【小初高学习]2018届中考数学专项复习 几何证明与计算训练题

2018年中考数学-----几何综合题汇总31．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF 与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC 的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．3．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．4．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．5．【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF；试证明：AB=DB+AF。

类型六等腰三角形中的辅助线1。

（2017重庆一中模拟）已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点G在BC上，连接AG，过C作CF⊥AG，垂足为点E，过点B作BF⊥CF于点F,点D是AB的中点，连接DE、DF。

(1）若∠CAG＝30°，EG＝1,求BG的长；（2）求证：∠AED＝∠DFE。

第1题图2。

(2017重庆南岸区一模）如图,在△ABC中,AB＝AC,点D是△ABC内一点,AD＝BD,且AD⊥BD,连接CD.过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE。

过点D作DF⊥CD交BC于点F.(1)若BD＝DE＝5,CE＝错误!，求BC的长;（2)若BD＝DE，求证:BF＝CF.第2题图答案1. (1）解：∵∠ACB＝90°，CF⊥AG，∴∠CAG＝∠ECG＝30°,∴CG＝2EG＝2. ∴AC＝错误!＝2错误!，∴BC＝AC＝2错误!,∴BG＝BC－CG＝23－2.（2)证明：如解图，连接CD，则CD⊥AB，且CD＝BD，∴∠ACD＝∠CBD＝45°。

在△ACE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠CFB＝90°∠CAE＝∠FCB AC ＝BC, ∴△ACE ≌△CBF （AAS ),∴CE ＝BF ，∠ACE ＝∠CBF ，∵∠CBA ＝∠ACD ＝45°,∴∠ACE －∠ACD ＝∠CBF －∠CBA ，即∠DCE ＝∠DBF ， 在△DCE 和△DBF 中,错误!，∴△DCE ≌△DBF （SAS ），∴∠CED ＝∠BFD ,∴∠CED －∠CEA ＝∠BFD －∠CFB ，即∠AED ＝∠DFE 。

第1题解图2.解：（1)∵BD⊥AD，点E在AD的延长线上，∴∠BDE＝90°,∵BD＝DE＝5，∴BE＝错误!＝错误!，∵BC⊥CE，∴∠BCE＝90°，∴BC＝BE2－CE2＝错误!＝2错误!;（2）如解图，连接AF,第2题解图∵AD⊥BD，DF⊥CD，∴∠BDE＝∠CDF＝90°，∴∠BDF＝∠CDE，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠DHC＝∠CED＋90°，∠BHE＝∠DBC＋90°,又∵∠DHC＝∠BHE，∴∠DBC＝∠CED，在△BDF和△EDC中，错误!,∴△BDF≌△EDC（ASA),∴DF＝CD,∴∠CFD＝∠DCF＝45°,∵∠ADB＝∠CDF，∴∠ADB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF，∴∠ADF＝∠BDC，在△ADF和△BDC中，错误!∴△ADF≌△BDC（SAS），∴∠AFD＝∠BCD，∴∠AFD＝45°，∴∠AFC＝∠AFD＋∠CFD＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴BF＝CF。

2018年苏州中考数学专题辅导第三讲 几何证明与计算题选讲真题再现： 1．（2008年苏州•本题6分)如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，∠1=∠2，∠3=∠4． 求证：(1)△ABC ≌△ADC ；(2)BO=DO ．2．(2008年苏州•本题8分) 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． (1)梯形ABCD 的面积等于 ；(2)当PQ//AB 时，P 点离开D 点的时间等于 秒； (3)当P 、Q 、C 三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间?3．（2009年江苏•本题满分10分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB DE AF DC ∥，∥，∥， E 、F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当AB DC =时，求证：ABCD 是矩形．4．（2009年江苏•本题满分10分）（1）观察与发现 小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用 将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小． 5．(2010年苏州•本题6分) 如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD ≌△BCE ；(2)若∠D=50°，求∠B 的度数．AD C F EB ACD B 图① A CD B 图②FE E D D C B A图③ E D C A B F G C ' D 'A D E CB F G α 图④ 图⑤6．(2010年苏州•本题8分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．(1)在△ABC中，AB= ；(2)当x= 时，矩形PMCN的周长是14；(3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．7．（2011年苏州•本题6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．8．（2011年苏州•本题8分）如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：3，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于▲度；(2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．9．(2012年苏州•本题6分)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE ＝AD，连接AE、AC．(1)求证：△ABE≌CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．10．(2012年苏州•本题8分）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC)为30°，BC⊥AC．现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：3≈1. 732)．(1)若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为米；(2)—座建筑物GH距离坡脚A点27米远（即AG＝27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG 丄CG,问建筑物GH 高为多少米？11．（7分）（2013•苏州）如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2（单位：km ）．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向． (1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）12．（8分）（2013•苏州）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长BP 交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ．(1)求证：△APB ≌△APD ；(2)已知DF ：FA ＝1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x ＝6时，求线段FG 的长． 13．（6分）（2014年•苏州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ．连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． (1)求证：△BCD ≌△FCE ；(2)若EF ∥CD ．求∠BDC 的度数．14．（8分）（2015年•苏州）如图，在△ABC 中，AB =AC ．分别以B 、C 为圆心，BC 长为半径在BC 下方画弧，设两弧交于点D ，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD 、BD 、CD ． （1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若BC =6，∠BAC ＝50︒，求DE 、DF 的长度之和（结果保留π）．CBA15．（2016年苏州•8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．(1)证明：四边形ACDE 是平行四边形； (2)若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．16. （2017年苏州•本题8分）如图，∠A =∠B ，AE =BE ，点D 在C A 边上，12∠=∠，AE 和D B 相交于点O ．（1）求证：C ∆AE ≌D ∆BE ； （2）若142∠=，求D ∠B E 的度数．模拟训练：1．(2017年常熟市•本题满分8分) 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点D 、E ，过点A 作//AF BC ，交MN 于点F . (1)求证:四边形ADBF 是菱形;(2)若4,8AC BC ==，求菱形ADBF 的周长。

