径OA ，进而可得ADB ⏜的长． 本题考查了弧长的计算，解决本题的关键是掌握弧长公式．14.【答案】−5【解析】解：∵反比例函数y =k−1x 的图象经过点(−2,3)， ∴3=k−1−2，解得k =−5．故答案是：−5．直接把点(−2,3)代入反比例函数y =k−1x 求出k 的值即可．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15.【答案】13【解析】解：∵口袋中有6粒弹珠，随机拿出1颗共有6种等可能结果，其中送出的弹珠颜色为红色的有2种结果，∴送出的弹珠颜色为红色的概率是26=13，故答案为：13．用红色弹珠的数量除以球的总个数即可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．16.【答案】5【解析】解：设这个多边形的边数是n ，则(n −2)⋅180°=540°，解得n=5，故答案为：5．n边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，由此列方程求n．本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．17.【答案】√3(答案不唯一)【解析】解：若计算√12×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是：√3(答案不唯一)．故答案为：√3(答案不唯一)．直接利用二次根式的性质得出符合题意的答案．此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的性质是解题关键．18.【答案】1800【解析】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=kx，30k=60，得k=2，即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=2t，当0<t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w=at，20a=30，得a=1.5，即当0<t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w=1.5t，当20<t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w=30，设日销售利润为W元，当0<t≤20时，W=1.5t×2t=3t2，故当t=20时，W取得最大值，此时W=1200，当20<t≤30时，W=30×2t=60t，故当t=30时，W取得最大值，此时W=1800，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800．根据题意和函数图象中的数据，利用分类讨论的方法，可以求得最大日销售利润，从而可以解答本题．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．19.【答案】解：(1)∵斜坡CD的坡度i=1：1，∴tanα=DH：CH=1：1=1，∴α=45°．答：斜坡CD的坡角α为45°；(2)由(1)可知：CH=DH=12，α=45°．∴∠PCH=∠PCD+α=26°+45°=71°，在Rt△PCH中，∵tan∠PCH=PHCH =PD+1212≈2.90，∴PD≈22.8(米)．22.8>18，答：此次改造符合电力部门的安全要求．【解析】(1)根据斜坡CD的坡度i=1：1，可得tanα=DH：CH=1：1=1，进而可得α的度数；(2)由(1)可得，CH=DH=12，α=45°.所以∠PCH=71°，再根据锐角三角函数可得PD的值，与18进行比较即可得到此次改造是否符合电力部门的安全要求．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．20.【答案】解：原式=9+2√2−2−2√2=7．【解析】直接利用绝对值的性质和实数混合运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.【答案】解：原式=a−1a+1÷a−1a=a−1a+1⋅aa−1=aa+1，当a=−2时，原式=−2−2+1=−2−1=2．【解析】先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，约分即可化简原式，最后把a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22.【答案】证明：∵OM是⊙O的半径，过M点作⊙O的切线AB，∴OM⊥AB，∵MA=MB，∴△ABO是等腰三角形，∴OA=OB，∵OC=OD，∴OA−OC=OB−OD，即：AC=BD．【解析】由切线的性质得出OM⊥AB，又MA=MB，则△ABO是等腰三角形，得出OA= OB，即可得出结论．本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)被统计汉字笔画数的众数是8画；(2)m=16+14+20=50，n=14+11+9=34，∵被抽查的汉子个数为4+8+10+16+14+20+24+36+16+14+11+9+10+ 7+1=200(个)，∴扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数为360°×50200=90°；(3)估计笔画数在7～9画(C组)的字数有3500×76200=1330(个)．【解析】(1)根据众数的定义求解可得；(2)根据第1个表格可得m、n的值及被抽查汉字的个数，再用360°乘以B组频数占总数的比例即可得；(3)用汉字的总个数乘以样本中C组频数占样本容量的比例可得．本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数(率)分布表及众数，解题的关键是掌握利用样本估计总体思想的运用及众数的概念．24.【答案】解：(1)设原来生产防护服的工人有x人，由题意得，8008x =65010(x−7)，解得：x =20．经检验，x =20是原方程的解．答：原来生产防护服的工人有20人；(2)设还需要生产y 天才能完成任务．8008×20=5(套)，即每人每小时生产5套防护服．由题意得，10×650+20×5×10y ≥14500，解得y ≥8．答：至少还需要生产8天才能完成任务．【解析】(1)设原来生产防护服的工人有x 人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x 的方程，求解即可；(2)设还需要生产y 天才能完成任务．根据前面10天完成的工作量+后面y 天完成的工作量≥14500列出关于y 的不等式，求解即可．本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．25.【答案】5 2 1 2 5【解析】解：(1)当P 与C(0,5)重合，∴PH =5，PF =√(5−2)2+42=5，∴PH =PF ，∴点P 运动过程中经过点C ．(2)由题意：y 2=(x −4)2+(y −2)2，整理得，y =14x 2−2x +5，∴函数解析式为y =14x 2−2x +5，当x =0时，y =5，当x =2时，y =2，当x =4时，y =1，当x =6时，y =2，当x =8时，y =5，函数图象如图所示：故答案为5，2，1，2，5．(3)由题意C′(0,−5)，F(4,2)，∴直线FC′的解析式为y =74x −5，设抛物线交直线FC′于G ，K ．由{y =74x −5y =14x 2−2x +5，解得{x =15+√652y =35+7√658或{x =15−√652y =35−7√658， ∴G(15−√652,35−7√658)，K(15+√652,35+7√658)， 观察图象可知满足条件的PF 长度的取值范围为1≤PF <35+7√658． (1)当P 与C(0,5)重合，证明PH =PF 即可解决问题．(2)根据PF 2=PH 2，根据函数关系式即可解决问题．(3)求出直线FC′的解析式，求出直线FC′与抛物线的交点坐标即可判断．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BAC =∠C =∠D =90°，∵将△BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，此时点E 的对应点F 在DA 的延长线上， ∴BE =BF ，∠CBE =∠ABF ，∴∠EBF =∠ABC =90°，∴∠EBF +∠D =180°，∴四边形BEDF 为“直等补”四边形；(2)①过C 作CF ⊥BF 于点F ，如图1，则∠CFE =90°，∵四边形ABCD 是“直等补”四边形，AB =BC =5，CD =1，AD >AB ，∴∠ABC =90°，∠ABC +∠D =180°，∴∠D =90°，∵BF ⊥AD ，∴∠DEF =90°，∴四边形CDEF 是矩形，∴EF =CD =1，∵∠ABE +∠A =∠CBE +∠ABE =90°，∴∠A =∠CBF ，∵∠AEB =∠BFC =90°，AB =BC =5，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴BE =CF ，设BE =CF =x ，则BF =x −1，∵CE 2+BF 2=BC 2，∴x 2+(x −1)2=52，解得，x =4，或x =−3(舍)，∴BE =4；②如图2，延长CB 到F ，使得BF =BC ，延长CD 到G ，使得CD =DG ，连接FG ，分别与AB 、AD 交于点M 、N ，过G 作GH ⊥BC ，与BC 的延长线交于点H ．则BC =BF =5，CD =DG =1，∵∠ABC =∠ADC =90°，∴CM =FM ，CN =GN ，∴△MNC 的周长=CM +MN +CN =FM +MN +GN =FG 的值最小，∵四边形ABCD 是“直等补”四边形，∴∠A +∠BCD =180°，∵∠BCD +∠HCG =180°，∴∠A =∠HCG ，∵∠AEB =∠CHG =90°，∴BE GH =AE CH =AB CG ∵AB =5，BE =4，∴AE =√AB 2−BE 2=3，∴4GH =3CH =52， ∴GH =85，CH =65，∴FH =FC +CH =565，∴FG =√FH 2+GH 2=8√2，∴△MNC 周长的最小值为8√2．【解析】(1)由旋转性质得BE=BF，再证明∠EBF=90°，∠EBF+∠D=180°便可；(2)①过点C作CF⊥BE于点F，证明△BCF≌△ABE得CF=BE，设BE=x，在Rt△BCF 中，则勾股定理列出x的方程解答便可；②延长CB到F，使得BF=BC，延长CD到G，使得CD=DG，连接FG，分别与AB、AD交于点M、N，求出FG便是△MNC的最小周长．本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第(2)①题关键在证明全等三角形，第(2)②题关键确定M、N的位置．。

湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列四个实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣12．（5分）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．B．C．D．3．（5分）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形4．（5分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×1085．（5分）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．6．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤07．（5分）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα8．（5分）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为．10．（5分）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=．11．（5分）代数式有意义，则x的取值范围是．12．（5分）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为．13．（5分）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为．14．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．三、解答题（本大题8个小题，共80分）15．（8分）计算：|﹣4|﹣2cos60°+（﹣）0﹣（﹣3）2．16．（8分）先化简，再求值：+，其中x=﹣2．17．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．18．（10分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，2=0.8、S乙你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.4、S丙2=0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）19．（10分）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．21．（12分）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．22．（14分）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2017•益阳）下列四个实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣1【分析】根据选项中的数据，可以比较它们的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜2，故选C．【点评】本题考查实数大小的比较，解答此类问题的关键是明确负数小于0小于正数．2．（5分）（2017•益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．B．C．D．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案．【解答】解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2．故选D．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．3．（5分）（2017•益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】根据菱形的性质解答即可得．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．4．（5分）（2017•益阳）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：0.000 000 04=4×10﹣8，故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（5分）（2017•益阳）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．【分析】根据二次根式的性质逐一化简可得．【解答】解：A、不能化简；B、=2，此选项错误；C、=3，此选项正确；D、=6，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．6．（5分）（2017•益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，∴b2﹣4ac＞0，故选A【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．7．（5分）（2017•益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴BC==，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．（5分）（2017•益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm2【分析】根据给出的空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，比例尺为1：4，可得其主视图的面积=长12×=3cm宽10×=2.5cm的长方体的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．【解答】解：12×=3（cm）10×=2.5（cm）3×2.5=7.5（cm2）答：其主视图的面积是7.5cm2．故选：D．【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是能得到立体图形的三视图和学生的空间想象能力．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）（2017•益阳）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A 的度数为124°．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°，根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=28°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠BCD=28°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，故答案为：124°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（5分）（2017•益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= 6.5．【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵CD是AB边上的中线，∴CD=6.5；故答案为：6.5．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．11．（5分）（2017•益阳）代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．12．（5分）（2017•益阳）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为48．【分析】设被调查的学生人数为x人，则有=0.25，解方程即可．【解答】解：设被调查的学生人数为x人，则有=0.25，解得x=48，经检验x=48是方程的解．故答案为48；【点评】本题考查频数与频率、记住两者的关系是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2017•益阳）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为108°．【分析】根据多边形的内角和公式即可得出结果．【解答】解：∵五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数=540°÷5=108°．故答案是：108°．【点评】本题考查多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n﹣2）•180°．14．（5分）（2017•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC 的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b故答案为：2a+3b．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．三、解答题（本大题8个小题，共80分）15．（8分）（2017•益阳）计算：|﹣4|﹣2cos60°+（﹣）0﹣（﹣3）2．【分析】根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可．【解答】解：原式=4﹣2×+1﹣9，=﹣5．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．16．（8分）（2017•益阳）先化简，再求值：+，其中x=﹣2．【分析】根据分式的运算法则先化简单，再代入求值即可．【解答】解：原式==x+1+x+1=2x+2．当x=﹣2时，原式=﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分、加减运算是解题的关键．17．（8分）（2017•益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，又∵F是CD的中点，即DF=CF，∴△ADF≌△ECF，∴AD=CE，∴BC=CE．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．18．（10分）（2017•益阳）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，2=0.8、S乙你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.4、S丙2=0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）；（2）易知（分），（分），（分），根据题意不难判断；（3）画出树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）．（2）∵（分），（分），（分），∴＞，＞∴选乙运动员更合适．（3）树状图如图所示，第三轮结束时球回到甲手中的概率是．【点评】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．19．（10分）（2017•益阳）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？【分析】（1）设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设今年土特产的利润为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．【解答】解：（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，依题意得：，解得：，答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；（2）设今年土特产利润m万元，依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣11≥10，解之得，m≥7.4，答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键．20．（10分）（2017•益阳）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB 的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，【分析】由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD==5，∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD=90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度．21．（12分）（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k ≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．22．（14分）（2017•益阳）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC ⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B 作BF⊥y轴于F，设、B，联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出结论．【解答】解：（1）①由已知得2x2=x+1，解得或x=1，当时，，当x=1时，y=2，∴A、B两点的坐标分别为（，），（1，2）；②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，由①及已知有A（，），B（1，2），且OM=ON=1，∴，，∴tan∠ANM=tan∠BNM，∴∠ANM=∠BNM；（2）∠ANM=∠BNM成立，①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形，∴∠ANM=∠BNM；②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设、B．如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，由题意可知：ax2=kx+b，即ax2﹣kx﹣b=0，∴，∵===，∴，∴Rt△AEN∽Rt△BFN，∴∠ANM=∠BNM．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、三角函数的定义、根与系数的关系、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）②中求得两角的正切值是解题的关键，在（2）中利用根与系数的关系，整理求得，是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。

