第二讲 函数与映射的概念

函数与映射基础函数和映射是数学中两个重要的概念。

它们在数学和其他学科中的应用广泛，对于理解和解决问题起着关键的作用。

本文将介绍函数和映射的基础概念、特性以及它们的应用。

一、函数的定义和特性函数是一种特殊的映射关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。

函数可以表示为f：X→Y，它将集合X中的元素映射到集合Y中的元素上。

函数有以下几个基本特性：1. 定义域和值域：函数的定义域是输入的集合，值域是输出的集合。

2. 单射性：如果一个函数的每个不同的元素都有不同的映射元素，那么这个函数是单射的。

3. 满射性：如果一个函数的每个元素都有至少一个映射元素，那么这个函数是满射的。

4. 双射性：如果一个函数既是单射的又是满射的，那么这个函数是双射的。

5. 逆函数：对于双射的函数，可以定义一个逆函数，用于将输出映射回输入。

二、映射的定义和分类映射是一种关联关系，它将一个集合中的元素与另一个集合中的元素对应起来。

映射可以表示为M：X→Y，它将集合X中的元素与集合Y中的元素对应。

根据映射的性质和关系，映射可以分为以下几种类型：1. 单射：每个输入只对应一个输出。

2. 满射：对于输出集合中的每个元素，存在至少一个输入与之对应。

3. 耦合映射：输入的元素与输出的元素具有明确的对应关系。

4. 多对一映射：多个输入对应一个输出。

5. 一对多映射：一个输入对应多个输出。

6. 多对多映射：多个输入对应多个输出。

三、函数与映射的应用函数和映射在数学和其他学科中有许多应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 数学分析：函数是数学分析的重要概念，它用于描述和分析数学中的各种关系和变化规律。

2. 统计学：映射在统计学中被广泛应用，用于描述和分析数据和变量之间的关联关系。

3. 计算机科学：函数是编程语言中的基本构建块，它用于实现各种算法和程序逻辑。

4. 金融学：函数和映射在金融学中用于建立数学模型，对市场、投资和风险进行分析和预测。

映射和函数
映射和函数是数学中两个重要的概念。

映射（mapping）可以理解为从一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则，也可以称为映像或变换。

函数（function）则是一种特殊的映射，它指定了一个输入集合中的每个元素对应到输出集合中唯一的一个元素。

函数可以用数学公式或图像来表示，它在数学中扮演着非常重要的角色。

映射和函数在实际生活中也有很多应用。

例如，我们可以将一个人的体重和身高映射成一个身体质量指数，这个指数可以用来评估一个人的健康状况。

在计算机科学中，映射和函数也是非常常见的概念。

例如，计算机程序中的变量和函数就是一种映射关系，变量将一个值映射到一个标识符上，而函数将一组输入值映射到一个输出值上。

映射和函数在数学中有着广泛的应用。

例如，在微积分中，函数的导数和积分都是基于函数的映射关系来定义的。

在代数学中，映射和函数被用来描述各种代数结构，如群、环、域等。

在拓扑学中，映射和函数则被用来描述空间的形态和变形。

总之，映射和函数是数学中非常重要的概念，它们不仅在理论上有着广泛的应用，而且在实际生活和计算机科学中也有着重要的地位。

映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。

对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。

记作f：A→B。

2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。

对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。

记作f：A→B。

3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。

二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。

换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。

2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。

3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。

4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。

5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。

这样的函数g称为函数f的反函数。

三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。

2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。

中考数学复习如何理解函数与映射的概念函数与映射是中学数学中重要的概念之一，很多同学在学习数学时往往对这两个概念感到困惑。

为了帮助大家更好地理解函数与映射，本文将从概念定义、特性以及实际应用等方面进行探讨。

一、函数的概念与特性在数学中，函数是指两个数集之间的一种对应关系，其中每个输入都对应唯一的一个输出。

具体地说，对于一个函数 f，输入集合中的每个元素 x，都对应唯一的输出 y。

函数通常用 f(x) 来表示，其中 x 是自变量，y 是因变量。

函数可以用多种形式来表示，比如集合表示法、符号表示法、图像表示法等。

符号表示法最为常用，通常采用 f(x) = ... 的形式来表示。

函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，值域是指所有可能的因变量的取值。

函数具有以下特性：1. 唯一性：每个自变量的取值只能对应一个输出。

2. 定义域与值域：函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或自然数集等。

3. 单调性：函数可以是递增的或递减的。

4. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数，具有一定的对称性。

5. 周期性：有些函数具有周期性，即在一定的周期内重复。

二、映射的概念与特性映射是函数的一种特殊形式，也是一个集合与集合之间的对应关系。

映射从一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，通常用f: A →B (读作“映射 f 从集合 A 到集合B”) 来表示。