河北中考复习之几何证明1、如图1，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值是【 】A ．22 B ．21 C ．23 D ．322、如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =12，BD =9，则此梯形的中位线长是A ．10B ．212C ．152D ．123、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图3所示的风筝，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料 A ．15匹 B ．20匹 C ．30匹 D ．60匹4、如图4，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 ．5、一个正方形和两个等边三角形的位置如图5所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ） A ．90° B ．100° C ．130° D ．180°6、把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图6-1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图6-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）．7、如图7-1，两个等边△ABD，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A’B’D’的位置，得到图7-2，则阴影部分的周长为 ．8、用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图8-1，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图8-2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 ．9、如图10，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10、平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图10，则∠3+∠1-∠2= ．D 图3图4图2 A B D A DCE R P 图1图5 图6-1 图7-1 图8-2图6-2 图7-2 图8-1C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远14、如图14，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则扇形s =15、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图9—1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图9—2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm16、如图15，等边△ABC 的边长为1cm ，D、E 分别是AB 、AC上的点，将△ADE 沿直线DE折叠，点A 落在点A ′处，且点A ′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．17、如图16，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE=2，则BC=（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 18、如图17，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n ≠（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5AC ＜BC ），用尺规在BC 上确定一点A ．B ．C ．D ．20、嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在四边形ABCD 中，BC=AD ，AB= 求证：四边形ABCD 是 四边形． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ．左 右左 右 第二次折叠 第一次折叠 图9－1 图9－2 图15 图16 图1421、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE 交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．22、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，又知∠EFD=∠BCD，请问你能推出什么结论？（直接写出一个结论，要求结论中含有字母E）23、如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．22．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．23、在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3 km 和2 km ， AB = a km （a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中 管道长度为d 1，且d 1=PB+BA （km ）（其中BP ⊥ l 于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2 ，且d 2=PA +PB （km ）（其中点A '与点A 关于l 对称，A 'B 与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，d 1= km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2=km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）①当a = 4时，比较大小： d 1 d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a = 6时，比较大小： d 1 d 2（填“＞”、“=”或“＜”）； （2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当a ＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？24、在正方形ABCD 中，点E 是AD 上一动点，MN ⊥AB 分别交AB ，CD 于M ，N ，连接BE 交MN 于点O ，过O 作OP ⊥BE 分别交AB ，CD 于P ，Q ．探究：（1）如图①，当点E 在边AD 上时，请你动手测量三条线段AE ，MP ，NQ 的长度，猜测AE 与MP+NQ 之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图②，若点E 在DA 的延长线上时，AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又是怎样请直接写出结论； 再探究：（3）如图③，连接并延长BN 交AD 的延长线DG 于H ，若点E 分别在线段DH 和射线HG 上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．∵22()()m n m n m n -=+-，m +n ＞0， ∴（22m n -）与（m n -）的符号相同． 当22m n -＞0时，m n -＞0，即m ＞n ； 当22m n -= 0时， m n -= 0，即m =n 当22m n -＜0时，m n -＜0，即m ＜n ． 方法指导 当不易直接比较两个正数m 与n 的 大小时，可以对它们的平方进行比较：A l 图13 -1 A B l A ' 图13 -2 A B P C 图13 -3 K l A ' BPC25、在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ； （2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）26、操作示例 对于边长均为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—1所示的方式摆放，再沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11—1中的四边形BNED ．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED 是正方形； ②S 正方形ABCD +S 正方形EFGH =S 正方形BNED ．实践与探究（1）对于边长分别为a ，b （a ＞b ）的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—2所示的方式摆放，连结DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N ．①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表 示正方形MNED 的面积；②在图11—2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ．请简略说明你的拼接方法（类比图11—1，用数字表示对应的图形）．（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．27、如图14—1，14—2，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F ．（1）如图14—1，当点E 在AB 边的中点位置时： ①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；③请证明你的上述两个猜想．（2）如图14—2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE =BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系．A B F M 图11—2图14—1 C D F图11—128、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．29、在图14-1—14-5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例 当2b ＜a 时，如图14-1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图14-1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．图E 图图（2b ＝a ） （a ＜2b ＜2a ） （b图14-1 （2b ＜a ）图13－2 G图13－3图13－1 A ( E )D ( F )。

命题与证明一、选择题1.下列说法正确的是（）A. 真命题的逆命题是真命题 B. 原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题C. 定理一定有逆定理D. 命题一定有逆命题【答案】D【解析】：A、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故A不符合题意；B、原命题是假命题，则它的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故B不符合题意；C、逆定理一定是真命题，定理不一定有逆定理，故C不符合题意；D、任意一个命题都有逆命题；故D符合题意；故答案为：D【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，用逻辑方法判断为正确的命题叫定理，任何命题都有逆命题，对各选项逐一判断即可。

2.下列命题为真命题的是（）。

A.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B.相似三角形面积之比等于相似比C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形【答案】A【解析】：A.根据平行线分线段成比例定理即可判断正确，A符合题意；B.相似三角形面积之比等于相似比的平方，故错误，B不符合题意；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，C不符合题意；D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正菱形，故错误，D不符合题意；故答案为:A.【分析】A.根据平行线分线段成比例定理即可判断对错；B.根据相似三角形的性质即可判断对错；C.根据菱形的判定即可判断对错；D.根据矩形的性质和三角形中位线定理即可判断对错；3.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A. 点在圆内B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内【答案】D【解析】：点与圆的位置关系只有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，如果点不在圆外，那么点就有可能在圆上或圆内故答案为D【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有的情况。

4.下列语句中，是命题的是（）①若1=60 ，2=60 ，则1= 2；②同位角相等吗；③画线段AB=CD；④一个数能被2整除，则它也能被4整除；⑤直角都相等．A. ①④⑤B. ①②④C. ①②⑤D. ②③④⑤【答案】A【解析】：①若∠ 1=60 ∘，∠ 2=60 ∘，则∠ 1= ∠ 2；它是命题；②同位角相等吗，不是命题；③画线段AB=CD，不是命题；④一个数能被2整除，则它也能被4整除，是命题；⑤直角都相等．是命题；故事命题的有：①④⑤故答案为：A【分析】根据命题是判断一件事情的语句，构成命题必须有已知条件和结论，逐一判断即可求解。