2021年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.−2021的相反数等于()A. 2021B. −2021C. 12021D. −120212.已知a≠0，下列运算正确的是()A. 3a−2a=1B. 3a⋅2a=6aC. a3÷a2=aD. (2a)3=6a33.将√452化为最简二次根式，其结果是()A. √452B. √902C. 9√102D. 3√1024.解方程组{2x+y=3①2x−3y=4②时，若将①−②可得()A. −2y=−1B. −2y=1C. 4y=1D. 4y=−15.正比例函数y=2x与反比例函数y=2x的图象或性质的共有特征之一是()A. 函数值y随x的增大而增大B. 图象在第一、三象限都有分布C. 图象与坐标轴有交点D. 图象经过点(2,1)6.以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是()A. B.C. D.7.如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于()A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°AB的长为半径画8.如图，在△ABC中，AC>BC，分别以点A，B为圆心，以大于12弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是()BC D. BN平分∠ABCA. AN=NCB. AN=BNC. MN=129.小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为200元/天，不能正常上班(如下雨)的工资为80元/天，如果某月(30天)正常上班的天数占80%，则当月小刘的日平均工资为()A. 140元B. 160元C. 176元D. 182元10.如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动(不含端点)，设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是()A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.若实数a的立方等于27，则a=______ ．12.一元二次方程x2−3x=0的根是______．13.已知x满足不等式组{x>−1x−2≤0，写出一个符合条件的x的值______ ．14.小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，则他选到锄头的概率是______ ．15.已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：x…−2−101234…y…11a323611…由此判断，表中a=______ ．16.如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD=______ 度.17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB=AD，②AC=BD，③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是______ (限填序号)．18.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，tan∠ABC=32，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB′C′，连接BB′，CC′，则△CAC′与△BAB′的面积之比等于______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.先化简，再求值：(1+3a )⋅2aa2−9，其中a=2．20.如图，在矩形ABCD中，已知AB=6，∠DBC=30°，求AC的长．21.如图，已知点A是一次函数y=2x−4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．(1)求点A的坐标；(2)确定该反比例函数的表达式．22.为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园.为了解群众的运动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查(每人限填一项)，绘制成待完善的统计图表(综合类含舞蹈、太极拳等其他项目)．(1)本次被调查的居民人数是多少？(2)补全条形统计图；(3)若该休闲公园辐射周边居民约1万人，爱好运动者占80%，请由此估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数．23.“2021湖南红色文化旅游节--重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC=13°，塔顶D的仰角∠DAC=38°，斜坡AB=50米，求宝塔BD的高(精确到1米)．(参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)24.为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长(沙)−益(阳)−常(德)高铁，其中长益段将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的13．30(1)求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？(2)甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上(含3天)完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？25.如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB=AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．(1)判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；(2)求证：①BD=CF；②BD2=DE2+AE⋅EG．26. 已知函数y ={−x(x ≤0)x 2(x >0)的图象如图所示，点A(x 1,y 1)在第一象限内的函数图象上．(1)若点B(x 2,y 2)也在上述函数图象上，满足x 2<x 1． ①当y 2=y 1=4时，求x 1，x 2的值；②若|x 2|=|x 1|，设w =y 1−y 2，求w 的最小值；(2)过A 点作y 轴的垂线AP ，垂足为P ，点P 关于x 轴的对称点为P′，过A 点作x 轴的垂线AQ ，垂足为Q ，Q 关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y 轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：−2021的相反数是2021，故选：A．根据相反数的定义即可得出答案．本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键，即：只有符号不同的两个数互为相反数．2.【答案】C【解析】解：A.3a−2a=a，故此选项不合题意；B.3a⋅2a=6a2，故此选项不合题意；C.a3÷a2=a，故此选项符合题意；D.(2a)3=8a3，故此选项不合题意；故选：C．A.直接合并同类项判断结果是否正确；B.直接利用单项式乘单项式运算法则判断结果是否正确；C.直接利用同底数幂的除法运算法则判断结果是否正确；D.直接利用积的乘方运算法则判断结果是否正确．此题主要考查了合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂的除法运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】D【解析】解：√452=√9×5×22×2=3√102，故选：D．根据二次根式的性质进行化简即可．本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．4.【答案】D【解析】解：{2x+y=3①2x−3y=4②，①−②，得4y=−1，故选：D．①−②得出(2x+y)−(2x−3y)=3−4，再去括号，合并同类项即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵对于正比例函数y=2x，2>0，函数值y随x的增大而增大，对于反比例函数y=2x，2>0，双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小，∴A选项不符合题意；∵对于正比例函数y=2x，2>0，直线y=2x在第一、三象限，对于反比例函数y=2x，2>0，双曲线的两个分支在第一、三象限，∴B选项符合题意；∵对于正比例函数y=2x，它的图象经过原点，对于反比例函数y=2x，它的图象与坐标轴没有交点，∴C选项不符合题意；∵当x=2，y=2×2=4≠1∴正比例函数y=2x的图象不经过点(2,1)．∵当x=2时，y=22=1，∴反比例函数y=2x的图象经过(2,1)，∴D选项不符合题意．综上，正确选项为：B．故选：B．利用正比例函数y=2x与反比例函数y=2x的性质，对每个选项进行判断后得出结论．本题主要考查了正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正比例函数图象上的点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征．反比例函数的增减性只指在同一象限内且与正比例函数的图象的性质相反，这是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：A.不是中心对称图形，符合题意；B.是中心对称图形，不符合题意；C.是中心对称图形，不符合题意；D.是中心对称图形，不符合题意．故选：A．根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．此题考查了中心对称图形的概念．熟记定义是解答本题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵AB//CD，∴∠DCA+∠CAB=180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°，∵△ACE为等边三角形，∴∠ECA=∠EAC=60°，∴∠EAB=180°−40°−60°−60°=20°．故选：C．根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB=180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB= 180°，由△ACE为等边三角形得∠ECA=∠EAC=60°，即可得出∠EAB的度数．本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，根据等边三角形得出∠ECA=∠EAC=60°是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：由作法得DE垂直平分AB，∴NA=NB．故选：B．直接利用线段垂直平分线的性质求解．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作已知线段的垂直平分线).也考查了线段垂直平分线的性质．9.【答案】C【解析】解：[200×30×80%+80×30×(1−80%)]÷30=(4800+480)÷30=176(元)，故选：C．利用加权平均数的计算方法求解即可．本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解答的关键．10.【答案】B【解析】解：∵▱ABCD的面积为4，∴当x=0时，y=2；x=2时，y=0；∵△BPC的底边AP边上的高不变，∴y是x的一次函数，故只有选项B符合题意．故选：B．根据平行四边形的性质可知，当点P在A处时(即x=0)，△BPC的面积为2，当点P运动到B时(即x=2)，△BPC的面积为0，因为△BPC的底边AP边上的高不变，所以y 是x的一次函数，据此判断即可．本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．11.【答案】3【解析】解：∵a3=27，3=3，∴a=√27故答案为：3．根据立方根的定义即可得出答案．本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键，即：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a 3．的立方根．记作：√a12.【答案】x1=0，x2=3【解析】解：x2−3x=0，x(x−3)=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．13.【答案】0【解析】解：解不等式x−2≤0，得：x≤2，又x>−1，∴不等式组的解集为−1<x≤2，∴符合不等式组的x的值为0或1或2等，故答案为：0(答案不唯一)．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，∴他选到锄头的概率是：1．3．故答案为：13由小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳动工具，利用概率公式可求他选到锄头的概率．此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.【答案】6【解析】解：由上表可知函数图象经过点(0,3)和点(2,3)，=1，∴对称轴为x=0+22∴x=−1时的函数值等于x=3时的函数值，∵当x=3时，y=6，∴当x=−1时，a=6．故答案为：6．确定二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性即可求解．本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称轴是解决此题的关键．16.【答案】60【解析】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，∴∠AOE=∠COE，∠COE=∠BOC，∴∠AOE=∠COE=∠BOC，∵∠AOE+∠COE+∠BOC=180°，∴∠BOC=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，故答案为：60．根据角平分线的定义得出∠AOE=∠COE，∠COE=∠BOC，求出∠AOE=∠COE=∠BOC，根据∠AOE+∠COE+∠BOC=180°求出∠BOC，再根据对顶角相等求出答案即可．本题考查了邻补角、对顶角，角平分线的定义等知识点，注意：①邻补角互补，②从角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成相等的两个角，那么这条射线叫这个角的平分线，③对顶角相等．17.【答案】①【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；②∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，因此∠ABC=∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；故答案为：①．由菱形的判定、矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个条件进行判断即可．本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟记“有一组邻边相等的平行四边形为菱形”是解题的关键．18.【答案】94【解析】解：由旋转的性质可知，∠BAC=∠B′AC′，∴∠BAB′=∠CAC′，∵AB=AB′，AC=AC′，∴ABAC =AB′AC′，∴△ACC′∽△ABB′，∴S△ACC′S△ABB′=(ABAC)2，∵∠CAB=90°，∴tan∠ABC=ACBC =32，∴∴S△ACC′S△ABB′=(ABAC)2=94．故答案为：94．证明△ACC′∽△ABB′，可得S△ACC′S△ABB′=(ABAC)2，解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=a+3a ⋅2a(a+3)(a−3)=2a−3，当x=2时，原式=22−3=−2．【解析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．20.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，AC=BD，∠BCD=90°，又∵∠DBC=30°，∴BD=2CD=2×6=12，∴AC=12．【解析】根据矩形的性质得出CD=6，∠BCD=90°，AC=BD，再根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得出结论．本题考查矩形的性质以及解直角三角形，关键是利用矩形的性质把已知条件转化到Rt△BCD中求解．21.【答案】解：(1)∵点A是一次函数y=2x−4的图象与x轴的交点，∴当y=0时，2x−4=0，解得x=2，∴点A的坐标为(2,0)；(2)将点A(2,0)向上平移2个单位后得点B(2,2)．设过点B的反比例函数解析式为y=kx，则2=k2，解得k=4，∴该反比例函数的表达式为y=4．x【解析】(1)把y=0代入一次函数y=2x−4，求出x，即可得到点A的坐标；(2)根据平移的性质求出点B的坐标，设所求反比例函数解析式为y=k，将B点坐标代x入，即可求出该反比例函数的表达式．本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，正确求出点A的坐标是解题的关键．22.【答案】解：(1)140÷35%=400(人)，答：本次被调查的居民人数是400人；(2)偏好球类的人数：400×25%=100(人)，补全条形统计图如下：(3)10000×80%×(1−35%−30%−25%)=800(人)，答：估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是800人．【解析】(1)由步行类的人数及百分比即可求出本次被调查的居民人数；(2)用样本容量乘以球类的百分比求出其人数，从而补全图形；(3)用总人数乘以爱好运动者的百分比求出爱好运动的人数，爱好运动的人数乘以偏好器械的百分比即可．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，先求出本次被调查的居民人数，利用数形结合的思想解答．23.【答案】解：在Rt △ABC 中，sin∠BAC =BC AB ，cos∠BAC =AC AB ，∴BC =AB ⋅sin∠BAC =AB ⋅sin13°≈50×0.22=11(米)；AC =AB ⋅cos∠BAC =AB ⋅cos13°≈50×0.97=48.5(米)；在Rt △ADC 中，tan∠DAC =CDAC ，∴CD =AC ⋅tan∠DAC =AC ⋅tan38°≈48.5×0.78−37.83(米)；∴BD =CD −BC ≈37.83−11=26.83≈27(米)，答：宝塔BD 的高约为27米．【解析】要求BD 的长，由题意知可先求出BC 、CD 的长．再利用BD =CD −BC 求出BD 的长．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24.【答案】解：(1)设长益段高铁全长为x 千米，长益城际铁路全长为y 千米， 根据题意，得：{y =x +40y 60=x 16×1330， 解得：{x =64y =104， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．(2)设甲队后期每天施工a 千米，甲原来每天的施工长度为64÷40×716=0.7(千米)，乙每天的施工长度为64÷40×916=0.9(千米)，根据题意，得：0.7×5+0.9×(40−3)+(40−3−5)a ≥64，解得：a ≥0.85，答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上(含3天)完成．【解析】(1)设长益段高铁全长为x 千米，长益城际铁路全长为y 千米，由题意得到二元一次方程组，求解即可．(2)设甲队后期每天施工a千米，甲原来每天的施工长度为64÷40×716=0.7(千米)，乙每天的施工长度为64÷40×916=0.9(千米)，根据题意列出一元一次不等式即可．本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程组，和不等式组即可．25.【答案】解：(1)EA平分∠DEF，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ACB=∠AEB，∴∠ABC=∠AEB∵∠ABC+∠AEC=180°，∠AEF+∠AEC=180°，∴∠ABC=∠AEF，∴∠AEB=∠AEF，∴EA平分∠DEF，(2)①由(1)知：EA平分∠DEF，∵BD⊥AC，AF⊥CE，∴AD=AF，在Rt△ABD和Rt△ACF中，{AD=AFAB=AC，∴Rt△ABD≌Rt△ACF(HL)，∴BD=CF，②由△ADE≌△AFE可知：DE=FE，∴BD2−DE2=(BD+DE)(BD−DE)=BE(CF−EF)=BE⋅CE，∵∠BAE+∠BCE=180°，∠BCE+∠ECG=180°，∴∠BAE=∠ECG，∴△AEB∽△CEG，∴AECE =BEEG，∴BE⋅CE=AE⋅EG，∴BD2−DE2=AE⋅EG，即BD2=DE2+AE⋅EG．【解析】(1)由AB =AC ，得∠ABC =∠ACB ，由∠ABC +∠AEC =180°，∠AEF +∠AEC =180°，得∠ABC =∠AEF ，可推得∠AEB =∠AEF 即可；(2)①通过HL 证Rt △ABD≌Rt △ACF 即可得出BD =CF ；②由全等知DE =EF ，BD 2−DE 2=BE ⋅CE ，通过相似可证BE ⋅CE =AE ⋅EG ，即可解决问题．本题主要考查了圆的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，从复杂图形中找出基本图形进行线段之间的转化是解决问题的关键．26.【答案】解：(1)①∵y ={−x(x ≤0)x 2(x >0)，由x 2<x 1且y 2=y 1=4时， 由y 1=x 12=4， ∴x 1=2(负值舍)，由y 2=−x 2=4，∴x 2=−4，②∵|x 2|=|x 1|且x 2<x 1.x 1>0，∴x 2<0且x 1=−x 2，∴y 1=x 12，y 2=−x 2=x 1，∴w =y 1−y 2=x 12−x 1=(x 1−12)2−14， ∴当x 1=12时，w 有最小值为−14，(2)如图，设直线AQ′交y 轴于点M(0,b)，连接QQ′，∵AQ ⊥x 轴，∴AQ//y 轴，∴∠AP′M =∠P′AQ ，∵点Q与Q′关于AP′对称，∴AQ=AQ′，AP′⊥QQ′，∴∠P′AQ=∠P′AQ′，∴∠AP′M=∠P′AQ′，∴AM=P′M，∵点A(x1,y1)在第一象限内的函数图象上．∴x1>0，y1=x12>0，∴x1=√y1，∵AP⊥y轴，∴P点的坐标为(0,y1)，AP=x1=√y1，∵点P与P′关于x轴对称，∴点P′的坐标为(0,−y1)，∴PM=|y1−b|，AM=P′M=|y1+b|，∵在Rt△APM中，由勾股定理得：(√y1)2+|y1−b|2=|y1+b|2，化简得：y1−4by1=0，∵y1>0，∴b=1，4).∴直线AQ′与y轴交于一定点M，坐标为(0,14【解析】(1)①将y2=y1=4时代入相应解析式计算即可；②由|x2|=|x1|且x2<x1.x1>0得x1=−x2，将w化为自变量为x1的二次函数，求出最小值；(2)设直线AQ′交y轴于点M(0,b)，连接QQ′，由角平分线与平行，可推导出AM=MP′，表示出AM，PM，AP的长度，通过勾股定理得出等式，化简即可解决问题．本题主要考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值、勾股定理等知识，用含参数来表示相应的线段长度是解决问题的关键．第21页，共21页。