A 称为原集合，B 称为目标集合。

映射的特性包括：1. 确定性：映射中的每个元素在原集合中只能有一个对应元素。

2. 全射性：如果目标集合中的每个元素都有在原集合中的对应元素，则称映射是满射的。

3. 单射性：如果原集合中的每个元素在目标集合中都有唯一的对应元素，则称映射是单射的。

4. 满射性：如果映射同时具有全射性和单射性，则称映射是双射的。

三、函数与映射的实际应用函数与映射在数学中具有广泛的应用，也在实际生活中起到重要作用。

下面以几个实际例子来说明：1. 财务管理中的函数：在企业财务管理中，成本与产量之间的关系可以用函数来表示。

函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。

虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。

下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。

映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。

简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。

映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。

其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。

映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。

例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。

在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。

我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。

函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。

函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。

函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。

函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。

例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。

这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。

函数在数学中有很多重要的属性和性质。

比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。

函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。

函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。

第二讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同重难点：2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

第2讲函数及其表示方法2.1映射1、映射的概念f设有两个集合、，通过在中都有唯一确定的元素与之对应,称映射.A B x A f B y A B∀∈−−→原象：象：说明：映射是一种对应关系，对应关系一般有4种类型，但只有“一对一”、“多对一”才构成映射关系.下列对应中有几项是映射？考点1 映射【例1】【例2】一、选择题1．给出下列四个命题：(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．其中正确命题的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个2．下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是( )A ．P ＝N ，Q ＝N *，f ：x →|x －8|B ．P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{－4，－3,0,5,12}，f ：x →x (x －4)C ．P ＝N *，Q ＝{－1,1}，f ：x →(－1)xD ．P ＝Z ，Q ＝{有理数}，f ：x →x 23．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中，不能看做从M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x4．集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9详解答案 1[答案] B[解析] 对于(1)f ：A →B 对应法则f ：x →2|x |＋1故(1)错；(2)f ：R →{1}，对应法则f ：x →1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.2[答案] A[解析] 对于选项A ，当x ＝8时，|x －8|＝0∉N *， ∴不是映射，故选A. 3[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝6时，y ＝6，当6∉P ，故选C. 4[答案] C[解析] 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎨⎧ c →d c →eb →e ⎩⎨⎧c →d c →e a →e ⎩⎪⎨⎪⎧b →d ⎩⎨⎧ c →d c →eb →e ⎩⎨⎧c →d c →e 共8个．2.2函数及其表示1、函数的概念：非空数集A 到非空数集B 的映射，叫函数。

第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，记为B A f →: ★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

高等数学映射与函数笔记一、引言高等数学是理工科学生的一门重要基础课程，其中映射与函数是其中的重要组成部分。

本笔记旨在帮助读者梳理映射与函数的基本概念、性质、应用以及常见问题，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。

二、映射的基本概念1. 映射的定义：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。

2. 映射的性质：映射具有像集和原像集等基本性质，同时映射还可以进行复合、逆映射等操作。

三、函数的定义与性质1. 函数的定义：给定一个数集A，以及一个集合B上的运算，如果这个运算满足函数的基本性质，那么这个运算就可以被称为A到B的函数。

2. 函数的性质：函数具有单调性、奇偶性、周期性、有界性等基本性质，这些性质在解决函数问题时非常重要。

四、常见函数类型1. 一次函数：形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k为一次项系数，b为常数项。

2. 二次函数：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a为二次项系数，b、c为常数项。

3. 指数函数：形如y=a^x（a＞0且a≠1）的函数。

4. 对数函数：形如y=log(a) x（a＞0且a≠1）的函数。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是描述周期性现象的重要工具。