上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E . （1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分 ∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分 ∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分 ∴ADN B ∠=∠……………………1分 ∴△ABM ≌△ADN ………………………1分 ∴AN AM = ……………………………1分（2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC 平分BCD ∠和BAD ∠ ∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分 ∵NAD CAD ∠=∠2 ∴︒=∠5.22NAD∵NAD MAB ∠=∠ ∴︒=∠5.22MAB ………1分 ∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE图6图6∴ANE ACM ∠=∠…………………1分 ∴△ACM ∽△ANE …………1分 ∴ANACAE AM =……1分 ∵AN AM =∴AE AC AM ⋅=2…………1分长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分）ACDEF GB第23题图∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分）崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交BC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =．23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABC EKC =∠∠ ……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥ ∴DE CMEK CK=………………………………………………………2分 （第23题图）ABK MCDE又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ． （1）求证：B 是EC 的中点；（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若EC DC AC ⋅=2，求证：FC AC AF AD ::=．黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E 、F 分别为菱形ABCD 边AD 、CD 的中点. （1）求证：BE =BF ；（2）当△BEF 为等边三角形时，求证：∠D =2∠A .ACD E图7B23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO=12AC=EF=BE.——————————————————————（1分）又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心，∴1133OG AO BE GE===,∴AG=BG，——————————————————————————（1分）又∠AGE=∠BGO，∴△AGE≌△BGO，——————————————————————（1分）∴AE=BO，则AD=BD，∴△ABD是等边三角形，———————————————————（1分）所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°，即∠ADC=2∠BAD. —————————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD 是△ABC 的中线， M 是AD 的中点， 过A 点作AE ∥BC ，CM 的延 长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F ． （1）求证：四边形AEBD 是平行四边形； （2）如果AC =3AF ，求证四边形AEBD 是矩形．23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）（2）∵AE //BC ，∴AF AEFB BC=．…………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分）∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分） 又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．EAFMD图7CA DE（1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分） 又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分）∴△ADB ∽△EBF ∴DB AB BF EF =………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分）闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．CAB第23题图DE FABCFD23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.ABC DE FG图923．证明：（1）∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ··························· （2分）∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ·················································································· （1分） 同理EF CFAB CA = ． ··································································································· （1分） 得FG AD ＝EF AB∵FG EF =，∴AD AB =． ··················································································· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ························································································· （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ····································· （2分） 得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝． ······························································································· （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ··················································· （1分）∴EH DEEF AE =． ········································································································ （1分） ∴212AE EF ED =． ······························································································ （1分） 青浦区23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ····························································· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ··········································· （1分）MFE DCBA图7∴AE //DC ， ···································································································· （1分）∴=FM AMMD MC． ························································································· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ····································································· （1分） ∴=FM DM MD MB， ························································································· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ························································· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ································································································ （1分） ∴3==DF BF a ． ························································································ （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ····································································· （1分） ∴=AF EF ， ································································································· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ······································································ （1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ， F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE(第23题图)FACD EB∴∠AEB =90°∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分∴EF ∥BC …………………………………………………1分∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分∵EF BF =∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分(2) ∵四边形BCEF 是菱形,∴BC =BF ∵12BF AB = ∴AB =2BC ………………………………………………1分∵ AB ∥CD∴ ∠DEA =∠EAB∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AE BE AB = …………………………………………1分 ∴ BE ·AE =AD ·AB∴ 2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分徐汇区23. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且DCE DBC ∠=∠.（1）求证：AD BE =；（2）延长CE 交AB 于点F ，如果CF AB ⊥，(第23题图)F A C D E B⋅=⋅.求证：4EF FC DE BD杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD 于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN。