精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列四个实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣12．（5分）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．B．C．D．3．（5分）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形4．（5分）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×1085．（5分）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．6．（5分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤07．（5分）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα8．（5分）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A的度数为．10．（5分）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=．11．（5分）代数式有意义，则x的取值范围是．12．（5分）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为．13．（5分）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为．14．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．三、解答题（本大题8个小题，共80分）15．（8分）计算：|﹣4|﹣2cos60°+（﹣）0﹣（﹣3）2．16．（8分）先化简，再求值：+，其中x=﹣2．17．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．18．（10分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，2=0.8、S乙你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.4、S丙2=0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）19．（10分）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．21．（12分）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．22．（14分）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2017•益阳）下列四个实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．﹣1【分析】根据选项中的数据，可以比较它们的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜2，故选C．【点评】本题考查实数大小的比较，解答此类问题的关键是明确负数小于0小于正数．2．（5分）（2017•益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．B．C．D．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案．【解答】解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2．故选D．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．3．（5分）（2017•益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】根据菱形的性质解答即可得．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线是解题的关键．4．（5分）（2017•益阳）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．4×108B．4×10﹣8C．0.4×108D．﹣4×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：0.000 000 04=4×10﹣8，故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（5分）（2017•益阳）下列各式化简后的结果为3的是（）A．B． C． D．【分析】根据二次根式的性质逐一化简可得．【解答】解：A、不能化简；B、=2，此选项错误；C、=3，此选项正确；D、=6，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．6．（5分）（2017•益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，∴b2﹣4ac＞0，故选A【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．7．（5分）（2017•益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由os∠BCD=知BC==．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD=∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴BC==，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．（5分）（2017•益阳）如图，空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，在比例尺为1：4的三视图中，其主视图的面积是（）A．cm2B．cm2C．30cm2D．7.5cm2【分析】根据给出的空心卷筒纸的高度为12cm，外径（直径）为10cm，内径为4cm，比例尺为1：4，可得其主视图的面积=长12×=3cm宽10×=2.5cm的长方体的面积，根据长方形面积公式计算即可求解．【解答】解：12×=3（cm）10×=2.5（cm）3×2.5=7.5（cm2）答：其主视图的面积是7.5cm2．故选：D．【点评】考查了简单几何体的三视图的知识，解题的关键是能得到立体图形的三视图和学生的空间想象能力．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）9．（5分）（2017•益阳）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD=28°，则∠A 的度数为124°．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°，根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD=28°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠BCD=28°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，故答案为：124°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．10．（5分）（2017•益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= 6.5．【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵CD是AB边上的中线，∴CD=6.5；故答案为：6.5．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．11．（5分）（2017•益阳）代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．12．（5分）（2017•益阳）学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为48．【分析】设被调查的学生人数为x人，则有=0.25，解方程即可．【解答】解：设被调查的学生人数为x人，则有=0.25，解得x=48，经检验x=48是方程的解．故答案为48；【点评】本题考查频数与频率、记住两者的关系是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2017•益阳）如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为108°．【分析】根据多边形的内角和公式即可得出结果．【解答】解：∵五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°，又∵五边形的每个内角都相等，∴每个内角的度数=540°÷5=108°．故答案是：108°．【点评】本题考查多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n﹣2）•180°．14．（5分）（2017•益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC 的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为2a+3b．【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；【解答】解：∵AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE=b，∴∠ECA=∠BAC=36°，∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b故答案为：2a+3b．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE=CE=BC，本题属于中等题型．三、解答题（本大题8个小题，共80分）15．（8分）（2017•益阳）计算：|﹣4|﹣2cos60°+（﹣）0﹣（﹣3）2．【分析】根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可．【解答】解：原式=4﹣2×+1﹣9，=﹣5．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．16．（8分）（2017•益阳）先化简，再求值：+，其中x=﹣2．【分析】根据分式的运算法则先化简单，再代入求值即可．【解答】解：原式==x+1+x+1=2x+2．当x=﹣2时，原式=﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分、加减运算是解题的关键．17．（8分）（2017•益阳）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC=CE．【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，又∵F是CD的中点，即DF=CF，∴△ADF≌△ECF，∴AD=CE，∴BC=CE．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．18．（10分）（2017•益阳）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号12345678910成绩（分）7687758787（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，2=0.8、S乙你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2=0.4、S丙2=0.8）（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）；（2）易知（分），（分），（分），根据题意不难判断；（3）画出树状图，即可解决问题；【解答】解：（1）甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）．（2）∵（分），（分），（分），∴＞，＞∴选乙运动员更合适．（3）树状图如图所示，第三轮结束时球回到甲手中的概率是．【点评】本题考查列表法、条形图、折线图、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握基本概念是解题的关键．19．（10分）（2017•益阳）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？【分析】（1）设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设今年土特产的利润为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．【解答】解：（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，依题意得：，解得：，答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；（2）设今年土特产利润m万元，依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣11≥10，解之得，m≥7.4，答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键．20．（10分）（2017•益阳）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB 的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，【分析】由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD==5，∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠OCD=90°；（2）根据勾股定理求出OD的长度．21．（12分）（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k ≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．22．（14分）（2017•益阳）如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）①联立直线和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；②过A作AC ⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，可分别求得∠ANM和∠BNM的正切值，可证得结论；（2）当k=0时，由对称性可得出结论；当k≠0时，过A作AE⊥y轴于E，过B 作BF⊥y轴于F，设、B，联立直线和抛物线解析式，消去y，利用根与系数的关系，可求得，则可证明Rt△AEN∽Rt△BFN，可得出结论．【解答】解：（1）①由已知得2x2=x+1，解得或x=1，当时，，当x=1时，y=2，∴A、B两点的坐标分别为（，），（1，2）；②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，由①及已知有A（，），B（1，2），且OM=ON=1，∴，，∴tan∠ANM=tan∠BNM，∴∠ANM=∠BNM；（2）∠ANM=∠BNM成立，①当k=0，△ABN是关于y轴的轴对称图形，∴∠ANM=∠BNM；②当k≠0，根据题意得：OM=ON=b，设、B．如图2，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F，XX 学校--用心用情 服务教育！用心用情 服务教育21由题意可知：ax 2=kx +b ，即ax 2﹣kx ﹣b=0， ∴， ∵===， ∴，∴Rt △AEN ∽Rt △BFN ，∴∠ANM=∠BNM ．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、三角函数的定义、根与系数的关系、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）②中求得两角的正切值是解题的关键，在（2）中利用根与系数的关系，整理求得，是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。

湖南益阳中考真题数学试卷第一部分选择题（共20小题，每小题4分，共80分）1. 某数学家为一益阳中考真题数学试卷设计了选择题部分，共有20小题，每小题4分。

以下为试卷的选择题部分，请你根据每个题目的描述，选择正确的答案填入题前的括号内。

( ) 1. 若`a:b = 5:8`，`b:c = 2:3`，则`c:a = `A. 3 : 5B. 3 : 8C. 8 : 3D. 5 : 3( ) 2. 排列3、7、1、4能组成的最大的四位偶数是A. 7431B. 7413C. 7341D. 7314( ) 3. 化简`(-5a^2b^3)^2 x (-2ab^2)^3`的结果是A. `-20^5a^16b^15`B. `20^5a^16b^15`C. `-20^6a^16b^15`D.`20^6a^16b^15`...第二部分解答题（共5小题，每小题10分，共50分）4. 解方程组：`3x - 2y = -1``2x + 3y = 13`解：将第一个方程乘以3，得到`9x - 6y = -3`，然后将第二个方程乘以2，得到`4x + 6y = 26`。