五、映射与函数的应用1. 函数在数学建模中的应用：在解决实际问题时，常常需要建立数学模型，而函数是建模的重要工具之一。

例如，在物理中的速度与时间的关系，就可以用一次函数或二次函数来表示。

2. 映射在算法中的应用：在计算机科学中，映射可以用于实现数据结构（如映射表和哈希表）以及算法（如最短路径算法和排序算法）等。

3. 映射与函数在经济学中的应用：在经济学中，函数被用于描述经济变量之间的关系，如生产函数、消费函数等；而映射可以用于实现数据库和数据挖掘等应用。

六、常见问题与解答1. 问：什么是映射？答：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。

映射和函数之间的关系映射和函数是数学中的基本概念，它们之间存在着紧密的关系。

在讨论映射和函数之间的关系之前，首先我们需要了解这两个概念的定义。

1.映射的定义：映射是一种将一个集合的元素对应到另一个集合的元素的方式。

更具体地说，如果集合A中的每一个元素a都与集合B中唯一的一个元素b对应，那么我们就说集合A到集合B的映射是存在的。

通常我们使用小写字母f来表示一个映射，如f: A -> B。

2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足以下两个条件：(a)每个输入值（自变量）都有且仅有一个输出值（因变量）；(b)不同的输入值不会映射到相同的输出值。

了解了映射和函数的定义后，我们可以进一步讨论它们之间的关系。

事实上，函数可以被视为映射的一种特殊情况，即满足每个输入值都有且仅有一个输出值的映射。

因此，我们可以说函数是一种特殊类型的映射。

具体来说，函数是一种更严格、更具体的映射，它将集合A的每个元素都映射到集合B中的唯一元素上。

而映射则可以更宽泛地描述集合之间的对应关系，不要求每个元素都有唯一的对应关系。

需要注意的是，在函数中，每个输入值都对应一个唯一的输出值，但可能有多个输入值对应相同的输出值。

这被称为函数的值域可以有相等元素，一个函数的值域可以与对应的映射的值域相同。

然而，在映射中，每个输入值对应的输出值都是唯一的，不存在多个输入值对应同一个输出值的情况。

此外，函数可以有不同的表示方法。

最常见的表示方式是函数表达式，其中使用数学公式来描述输入值和输出值之间的关系。

例如，我们可以表示一个函数f(x) = x^2，表达式中的x表示输入值，f(x)表示输出值。

另一种表示函数的方式是函数图像，其中将输入端的值映射到输出端的值，并在坐标系中绘制出函数的图形。

函数图像可以帮助我们更直观地理解函数的特性，如增减性、奇偶性等。

总结起来，映射和函数之间的关系可以概括为：函数是映射的一种特殊情况，它是一种满足每个输入值都有且仅有一个输出值的映射。

函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a 对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

《必修1》 第二章 函数一、函数与映射的概念 1、函数定义：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数. 记作：y=f(x),x A ∈自变量x 的取值范围（即数集A ）叫做函数的定义域 自变量x 取某一特殊值a 时，对应的y 的值叫做函数在x=a 处的函数值，记作： y=f(a)，或ax y=所有函数值构成的集合{A x x f y y ∈=),(}叫做函数的值域.【注】函数y=f(x)也常记作：函数f(x)或函数f.2. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. ,从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素. 3. 区间的概念4.映射的定义：设非空集合A ，B ，若按照某种对应法则f ，对集合A 中任一元素x ，在集合B 中有唯一元素y 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，x →f(x)其中，x 叫做原象，y 叫做在映射f 下的象，即有y=f(x). 若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应, 则称从A 到B 的映射为一一映射。

若B 中任何元素都有原象，则称映射为满射.【注】(1) 三要素：A → B(2) A 中元素的任意性，B 中元素的唯一性(3)可以“多对一”，不可以“一对多”. 5. 函数与映射的关系函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C ={f (x )|x ∈A }为值域。

B C ⊆。

因此函数是一种特殊的映射。

练习1：函数的概念1、（07北京理14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出f则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．2、设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有 （ ）A .0个B .1个C .2个D .3个注： 同样的抛物线由于开口方向不同，有的是函数，而有的就不是。