中考数学计算、统计和证明专项训练(一)三、解答题16. （8分）先化简，再求值：2234221121x x x x x x ++÷+骣琪-琪---桫，其中x 是不等式组30211x x ì+>ïí-<ïî的整数解． 17. （9分）图1表示的是某综合商场今年1~5月的商品各月销售总额的情况，图2表示的是商场服装部．．．各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，来自商场财务部的数据报告表明，商场1~5月的商品销售总额一共是410万元，观察图1、图2，解答下列问题： （1）请你根据题中信息将图1中的统计图补充完整． （2）商场服装部．．．5月份的销售额是多少万元？（3）小刚观察图2后认为，5月份商场服装部．．．的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？请说明理由． 18. （9分）已知菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．（1）如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF =60°，求 证：BE =DF ；（2）如图2，若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边 三角形．中考数学计算、统计和证明专项训练(二)三、解答题16. （8分）先化简：221211111x x x x x x ⎛⎫-+-+÷ ⎪+-+⎝⎭，然后从不等式组2324x x -+⎧⎨<⎩≤的解集中，选取一个你认为符合题意的x 的值代入求值．17. （9分）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票．如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图．（1）求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数； （2）小明的综合得分是多少？（3）在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如 果他的综合得分不小于小明的综合得分，那么他的演讲答辩得分至少是多少分？18. （9分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，CD ⊥AD ，AD 2+CD 2=2AB 2．（1）求证：AB =BC ；（2）当BE ⊥AD 于点E 时，试证明：BE =AE +CD ． 中考数学计算、统计和证明专项训练(三) 三、解答题16. （8分）（1）若方程组ax y b x by a +=⎧⎨-=⎩的解是11x y =⎧⎨=⎩，求2()()()a b a b a b +--+的值． （2）解不等式组：302(1)33≥x x x +>⎧⎨-+⎩，并判断-1这两个数是否为该不等式组的解．17. （9分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A ，B ，C ，D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有___________人；（2）扇形统计图中：a =_________，b =________，并把条形统计图补充完整； （3）若居民区有8 000人，请估计爱吃D 粽的人数；（4）若有外型完全相同的A ，B ，C ，D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．18. （9分）如图，在□A B C D 中，延长C D 到E ，使D E =C D ，连接B E ，交A D 于点F ，交A C 于点G ．（1）求证：AF =DF ；（2）若BC =2AB ，且DE =1，∠ABC =60°，求FG图2CF D A EB评分规则：（1）演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分，计算平均分”的方法确定．（2）民主测评得分＝“优秀”票数×2＋“良好”票数×1＋“一般”票数×0．（3）综合得分＝演讲答辩得分×0.4＋民主测评得分×0.6．EDCBA的长．中考数学计算、统计和证明专项训练(四)三、解答题16. （8分）（1）计算：()1132sin 458-⎛⎫π-︒- ⎪⎝⎭．（2）用配方法解方程：2221xx x -=+．17. （9分）九年级（1）班开展了为期一周的“孝敬父母，帮做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把评价结果划分成A ，B ，C ，D ，E 五个等级．老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图． （1）求a ，b 的值；（2）根据频数分布表估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间； （3）该班的小明同学这一周帮父母做家务2小时，他认为自己帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由．18. （9分）已知：在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 是AB 边的中点，点E 是AB 边上一点．（1）如图1，BF ⊥CE 于点F ，交CD 于点G ，求证：AE =CG ；（2）如图2，AH ⊥CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M ，找出图中与BE 相等的线段，并证明．中考数学计算、统计和证明专项训练(五)三、解答题16. （8分）（1）先化简，再求值：2(3)(2)(2)x x x +++-，其中x =-2；（2）解不等式组：43+4212x xx x ->⎧⎪⎨<-⎪⎩． 17. （9分）某中学对本校500名毕业生中考体育加试测试情况进行调查，根据男生1 000米及女生800米测试成绩整理、绘制成如下不完整的统计图（图1、图2）．图1 图2 请根据统计图提供的信息，回答下列问题： _________人，女生有_________人； a =________，b =________，并补全条形 a %”所对应的扇形圆心角的度数； 1 000米成绩为10分的概率是多少？18. ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，分别以AB ，CD 为边向外侧作等边三角形ABE 和等边三角形DCF ，连接AF ，（1）求证：AF =DE ；（2）若∠BAD =45°，AB =a ，△ABE 和△DCF 的面积之和等于梯形ABCD 的面积，求BC 的长．中考数学计算、统计和证明专项训练(六)三、解答题16. （8分）（1）先化简再求值：22122121x x x x xx x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x -1=0． （2）解方程组：352215x yx y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+=-=． 17. （9分）在书香校园活动中，某中学举行了“我和春天有个约会”的活动，聘请了10位老师和10位学生担任评委，其中甲班的得分情况如下统计图表所示．图1G FC BA人数1802060204020女生男生成绩10分9分8分8分180160140120100806040200图2H MABDECFDCB E A（1）在频数分布直方图中，自左向右第四组的频数为______，并补全频数分布直方图； （2）学生评委计分的中位数是_________分； （3）计分办法规定：老师、学生评委的计分各去 掉一个最高分、一个最低分，分别计算平均分， 且按老师、学生各占60%、40%的方法计算各班最 后得分．已知甲班最后得分为94.4分，求统计表 中x 的值．18. （9分）如图，正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF =45°．将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ．（1）求证：EF =FM ；（2）当AE =1时，求EF 的长．中考数学计算、统计和证明专项训练(七)三、解答题16. （8分）有一道题：“先化简再求值：642222x x x x x x --⎛⎫-÷⋅+ ⎪++⎝⎭()，其中x=x =x =，但他的计算结果也是正确的，请你通过计算解释这是怎么回事．17. （9分）6月5日是世界环境日，为了普及环保知识，增强环保意识，某市第一中学举行了“环保知识竞赛”，参赛人数1 000人，为了了解本次竞赛的成绩情况，学校团委从中抽取部分学生的成绩（满分为100分，得分取整数）进行统计，并绘制出不完整的频率分布表和频数分布直方图如下：（1）表中a =______，b =______，并补全频数分布直方图．（2）若成绩在80分以上（含80（3）若这组被抽查的学生成绩的中位数是80分的至少有多少人．18. （9分）如图，点E 是矩形ABCD F 落在AD 上．