将两个方程相加，消去y的项，得到`13x = 23`，解得x = 23/13。

将x的值代入第一个方程，得到`3(23/13) - 2y = -1`，解得y = 9/13。

所以，方程组的解为x = 23/13，y = 9/13。

...第三部分计算题（共5小题，每小题10分，共50分）5. 已知等差数列的首项为3，公差为5，求前15项的和。

解：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，n为项数，d为公差。

首项a1 = 3，公差d = 5。

前15项的和可以表示为S15 = (a1 + a15) * 15 / 2，其中a15为第15项。

根据通项公式，a15 = a1 + (15-1)d = 3 + 14 * 5 = 73。

代入公式，S15 = (3 + 73) * 15 / 2 = 1140。

益阳市2023年初中学业水平考试数 学考生注意：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；4．本学科为闭卷考试，考试时量为120分钟，卷面满分为150分；5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试题卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1. 四个实数13-，0，2中，最大的数是（ ）A. 13- B. 0 C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．【详解】解：∵1023-<<<，∴最大的数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．2. 下列计算正确的是（ ）A 236x x x ×= B. ()235x x = C. ()2236x x = D. 32x x x ¸=【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法可判断A ，根据幂的乘方运算可判断B ，根据积的乘方运算可判断C ，根据同底数幂的除法运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：235x x x ×=，故A 不符合题意；()236x x =，故B 不符合题意；()2239x x =，故C 不符合题意；.32x x x ¸=，故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟记以上基础的运算的运算法则是解本题的关键．3. 下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．【详解】解：由轴对称图形定义可知：A ，B ，C 不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；D 选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形， 故选：D ．【点睛】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．4. 将不等式组0,20x x >ìí-£î的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先解不等式20x -≤，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可．【详解】解：020x x >ìí-£î①②，由② 得：2x £，在数轴上表示两个不等式的解集如下：，∴不等式组的解集为：02x <£；故选B【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练的使用数轴工具是解本题的关键．5. 某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A ，B 两种劳动工具共145件，A ，B 两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）A. 14510121580x y x y +=ìí+=î B. 14510121580x y x y -=ìí+=îC. 14512101580x y x y +=ìí+=î D. 14512101580x y x y -=ìí+=î【答案】A 【解析】【分析】设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，根据“用1580元购进A ，B 两种劳动工具共145件，A ，B 两种劳动工具每件分别为10元，12元．”列出方程组，即可求解．【详解】解：设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，根据题意得：14510121580x y x y +=ìí+=î．故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．6. 乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：测量时间第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天收缩压（毫米汞柱）151148140139140136140舒张压（毫米汞柱）90928888908088对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（ ）A. 收缩压的中位数为139B. 舒张压的众数为88C. 收缩压的平均数为142D. 舒张压的方差为887【答案】A 【解析】【分析】把数据按照大小排序后再确定中位数可判断A ，再利用所有数据的和除以数据总个数可得平均数，可判断C ，再根据出现次数最多的数据为众数可判断C ，再根据方差公式计算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：把收缩压的数据按照从小到大的顺序排列为：136，139，140，140，140，148，151；∴排在最中间的数据是140，可得中位数为140，故A 符合题意；收缩压的平均数为：()113613914031481511427++´++=，故C 不符合题意；舒张压的数据中88出现3次，所以舒张压的数据的众数为88，故D 不符合题意；舒张压的平均数为：()190928839080887++´++=，∴舒张压的方差为：()()()()2222218829088928838888808877S éù=´-+-+´-+-=ëû；故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数，方差的含义，熟记众数，中位数，平均数与方差的求解方法是解本题的关键．7. 如图，ABCD Y 的对角线AC BD ，交于点O ，下列结论一定成立的是（ ）A. OA OB =B. OA OB ^C. OA OC =D. OBA OBCÐ=Ð【答案】C 【解析】【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案．【详解】解：A 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，OB OD =，则OA OB =不一定成立，该选项不符合题意；B 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则OA OB ^不一定成立，该选项不符合题意；C 、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，该选项符合题意；D 、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则OBA OBC Ð=Ð不一定成立，该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，有三点()0,1A ，()4,1B，()5,6C ，则sin BAC Ð=（）A.12B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上，由()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，证明45BAC Ð=°，可得sin sin 45BAC Ð=°=【详解】解：如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上，∵()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，∴5AD =，5CD =，90ADC Ð=°，∴45BAC Ð=°，∴sin sin 45BAC Ð=°=故选C【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．9. 下列因式分解正确的是（ ）A. ()2224221a a a -+=- B. ()2a ab a a a b ++=+C. ()()22444a b a b a b -=+- D. ()233a b ab ab a b -=-【答案】A 【解析】【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．【详解】解：A 、()()22224222121a a a a a -+=-+=-，故本选项正确，符合题意；B 、()21a ab a a a b ++=++，故本选项错误，不符合题意；C 、()()22422a b a b a b -=+-，故本选项错误，不符合题意；D 、()()()3322ab ab ab a b ab a b a b -=-=+-，故本选项错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．10. 关于一次函数1y x =+，下列说法正确的是（ ）A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y 轴交于点()0,1C. 函数值y 随自变量x 的增大而减小 D. 当1x >-时，0y <【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的性质判断即可．【详解】解：由题意可得：0,0k b >>，∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y 随自变量x 的增大而增大，故A 、C 错；当0x =时，1y =，∴图象与y 轴交于点()0,1，故B 正确；当=1x -时，0y =，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴当1x >-时，0y >，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）11. 据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长27％．将1590000用科学记数法表示为______．【答案】61.5910´【解析】【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为10n a ´，n 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：将1590000用科学记数法表示为61.5910´．故答案为：61.5910´【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为10n a ´，其中110a £<，n 是正整数，正确确定a 的值和n 的值是解题的关键．12. _______．【答案】10【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．10==．故答案为：10．=13. 从110:这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是______．【答案】310##0.3【解析】【分析】直接利用概率公式求解即可.【详解】解：由题意可得：在110:中共有10个整数，3的倍数只有3，6，9，共3个，∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是310，故答案为：310.【点睛】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.14. 分式方程422x x=-的解是______．【答案】2x =-【解析】分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：去分母得：()224x x -=，解得：2x =-，检验：当2x =-时，()20x x -¹，∴原方程的解为2x =-．故答案为：2x =-【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．15. 我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数2y x =的图象向上平移1个单位得到21y x =+的图象；将二次函数21y x =+的图象向左平移2个单位得到()221y x =++的图象．若将反比例函数6y x=的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是______．【答案】63y x=-【解析】【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案．【详解】解：将反比例函数6y x=的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x=-，故答案为：63y x=-．【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．【16. 如图，正六边形ABCDEF 中，FAB Ð=______°．【答案】120°##120度【解析】【分析】由正六边形的内角和为()62180-´°，结合正六边形的所有的内角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF ，∴正六边形的所有的内角都相等；∴()621801206FAB -´°Ð==°；故答案为：120°．【点睛】本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，熟记正多边形的每个内角都相等是解本题的关键．17. 如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为AB 的中点，连接DE ，将DAE V 绕点D 按逆时针方向旋转90°得到DCF V ，连接EF ，则EF 的长为______．【答案】【解析】【分析】由正方形ABCD ，可得4AD DC AB ===，A ADC BCD 90Ð=Ð=Ð=°，90DCF Ð=°，证明2AE BE ==，求解2224220DE =+=，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴4AD DC AB ===，A ADC BCD 90Ð=Ð=Ð=°，∴90DCF Ð=°，∵E 为AB 的中点，∴2AE BE ==，∴2224220DE =+=，由旋转可得：90EDF Ð=°，DE DF =，∴==；故答案为：．【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键．18. 如图，在ABCD Y 中，6AB =，4=AD ，以A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接DE ，分别以D E ，为圆心，以大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF ，交DE 于点M ，过点M 作∥MN AB 交BC 于点N ．则MN 的长为______．【答案】4【解析】【分析】由尺规作图可知，射线AF 是BAD Ð的角平分线，由于4AD AE ==，结合等腰三角形“三线合一”得M 是DE 边中点，再由∥MN AB ，根据平行线分线段成比例定理得到N 是边BC 中点，利用梯形中位线的判定与性质得到()12MN DC EB =+即可得到答案．【详解】解：由题意可知4AD AE ==，射线AF 是BAD Ð的角平分线，\由等腰三角形“三线合一”得M 是DE 边中点，Q∥MN AB ，\由平行线分线段成比例定理得到1BN EMNC MD==，即N 边BC 中点，\MN 是梯形BCDE 的中位线，\()12MN DC EB =+，在ABCD Y 中，6CD AB ==，642BE AB AE =-=-=，则4MN =，是故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键．三、解答题（本题共8个小题，共78分）19. 211123⎛⎫---´- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可．211123⎛⎫---´- ⎪⎝⎭134=--+=【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键．20. 如图，AB CD ∥，直线MN 与,AB CD 分别交于点E ，F ，CD 上有一点G 且GE GF =，1122Ð=°．求2Ð的度数．【答案】64°【解析】【分析】根据AB CD ∥，可得1122DFE Ð=Ð=°，从而得到58EFG Ð=°，再由GE GF =，可得58FEG EFG Ð=Ð=°，然后根据三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵AB CD ∥，1122Ð=°∴1122DFE Ð=Ð=°，∴18058EFG DFE Ð=°-Ð=°，∵GE GF =，∴58FEG EFG Ð=Ð=°，∴218064FEG EFG Ð=°-Ð-Ð=°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．21. 先化简，再求值：()2112111x x x ⎛⎫-¸ ⎪-+⎝⎭-，其中1x =-．【答案】11x x -+，1-【解析】【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把1x =-代入化简后的分式中进行计算即可．【详解】解：()2112111x x x ⎛⎫-¸ ⎪-+⎝⎭-()()()()()211111112x x x x x x x éù-+-=-×êú-+-+ëû()()()212112x x x -=×+-11x x -=+；当1x =-时，原式1==．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟练的计算分式的混合运算是解本题的关键．22. 我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A ：非常满意；B ：满意；C ：一般；D ：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：等级人数A 72B108C48D m请你根据图表中的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生人数是多少？（2）求以上图表中m ，n 的值及扇形统计图中A 等级对应的圆心角度数；（3）若该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有多少人？【答案】（1）本次被调查的学生人数是240人；（2）12m =，45n =；图中A 等级对应的圆心角度数为108°；（3）该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．【解析】【分析】（1）由C 等级的人数除以其占比可得总人数，（2）由总人数减去A ，B ，C 三个等级的人数可得m 的值，再由B 等级的人数除以总人数可得n 的值，由A 等级的占比乘以360°可得圆心角的度数；（3）由A ，B 等级的占比乘以1200，可得答案．【小问1详解】解：∵4820%240¸=，∴本次被调查的学生人数是240人；【小问2详解】由题意可得：240721084812m =---=，10845%240=，∴45n =；72360108240´°=°，∴图中A 等级对应的圆心角度数为108°；【小问3详解】∵721081200900240+´=，∴该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．【点睛】本题考查的从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．23. 如图，线段AB 与O e 相切于点B ，AO 交O e 于点M ，其延长线交O e 于点C ，连接BC ，120ABC Ð=°，D 为O e 上一点且 DB的中点为M ，连接AD ，CD ．（1）求ACB Ð的度数；（2）四边形ABCD 是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；（3）若6AC =，求 CD的长．【答案】（1）30°（2）是菱形，证明见解析（3） CD 的长为43p ．【解析】【分析】（1）如图，连接OB ，证明90Ð=°ABO ，而120ABC Ð=°，可得1209030OBC Ð=°-°=°，再结合等腰三角形的性质可得答案；（2）先证明30ACD ACB Ð=Ð=°，即60DCB Ð=°，而120ABC Ð=°，求解30CAB ACB Ð=°=Ð，可得BA BC =，证明 CDCB =，可得CD CB =，再证明AD AB =，可得AD AB BC CD ===，从而可得结论；（3）如图，连接OD ，BD ，交AC 于Q ，证明DBC △为等边三角形，可得2120DOC DBC Ð=Ð=°，证明3QA QC ==，AC BD ^，求解2OC =，再利用弧长公式进行计算即可．【小问1详解】解：如图，连接OB ，∵线段AB 与O e 相切于点B ，∴90Ð=°ABO ，而120ABC Ð=°，∴1209030OBC Ð=°-°=°，∵OB OC =，∴30OBC OCB Ð=Ð=°；【小问2详解】四边形ABCD 是菱形，理由如下：∵ DB的中点为M ，30ACB Ð=°，∴30ACD ACB Ð=Ð=°，即60DCB Ð=°，而120ABC Ð=°，∴1801203030CAB ACB Ð=°-°-°=°=Ð，∴BA BC =，∵ DB的中点为M ，CM 为直径，∴ CDCB =，∴CD CB =，∵30ACD ACB Ð=°=Ð，AC AC =，∴ACD ACB ≌△△，∴AD AB =，∴AD AB BC CD ===，∴四边形ABCD 是菱形．【小问3详解】如图，连接OD ，BD ，交AC 于Q ，∵CD CB =，60DCB Ð=°，∴DBC △为等边三角形，∴60DBC Ð=°，∴2120DOC DBC Ð=Ð=°，∵菱形ABCD ，6AC =，∴3QA QC ==，AC BD ^，∴903060CBQ Ð=°-°=°，∵30OBC Ð=°，∴30QBO Ð=°，∴1122OQ OB OC ==，∴132OC OC +=，2OC =，∴ CD 的长为120241803p p ´=．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．24. 某企业准备对A ，B 两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A 项目一年后的收益A y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：25A y x =，投资B 项目一年后的收益B y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：2125B y x x =-+．（1）若将10万元资金投入A 项目，一年后获得的收益是多少？（2）若对A ，B 两个项目投入相同资金m （0m >）万元，一年后两者获得的收益相等，则m 的值是多少？的（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A ，B 两个项目中，当A ，B 两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？【答案】（1）4万元 （2）8m =（3）当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得收益之和最大，最大值是16万元．【解析】【分析】（1）把10x =代入25A y x =可得答案；（2）当x m =时，可得221255m m m =-+，再解方程可得答案；（3）设投入到B 项目的资金为x 万元，则投入到A 项目的资金为()32x -万元，设总收益为y 万元，A B y y y =+21864555x x =-++，而032x ££，再利用二次函数的性质可得答案．【小问1详解】解：∵投资A 项目一年后的收益A y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：25A y x =，当10x =时，21045A y =´=（万元）；【小问2详解】∵对A ，B 两个项目投入相同的资金m （0m >）万元，一年后两者获得的收益相等，∴221255m m m =-+，整理得：280m m -=，解得：18m =，20m =（不符合题意），∴m 的值为8．【小问3详解】2125B y x x =-+设投入到B 项目的资金为x 万元，则投入到A 项目的资金为()32x -万元，设总收益为y 万元，∴A By y y =+()22132255x x x =--+的21864555x x =-++，而032x ££，∴当854125x =-=⎛⎫´- ⎪⎝⎭时，132641616555y =-´++=最大（万元）；∴当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．25. 如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC >，点D 在边AC 上，将线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90°得到DA ¢，线段DA ¢交AB 于点E ，作A F AB ¢^于点F ，与线段AC 交于点G ，连接,FC GB ．（1）求证：ADE A DG ¢≌△△；（2）求证：AF GB AG FC ×=×；（3）若8AC =，1tan 2A =，当A G ¢平分四边形DCBE 的面积时，求AD 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，再根据A F AB ¢^，可得A A ¢Ð=Ð，即可；（2）根据90BFG ACB Ð=Ð=°，可得点B ，C ，G ，F 四点共圆，从而得到CBG CFG Ð=Ð，180ABC CGF Ð+Ð=°，从而得到AGF ABC Ð=Ð，进而得到ACF ABG Ð=Ð，可证明ABG ACF ∽V V ，即可；（3）连接EG ，根据8AC =，1tan 2A =，可得4,2BC A D AD DE ¢===，2A F EF ¢=，AB =，设DE DG x ==，则2A D AD x ¢==可得AE A G ¢==，A E x ¢=，83CG x =-，,EF x A F ¢==，FG x =，BF x =，再由A G ¢平分四边形DCBE 的面积，可得DEG FEG BFG BCG S S S S +=+V V V V ，从而得到关于x 的方程，即可求解．【小问1详解】证明：∵线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90°得到DA ¢，∴,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，∴90A AED Ð+Ð=°，∵A F AB ¢^，即90A FE ¢Ð=°，∴90A AEF ¢Ð+Ð=°，∵AED AEF Ð=Ð，∴A A ¢Ð=Ð，在ADE V 和A DG ¢V 中，∵A A ¢Ð=Ð， ,90DA DA ADA GDA ¢¢¢=Ð=Ð=°，∴ADE A DG ¢≌△△；【小问2详解】证明：∵90BFG ACB Ð=Ð=°，∴点B ，C ，G ，F 四点共圆，∴CBG CFG Ð=Ð，180ABC CGF Ð+Ð=°，∵180AGF CGF Ð+Ð=°，∴AGF ABC Ð=Ð，∵,AGF CFG ACF ABC ABG CBG Ð=Ð+ÐÐ=Ð+Ð，∴ACF ABG Ð=Ð，∵A A Ð=Ð，∴ABG ACF ∽V V ，∴AG BG AF CF=，即AF GB AG FC ×=×；【小问3详解】解：如图，连接EG ，∵ADE A DG ¢≌△△，∴DE DG =，AE A G ¢=，∵8AC =，1tan 2A =，∴11tan ,tan 22BC DE EF A A AC AD A F ¢=====¢，∴4,2BC A D AD DE ¢===，2A F EF ¢=，∴AB =，设DE DG x ==，则2A D AD x ¢==，∴AE A G ¢==，A E x ¢=，83CG x =-，∴,EF x A F x ¢==，∴FG x =，BF x =，∵A G ¢平分四边形DCBE 的面积，∴DEG FEG BFG BCG S S S S +=+V V V V ，∴111222DE EF FG BC CG BF FG ´´=´+´，即()211114832222x x x x x ⎛⎫+=´-+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：x =（负值舍去），∴2AD x ==【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，直线:(2)(0)l y a x a =+>与x 轴交于点A ，与抛物线2:E y ax =交于B ，C 两点（B 在C 的左边）．（1）求A 点的坐标；（2）如图1，若B 点关于x 轴的对称点为B ¢点，当以点A ，B ¢，C 为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a 的值；（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如()2,1-，()2,0等均为格点．如图2，直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a 的取值范围．【答案】（1）()20-，（2）1a =或a =； （3）132023a <£或7a =．【解析】【分析】（1）对于直线():2l y a x =+，令0y =，求出x ，即可求解；（2）表示出点A ，B ¢，C 的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；（3）直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y 轴和直线1x =上，各为13个，分别求出a 的范围．【小问1详解】解：对于直线():2l y a x =+，当0y =时，2x =-，∴A 点的坐标为()2,0-；【小问2详解】解：联立直线:(2)l y a x =+与抛物线2:E y ax =得：2(2)y a x y ax=+ìí=î，220x x \--=，1x \=-或2x =，(1)B a \-，，(24)C a ，，B Q 点关于x 轴的对称点为B ¢点，(1)B a ¢\--，，2222(21)(0)1AB a a ¢\=-+++=+，2222(22)(40)1616AC a a =++-=+，2222(21)(4)259B C a a a ¢=+++=+，若90CAB ¢Ð=°，则222AB AC B C ¢¢+=，即22211616259a a a +++=+，所以1a =，若90AB C ¢Ð=°，则222AB B C AC ¢¢+=，即22212591616a a a +++=+，所以a =，若90ACB ¢Ð=°，则222AC B C AB ¢¢+=，即22216162591a a a +++=+，此方程无解．1a \=或a =；【小问3详解】解：如图，直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y 轴和直线1x =上，(02)D a Q ，，(1)E a ，，(13)F a ，，2OD EF a \==，Q 格点数恰好是26个，\落在y 轴和直线1x =上的格点数应各为13个，\落在y 轴的格点应满足13214a <£，即1372a <£，①若1372a <<，即1372E y <<，所以线段EF 上的格点应该为(1,7)，(1，8)(1¼¼，19)，19320a \<£\192033a <£\132023a <£②若7a =，7E y =，21F y =，所以线段EF 上的格点正好13个，综上，132023a <£或7a =．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在y 轴和直线1x =上，各为13个，并对点D 、F 进行定位．。