（1）求证：△ABF ∽△DFE ；（2）若sin ∠DFE =31，求tan ∠EBC 三、解答题16. （8分）先化简，再求值：222442a a a a a a -⎛-÷ ⎪++++⎝⎭，其中a 满足2210a a +-=．17. （9分）近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2019年北京市又调整修订了2019至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分． 请根据以上信息解答下列问题：（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）按照2019年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到多少千米？（3）要按时完成截至2019年的轨道交通规划任务，从2019到2019年这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？18. （9分）如图，在梯形A B C D 中，A D ∥B C ，E 是B C 边上一点，且C E =8，B C =12，C D =，∠C=30°，∠B=60°．点P 是BC 边上一动点（包括B ，C 两点），设PB 的长为x ． （1）当x=_________时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是直角梯形． （2）当x=_________时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形．（3）当点P 在BC 边上运动时，以P ，A ，D ，E 为顶点的四边形能否为菱形？请说明理由．中考数学计算、统计和证明专项训练(九)三、解答题16. （8分）已知22+=0a ab b -，且a ，b 均为正数，先化简：()()222222+244+a b a abb a b a a ab b -----，再求值．M F EDC B A 89.5~99.579.5~89.569.5~79.559.5~69.5频率频数分组49.5~59.5a 2032b 0.080.12E17. （9分）某超市销售多种颜色的运动服装，平均每天销售红、黄、蓝、白四种颜色运动服装的数量如表，由此绘制的不完整的扇形统计图如图：中考数学计算、统计和证明专项训练(十)三、解答题16. （8分）下课了，老师给大家布置一道作业题：当1x =+()()22211112x x x x x x -+⎛⎫+÷+ ⎪-⎝⎭的值，雯雯一看，感慨道：“今天的作业要算很久啊！”你能找到简单的方法帮雯雯快速解决这个问题吗？请写出你的求解过程．17. （9分）某校初三（1）班共有40名同学，在一次30秒打字速度测试中他们的成绩统计如下：（1）表中a=______，b =______，c =______（2）这个班40名同学这次打字成绩的众数是_______个，中位数是______个，极差是______个．（3）用你的方法计算这个班40名同学这次打字成绩的平均数．18. （9分）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE =AC ，连接AG ． 17. （9分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．甲、乙两人射箭成绩统计表（1）a =___________，x 乙（2（3）①观察折线图，可看出______定（填“甲”或“乙”）18. （9分）如图，等边三角形ABC 中，AO 是∠BAC 的平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边在CD 下方作等边三角形CDE ，连接BE ．（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连接CP ，CQ ，使CP =CQ =5．若BC =8，求PQ 的长．中考数学计算、统计和证明专项训练(十二) 三、解答题/个A16. （8分）先化简，再求值：2222223a ab b b ab a a b a b ⎛⎫+++÷+ ⎪--⎝⎭，其中a =-1，请取一个你喜欢的b 的值代入求值．17. （9分）某大学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图（如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类）．（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？ （2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？ （3（4人，试估计该中学喜欢足球的有18. （9分）如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）求证：CE =CF ．（2）将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A′D′E′ 的位置，使点E′ 落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示．试猜想BE′与CF 有怎样的数量关系，并证明你的结论．中考数学计算、统计和证明专项训练（一）参考答案 16．原式11x x -=+，不等式组的解集为31x -<<，取x =0，当x =0时，原式=-1．17．（1）4月份商场销售总额为75万元，统计图略；（2）12.8万元；（3）不同意，理由：4月份服装部的销售额为75×17％=12.75（万元）∵12.75<12.8， ∴不同意他的看法．18．证明略．中考数学计算、统计和证明专项训练（二）参考答案16．原式1xx =-，不等式组的解集为-1≤x <2，当x =0时，原式=0（答案不唯一）． 17．（1）评委给小明演讲答辩分数的众数为94分，民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数为72°； （2）85.2分； （3）至少是90分． 18．证明略．中考数学计算、统计和证明专项训练（三）参考答案16．（1）2；（2）不等式组的解集为-3<x ≤1，-1组的解．17．（1）600；（2）30，20，统计图略；（3）3 200人；（4）14．18．（1）证明略；（2）3．中考数学计算、统计和证明专项训练（四）参考答案16．（1）7-；（2）1222x x ==17．（1）a =20，b =15；图2E ′B D E C F D ′A ′图2图1排球篮球兵乓球足球40%20%图图1E ′BD E C F BD′A ′FED C A（2）1.68小时；（3）符合实际，理由：设中位数为m ，根据题意，m 的取值范围是1.5≤m <2， 因为小明帮父母做家务的时间大于中位数，所以他帮父母做家务的时间比班 级里一半以上的同学多． 18．（1）证明略；（2）CM ，证明略．中考数学计算、统计和证明专项训练（五）参考答案16．（1）原式=6x +13，当x =-2时，原式=1；（2）2x >．17．（1）300，200；（2）12，62，统计图略； （3）43.2°； （4）35．18．（1）证明略；（2）BC=． 中考数学计算、统计和证明专项训练（六）参考答案16．（1）原式21x x +=，∵x 2-x -1=0，∴原式=1． （2）31x y =⎧⎨=⎩．17．（1）5，频数分布直方图略；（2）95；（3）x 的值为97． 18．（1）证明略；（2）52EF=． 中考数学计算、统计和证明专项训练（七）参考答案16．原式=24x-，当x =x =x 2-4的值均为2 009，∴小明虽然把x 值抄错，但他的计算结果也是正确的． 17．（1）12，0.28，频数分布直方图略；（2）600人； （3）至少有11人． 18．（1）证明略；（2）tan ∠EBC =．中考数学计算、统计和证明专项训练（八）参考答案16．（1）原式212a a=+，当2210a a +-=时，原式=1． 17．（1）统计图略；（2）1 000千米；（3）平均每年需新增运营里程82.75千米．18．（1）2或6；（2）0或8；（3）能成为菱形，理由略．中考数学计算、统计和证明专项训练（九）参考答案16．（1）原式22a ba b+=-，∵22+=0aab b -，且a ，b 均为正数，∴原式=5+．17．（1）160，40，90°，统计图略；（2）12.5元． 18．证明略．中考数学计算、统计和证明专项训练（十）参考答案16．（1）化简得原式=2．17．（1）2，5，8，频数分布直方图略；（2）64，64，19；（3）63个．18．（1）证明略；（2）2．中考数学计算、统计和证明专项训练（十一）参考答案16．（1）原式x yy+=，方程组的解为21xy=⎧⎨=-⎩，∴原式=-1．17．（1）4，6；（2）补全图形略；（3）①乙，验证略；②乙将被选中，理由略．18．（1）证明略；（2）6．中考数学计算、统计和证明专项训练（十二）参考答案16．（1）原式1a b=+，取b=0，原式=-1（答案不唯一）．17．（1）100名；（2）36°；（3）统计图略；（4）1.7×104人．18．（1）证明略；（2）B E′=CF，证明略。

类型一倍长中线针对演练1. 已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．(1)当点P与点O重合时如图①，求证OE＝OF；(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况给予证明．第1题图2. 在等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，在等腰Rt △CDE 中，∠CDE ＝90°，DE ＝DC ，连接AD ，F 是线段AD 的中点．(1)如图①，连接BF ，当点D 和点E 分别在边BC 和AC 上时，若AB ＝3，CE ＝22，求BF 的长；(2)如图②，连接BE 、BD 、EF ，当∠DBE ＝45°时，求证：EF ＝12ED .第2题图3. 在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CF⊥AB交AB于点F，点D在AC上，连接BD，交CF于点G，过点C作BD的垂线交BD于点H，交AB于点E；(1)如图①，∠ABD＝∠CBD，CG＝1，求AB的长；(2)如图②，连接AH、FH，∠AHF＝90°，求证：HB＝2AH.第3题图4. 已知，在▱ABCD中，连接对角线AC，∠CAD的平分线AF交CD于点F，∠ACD的平分线CG交AD于点G，AF、CG交于点O，点E为BC上一点，且∠BAE＝∠GCD.(1)如图①，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求▱ABCD的面积；(2)如图②，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，求证：CE＋2OF＝AC.第4题图5. (2017重庆江北区模拟)如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠BDE ＝90°，AC＝BC，BD＝ED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF.(1)如图①，若B、C、D共线，且AC＝CD＝2，求BF的长度；(2)如图②，若A、C、F、E共线，连接CD，求证：DC＝2DF.第5题图6. (2017重庆南岸区模拟)在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB ＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF.(1)如图①，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的长；(2)如图②，点D 不在AE 上，连接AD ，延长CF 至点G ，连接GD 且GD ＝AD ，若BC 平分∠ABE ，∠G ＝∠DAB .求证：DE ＝DF .第6题图答案1. 解：(1)∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°， 在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF，∠AEO ＝∠CFO，AO ＝OC∴△AOE ≌△COF (AAS )， ∴OE ＝OF ；(2)图②中的结论为：CF ＝ OE ＋AE ； 图③中的结论为：CF ＝OE －AE .选图②中的结论如下：如解图①，延长EO 交CF 于点G ，第1题解图①∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠EAO ＝∠GCO ，在△EOA 和△GOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠GCO AO ＝CO ∠AOE＝∠COG ，∴△EOA ≌△GOC (ASA )， ∴EO ＝GO ，AE ＝GC ， 在Rt △EFG 中， ∴EO ＝OG ， ∴OE ＝OF ＝GO ， ∵∠OFE ＝30°，∴∠OFG ＝90°－30°＝60°， ∴△OFG 是等边三角形， ∴OF ＝GF ， ∵OE ＝OF ， ∴OE ＝FG ，∵CF ＝FG ＋CG ，∴CF ＝OE ＋AE ； 选图③的结论证明如下：如解图②，延长EO 交FC 的延长线于点G ，∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，第1题解图②∴AE ∥CF ， ∴∠AEO ＝∠G ，在△AOE 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEO＝∠G ∠AOE＝∠G OC OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COG (AAS )， ∴OE ＝OG ，AE ＝CG ，在Rt △EFG 中，∵OE ＝OG ，∴OE ＝OF ＝OG ， ∵∠OFE ＝30°，∴∠OFG ＝90°－30°＝60°， ∴△OFG 是等边三角形， ∴OF ＝FG ，∵OE ＝OF ，∴OE ＝FG ， ∵CF ＝FG －CG ， ∴CF ＝OE －AE .2. (1)解：在等腰Rt △CDE 中， ∵∠CDE ＝90°，DE ＝DC ，CE ＝22， ∴DE ＝DC ＝2. ∵AB ＝BC ＝3，∴BD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝32＋12＝10. ∵AF ＝DF ， ∴BF ＝12AD ＝102.(2)证明：如解图，延长EF 到点N ，使得FN ＝EF ，连接BN ，AN ，延长DE 交AB 于点M ，在△AFN 和△DFE 中⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DF ∠AFN＝∠DFE FN ＝EF ，∴△AFN ≌△DFE (SAS )， ∴AN ＝DE ＝DC ，∠FAN ＝∠FDE ， ∴DM ∥AN ， ∴∠OMB ＝∠BAN .∵∠MOB ＋∠OMB ＝90°，∠DOC ＋∠OCD ＝90°，∠MOB ＝∠DOC ， ∴∠OMB ＝∠OCD ， ∴∠BAN ＝∠BCD .在△BAN 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BC ∠BAN＝∠BCD AN ＝CD ，∴△BAN ≌△BCD (SAS )， ∴∠ABN ＝∠CBD ，BN ＝BD ， ∴∠DBN ＝∠CBA ＝90°. ∵∠DBE ＝45°， ∴∠EBN ＝∠EBD . ∵BE ＝BE ，BN ＝BD ， ∴△BEN ≌△BED (SAS )， ∴DE ＝EN ＝2EF ，∴EF ＝12ED .第2题解图3.解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CF⊥AB，∴FC＝BF，又∵CE⊥BD，∴∠GCH＝∠GBF，∴△FCE≌△FBG(ASA)，∴GF＝EF，∵∠ABD＝∠CBD，BH＝BH，∠BHC＝∠BHE，∴△BHC≌△BHE(ASA)，∴BC＝BE，设GF＝x，则EF＝x，BF＝CF＝x＋1，∴BC＝EF＋BF＝2x＋1，∵CF2＋BF2＝BC2，∴2(x＋1)2＝(2x＋1)2，解得x1＝22，x2＝－22(舍去)．∴BC＝2x＋1＝2＋1，∴AB＝2BC＝2＋ 2.第3题解图(2)如解图，延长HF 至点M ，使HM ＝AH ，连接AM .∵∠AHF ＝90°，∴∠HAM ＝∠HMA ＝45°，AM ＝2AH .∵CE ⊥BD ，CF ⊥AB ，∠CGH ＝∠BGF ，∴∠CHG ＝∠BFG ，∴△CHG ∽△BFG ，∴GC BG ＝HG GF， ∵∠CGB ＝∠FGH ，∴△GBC ∽△GFH ，∴∠GHF ＝∠GCB ＝∠45°.∴∠GHF ＝∠FMA .∵AC ＝BC ，CF ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∵∠HFB ＝∠AFM ，∴△HFB ≌△MFA (AAS )，∴BH ＝AM ，∴BH ＝2AH .4. 解：(1)∵△ACD 为等边三角形，∴∠CAD ＝∠ACD ＝60°.∵AF 、CG 分别平分∠CAD 、∠ACD ，∴∠CAF ＝12∠CAD ＝12×60°＝30°，∠ACG ＝∠DCG ＝12×60°＝30°，且AF ⊥CD ，CD ＝2CF ， ∴∠CAO ＝∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ＝2.在Rt △OCF 中，∵∠DCG ＝30°，∴OF ＝12OC ＝12×2＝1， ∴CF ＝OC 2－OF 2＝22－12＝3，∴AF ＝AO ＋OF ＝2＋1＝3，CD ＝2×3＝23，∴S 四边形ABCD ＝CD ·AF ＝23×3＝63；(2)如解图，延长OF 到H ，使FH ＝OF ，连接HD ，∴OH ＝OF ＋FH ＝2OF .第4题解图∵△ACD 为等腰直角三角形，AF 平分∠CAD ，∴CF ＝DF ，AF ⊥CD ，又∵∠CFO ＝∠DFH ，∴△CFO ≌ △DFH (SAS )，∴∠OCF ＝∠HDF ，∴ CG ∥HD ，∴∠AOG ＝∠H ，∠AGO ＝∠ADH .在Rt △OCF 中，∠OCF ＋∠COF ＝90°，在Rt △ACG 中，∠ACG ＋∠AGC ＝90°， ∵CG 平分∠ACD ，∴∠ACG ＝∠FCG ，∴∠COF ＝∠AGC ，∴∠AOG ＝∠AGC ，∴AO ＝AG ，∠H ＝∠ADH ，∴AH ＝AD ，∴AH －AO ＝AD －AG ，即OH ＝GD ，∴2OF ＝GD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAC ＝∠ACD .∵∠BAE ＝∠DCG ，∴∠BAC －∠BAE ＝∠ACD －∠DCG ，即∠EAC ＝∠ACG ，∴AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，∴EC ＝AG .在Rt △ACD 中，AC ＝AD ，∵AG ＋GD ＝AD ，∴CE ＋2OF ＝AC .5. 解：(1)∵AC ＝CD ＝2，∴DB ＝DE ＝4.如解图①，过A 点作AH ⊥DE ，垂足为H ，则四边形AHDC 是边长为2的正方形， ∴AH ＝2，HE ＝2＋4＝6，在Rt △AHE 中，AE 2＝AH 2＋HE 2＝22＋62＝40，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2＝22＋22＝8，在Rt △BDE 中，BE 2＝BD 2＋DE 2＝42＋42＝32，∴AB 2＋BE 2＝AE 2，∴∠ABE ＝90°，∵BF 是斜边中线，∴BF ＝12AE ＝10.第5题解图①(2)如解图②，延长DF至M，使MF＝DF，连接AM，CM.第5题解图②∵F是AE中点，∴AF＝EF，∵∠AFM＝∠DFE，∴△AMF≌△EDF(SAS)，∴AM＝DE＝BD，∠MAF＝∠DEF.又∵∠BCE＝∠BDE＝90°，∴∠CBD＝∠DEF，∴∠MAC＝∠CBD，∵AC＝BC, AM＝BD，∴△MAC≌△DBC(SAS)，∴CM＝CD，∠ACM＝∠BCD，∴∠MCD＝∠ACB＝90°，∴△DCM是等腰直角三角形，又∵DF＝FM，∴CF⊥DM，∴DF＝CF，∴DC2＝2DF2，∴DC＝2DF.6.证明：(1)∵D是BC中点，∴BD＝CD.∵CF⊥AE，∴∠CFA＝∠CFD＝90°.∵∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠CFD.在△BDE和△CDF中，∵∠E＝∠CFD，∠EDB＝∠FDC，BD＝CD，∴△BDE≌CDF(AAS)．∴CF＝BE.∵∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2，∴BE＝1，∴CF＝1.∵∠CFA＝90°，∠CAE＝45°，∴AC＝2CF＝ 2.第6题解图(2)如解图，∵BC平分∠ABE，∴∠1＝∠2.∵∠CFE＝∠BEF＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.在△ABD和△GCD中，∵∠4＝∠G，GD＝AD，∠1＝∠3，∴△ABD≌△GCD(AAS)．∴BD＝CD.延长FD交BE于点H.在△BDH和△CDF中，∵∠2＝∠3，BD＝CD，∠HDB＝∠FDC，∴△BDH ≌△CDF (ASA )，∴DH ＝DF ，∴DF ＝12HF . ∵∠HEF ＝90°，∴DE ＝12HF ＝DF . 即DE ＝DF .。