益阳市2020年普通初中毕业学业考试试卷数 学注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上； 3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效； 4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为120分； 5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试 题 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．四个实数2-，0，1中，最大的实数是 A ．2-B ．0C．D ．12．下列式子化简后的结果为6x 的是 A ．33x x +B ．33x x ⋅C ．33()xD ． 122x x ÷3．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，综合题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是 A ．120B ．15C ．14D ．134．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是姓名 准考证号图2ABCD5．一元二次方程220x x m -+=总有实数根，则m 应满足的条件是 A ．1m >B ．1m =C ．1m <D ．1m ≤6．正比例函数6y x =的图象与反比例函数6y x=的图象的交点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第一、三象限7．如图1，平行四边形ABCD 中，,E F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使ABE ∆≌CDF ∆，则添加的条件不能．．是 A ．AE CF = B ．BE FD =2∠8．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(3,0)-，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为图11 2 ABCDE FA ．1B ．1或5C ．3D ．5二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）9．若29(3)()x x x a -=-+，则a = ． 10．分式方程2332x x=-的解为 ． 11．小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米．12．小明放学后步行回家，他离家的路程s (米)与步行时间(t 分钟)的函数图象如图3所示，则他步行回家的平均速度是 米/分钟．13．如图4，将等边ABC ∆绕顶点A 顺时针方向旋转，使边AB 与AC 重合得ACD ∆，BC 的中点E 的对应点为F ，则EAF ∠的度数是 ．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）图4A80° EBCF图5BC AFED14．计算：0|3|3-+15．如图5，EF ∥BC ，AC 平分BAF ∠，80B ∠=︒．求C ∠的度数．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16．先化简，再求值：21(2)(2)(1)2x x x +-+--，其中x = 17．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图6），请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？图64 8类别文学科普其他最喜爱的各类图书的人数最喜爱的各类图书的人数占总人数的百分比18．“中国⋅益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图7，新大桥的两端位于A B 、两点，小张为了测量A B 、之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：76.1BDA ∠=︒，68.2BCA ∠=︒,82CD =米．求AB 的长（精确到0.1米）． 参考数据：sin76.10.97︒≈，cos76.10.24︒≈，tan76.1 4.0︒≈；sin68.20.93︒≈，cos68.20.37︒≈，tan68.2 2.5︒≈．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A 、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：图7第一周 3台 5台 1800元 第二周4台10台3100元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） （1）求A 、B 两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标，若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．20．如图8，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2(2)y a x k=-+经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ． （1）求a ，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ ∆是以AB为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标． （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以,,,A C M N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．六、解答题（本题满分12分）21．如图9，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,AD ⊥AB ,60B ∠=︒,10AB =,4BC =，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP x =． （1）求AD 的长；DCBA图9P60°（2）点P 在运动过程中，是否存在以A P D 、、为顶点的三角形与以P C B 、、为顶点的三 角形相似？若存在，求出x 的值；若不存 在，请说明理由；（3）设ADP ∆与PCB ∆的外接圆的面积分别为1S 、2S ，若12S S S =+，求S 的最小值．益阳市2020年普通初中毕业学业考试试卷 数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）9．3； 10．9x =-； 11．2.16； 12．80； 13．60︒． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）14.解：原式3131=+-=.…………………………………………………………………６分15.解：∵EF ∥BC ,∴180100BAF B ∠=︒-∠=︒.……………………………………………………２分∵AC 平分BAF ∠,∴1502CAF BAF ∠=∠=︒,………………………………………………………４分∵EF ∥BC ，∴50C CAF ∠=∠=︒.……………………………………………………………６分四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16.解：21(2)(2)(1)2x x x +-+-- 212421x x x =+-+-+22x =-……………………………………………………………………………６分当x =22=-1=.…………………………………………………８分17.解：（1）被调查的学生人数为：1220%60÷=(人)；……………………………２分（2）如图48……………………５分（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有24120048060⨯=(人).………………８分18.解：设AD x =米，则(82)AC x =+米.在Rt ABC ∆中，tan ABBCA AC∠=，∴tan 2.5(82)AB AC BCA x =⋅∠=+.…………２分在Rt ABD ∆中，tan ABBDA AD∠=,∴tan 4AB AD BDA x =⋅∠=.……………………４分 ∴ 2.5(82)4x x+=，∴4103x =.………………………………………………………６分 ∴41044546.73AB x ==⨯≈.答：AB的长约为546.7米. …………………………………………………………８分五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19.解：(1)设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元.依题意得:351800,4103100;x y x y +=⎧⎨+=⎩解得250,210.x y =⎧⎨=⎩ 答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.……………4分（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇(30)a -台. 依题意得：200170(30)a a +-≤5400, 解得：10a ≤.答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元.………7分（3）依题意有：(250200)(210170)(30)1400a a -+--=, 解得:20,a =此时，10a >.所以在（２）的条件下超市不能实现利润1400元的目标. …………………10分20. 解：(1)∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，∴(1,0)A ，(0,3)B .又抛物线2(2)y a x k=-+经过点(1,0)A，(0,3)B，∴0,43;a ka k+=⎧⎨+=⎩解得1,1.ak=⎧⎨=-⎩即a，k的值分别为1，1-.………………………………………………3分（2）设Q点的坐标为(2,)m，对称轴2x=交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线2x=于点E.在Rt AQF∆中，22221AQ AF QF m=+=+，在Rt BQE∆中，22224(3)BQ BE EQ m=+=+-.∵AQ BQ=，∴2214(3)m m+=+-，∴2m=.∴Q点的坐标为(2,2).………………………………………………………6分（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直.所以AC应为正方形的对角线.又对称轴2x=是AC的中垂线，所以，M点与顶点(2,1)P-重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2,1).此时，1MF NF AF CF====，且AC MN⊥，∴四边形AMCN为正方形.在Rt AFN∆中，AN== (10)分六、解答题（本题满分12分）21.解：(1)过点C 作CE AB ⊥于E .在Rt BCE ∆中，60B ∠=︒，4BC =.∴sin 4CE BC B =⋅∠==∴AD CE ==. (2)分(2)存在.若以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似，则PCB∆必有一个角是直角. ……………………………………………………3分①当90PCB ∠=︒时，在Rt PCB ∆中，4,60BC B =∠=︒，8PB =， ∴2AP AB PB =-=.又由(1)知AD =Rt ADP ∆中 ,tan AD DPA AP ∠===， ∴60DPA ∠=︒，∴DPA B ∠=∠. ∴ADP∆∽CPB ∆. ………………………………………………………………5分②当90CPB ∠=︒时，在Rt PCB ∆中，60B ∠=︒，4BC =，∴2PB =，PC =8AP =. 则AD AP PC PB ≠且AD APPB PC≠，此时PCB ∆与ADP ∆不相似. ∴存在ADP∆与CPB∆相似，此时2x =.………………………………………7分（3）如图，因为Rt ADP ∆外接圆的直径为斜边PD ，∴22112()24PD x S ππ+=⋅=⋅.①当210x <<时，作BC 的垂直平分线交BC 于H ，交AB 于G ；作PB 的垂直平分线交PB 于N ，交GH 于M ，连结BM .则BM 为PCB ∆外接圆的半径.在Rt GBH ∆中，122BH BC ==，30MGB ∠=︒，∴4BG =, 又111(10)5222BN PB x x ==-=-，∴112GN BG BN x =-=-. 在Rt GMN ∆中，∴1tan (1)2MN GN MGN x =⋅∠=-. 在Rt BMN ∆中，222211676333BM MN BN x x =+=-+， ∴22211676()333S BM x x ππ=⋅=-+. ②当02x <≤时，2211676()333S x x π=-+也成立. …………………………10分∴22121211676()4333x S S S x x ππ+=+=⋅+-+2732113()1277x ππ=-+.∴当327x =时,12S S S =+取得最小值1137π. ………………………………12分DCBA第21题解图2P 60°NGMHDCBA第21题解图1P 60°E (P ) P。

益阳中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.5B. πC. 0.33333D. √4答案：B2. 一个等腰三角形的底边长度为6，腰长为5，那么这个三角形的周长是多少？A. 16B. 17C. 18D. 19答案：A3. 已知函数y=2x+3，当x=2时，y的值是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：A4. 一个圆的直径为10cm，那么这个圆的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B5. 下列哪个选项是二次函数？A. y=x+1B. y=x^2+2x+1C. y=3xD. y=1/x答案：B6. 如果一个数的平方是25，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C7. 一个长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？A. 24B. 26C. 28D. 30答案：A8. 一个数的相反数是-3，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A9. 一个角的补角是120°，那么这个角的度数是多少？A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：A10. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