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2017年杭州市中考第22题如图1,在厶ABC中，BC> AC,/ ACB = 90°,点D在AB边上，DE丄AC于点E.(1)若AD =- , AE = 2,求EC 的长；DB 3(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△ EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P •问：线段CP可能是△ CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.例2 2017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N.(1)①/ MPN =②求PM + PN = 3a;(2)如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON.求证：0M = ON.(3)如图3,点O是AD的中点,四边形，并说明理由.OG平分/ MON，判断四边形OMGN是否为特殊的图1 图3例3 2018 年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=—x2+ bx+ c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, —3).( 1 )求此二次函数的解析式；(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结PA、PD, PD交AB于点E，求证：△ PADPEA.3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例1 2017年杭州市中考第22题如图1,在厶ABC中，BC> AC,/ ACB = 90°,点D在AB边上，DE丄AC于点E.(1)若AD =- , AE = 2,求EC 的长；DB 3(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△ EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P •问：线段CP可能是△ CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△ CFG的高，也可以是△ CFG的中线.思路点拨CFG与厶EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况.2. 高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3. 根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来.满分解答(1)由/ ACB = 90°, DE丄AC,得DE//BC .所以些=AD =1 •所以_L =!•解得EC= 6.EC DB 3 EC 3(2)^ CFG与厶EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当/ 1 = / 2时，由于/ 2与/ 3互余，所以/ 2与/ 3也互余.因此/ CPF = 90°.所以CP是厶CFG的高.②如图3，当/ 1 = / 3时，PF = PC.又因为/ 1与/ 4互余，/ 3与/ 2互余，所以/ 4=/ 2.所以PC= PG .所以PF = PC = PG .所以CP是厶CFG的中线.综合①、②，当CD是/ ACB的平分线时，CP既是△ CFG的高，也是中线(如图4).图2 图3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5,在厶ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E, DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形.如图6,当CD平分/ ACB时，四边形CEDF是菱形.如图7,当/ACB=90°，四边形CEDF是矩形.如图8,当/ ACB= 90° , CD平分/ ACB时，四边形CEDF是正方形.图6图7 图8例2 2017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N.(1)①/ MPN =②求PM + PN = 3a;（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON.求证：0M = ON.（3）如图3,点O是AD的中点,四边形，并说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM + PN等于正六边形的3条边长.△ AOM ◎△ BOP , △ COP^A DON ,所以OM = OP = ON.还可以体验到，△ MOG与厶NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形.思路点拨1. 第（1）题的思路是，把PM + PN转化到同一条直线上.2•第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P •于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形.3.第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形.如果你直觉△ MOG与厶NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明/ MON = 120 ° .满分解答(1)①/ MPN = 60°②如图4，延长FA、ED交直线BC与M'、N ；那么△ ABM'、△ MPM '、△ DCN'、△ EPN都是等边三角形.所以PM + PN= M N = M B + BC+ CN = 3a.(2)如图5，联结OP .由(1)知，AM = BP, DN = CP.由AM = BP,/ OAM = Z OBP = 60°, OA = OB, 得厶AOM ◎△ BOP .所以OM = OP .同理△ COP也厶DON，得ON = OP .所以OM = ON .（3）四边形OMGN是菱形.说理如下：由（2）知，/ AOM =Z BOP,/ DON =Z COP （如图5）.OG平分/ MON，判断四边形OMGN是否为特殊的图4 图5图1 图3图6所以/ AOM + / DON = / BOP+Z COP= 60° .所以/ MON = 120° . 如图6,当OG 平分Z MON 时，Z MOG =/ NOG = 60° .又因为Z AOF = Z FOE = Z EOD = 60°,于是可得Z AOM = Z FOG = Z EON . 于是可得厶AOM ◎△ FOG ◎△ EON .所以OM = OG = ON.所以△ MOG与厶NOG是两个全等的等边三角形.所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形.考点伸展在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？因为△ MOG与厶NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小.OG的最大值等于OA,此时正三角形的边长为a，菱形的最大面积为-^a2.2OG与EF垂直时最小，此时正三角形的边长为3a ,菱形的最小面积为色』a2.2 8例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=—x2+ bx+ c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, —3).(1)求此二次函数的解析式；(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形.①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD, PD交AB于点E，求证：△ PADPEA.动感体验请打开几何画板文件名“ 13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，/ PAE与/ PDA总保持相等，△ PAD与厶PEA保持相似.请打开超级画板文件名“ 13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，/ PAE与/ PDA总保持相等，△ PAD与厶PEA保持相似.思路点拨1•数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD = AB.2. 通过计算/ PAE与/ DPO的正切值，得到/ PAE = Z DPO =Z PDA ,从而证明厶PADPEA.满分解答(1)将点c =1,P(0, 1)、Q(2, —3)分别代入y=—x2+ bx+ c,得解得b=0,以2b 1 二-3. C=1.所以该二次函数的解析式为y= —x2+ 1.(2)①如图1,设点A的坐标为(x, —x2+ 1),当四边形ABCD恰为正方形时，AD = AB.此时y A= 2x A.解方程—x2+ 1 = 2x,得x - -1 _ 2 .所以点A的横坐标为••.2-1.因此正方形ABCD的面积等于[2( 2 -1)]2 =12 _8 2 .②设OP 与AB 交于点F，那么PF =OP -OF =1 - 2( & -1) =3-= ( "2 - 1)2.所以tan N PAE = 〔)=近_1 .AF 血―1又因为tan • PDA 二tan • DPO = = 2 -1 ,OP所以/ PAE=Z PDA.考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论△ PAD s\ PEA•证明如下：如图2,设点A 的坐标为(x, —x2+ 1)，那么PF = OP —OF = 1 —( —x2+ 1) = x2.2所以tan ZPA^PF =- x .AF x又因为tan . PDA =tan. DPO =x , OP所以/ PAE=Z PDA .因此△ PADPEA .。

几何证明练习题及答案题目1：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD垂直于BC。

证明：三角形ABD与三角形ACD全等。

答案：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，角BAD等于角CAD。

又因为AD垂直于BC，所以角ADB和角ADC都是直角。

因此，我们有：- AD=AD（公共边）- ∠BAD=∠CAD（等腰三角形的性质）- ∠ADB=∠ADC=90°（直角）根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD与三角形ACD全等。

题目2：已知三角形ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且BE=CF。

证明：三角形AEF是等腰三角形。

答案：由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，角ABC等于角ACB。

又因为BE=CF，我们可以得出：- AB=AC（已知）- BE=CF（已知）- ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性质）根据SSS（边边边）全等条件，三角形BEC与三角形CFB全等。

因此，角BEC等于角CFB。

由于角AEF是三角形AEF的外角，根据外角定理，角AEF等于角BEC加角CFB。

因此：- ∠AEF=∠BEC+∠CFB- ∠AEF=2∠BEC（因为∠BEC=∠CFB）由于角AEF是三角形AEF的两个相等的角，所以三角形AEF是等腰三角形。

题目3：已知四边形ABCD中，AB平行于CD，BC平行于AD，且AB=CD。

证明：四边形ABCD是平行四边形。

答案：由于AB平行于CD且BC平行于AD，根据平行四边形的定义，我们可以推断出AD也平行于BC。

因此，四边形ABCD的对边都是平行的。

又因为AB=CD，根据平行四边形的判定条件，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。

题目4：已知三角形ABC中，角A等于角C，点D在BC上，且AD垂直于BC。

证明：三角形ABD与三角形CBD是等腰三角形。

答案：由于角A等于角C，根据三角形内角和定理，我们可以得出角A+角C+角B=180°。

2018年中考数学几何证明综合题热点聚焦(1)专项练习1. 已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB 。

（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连接AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是__________。

（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（︒<<︒900α）。

连接AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM 。

请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立。

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点。

请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明。

2. 在Rt △ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转。

（1）当点O 为AC 中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立。

若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14 AO AC =，求OE OF的值。

3. 在矩形ABCD 中，点F 在AD 延长线上，且DF =DC ，M 为AB 边上一点，N 为MD 的中点，点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）。

（1）如图1，若AB =BC ，点M 、A 重合，E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE 的值，并证明你的结论；（2）如图2，且若AB =BC ，点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若不成立，请直接写出你的结论。

2018年中考数学复习试题汇编----几何综合1．已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC边上的一点.（1）以点C为旋转中心，将△ACD逆时针旋转90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；（2）延长AD交BE于点F，求证：AF⊥BE；（3）若AC= ，BF=1，连接CF，则CF的长度为.527．（1）补全图形……………………2分（2）证明：∵ΔCBE由ΔCAD旋转得到，∴ΔCBE≌ΔCAD，………………3分∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，……………4分∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，∴∠BCE=∠AFE=90°，∴AF⊥BE．……………………………………5分（3）2………………………………………………7分2．△ACB中，∠C=90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F.（1）如图1，若∠B=30°，∠CFE的度数为；（2）如图2，当30°<∠B<60°时，①依题意补全图2；②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明.图1 图23．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，点C在线段OB上，OC=2BC，AO）得到边上的一点D满足∠OCD=30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°<α<180°△OC D，C，D两点的对应点分别为点C，D，连接AC，BD，取AC的中点M，连接OM．（1）如图2，当C D∥AB时，α=°，此时OM 和BD之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD之间的位置关系和数量关系，并加以证明．图1 图2备用图4．如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA延长线交于点E，F，连接AC.（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF；（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明.图1 图227.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC .…1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°.……2分又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE .∴AE=AF .……3分其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F=45°.又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F=∠ACE .∴△ACF ∽△AEC.……5分∴AC AF AE AC ，即AF AE AC 2. ……6分∴2AF AE .……７分5．在等腰△ABC 中，AB=AC ，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD ，使BD ⊥AC 于H ，连结AD 并延长交BC 的延长线于点P.（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC=2α，求∠BDA 的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E ，从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.27.解：(1)如图……………………………………………１分(2) ∵∠BAC =2α，∠AHB =90°∴∠ABH=90°-2α (2)分∵BA=BD∴∠BDA =45°+α………………………………………………………………………………３分(3)补全图形，如图………………４分。