答案：812. 如果一个角是30°的余角，那么这个角的度数是______。

答案：60°13. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是______。

答案：314. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的第五项是______。

答案：1715. 如果一个三角形的内角和是180°，其中一个角是90°，另外两个角的度数之和是______。

2020年湖南省益阳市中考数学试卷副标题得分1.四个实数1, 0,、 /3, 一3中，最大的数是（） A. 1 B. 0 C. y/3D. —32.将不等式组g÷2≥θ,的解集在数轴上表示，正确的是（）4. 一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2, 3, 4,且这组数据的平均数为45. 同时满足二元一次方程X- y=9和4x + 3y = 1的x, y 的值为（）6. 下列因式分解正确的是（）A. a(a -b)- b(a — b) = (a — b)(a + b)B. α2 - 9b 2 = (a-3b)2C. a 2 + 4ab + 4b 2 = (a + 26)2D ・ a? — ab + a = a (a — b)第3页，共21页则这组数据的中位数为（） A. 7B.4C. 3.5D. 3D.(x = 3& = 一67.一次函数y = kx+b的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.k <0B. b = —1C.y随Λ∙的增大而减小D.当x>2时，kx + b < O8.如图，UABCD的对角线AC9 BD交于点0,若4C = 6, BD=Q9则AB的长可能第16贞，共21页是（）A. 10B. 8C. 7D. 69.如图，在A∕18C中，AC的垂直平分线交AB于点D, DC平分乙ACB,若"=50。

,贝怯B的度数为（）A. 25。

10. 如图，在矩形ABCD中，E是DCt的一点，△初E是等边三角形，AC交BE于点F,则下列结论不成立的是（12. A- ^AE = 30° B.如C = 45。

C.⅛=≡我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功立点于距离地球)D竺=空AB 2D.36000千米的地球同步轨道.如图，ABIlCD.丄 4E,E13.小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角LAOB = 90。

2020年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）四个实数1，0，3，3中，最大的数是()A ．1B ．0C ．3D ．32．（4分）将不等式组20,1x x的解集在数轴上表示，正确的是()A ．B ．C ．D ．3．（4分）如图所示的几何体的俯视图是()A ．B ．C ．D ．4．（4分）一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3，4，且这组数据的平均数为4，则这组数据的中位数为()A ．7B ．4C ．3.5D ．35．（4分）同时满足二元一次方程9x y和431xy的x ，y 的值为()A ．45x yB ．45x yC ．23x yD ．36x y6．（4分）下列因式分解正确的是()A ．()()()()a ab b a b ab a b B ．2229(3)a bab C ．22244(2)aab b a bD ．2()aab a a a b 7．（4分）一次函数ykxb 的图象如图所示，则下列结论正确的是()A ．0kB ．1b C ．y 随x 的增大而减小D ．当2x时，0kxb8．（4分）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，若6AC，8BD，则AB 的长可能是()A ．10B ．8C ．7D ．69．（4分）如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，DC 平分ACB ，若50A，则B 的度数为()A ．25B ．30C ．35D ．4010．（4分）如图，在矩形ABCD 中，E 是DC 上的一点，ABE 是等边三角形，AC 交BE 于点F ，则下列结论不成立的是()A．30DAE B．45BAC C．12EFFBD．32ADAB二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．（4分）我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功定点于距离地球36000千米的地球同步轨道．将“36000”用科学记数法表示为．12．（4分）如图，//AB CD，AB AE，42CAE，则ACD的度数为．13．（4分）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角90AOB，测得ACB的长为36cm，则ADB的长为cm．14．（4分）反比例函数1kyx的图象经过点(2,3)P，则k．15．（4分）小朋友甲的口袋中有6粒弹珠，其中2粒红色，4粒绿色，他随机拿出1颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是．16．（4分）一个多边形的内角和等于540，则这个多边形的边数是．17．（4分）若计算12m的结果为正整数，则无理数m的值可以是（写出一个符合条件的即可）．18．（4分）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：2(3)2(21)|22|．20．（8分）先化简，再求值：211()11a a aa a a，其中2a．21．（8分）如图，OM是O的半径，过M点作O的切线AB，且MA MB，OA，OB 分别交O于C，D．求证：AC BD．22．（10分）为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：笔画数123456789101112131415字数4810161420243616141191071请解答下列问题：（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：分组笔画数x（画)A字数（个)A组13x22B组46x mx76C组79x nD组1012x18E组1315请确定上表中的m、n的值及扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数；（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7~9画(C组）的字数有多少个？DH米，23．（10分）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高12 i．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面斜坡CD的坡度1:1DCP．AD的最近距离(P、D、H在同一直线上），在点C处测得26（1）求斜坡CD的坡角；（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：sin260.44，tan260.49，sin710.95，tan71 2.90)24．（10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标是(4,2)，点P 为一个动点，过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为H ，点P 在运动过程中始终满足PFPH ．【提示：平面直角坐标系内点M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y 、2(x ，2)y ，则2222121()()MNx x y y 】（1）判断点P 在运动过程中是否经过点(0,5)C ；（2）设动点P 的坐标为(,)x y ，求y 关于x 的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x 02468y（3）点C 关于x 轴的对称点为C ，点P 在直线C F 的下方时，求线段PF 长度的取值范围．26．（12分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD 中，E 是CD 上的点，将BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，此时点E 的对应点F 在DA 的延长线上，则四边形BEDF 为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD 是“直等补”四边形，5ABBC，1CD，ADAB ，点B 到直线AD 的距离为BE ．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求MNC周长的最小值．参考答案一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）四个实数1，0，3，3中，最大的数是()A．1B．0C．3D．3解：四个实数1，0，3，3中，3013，故最大的数是：3．故选：C．2．（4分）将不等式组20,1xx的解集在数轴上表示，正确的是()A．B．C．D．解：解不等式20x，得：2x，又1x，不等式组的解集为21x，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：A．3．（4分）如图所示的几何体的俯视图是()A ．B ．C ．D ．解：从上面看该几何体，选项D 的图形符合题意，故选：D ．4．（4分）一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，3，4，且这组数据的平均数为4，则这组数据的中位数为()A ．7B ．4C ．3.5D ．3解：根据题意知，另外一个数为44(234)7，所以这组数据为2，3，4，7，则这组数据的中位数为343.52，故选：C ．5．（4分）同时满足二元一次方程9x y和431xy的x ，y 的值为()A ．45x yB ．45x yC ．23x yD ．36x y解：由题意得：9431x y xy①②，由①得，9xy ③，把③代入②得，4(9)31y y ，解得，5y，代入③得，954x，方程组的解为45x y，故选：A ．6．（4分）下列因式分解正确的是()A ．()()()()a ab b a b ab a b B ．2229(3)a bab C ．22244(2)a ab b a b D ．2()aab aa a b解：A 、2()()()a a b b a b a b ，故此选项错误；B 、229(3)(3)a bab a b ，故此选项错误；C 、22244(2)a ab b ab ，正确；D 、2(1)aab aa ab ，故此选项错误；故选：C ．7．（4分）一次函数ykxb 的图象如图所示，则下列结论正确的是()A ．0kB ．1b C ．y 随x 的增大而减小D ．当2x时，0kxb解：如图所示：A 、图象经过第一、三、四象限，则0k，故此选项错误；B 、图象与y 轴交于点(0,1)，故1b ，正确；C 、0k，y 随x 的增大而增大，故此选项错误；D 、当2x时，0kxb，故此选项错误；故选：B ．8．（4分）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，若6AC，8BD，则AB 的长可能是()A ．10B ．8C ．7D ．6解：四边形ABCD 是平行四边形，132OA AC，142OB BD ，在AOB 中：4343AB，即17AB，AB的长可能为6．故选：D．9．（4分）如图，在ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分ACB，若50A，则B的度数为()A．25B．30C．35D．40解：DE垂直平分AC，AD CD，A ACD又CD平分ACB，2100ACB ACD，1801805010030B A ACB，故选：B．10．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是()A．30DAE B．45BAC C．12EFFBD．32ADAB解：四边形ABCD是矩形，ABE是等边三角形，AB AE BE，60EAB EBA，AD BC，90DAB CBA，//AB CD，AB CD，30DAE CBE，故选项A不合题意，3cos 2AD AD DAC AEAB，故选项D 不合题意，在ADE 和BCE 中，AD BCDAECBE AEBE，()ADE BCE SAS ，1122DECECDAB ，//AB CD ，ABF CEF ∽，12CE EF ABBF，故选项C 不合题意，故选：B ．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）11．（4分）我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于2020年6月30日成功定点于距离地球36000千米的地球同步轨道．将“36000”用科学记数法表示为43.610．解：4360003.610．故答案为：43.610．12．（4分）如图，//AB CD ，ABAE ，42CAE，则ACD 的度数为132．解：AB AE ，42CAE ，904248BAC，//AB CD ，180BAC ACD ，132ACD．故答案为：132．13．（4分）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角90AOB，测得ACB 的长为36cm ，则ADB 的长为12cm ．解：法一：ACB 的长为36cm ，27036180OA，18036270OA，则ADB 的长为：90901803612()180180270OAcm ；法二：ACB 与ADB 所对应的圆心角度数的比值为270:903:1，ACB 与ADB 的弧长之比为3:1，ADB 的弧长为36312()cm ，答：ADB 的长为12cm ．故答案为：12．14．（4分）反比例函数1k y x 的图象经过点(2,3)P ，则k5．解：反比例函数1k y x 的图象经过点(2,3)，132k，解得5k ．故答案是：5．15．（4分）小朋友甲的口袋中有6粒弹珠，其中2粒红色，4粒绿色，他随机拿出1颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是13．解：口袋中有6粒弹珠，随机拿出1颗共有6种等可能结果，其中送出的弹珠颜色为红色的有2种结果，送出的弹珠颜色为红色的概率是2163，故答案为：13．16．（4分）一个多边形的内角和等于540，则这个多边形的边数是5．解：设这个多边形的边数是n ，则(2)180540n ，解得5n，故答案为：5．17．（4分）若计算12m 的结果为正整数，则无理数m 的值可以是3（答案不唯一）（写出一个符合条件的即可）．解：若计算12m 的结果为正整数，则无理数m 的值可以是：3（答案不唯一）．故答案为：3（答案不唯一）．18．（4分）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是1800元．解：设日销售量y 与销售天数t 之间的函数关系式为y kx ，3060k，得2k，即日销售量y 与销售天数t 之间的函数关系式为2yt ，当020t 时，设单件的利润w 与t 之间的函数关系式为w at ，2030a，得 1.5a，即当020t 时，单件的利润w 与t 之间的函数关系式为 1.5w t ，当2030t 时，单件的利润w 与t 之间的函数关系式为30w，设日销售利润为W 元，当020t 时，21.523Wt tt ，故当20t 时，W 取得最大值，此时1200W，当2030t 时，30260Wtt ，故当30t时，W 取得最大值，此时1800W，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：2(3)2(21)|22|．解：原式9222227．20．（8分）先化简，再求值：211()11a a a a a a，其中2a ．解：原式111a a aa 111a a a a 1a a ，当2a时，原式222211．21．（8分）如图，OM 是O 的半径，过M 点作O 的切线AB ，且MAMB ，OA ，OB分别交O 于C ，D ．求证：ACBD ．【解答】证明：OM 是O 的半径，过M 点作O 的切线AB ，OM AB ，MAMB ，ABO 是等腰三角形，OAOB ，OC OD，OA OC OB OD，即：AC BD．22．（10分）为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画数进行统计，结果如下表：笔画数123456789101112131415字数4810161420243616141191071请解答下列问题：（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：分组笔画数x（画)A字数（个)A组13x22B组46x mC组79x76D组1012x nE组1315x18请确定上表中的m、n的值及扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数；（3）若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7~9画(C组）的字数有多少个？解：（1）被统计汉字笔画数的众数是8画；（2）16142050m，1411934n，被抽查的汉子个数为4810161420243616141191071200（个)，扇形统计图中B组对应扇形圆心角的度数为5036090200；（3）估计笔画数在7~9画(C组）的字数有7635001330200（个)．23．（10分）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高12DH米，斜坡CD的坡度1:1i．此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上），在点C处测得26DCP．（1）求斜坡CD的坡角；（2）电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：sin260.44，tan260.49，sin710.95，tan71 2.90)解：（1）斜坡CD的坡度1:1i，tan:1:11DH CH，45．答：斜坡CD的坡角为45；（2）由（1）可知：12CH DH，45．264571PCH PCD，在Rt PCH中，12tan 2.9012PH PDPCHCH，22.8PD（米)．22.818，答：此次改造符合电力部门的安全要求．24．（10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？解：（1）设原来生产防护服的工人有x 人，由题意得，800650810(7)x x，解得：20x ．经检验，20x是原方程的解．答：原来生产防护服的工人有20人；（2）设还需要生产y 天才能完成任务．8005820（套)，即每人每小时生产5套防护服．由题意得，106502051014500y ，解得8y ．答：至少还需要生产8天才能完成任务．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标是(4,2)，点P 为一个动点，过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为H ，点P 在运动过程中始终满足PFPH ．【提示：平面直角坐标系内点M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y 、2(x ，2)y ，则2222121()()MNx x y y 】（1）判断点P 在运动过程中是否经过点(0,5)C ；（2）设动点P 的坐标为(,)x y ，求y 关于x 的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x 02468y5（3）点C 关于x 轴的对称点为C ，点P 在直线C F 的下方时，求线段PF 长度的取值范围．解：（1）当P 与(0,5)C 重合，5PH ，22(52)45PF ，PHPF ，点P 运动过程中经过点C ．（2）由题意：222(4)(2)y x y ，整理得，21254yxx ，函数解析式为21254y xx，当0x 时，5y ，当2x 时，2y ，当4x 时，1y ，当6x 时，2y ，当8x时，5y，函数图象如图所示：故答案为5，2，1，2，5．（3）由题意(0,5)C ，(4,2)F ，直线FC 的解析式为754yx，设抛物线交直线FC 于G ，K ．由27541254y x yxx，解得15652357658x y或15652357658x y ，1565(2G ，35765)8，1565(2K ，35765)8，观察图象可知满足条件的PF 长度的取值范围为3576518PF．26．（12分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD 中，E 是CD 上的点，将BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，此时点E 的对应点F 在DA 的延长线上，则四边形BEDF 为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD 是“直等补”四边形，5ABBC，1CD，ADAB ，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求MNC周长的最小值．解：（1）四边形ABCD是正方形，90ABC BAC C D，将BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，BE BF，CBE ABF，EBF ABC，90EBF D，180四边形BEDF为“直等补”四边形；（2）①过C作CF BF于点F，如图1，CFE，则90CD，AD AB，AB BC，1四边形ABCD是“直等补”四边形，5ABC D，90ABC，180D，90BF AD，90DEF，四边形CDEF是矩形，EF CD，1ABE A CBE ABE，90A CBF，AB BC，90AEB BFC，5ABE BCF AAS，()BE CF，设BE CF x ，则1BF x ，222CE BF BC ，222(1)5x x ，解得，4x ，或3x （舍)，4BE ；②如图2，延长CB 到F ，使得BF BC ，延长CD 到G ，使得CD DG ，连接FG，分别与AB 、AD 交于点M 、N ，过G 作GH BC ，与BC 的延长线交于点H ．则5BC BF ，1CD DG ，90ABC ADC ，CM FM ，CN GN ，MNC 的周长CM MN CN FM MN GN FG 的值最小，四边形ABCD 是“直等补”四边形，180A BCD ，180BCD HCG ，A HCG ，90AEB CHG ，BE AE ABGH CH CG5AB ，4BE ，223AE AB BE ，4352GH CH ，85GH ，65CH ，565FH FC CH ，22FG FH GH，82 MNC周长的最小值为82．。

益阳市2023年初中学业水平考试数学试题卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1.【答案】C【解析】解：∵1023-<<<，∴最大的数是2．故选：C2.【答案】D【解析】解：235x x x ×=，故A 不符合题意；()236x x =，故B 不符合题意；()2239x x =，故C 不符合题意；32x x x ÷=，故D 符合题意；故选D3.【答案】D【解析】解：由轴对称图形定义可知：A ，B ，C 不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；D 选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，故选：D ．4.【答案】B【解析】解：020x x >⎧⎨-≤⎩①②，由②得：2x ≤，在数轴上表示两个不等式的解集如下：，∴不等式组的解集为：02x <≤；故选B5.【答案】A【解析】解：设购买A ，B 两种劳动工具的件数分别为x ，y ，根据题意得：14510121580x y x y +=⎧⎨+=⎩．故选：A6.【答案】A【解析】解：把收缩压的数据按照从小到大的顺序排列为：136，139，140，140，140，148，151；∴排在最中间的数据是140，可得中位数为140，故A 符合题意；收缩压的平均数为：()113613914031481511427++⨯++=，故C 不符合题意；舒张压的数据中88出现3次，所以舒张压的数据的众数为88，故D 不符合题意；舒张压的平均数为：()190928839080887++⨯++=，∴舒张压的方差为：()()()()2222218829088928838888808877S ⎡⎤=⨯-+-+⨯-+-=⎣⎦；故D 不符合题意；故选A7.【答案】C 【解析】解：A 选项，根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，OB OD =，则OA OB =不一定成立，该选项不符合题意；B 选项，根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则OA OB ⊥不一定成立，该选项不符合题意；C 选项，根据平行四边形性质：对角线相互平分，在ABCD Y 中，OA OC =，该选项符合题意；D 选项，根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则OBA OBC ∠=∠不一定成立，该选项不符合题意；故选：C ．8.【答案】C【解析】解：如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上，∵()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，∴5AD =，5CD =，90ADC ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴2sin sin 452BAC ∠=︒=；故选C9.【答案】A【解析】解：A 选项，()()22224222121a a a a a -+=-+=-，故本选项正确，符合题意；B 选项，()21a ab a a a b ++=++，故本选项错误，不符合题意；C 选项，()()22422a b a b a b -=+-，故本选项错误，不符合题意；D 选项，()()()3322ab ab ab a b ab a b a b -=-=+-，故本选项错误，不符合题意；故选：A 10.【答案】B【解析】解：由题意可得：0,0k b >>，∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y 随自变量x 的增大而增大，故A 、C 错；当0x =时，1y =，∴图象与y 轴交于点()0,1，故B 正确；当=1x -时，0y =，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴当1x >-时，0y >，故D 错误；故选：B ．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）11.【答案】61.5910⨯【解析】解：将1590000用科学记数法表示为61.5910⨯．故答案为：61.5910⨯12.【答案】10【解析】10=．故答案为：10．13.【答案】310##0.3【解析】解：由题意可得：在110 中共有10个整数，3的倍数只有3，6，9，共3个，∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是310，故答案为：310.14.【答案】2x =-【解析】解：去分母得：()224x x -=，解得：2x =-，检验：当2x =-时，()20x x -≠，∴原方程的解为2x =-．故答案为：2x =-15.【答案】63y x=-【解析】解：将反比例函数6y x =的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x=-，故答案为：63y x =-．16.【答案】120︒##120度【解析】解：∵正六边形ABCDEF ，∴正六边形的所有的内角都相等；∴()621801206FAB -⨯︒∠==︒；故答案为：120︒．17.【答案】【解析】解：∵正方形ABCD ，∴4AD DC AB ===，A ADC BCD 90∠=∠=∠=︒，∴90DCF ∠=︒，∵E 为AB 的中点，∴2AE BE ==，∴2224220DE =+=，由旋转可得：90EDF ∠=︒，DE DF =，∴==；故答案为：．18.【答案】4【解析】解：由题意可知4AD AE ==，射线AF 是BAD ∠的角平分线，∴由等腰三角形“三线合一”得M 是DE 边中点，∥MN AB ，∴由平行线分线段成比例定理得到1BN EM NC MD ==，即N 是边BC 中点，∴MN 是梯形BCDE 的中位线，∴()12MN DC EB =+，在ABCD Y 中，6CD AB ==，642BE AB AE =-=-=，则4MN =，故答案为：4．三、解答题（本题共8个小题，共78分）19.211123⎛⎫---⨯- ⎪⎝⎭134=-+=20.【答案】64︒【解析】解：∵AB CD ∥，1122∠=︒∴1122DFE ∠=∠=︒，∴18058EFG DFE ∠=︒-∠=︒，∵GE GF =，∴58FEG EFG ∠=∠=︒，∴218064FEG EFG ∠=︒-∠-∠=︒．21.【答案】11x x -+，1-【解析】解：()2112111x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+⎝⎭-()()()()()211111112x x x x x x x ⎡⎤-+-=-⋅⎢⎥-+-+⎣⎦()()()212112x x x -=⋅+-11x x -=+；当1x =-时，原式1==-．22.【答案】（1）本次被调查的学生人数是240人；（2）12m =，45n =；图中A 等级对应的圆心角度数为108︒；（3）该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．【解析】（1）解：∵4820%240÷=，∴本次被调查的学生人数是240人；（2）由题意可得：240721084812m =---=，10845%240=，∴45n =；72360108240⨯︒=︒，∴图中A 等级对应的圆心角度数为108︒；（3）∵721081200900240+⨯=，∴该校共有学生1200人，估计满意度为A ，B 等级的学生共有900人．23.【答案】（1）30︒（2）是菱形，证明见解析（3） CD 的长为43π．【解析】（1）解：如图，连接OB ，∵线段AB 与O 相切于点B ，∴90∠=︒ABO ，而120ABC ∠=︒，∴1209030OBC ∠=︒-︒=︒，∵OB OC =，∴30OBC OCB ∠=∠=︒；（2）四边形ABCD 是菱形，理由如下：∵ DB的中点为M ，30ACB ∠=︒，∴30ACD ACB ∠=∠=︒，即60DCB ∠=︒，而120ABC ∠=︒，∴1801203030CAB ACB ∠=︒-︒-︒=︒=∠，∴BA BC =，∵ DB的中点为M ，CM 为直径，∴ CDCB =，∴CD CB =，∵30ACD ACB ∠=︒=∠，AC AC =，∴ACD ACB ≌△△，∴AD AB =，∴AD AB BC CD ===，∴四边形ABCD 是菱形．（3）如图，连接OD ，BD ，交AC 于Q ，∵CD CB =，60DCB ∠=︒，∴DBC △为等边三角形，∴60DBC ∠=︒，∴2120DOC DBC ∠=∠=︒，∵菱形ABCD ，6AC =，∴3QA QC ==，AC BD ⊥，∴903060CBQ ∠=︒-︒=︒，∵30OBC ∠=︒，∴30QBO ∠=︒，∴1122OQ OB OC ==，∴132OC OC +=，2OC =，∴ CD 的长为120241803ππ⨯=．24.【答案】（1）4万元（2）8m =（3）当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．【解析】（1）解：∵投资A 项目一年后的收益A y （万元）与投入资金x （万元）的函数表达式为：25A y x =，当10x =时，21045A y =⨯=（万元）；（2）∵对A ，B 两个项目投入相同的资金m （0m >）万元，一年后两者获得的收益相等，∴221255m m m =-+，整理得：280m m -=，解得：18m =，20m =（不符合题意），∴m 的值为8．（3）2125B y x x =-+设投入到B 项目的资金为x 万元，则投入到A 项目的资金为()32x -万元，设总收益为y 万元，∴A By y y =+()22132255x x x =--+21864555x x =-++，而032x ≤≤，∴当854125x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，132641616555y =-⨯++=最大（万元）；∴当A ，B 两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．25.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）13【解析】（1）证明：∵线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得到DA '，∴,90DA DA ADA GDA '''=∠=∠=︒，∴90A AED ∠+∠=︒，∵A F AB '⊥，即90A FE ¢Ð=°，∴90A AEF '∠+∠=︒，∵AED AEF ∠=∠，∴A A '∠=∠，在ADE V 和A DG ' 中，∵A A '∠=∠，,90DA DA ADA GDA '''=∠=∠=︒，∴ADE A DG '≌△△；（2）证明：∵90BFG ACB ∠=∠=︒，∴点B ，C ，G ，F 四点共圆，∴CBG CFG ∠=∠，180ABC CGF ∠+∠=︒，∵180AGF CGF ∠+∠=︒，∴AGF ABC ∠=∠，∵,AGF CFG ACF ABC ABG CBG ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴ACF ABG ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ABG ACF ∽ ，∴AG BG AF CF=，即AF GB AG FC ⋅=⋅；（3）解：如图，连接EG ，∵ADE A DG '≌△△，∴DE DG =，AE A G '=，∵8AC =，1tan 2A =，∴11tan ,tan 22BC DE EF A A AC AD A F '====='，∴4,2BC A D AD DE '===，2A F EF '=，∴AB =，设DE DG x ==，则2A D AD x '==，∴AE A G '==，A E x '=，83CG x =-，∴,55EF x A F x '==，∴5FG x =，5BF x =，∵A G '平分四边形DCBE 的面积，∴DEG FEG BFG BCG S S S S +=+ ，∴11112222DE DG EF FG BC CG BF FG ⨯+⨯=⨯+⨯，即()2111148322552255x x x x x x ⎛⎫+⨯⨯=⨯-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：46513x =（负值舍去），∴865213AD x ==．26.【答案】（1）()2,0-（2）a =（3）6.57a <≤【解析】（1）解：对于直线():2l y a x =+，当0y =时，2x =-，∴A 点的坐标为()2,0-；（2）解：联立得：()22y ax y a x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得：=1x -或2x =，∵B 在C 的左边，∴点()()1,,2,4B a C a -，∵B 点关于x 轴的对称点为B '点，∴点()1,B a '--，∴()2222219AB a a '=-++=+，()()2222214259CB a a a '=+++=+，()()22222241616AC a a =--+=+，∵2222229259,925926181616a a a a a a +<++++=+>+，∴90B AC '∠=︒，此时222AB AC CB ''+=，即()()22291616259a a a +++=+，解得：a =；（3）解：如图，设直线():2l y a x =+与y 轴交于点D ，直线1x =分别与直线l 与抛物线E 交于点F ，E ，对于直线():2l y a x =+，当0x =时，2y a =，∴点()0,2D a ，当1x =时，3y a =，∴点()1,3F a ，对于抛物线2:E y ax =，当1x =时，y a =，∴点()1,F a ，∴2OD EF a ==，∵直线l 与抛物线E 所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，∴封闭图形即阴影部分（不包含边界）中在y 轴上格点数恰好是13个，∴13214a <≤，解得：6.57a <≤．。

2022年湖南省益阳市中考数学试卷一、选择题〔此题共10个小题，每题4分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔4分〕﹣6的倒数是〔〕A．﹣B．C．﹣6 D．62．〔4分〕以下运算正确的选项是〔〕A．＝﹣2 B．〔2〕2＝6 C．+＝D．×＝3．〔4分〕以下几何体中，其侧面展开图为扇形的是〔〕A．B．C．D．4．〔4分〕解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的选项是〔〕A．x+2＝3 B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3〔2x﹣1〕D．x+2＝3〔2x﹣1〕5．〔4分〕以下函数中，y总随x的增大而减小的是〔〕A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x26．〔4分〕一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的选项是〔〕A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是87．〔4分〕M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，那么△ABC一定是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8．〔4分〕南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，那么此时大桥主架顶端离水面的高CD为〔〕A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+9．〔4分〕如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，以下结论不一定成立的是〔〕A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 10．〔4分〕二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下图，以下结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的选项是〔〕A．①②B．①④C．②③D．②④二、填空题〔此题共8个小题，每题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上〕11．〔4分〕国家发改委发布信息，到 2022年12月底，高速公路电子不停车快速收费〔ETC〕用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为．12．〔4分〕假设一个多边形的内角和与外角和之和是900°，那么该多边形的边数是．13．〔4分〕不等式组的解集为．14．〔4分〕如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，假设∠1＝142°，那么∠2＝度．15．〔4分〕在如下图的方格纸〔1格长为1个单位长度〕中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，那么其旋转角的度数是．16．〔4分〕小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册〞的概率是．17．〔4分〕反比例函数y＝的图象上有一点P〔2，n〕，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，假设点Q也在该函数的图象上，那么k＝．18．〔4分〕观察以下等式：①3﹣2＝〔﹣1〕2，②5﹣2＝〔﹣〕2，③7﹣2＝〔﹣〕2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．三、解答题〔此题共8个小题，共78分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕19．〔8分〕计算：4sin60°+〔﹣ 2022〕0﹣〔〕﹣1+|﹣2|．20．〔8分〕化简：〔﹣4〕÷．21．〔8分〕，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．22．〔10分〕某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数〔含驾驶员〕进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了如下图的不完整的统计图表．类别频率A mB0.35C0.20D nE0.05 〔1〕求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；〔2〕补全频数分布直方图；〔3〕假设某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．23．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．〔1〕判断四边形AMCD的形状，并说明理由；〔2〕求证：ND＝NE；〔3〕假设DE＝2，EC＝3，求BC的长．24．〔10分〕为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻〞轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻〞轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元〔利润＝售价﹣本钱〕．由于开发本钱下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖本钱下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．〔1〕求去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价；〔2〕该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，假设今年的水稻种植本钱为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻〞轮作收入不少于8万元，那么稻谷的亩产量至少会到达多少千克？25．〔12分〕在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，A〔1，4〕，B〔3，0〕．〔1〕求抛物线对应的二次函数表达式；〔2〕探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M 是BE的中点，那么OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两局部？请说明理由；〔3〕应用：如图2，P〔m，n〕是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：假设点A、B的坐标分别为〔x1，y1〕、〔x2，y2〕，那么线段AB的中点坐标为〔，〕．26．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．假设不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．〔1〕当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；〔2〕设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；〔3〕当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．2022年湖南省益阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共10个小题，每题4分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔4分〕﹣6的倒数是〔〕A．﹣B．C．﹣6 D．6【分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣6的倒数是﹣．应选：A．【点评】此题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．2．〔4分〕以下运算正确的选项是〔〕A．＝﹣2 B．〔2〕2＝6 C．+＝D．×＝【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法那么计算即可．【解答】解：A：＝2，故本选项错误；B：＝12，故本选项错误；C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；D：根据二次根式乘法运算的法那么知本选项正确．应选：D．【点评】此题考查的是二次根式的性质及二次根式的相关运算法那么，属于根底计算能力的考查，此题较为简单．3．〔4分〕以下几何体中，其侧面展开图为扇形的是〔〕A．B．C．D．【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．【解答】解：A、圆柱的侧面展开图可能是正方形，故A错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故C正确；D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故D错误．应选：C．【点评】此题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．4．〔4分〕解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的选项是〔〕A．x+2＝3 B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3〔2x﹣1〕D．x+2＝3〔2x﹣1〕【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以〔2x﹣1〕，把分式方程便可转化成一元一次方程．【解答】解：方程两边都乘以〔2x﹣1〕，得x﹣2＝3〔2x﹣1〕，应选：C．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．5．〔4分〕以下函数中，y总随x的增大而减小的是〔〕A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答此题．【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，应选项A不符题意，y＝﹣4x中y随x的增大而减小，应选项B符合题意，y＝x﹣4中y随x的增大而增大，应选项C不符题意，y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，应选项D 不符合题意，应选：B．【点评】此题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答此题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．6．〔4分〕一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的选项是〔〕A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断．【解答】解：由平均数的公式得平均数＝〔5+8+8+9+10〕÷5＝8，方差＝[〔5﹣8〕2+〔8﹣8〕2+〔8﹣8〕2+〔9﹣8〕2+〔10﹣8〕2]＝2.8，将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，应选：D．【点评】此题考查了学生对平均数，众数，中位数，方差的理解．只有熟练掌握它们的定义，做题时才能运用自如．7．〔4分〕M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，那么△ABC一定是〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【解答】解：如下图，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，应选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．8．〔4分〕南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，那么此时大桥主架顶端离水面的高CD为〔〕A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+【分析】在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝a tanα，BD＝a tanβ，得出CD ＝BC+BD＝a tanα+a tanβ即可．【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，∴BC＝a tanα，BD＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ；应选：C．【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．9．〔4分〕如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，以下结论不一定成立的是〔〕A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP ⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．应选：D．【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．10．〔4分〕二次函数y＝ax2+bx+c的图象如下图，以下结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的选项是〔〕A．①②B．①④C．②③D．②④【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正确；②∵对称轴x＜﹣1，∴﹣＜﹣1，a＞0，∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正确．③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误；应选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题〔此题共8个小题，每题4分，共32分，请将答案填在答题卡中对应题号的横线上〕11．〔4分〕国家发改委发布信息，到 2022年12月底，高速公路电子不停车快速收费〔ETC〕用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为 1.8×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：将180 000 000科学记数法表示为1.8×108．故答案为：1.8×108．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．〔4分〕假设一个多边形的内角和与外角和之和是900°，那么该多边形的边数是 5 ．【分析】此题需先根据条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出此题即可．13．〔4分〕不等式组的解集为x＜﹣3 ．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共局部就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＜1，解②得：x＜﹣3，那么不等式组的解集是：x＜﹣3．故答案为：x＜﹣3．【点评】此题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到〔无解〕．14．〔4分〕如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，假设∠1＝142°，那么∠2＝52 度．【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2，∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°，∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，故答案为：52．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．15．〔4分〕在如下图的方格纸〔1格长为1个单位长度〕中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，那么其旋转角的度数是90°．【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，故答案为90°．【点评】此题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．16．〔4分〕小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册〞的概率是．【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册〞的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册〞的概率为；故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．17．〔4分〕反比例函数y＝的图象上有一点P〔2，n〕，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，假设点Q也在该函数的图象上，那么k＝ 6 ．【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3〔n﹣1〕，解得即可．【解答】解：∵点P的坐标为〔2，n〕，那么点Q的坐标为〔3，n﹣1〕，依题意得：k＝2n＝3〔n﹣1〕，解得：n＝3，∴k＝2×3＝6，故答案为：6．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．18．〔4分〕观察以下等式：①3﹣2＝〔﹣1〕2，②5﹣2＝〔﹣〕2，③7﹣2＝〔﹣〕2，…请你根据以上规律，写出第6个等式13﹣2＝〔﹣〕2．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n〔n+1〕，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为〔﹣〕2〔n≥1的整数〕．【解答】解：写出第6个等式为13﹣2＝〔﹣〕2．故答案为13﹣2＝〔﹣〕2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．三、解答题〔此题共8个小题，共78分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕19．〔8分〕计算：4sin60°+〔﹣ 2022〕0﹣〔〕﹣1+|﹣2|．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法那么，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝4×+1﹣2+2＝4﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．20．〔8分〕化简：〔﹣4〕÷．【分析】根据分式的运算法那么即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝．【点评】此题考查分式的运算法那么，解题的关键是熟练运用分式的运算法那么，此题属于根底题型．21．〔8分〕，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．【分析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．【解答】证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°又∵∠D＝110°∴∠ACB＝∠D∵AB∥DE∴∠CAB＝∠E∴在△ABC和△EAD中∴△ABC≌△EAD〔AAS〕．【点评】此题是全等三角形证明的根底题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可．22．〔10分〕某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数〔含驾驶员〕进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了如下图的不完整的统计图表．类别频率A mB0.35C0.20D nE0.05 〔1〕求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；〔2〕补全频数分布直方图；〔3〕假设某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．【分析】〔1〕由C类别数量及其对应的频率可得总数量，再由频率＝频数÷总数量可得m、n的值；〔2〕用总数量乘以B、D对应的频率求得其人数，从而补全图形；〔3〕利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：〔1〕本次调查的小型汽车数量为32÷0.2＝160〔辆〕，m＝48÷160＝0.3，n＝1﹣〔0.3+0.35+0.20+0.05〕＝0.1；〔2〕B类小汽车的数量为160×0.35＝56，D类小汽车的数量为0.1×160＝16，补全图形如下：〔3〕估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量为5000×0.3＝1500〔辆〕．【点评】此题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比拟．也考查了用样本估计总体和频率分布表．23．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．〔1〕判断四边形AMCD的形状，并说明理由；〔2〕求证：ND＝NE；〔3〕假设DE＝2，EC＝3，求BC的长．【分析】〔1〕证明四边形AMCD的对角线互相平分，且∠CNM＝90°，可得四边形AMCD为菱形；〔2〕可证得∠CMN＝∠DEN，由CD＝CM可证出∠CDM＝∠CMN，那么∠DEN＝∠CDM，结论得证；〔3〕证出△MDC∽△EDN，由比例线段可求出ND长，再求MN的长，那么BC可求出．【解答】〔1〕解：四边形AMCD是菱形，理由如下：∵M是Rt△ABC中AB的中点，∴CM＝AM，∵CM为⊙O的直径，∴∠CNM＝90°，∴MD⊥AC，∴AN＝CN，∵ND＝MN，∴四边形AMCD是菱形．〔2〕∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，∴∠CEN+∠CMN＝180°，∵∠CEN+∠DEN＝180°，∴∠CMN＝∠DEN，∵四边形AMCD是菱形，∴CD＝CM，∴∠CDM＝∠CMN，∴∠DEN＝∠CDM，∴ND＝NE．〔3〕∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，∴△MDC∽△EDN，∴，设DN＝x，那么MD＝2x，由此得，解得：x＝或x＝﹣〔不合题意，舍去〕，∴，∵MN为△ABC的中位线，∴BC＝2MN，∴BC＝2．【点评】此题考查了圆综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．〔10分〕为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻〞轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻〞轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元〔利润＝售价﹣本钱〕．由于开发本钱下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖本钱下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．〔1〕求去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价；〔2〕该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，假设今年的水稻种植本钱为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻〞轮作收入不少于8万元，那么稻谷的亩产量至少会到达多少千克？【分析】〔1〕设去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；〔2〕设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．【解答】解：〔1〕设去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价分别为x元、y元，由题意得：，解得：；答：去年每千克小龙虾的养殖本钱与售价分别为8元、40元；〔2〕设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意得：20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000，解得：z≥640；答：稻谷的亩产量至少会到达640千克．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．25．〔12分〕在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，A〔1，4〕，B〔3，0〕．〔1〕求抛物线对应的二次函数表达式；〔2〕探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M 是BE的中点，那么OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两局部？请说明理由；〔3〕应用：如图2，P〔m，n〕是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：假设点A、B的坐标分别为〔x1，y1〕、〔x2，y2〕，那么线段AB的中点坐标为〔，〕．【分析】〔1〕函数表达式为：y＝a〔x﹣1〕2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；〔2〕利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；〔3〕由〔2〕知：点N是PQ的中点，即可求解．【解答】解：〔1〕函数表达式为：y＝a〔x﹣1〕2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a〔3﹣1〕2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；〔2〕OM将四边形OBAD分成面积相等的两局部，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM；〔3〕设点P〔m，n〕，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P〔4，﹣5〕；如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由〔2〕知：点N是PQ的中点，将点C〔﹣1，0〕、P〔4，﹣5〕的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D〔0，3〕，同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q〔﹣，〕，∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N〔，﹣〕．【点评】此题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中〔3〕直接利用〔2〕的结论，即点N是PQ的中点，是此题解题的突破点．26．〔12分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．假设不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．〔1〕当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；〔2〕设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；〔3〕当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．【分析】〔1〕作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝＝2，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；〔2〕先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；〔3〕由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，那么此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN 得＝＝，据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．【解答】解：〔1〕如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3，∴点C的坐标为〔2，3+2〕；〔2〕∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝，∴S△ODM＝，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，那么x2+y2＝36，xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝3〔负值舍去〕，∴OA＝3；〔3〕OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM＝＝5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，那么此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝，ON＝，∴AN＝AM﹣MN＝，在Rt△OAN中，OA＝＝，∴cos∠OAD＝＝．【点评】此题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．。